Quadratwurzeln Armin P. Barth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH. Skript. Quadratwurzeln

Transkript

1 Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Skript Qudrtwurzel

2 Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Qudrtwurzel spiele eie sehr wichtige Rolle i der Mthemtik. Drum versuche wir, i diesem kurze Tet lles Wesetliche dzu zusmmestelle. Wie defiiert m Qudrtwurzel? Zuächst eiml wolle wir us der Defiitio der Qudrtwurzel zuwede. Sucht m die Qudrtwurzel (oder eifch die Wurzel) eier Zhl, so sucht m eigetlich eie eue Zhl mit eier gz spezifische Eigeschft: Setzt m is Qudrt, so soll m wieder die Ausggszhl erhlte. Dbei sid folgede Eischräkuge wichtig: Die Ausggszhl drf icht egtiv sei. De wir köe i keie Zhl fide, dere Qudrt ei egtives Ergebis liefert. Weiter soll die gesuchte Zhl uch icht egtiv sei. Wir vereibre, dss die Qudrtwurzel eideutig ist, lso ur diejeige icht-egtive Zhl meit, dere Qudrt gleich ist. Kurz ud büdig: Defiitio: Sei,. Die Qudrtwurzel oder eifch Wurzel vo, i Zeiche: (selte ), ist diejeige icht-egtive reelle Zhl, für die gilt. Die Zhl oder der Term uter der Wurzel heisst Rdikd. Es ist lso zum Beispiel ud so weiter. Dbei ist sehr wichtig, dss wir us gut merke, dss etw 4 icht i Frge kommt, we wir 6 bilde wolle. Überhupt muss m sehr gut uterscheide zwische der Aufgbe, die Wurzel der ichtegtive Zhl zu ziehe ud der Aufgbe, die Gleichug zu löse: Soll etw 49 gebildet werde, so kommt gemäss userer Defiitio eizig die Zhl 7 i Frge. Soll dgege die Gleichug 49 gelöst werde, so müsse türlich lle reelle Zhle ufgezählt werde, die die Aussgeform i eie whre Aussge verwdel, ämlich 7 ud 7 oder i Form der Lösugsmege: L 7,7. Ds Wurzelzeiche stmmt us dem 6. Jhrhudert ud ist whrscheilich eie modifizierte Form des Kleibuchstbes r, dem erste Buchstbe des lteiische Wortes rdi (Wurzel). Fst lle Wurzel köe icht i der Mege der türliche Zhle gebildet werde. Wir hbe j i eier frühere Sequez bewiese, dss irrtiol ist, we eie türliche Zhl, ber keie Qudrtzhl ist. Ds ht zum Beispiel zur Kosequez, dss m die Zhl ie ekt gebe k. Die Dezimlbruchetwicklug vo ist icht-bbreched ud icht-periodisch. Drum ist jeder Tscherecherwert zwgsläufig ugeu; der Recher scheidet ch eier gewisse Azhl Stelle b ud rudet. We er etw de Wert zeigt, so müsse wir us drüber im Klre sei, dss ds icht gleich ist, soder dss ds bloss eie rtiole Approimtio de rele Wurzelwert drstellt. Wir schreibe d etw oder um zudeute, dss der Wert ugeu ist beziehugsweise, dss weiter hite uedlich viele weitere Ziffer folge müsste.

3 Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Wurzelgesetze Ist eigetlich ?. Eie eifche Rechug zeigt sofort, dss ds korrekt ist. Aber trifft ds llgemei zu? Gilt für irged zwei icht-egtive reelle Zhle ud b, dss b b ist? I der Tt trifft ds zu: Wurzelgesetz : b, gilt: b b Ei eizeles Beispiel k iemls eie llgemeie mthemtische Stz beweise; drum müsse wir us überlege, wie wir ds eisehe köe, ohe bei kokrete Zhle Zuflucht zu suche. Ds ist ber gz eifch: Ds Gesetz behuptet j, dss b die Wurzel vo b ist. Um ds zu überprüfe, müsse wir gemäss obiger Defiitio bloss überprüfe, ob ds Qudrt vo b ttsächlich gleich b ist: b b b b b b b b b b Dbei beutze wir Aiome (Assozitivität ud Kommuttivität der Multipliktio) sowie Defiitioe (Defiitio der.potez ud der Qudrtwurzel). I loger Weise k m eisehe, dss uch dieses zweite Gesetz gilt: Wurzelgesetz :, b, b gilt: b b Higege wäre etsprechede Umformuge mit dere Grudopertioe flsch. Dss etw im Allgemeie b b ist, k m leicht hd eies Gegebeispiels eisehe: Für 9 ud b 6 ist b , ber b Keiesflls dürfe wir lso die Qudrtwurzel eier Summe oder Differez ddurch ziehe, dss wir die Wurzel der beteiligte Summde eizel ziehe. Umittelbr us der Defiitio der Qudrtwurzel folgt, dss ud Zieht m erst die Wurzel eier ichtegtive Zhl, um schliessed zu qudriere, so muss m ereut die Zhl erhlte, weil ebe diejeige icht-egtive Zhl ist, dere Qudrt gleich ist. Begit m umgekehrt mit eier beliebige reelle Zhl, qudriert diese (wodurch sie isbesodere icht-egtiv sei wird) ud zieht d die Wurzel, so ldet m icht zwiged bei der Ausggszhl. Diese hätte j egtiv sei köe. Wie berechet der Tscherecher eie Wurzel? Die Mthemtik lebt vo schöe Idee, ud ds zeigt sich wieder eiml deutlich im Zusmmehg mit der folgede Frge: Wie berechet m eigetlich eie Qudrtwurzel? Eie schöe Idee geht uf de griechische Mthemtiker Hero vo Aledri (. Jhrhudert. Chr.) zurück. Nehme wir, wir solle die Qudrtwurzel vo bereche. Wir begie dmit, eie grobe 3

4 Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Näherug für de gesuchte Wurzelwert zu wähle. Wäre zum Beispiel 7, so würde wir etw 4 wähle, weil ds sicher i der Nähe des gesuchte Wurzelwertes liegt. Heros Idee wr u, schrittweise weitere Zhle,, zu erzeuge mit der Eigeschft, dss diese Zhlfolge immer äher ud äher de rele Wert vo herstrebt. Dzu fd Hero eie Formel, welche us eier dieser Zhle die jeweils ächste Zhl herstellt. Die Formel lutet so: Ht m lso de Strtwert gewählt, so fidet m mit dieser Formel de ächste Wert :, d us de ächstbessere Wert :, d us de ächstbessere Wert 3 : ud so weiter. 3, Wie köe wir die Formel verstehe? Nu, gz eifch: Die Formel berechet de Mittelwert eier zu kleie ud eier zu grosse Näherug. Zuächst eiml liefert j immer de Mittelwert zwische de beide Zhle i de Kästche. Ebeso würde m etw de Durchschitt vo zwei Note bereche. Weiter: Flls ist, flls wir mit der erste Schätzug lso zu tief liege, d ist sicherlich, weil ist. We ds Produkt zweier Zhle gleich ist, d köe icht beide Fktore kleier ls oder beide grösser ls sei. Es muss d zwiged der eie Fktor kleier ud der dere grösser ls sei. Liege wir lso mit zu tief, so ist dfür zu gross ud umgekehrt. Die Formel berechet lso de Mittelwert eier zu tiefe ud eier zu hohe Näherug vo. Setzt m dieses Verfhre fort, berechet m lso der Reihe ch,,, so wird diese Zhlfolge immer bessere Näherugswerte für die gesuchte Qudrtwurzel liefer. I usere Beispiel mit 7 ud ist: Ud dies ist scho sehr he bei Auf diese Weise k ei Tscherecher lso i sehr kurzer Zeit usgezeichete Näherugswerte für Qudrtwurzel bereche. 4

5 Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Ei geometrischer Blick uf Wurzel Es gibt verschiedee kostruktive Verfhre, um Qudrtwurzel zu erzeuge. Sehr bekt ist etw die folgede Wurzelspirle, i der uter Verwedug des Pythgors- Stzes cheider die Qudrtwurzel vo, 3, 4, kostruiert werde: Freilich eiget sich die Spirle icht, um beispielsweise 68 zu kostruiere. Aber i viele Fälle k m sich mit eiem geschickt gewählte rechtwiklige Dreieck behelfe, i diesem Fll etw mit eiem us de Kthete-Läge 8 ud ; d wird die Hypoteuse utomtisch Läge 68 hbe Ahg für besoders Iteressierte Kovergiert die Zhlefolge,, beim Hero-Verfhre überhupt gege die Zhl? Ud wie schell? Zuächst gilt sicherlich, weil jedes Qudrt icht-egtiv ist. Löst m diese Ugleichug ch uf, so erhält m: Folglich ist b Ide jeder Näherugswert, de ds Hero-Verfhre produziert, :. We m diese Abschätzug zweiml wedet, ergibt sich dies: Die Folge der Zhle,, ist lso mooto flled ud vo ute beschräkt durch ; dher ist sie sicherlich koverget. Aber wogege? Nu, we die Folge gege die Zhl s kovergiert, d muss s eie Lösug der Fipuktgleichug s s s sei. Die eizige positive Lösug dieser Gleichug ist ber s, weil s s s s s s s s s Folglich wird die vom Hero-Verfhre erzeugte Zhlefolge wie erhofft gege die Zhl kovergiere. Wie schell wird sie ds tu? Ist ds Verfhre effiziet? Diese Frge wolle wir im Folgede kläre. Wir vergleiche dzu mit, um heruszufide, wie viel äher m gesuchte Wurzelwert eie Zhl der 5

6 Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Hero-Folge ist vergliche mit dem vorherige Wert der Folge: D die Folge der Hero-Werte j beschräkt ist, muss folglich eie Kostte c eistiere, so dss c Dieses Verhlte der Folge et m qudrtische Kovergez. Sie bedeutet, dss der Näherugswert Nummer äher m gesuchte Wurzelwert ist ls ei bestimmtes Vielfches des Qudrtes des Abstdes des Näherugswertes Nummer. Ist lso zum Beispiel., so muss für de ächste Näherugswert Folgedes gelte: c.. Ds mcht de Algorithmus überus effiziet; die Folge strebt sehr schell gege ihre Grezwert. Ud drum fidet ds Verfhre i der Pris uch rege Eistz. 6