War Benjamin Franklin Magier?

Transkript

1 Wr Bejmi Frkli Mgier? Zusmmefssug Es wird eie Methode etwickelt, ei (fst) mgisches Qudrt der Ordug 8 k ( k ) mit fsziierede Eigeschfte herzustelle. Eileitug I seiem überus leseswerte ud bwechslugsreiche Buch Ds chiesische Dreieck erwäht D. Olivstro folgedes mgisches Qudrt vo B. Frkli [, 4 f]: Im strege Si hdelt es sich hierbei icht um ei mgisches Qudrt, d zwr jede Splte ud jede Zeile dieselbe Summe 056 ht, icht jedoch die Digole. Aber es gibt sehr viele überrschede Eigeschfte, welche die Bezeichug mgisch durchus rechtfertige, wie zum Beispiel:

2 Jedes Uterqudrt vo 4 x 4 Elemete besitzt die Summe 056 Jede Aordug vo 6 Elemete der Form ht die Summe 056 Jede Hlbsplte (Hlbzeile) ht die Summe 08 usw.. Olivstro schreibt, Frkli hbe ds Geheimis dieser Schöpfug mit is Grb geomme, für mche sicher Aspor geug, ihm dieses Geheimis zu etreiße. Flls Sie zu diesem Kreis gehöre, lese Sie icht weiter ud puzzle selbst...

3 3 Kostruktio des Frkli-Qudrts Zuächst gilt i jedem mgische Qudrt der Ordug ( = Zeilezhl) für die Zeile- bzw. Spltesumme Sei 8 ( ) i ( ). i k mit k beliebig. Wir schreibe i der erste Splte i die Zeile mit ugerder Nummer cheider die erste 8 ugerde Zhle, 3, 5,..., 4, dr schließed die letzte 4 gerde Zhle,, 4,..., i dieser Reihefolge ud schließlich die ächste 8 ugerde Zhle, 3,...,, isgesmt lso Zhle zwische ud. 4 4 I die zweite Splte schreibe wir ebe die eigetrgee Zhle jeweils die Differez zu. D fülle wir die erste ud zweite Splte so uf, dss jede ugerde Zhl mit der Zhl i der ächste Zeile die Summe ergibt, jede gerde Zhl mit der Zhl i der ächste Zeile dgege. Für 8 sieht ds im eizele so us: Diese beide Splte bilde usere Ausggsbsis.

4 4 Ds gze Qudrt fülle wir u so uf, dss wir zu de Strtpre i de Zeile mit ugerder Nummer jeweils ddiere, bei de dere subtrhiere. Im Beispiel mit 8 ergibt sich z. B. für die beide erste Zeile: Wir hbe zuächst zu überlege, dss jede Zhl z mit diesem Qudrt uftucht. z i ij bezeichet wie üblich die Zhl i der i-te Zeile ud j-te Splte. Ist i ugerde, so gilt, lso i. Somit stehe i de Zeile mit ugerder Nummer i de erste beide Splte verschiedee Zhle ud es gilt:. i Jedes Addiere vo zu diese Pre ergibt lso wieder verschiede Zhle, d.h. lle Zhle i de Zeile mit ugerder Nummer sid verschiede. Wir zeige jetzt, dss die übrige Zeile (lso die mit gerder Nummer) bei Zhlepre ede, die geu die restliche Zhle sid, die i de erste beide Splte bei de dere Zeile fehle. (i ugerde) der erste Splte Hierzu gehe wir us vo de Zhle mit ud uterscheide die Fälle ugerde ud gerde. Nch Kostruktio gelte zuächst folgede eifche Beziehuge: ugerde i i i, i, i () () (3) i (4) gerde i i, i i 3 (5) 3 (6) i i i,3, i i i,3

5 Sei ugerde ud (, i) d für ds Pr i der ächste Zeile 5 ds Strtpr. Wege (),(3) ud (4) gilt ( i,, i, ) ( i, ) ud diese Zeile edet chdem m subtrhiert ht mit dem Zhlepr (7) i, i, ( ) - ml, lso (, ) (, ) kurz: ( b, ) Dbei ist ugerde ud b gerde ud es gilt wege () 3 ud b. Die gerde Zhl b ist icht i der erste Splte vorhde wege () ud icht i der zweite Splte, de hier hbe die gerde Zhle wege (3) ud (4) die Form z oder z mit eier ugerde Zhl z mit z. Dies geht icht wege z 3 ud z (für 5 ). Ebeso k icht i der erste Splte uftuche, de derflls wäre vo der Form z mit z, lso ), ud uch icht i der zweite Splte, d sost (für 5 die Form z oder ber 3 mit z hätte, ws z oder 3 (für 7 Für gerde schließt m log: ) zur Folge hätte. ( i,, i, ) (, ) (, ) (, ) ( b, ). Hier sid gerde ud b ugerde ud es gilt wege (): ud diese Zeile edet mit i, i, 3 ud b.

6 Die gerde Zhl k lso wege () icht i der erste Splte uftuche. I der zweite Splte hätte sie die Form z oder z mit z. Im erste Fll wäre 3, im zweite (für 3). Auch die ugerde Zhl b steht wege () icht i der erste Splte. I der zweite Splte wäre b z oder b z mit z. Im erste Fll folgte b, im zweite Fll b 3 (für 5 ). Somit ist gezeigt: Jede Zhl z mit z steht etweder i de erste beide Splte i eier Zeile mit ugerder Nummer oder i de beide letzte Splte i eier Zeile mit gerder Nummer. D die übrige Elemete des Qudrts us diese durch wiederholte Additio vo hervorgehe, müsse sie lle verschiede sei. 6 3 Eigeschfte des Frkli-Qudrts (8) Jede Whl vo 4 qudrtisch geordete bechbrte Elemete (Elemetrqudrt, kurz: E-Qudrt) ht die Summe ( ). De: Rückt m ei solches Qudrt um eie Splte ch liks (rechts), so ädert sich die Summe icht ch Kostruktio ( wird ddiert ud subtrhiert). Bei de Strtqudrte ist ber die Zeilesumme etweder oder wege (), (3), (4). (9) Liege zwische zwei Pre bechbrter Elemete zweier Splte (Zeile) j E-Qudrte, so ist ihre Summe De: Zusmme mit de Pre liege j E-Qudrte vor. ( ).

7 (0) Jede Whl vo 7 ( j) ( j ) qudrtisch geordete Elemete (kurz: j -Qudrt) ergibt die Summe j ( ). De: Es liege j E-Qudrte vor. () Die Ecke eies j -Qudrts hbe die Summe ( ). De: Für j ist ds (8). Für j etfert m us dem Qudrt ds im Iere liegede ( j ) -Qudrt. D hbe die verbleibede Elemete die Summe j ( ) ( j) ( ) ( j)( ) wege (0). Die icht i de Ecke liegede Elemete bilde ( j ) bechbrte Pre, so dss ihre Summe wege (9) Also ist die Eckesumme ( ) 4( j )( ) ( j)( ) 4( j)( ) Isbesodere folgt hierus (. Muster Seite ) () Die Summe der Digole jedes j -Qudrts ist j ( ). (Für j 4 ist die Digolesumme lso die mgische Zhl!) ist. (3) Zeile- ud Spltesumme des -Qudrts sid jeweils ( ). De jede Zeile begit wege (3) oder edet wege (7) mit eiem Pr mit Summe. Also folgt für die Zeilesumme (4 i) () 4 i ( ) i0 i0. Ist u i eie ugerde Zeileummer, so gibt es stets och eie weitere Zeile ud die beide Elemete dieser Zeile i der erste Splte hbe ch Kostruktio etweder die Summe oder, wobei diese beide Werte jeweils 4 ml vorkomme. Dsselbe gilt für die zweite Splte ud somit für lle.

8 8 Nch Kostruktio befide sich i der erste Splte i der obere Hälfte 8 ugerde ud 8 gerde Strtzhle, lso folgt sogr: (4) Die Summe der obere (utere) Hlbsplte des - Qudrts ist ( ) ( ) 8 4 (5) Positiosmuster vo 4 Elemete des -Qudrts der Form j Splte oder j Splte (0 j ) hbe die Summe ( ). Verschiebt m ämlich die rechte zwei Elemete um ( j ) Splte ch liks, so ädert sich ihre Summe icht, ud sie ergäze d die like zu eiem E-Qudrt. D sich die beide obere (utere) Hlbdigole des -Qudrts us geu 4 solcher Muster zusmmesetze, ergibt sich (6) Die Summe der obere (utere) Hlbdigole des - Qudrts ist die mgische Zhl ( ). Diese obere (utere) Hlbdigole köe uch ch ute (obe) verschobe werde, dbei ädert sich die Summe icht wege (5). (7) Zwei Elemete des -Qudrts, die symmetrisch bezüglich der sekrechte Mittelchse dieses Qudrts geordet sid, hbe die Summe. Zur Begrüdug gehe wir zuächst us vo eier Zeile mit ugerder Nummer i. Sie begit mit dem Pr (, i) ud edet mit i,, (, ) i, i i. wobei gilt: i, ( i ), Also folgt i i ud. Für Zeile mit gerder Nummer gilt d i i, i, ( ), ud es folgt i i

9 9 i i ( ) ( ). (8) Zwei dere symmetrisch geordete Elemete gehe etweder us ud i, oder us i ud i, durch eie gleiche Azhl vo Additioe wie vo Subtrktioe vo hervor. Hierus folgt umittelbr: (8) Die Elemete eier Zeile des -Qudrts, die symmetrisch zur Mittelchse geordet sid, hbe die Summe 4 ( ) Somit lässt sich durch Umorde der Splte des -Qudrts erreiche, 4 ( ) dss uch luter Hlbzeile mit der Summe etstehe: Die erste 4 Splte werde rechts ds -Qudrt gesetzt. Dies ist d im Wesetliche ds Frkli-Qudrt, kurz: F -Qudrt. Welche Eigeschfte bleibe bei diesem Prozess erhlte? Es gibt eue E-Qudrte, die sich us der lte erste ud lte letzte Splte zusmmesetze. Prweise ergibt sich hier die Summe (Awedug vo (7)). Also ist (8) och gültig ud dmit uch (9) - (4). Die Eigeschft (5) gilt ur d, we die Zweiergruppe durch die Umordug icht getret werde. Ds like Elemet des Musters drf icht i der Splte mit der Nummer 3 4 liege (die ursprügliche letzte Splte) ud ds letzte icht i der Splte mit der Nummer 3 4 (die ursprügliche erste Splte), d. h. die Nhtliie drf die Pre des Musters icht tree. Nee wir eie gedchte Liie, die zwische der j -te ud ( j ) -te Splte verläuft, eie Sekrechte Positio j, so köe wir sttt (7) formuliere: (9) Zwei Elemete des F -Qudrts, die symmetrisch bezüglich der Sekrechte Positio 4 oder der Sekrechte Positio 3 4 geordet sid, hbe die Summe Die Eigeschft (8) geht d über i

10 (0) Die Summe der Elemete eier Hlbzeile (erste oder letzte Elemete eier Zeile) eies F -Qudrts ist 4 ( ) Ist p die Nummer der erste Splte eies Positiosmusters der Form 0 j Splte oder j Splte so ht die letzte Splte die Nummer pj 3. Sttt (5) gilt d () Positiosmuster vo 4 Elemete des F -Qudrts der Form j Splte oder j Splte (0 ) j mit p 3 4 Summe ( ) ud p 3 4 ( j) hbe die Die obere (utere) Hlbdigole des 4 F -Qudrts setze sich us Positiosmuster wie i () verlgt zusmme, so dss uch für ds F -Qudrt gilt: () Die Summe der obere (utere) Hlbdigole des F -Qudrts ist die mgische Zhl ( ) Diese Hlbdigole köe uch ch ute (obe) verschobe werde. Ebeso gilt: (3) Die Summe der like (rechte) Hlbdigole eies F -Qudrts ist. ( ) Zur Begrüdug k m sich uf die Elemete der lte erste beide Splte beschräke (mit de lte Bezeichuge): i i, i, i mit, d. h. i ugerde, de die Hlbdigole setze sich us Pre der Form

11 oder zusmme, die m um eie gerde Azhl Splte ch rechts schiebe k, bis sie i diese Spltepositioe zu liege komme, wobei sich der Summe ichts ädert. Um die Summe i (3) zu bereche, muss m 4 ml i, bilde (jeweils 8 ml mit i ugerde ud gerde) ud 4 ml i i,. Zu jedem ugerde mit 4 wähle wir j. j D ist j gerde ud es gilt 3 4 like Hlbdigolsumme mit (4). Also folgt für die obere j 8(,, ) i i j j 4( ) ud geuso für die utere like Hlbdigolsumme 8(,,) i i j j 4( ). D die Summe beider Digole wege () die Summe der rechte Hlbdigole ( ) beträgt, ist uch ( ) Es folgt d us (), dss die rechte obere Hlbdigole die Summe ( ) ( ) ( ), log folgt für die rechte 4 4 utere Hlbdigol die Summe, d.h. es gilt: 4 ( ) (4) Die erste Digole des F -Qudrts ht die Summe, die zweite ( ) ( ) Schiebe wir die like Hlbdigolelemete um Positio ch rechts, so iteressiere jetzt die. ud die 3. Splte des ursprügliche -Qudrts i i 3 i, i, i,3 i mit ud i ugerde

12 ud wir gehe wie obe vor: Für die verschobee obere like Hlbdigolsumme ergibt sich mit i, j j, j i ( )... i i,3 j j,3 ud somit... ( ) 8(,3,3) i i j j 4( ). Für die utere Also lsse sich diese gekickte 4 ( ). folgt etspreched Digole uch horizotl verschiebe, ohe dss sich ihre Summe ädert. [] D. Olivstro: Ds chiesische Dreieck. Frkfurt: Zweitusedeis