Inhalt 1. Zahlenbereiche / Zahlenmengen 2. Terme

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1 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG Ihlt. Zhlebereiche / Zhlemege. Terme.. Grudbegriffe.. Summe ud Differeze.. Produkte.. Auflöse vo Klmmer.. Ausklmmer ud Ausmultipliziere... Ausklmmer... Ausmultipliziere... Biomische Formel.. Vorfhrtsregel.7. Brüche.7.. Miuszeiche.7.. Erweiter.7.. Kürze.7.. Additio ud Subtrktio.7.. Multipliktio.7.. Divisio / Doppelbrüche.8. Poteze.8.. Poteze mit türliche Hochzhle.8... Additio ud Subtrktio vo Poteze.8... Multipliktio ud Divisio vo Poteze.8... Poteze mit egtive Hochzhle.8... Zeherpoteze.9. Wurzel.9.. Qudrtwurzel.9... Additio ud Subtrktio vo Qudrtwurzel.9... Multipliktio ud Divisio vo Qudrtwurzel.9... Teilweise Wurzel ziehe.9... Potezschreibweise vo Qudrtwurzel.9.. Höhere Wurzel (Poteze mit rtiole Hochzhle). Gleichuge ud Formel.. Liere Gleichuge.. Liere Gleichugssysteme ( Vrible / Gleichuge)... Gleichsetzugsverfhre... Additiosverfhre... Eisetzugsverfhre.. Qudrtische Gleichuge... Reiqudrtische Gleichuge... Gemischtqudrtische Gleichuge der Form ² + c 0... Gemischtqudrtische Gleichuge der Form ² + b 0... Gemischtqudrtische Gleichuge der Form ² + b + c 0.. Formel umstelle Averweg 0

2 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG. Zhlebereiche / Zhlemege Bezeichug Beschreibug / Beispiele türliche Zhle gze Zhle N 0,,,,,,,7,8,... Z..., -,-, 0,,,,... rtiole Zhle irrtiole Zhle Q Bruchzhle, z.b. ; ; 0, ; ; 0 7 Zhle, die sich icht ls Bruch schreibe lsse, z.b. π, e,, 7,... reelle Zhle R rtiole Zhle ud irrtiole Zhle. Terme Uter eiem Term versteht m eie mthemtische Ausdruck der us Zhle ud / oder Vrible besteht, welche z.t. mit Rechezeiche verbude sid. Beispiele:,,, +, ², (+).. Grudbegriffe Summe Differez Produkt Quotiet Bruch Kehrwert vo Potez + b b ud b heiße Summde b ud b heiße Fktore : b ; b 0 heißt Divided, b heißt Divisor (b drf icht Null sei) heißt Zähler, ; b 0 b b heißt Neer (b drf icht Null sei) drf icht Null sei ; 0 b heißt Bsis (Grudzhl), b heißt Epoet (Hochzhl) Zu uterscheide: Summe ud Differeze Summde dürfe vertuscht werde Gleichrtige Glieder werde zusmmegefsst + b + b b b b Averweg 0

3 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG.. Produkte Fktore dürfe vertuscht werde. Ugerde Azhl vo Miuszeiche Produkt ist egtiv b b 0b ( b) ( ) ( ) ( ) b b ( b) ( ) b b Mlpukte werde üblicherweise weggelsse, we sie zwische eier Zhl ud eier Vrible, z.b. eier Zhl ud eier Klmmer, z.b. ( + ) ( + ) eier Vrible ud eier Klmmer, z.b. ( + ) ( + ) zwei Vrible stehe... Auflöse vo Klmmer + (b ) + b Plus vor der Klmmer: Klmmer eifch weglsse (b ) b + Mius vor der Klmmer: I der Klmmer wird us Plus Mius ud umgekehrt (b ) b + ( ) b (b ) b ( ) b + 9 [b + ( b)] [b + b] [ b + ] + b b Jedes Glied der Summe wird mit dem Fktor vor der Klmmer multipliziert Miuszeiche bechte! Mehrfchklmmer: iere Klmmer zuerst uflöse.. Ausklmmer ud Ausmultipliziere... Ausklmmer + ² + us eier Summe wird ei Produkt ( + ) ²² ³ ( ) ²( ). Alle Summde werde i Fktore zerlegt. Ausgeklmmert wird der größte gemeisme Fktor (hier: bzw. ²)... Ausmultipliziere us eiem Produkt wird eie Summe (b + c) b + c s... ( + b)(c + d) c + d + bc + bd Jeder gibt jedem die Hd Beispiele: ( b) + ( b) b ( b)( + ) + b b + b b! Miuszeiche! Averweg 0

4 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG... Biomische Formel Soderfälle des Ausmultiplizieres ud Ausklmmers. ( + b)² ² + b + b². ( b)² ² b + b². ( + b)( b) ² b² s. uch: Erweiter ud Kürze vo Brüche / Bruchterme Beispiele: ( + )² ² + + ² ² ( )² ()² + ² ² + 9 ² ()² ² ( )( + ).. Vorfhrtsregel Pukt- vor Strichrechug. Klmmer zuerst Bechte Sie de Uterschied! ( + ) ( )( + ) ².7. Brüche.7.. Miuszeiche Mius ml Mius ergibt Plus Ei Miuszeiche wird dem Neer zugeordet oder steht vor dem Bruchstrich.7.. Erweiter 0 ( + ) + ; ( + ) + Zähler ud Neer mit derselbe Zhl bzw. mit demselbe Term (icht Null!) multipliziere.7.. Kürze ² + ( )² ² ( )( + ) + ; ( ) Zähler ud Neer durch dieselbe Zhl bzw. deselbe Term (icht Null!) dividiere Averweg 0

5 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG.7.. Additio ud Subtrktio Gleichmige Brüche: Zähler werde ddiert/subtrhiert, Neer wird beibehlte Ugleichmige Brüche: Brüche zuerst gleichmig mche (durch Erweiter).7.. Multipliktio 9 Zähler ml Zähler ud Neer ml Neer Divisio / Doppelbrüche : : Divisio durch eie Bruch Multipliktio mit desse Kehrwert Huptbruchstrich durch : ersetze Poteze.8.. Poteze mit türliche Hochzhle N... gleiche Fktore ( ) Beispiel: gleiche Fktore.8... Additio ud Subtrktio vo Poteze gleiche Poteze (Bsis ud Hochzhl gleich) lsse sich zusmmefsse ² ² ² Recheregel: Potez vor Pukt vor Strich ² ² 8 80 bei verschiedee Poteze ist keie Zusmmefssug möglich ² ³ Averweg 0

6 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG Averweg Multipliktio ud Divisio vo Poteze......mit gleicher Bsis Beispiele Begrüdug mittels o.g. Regel ) ( für gerde ) ( für ugerde ) ( 8 ) ( ) )( )( )( ( 8 ) )( )( ( m m m m m m ) ( ) ( ) ( Uterscheide Sie: ud ) ( Potez vor Pukt vor Strich... mit gleiche Epoete Beispiele Begrüdug mittels o.g. Regel b) ( b ) ( ) ( b b 9 9

7 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG.8... Poteze mit egtive Hochzhle Defiitio 0 9 Begrüdug Kehrwert vo ( ² ) 9 9 Amerkug: Die gete Regel gelte uch für egtive Hochzhle: Beispiel: +, de ² ².8... Zeherpoteze Wisseschftliche Drstellug vo sehr große bzw. sehr kleie Zhle Beispiele Zeherpotezdrstellug Tscherecherdrstellug , 0. E , E7 0,00000, 0.E- 0, , E-.9. Wurzel.9.. Qudrtwurzel Defiitio: ( )² ; Additio ud Subtrktio vo Qudrtwurzel Nur gleiche Qudrtwurzel lsse sich zusmmefsse: + 7 Bechte Sie de Uterschied: + + chreche Potezschreibweise vo Qudrtwurzel 0, Defiitio: ; 0 Averweg 0

8 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG.9... Multipliktio ud Divisio vo Qudrtwurzel Beispiele b b,b 0 Begrüdug mittels Potezregel (s.o.) 0, 0, ( ) 0, 0, 0, 0; b > 0 b b 0,.9... Teilweise Wurzel ziehe Awedug der o.g. Recheregel 0 ³ ² ².9.. Höhere Wurzel (Poteze mit rtiole Hochzhle) Defiitio Potezschreibweise. Wurzel ³ ( )³ ; 0. Wurzel ( ) ; 0 -te Wurzel * IN ( ) ; 0 * IN ; * m IN m m ( ) ; 0 m die Potezgesetze gelte uch für Poteze mit rtiole Hochzhle Beispiele: 0, 0,, + 0, 0, ( ) ( ) ² ² : Bruchrecheregel für die Berechug der Hochzhl! m. Gleichuge ud Formel Zum Löse vo Gleichuge werde Äquivlezumformuge durchgeführt, die die Lösugsmege der Gleichuge icht veräder. Äquivlezumformuge sid: uf beide Seite der Gleichug wird dieselbe Zhl / derselbe Term ddiert oder subtrhiert beide Seite der Gleichug werde mit derselbe Zhl / demselbe Term (icht Null) multipliziert oder durch dieselbe Zhl / deselbe Term (icht Null) dividiert. Averweg 0

9 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG.. Liere Gleichuge Die Lösugsvrible tritt ur i der. Potez uf Eie liere Gleichug k keie, geu eie oder uedlich viele Lösuge hbe Probe: Überprüfe der Lösug durch Eisetze der Lösug i die Ausggsgleichug. Hierbei muss eie whre Aussge etstehe Beispiele: Beispiel Beschreibug des Lösugswegs ( + ) + + Klmmer uflöse soweit wie möglich zusmmefsse + + I - beidseitig wird subtrhiert L { } fällt weg, es etsteht eie flsche Aussge die Gleichug besitzt keie Lösug Beispiel Beschreibug des Lösugswegs (8 + 9) Klmmer uflöse 8 9 so weit wie möglich zusmmefsse 8 I +8 beidseitig wird 8 ddiert 0 I : (-) beidseitig wird durch (-) dividiert Die Gleichug besitzt geu eie Lösug L { - } Beispiel Beschreibug des Lösugswegs 0 ( + 7) ( ) Klmmer uflöse zusmmefsse + I + beidseitig wird ddiert I - beidseitig wird subtrhiert 0 0 L IR fällt weg, es etsteht eie whre Aussge die Gleichug besitzt uedlich viele Lösuge Averweg 0

10 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG.. Liere Gleichugssysteme ( Vrible / Gleichuge) es gibt drei verschiedee Lösugssätze (s.u.). Probe: Eisetze der Lösug i beide Ausggsgleichuge muss whre Aussge ergebe.... Gleichsetzugsverfhre + y + y Beschreibug des Lösugswegs Beide Gleichuge uflöse ch y y + Gleichsetze y + ddurch erhält m eie Gleichug mit ur och eier Vrible Aus dieser k berechet werde. + + I+ I - Beidseitig wird ddiert ud subtrhiert I () Beidseitig wird mit - multipliziert Berechug vo y I eier der beide Ausggsgleichuge wird durch ersetzt (M immt die eifchere, hier lso die utere Gleichug) + y I - Beidseitig wird subtrhiert y L {( ; -)} + ( ) + ( ) Die Lösug des LGS besteht us ud y. Probe: i beide Ausggsgleichuge wird durch ud y durch - ersetzt. Es etstehe jeweils whre Aussge, d.h. Lösug ist richtig Averweg 0

11 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG... Additiosverfhre + y + y I( ) Beschreibug des Lösugswegs Die utere Gleichug wird mit - multipliziert + y + Die obere Gleichug bleibt stehe. y Zur utere Gleichug wird die obere ddiert Ziel: die obere Gleichug erhält och beide Vrible, die utere ur och eie Vrible. Somit k us der utere Gleichug die Lösug für die erste Vrible (hier: ) ermittelt werde + y I der obere Gleichug wird u durch ersetzt (d ) + y y I Nu k us der erste Gleichug die Lösug für y berechet werde Ds LGS besitzt geu eie Lösug L {( ; -)} Probe: s.o. Averweg 0

12 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG... Eisetzugsverfhre Beschreibug des Lösugswegs + y Eie Gleichug wird ch oder y ufgelöst. + y z.b. die utere Gleichug y + y y Ersetze i der obere Gleichug y durch - + ( ) Die obere Gleichug ethält u y ur och eie Vrible (hier: ). Hierus k berechet werde. + Zusmmefsse der erste Gleichug y + I i der obere Gleichug beidseitig y subtrhiere Nu i der utere Gleichug durch y ersetze um y zu bereche y Bereche vo y y L {( ; -)} Probe: s.o. Amerkug: Auch bei eiem LGS k die Lösugsmege leer sei, geu eie Lösug oder uedlich viele Lösuge ethlte. Averweg 0

13 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG.. Qudrtische Gleichuge Die Lösugsvrible tritt i der. Potez ud ggf. i der. Potez uf Eie qudrtische Gleichug k keie, geu eie oder zwei Lösuge hbe Probe: Überprüfe der Lösug durch Eisetze der Lösug(e) i die Ausggsgleichug. Hierbei muss eie whre Aussge etstehe... Reiqudrtische Gleichuge der Form ² + c 0 Die Lösugsvrible tritt ur i der. Potez uf Umforme der Gleichug : ² c Die Azhl der Lösuge hägt dvo b, ob c positiv, egtiv oder Null ist. Gleichug umgeformt Etscheidug Lösuge ² + c 0 ² c c > 0 0 < 0 (positiv) (egtiv) zwei Lösuge eie Lösug keie Lösug ² + 0 ² < 0 keie ² 0 ² 0 0 eie doppelte Lösug, 0 ² ² > 0 zwei Lösuge Averweg 0

14 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG... Gemischtqudrtische Gleichuge Die Lösugsvrible tritt i der. Potez ud i der. Potez uf. Zwei mögliche Ausggsgleichuge... Gemischtqudrtische Gleichuge der Form ² + b 0 Ausklmmer vo ud SvNP wede Stz vom Nullprodukt (SvNP): Ei Produkt ist geu d Null, we (midestes) eier der Fktore Null ist. 0 ist hierbei immer eie Lösug. Vorgehesweise llgemeie Form Beispiel ² + b 0 ² 0 Ausklmmer vo ( + b) 0 ( ) 0 Stz vom Nullprodukt 0 ( + b) 0 *) 0 ( ) 0. Lösug 0 0 Berechug der. Lösug us + b 0 + b 0 b 0 Lösugsmege b L {0; } L {0; } *)... "oder" Averweg 0

15 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG... Gemischtqudrtische Gleichuge der Form ² + b + c 0 Allgemeie Lösugsformel für qudrtische Gleichuge Mitterchtsformel, b ± b² c *) Die Azhl der Lösuge hägt dvo b, ob die Diskrimite D ( D b² c ) positiv, egtiv oder Null ist. Gleichug Mitterchtsformel Etscheidug Lösuge ² + b + c 0 b ± b² c, D > 0 (positiv) 0 < 0 (egtiv) zwei Lösuge eie Lösug keie Lösug ² ² + + 0, ±, ± ² ² D ² keie Lösug 8 < 0 D ² zwei Lösuge > 0 + 9² + 0, ± ² ( 9)( ( 9) ) D ² ( 9)( ) eie doppelte Lösug 0, ± 0 8 *) Für stimmt die Mitterchtsformel mit der pq -Formel überei p p ² + p + q 0, ± q Averweg 0

16 Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG.. Formel umstelle geschieht ebeso wie ds Löse vo Gleichuge durch Äquivlezumformuge Lösugsvrible ist dsjeige Formelzeiche, ch welchem die Formel umgestellt werde muss. Ei pr hilfreiche Tipps:. Brüche elimiiere Formel beidseitig mit dem Hupteer multipliziere. Beim Bereche vo Terme gilt die Regel: Poteze vor Pukt vor Strich. Klmmer zuerst Beim Umstelle vo Formel / Löse vo Gleichuge dreht sich dies um. Nicht zu viele Schritte gleichzeitig durchführe Beispiele:. U R I Umstelle ch I U R I II R I U I: R I U R. V πr² h Umstelle ch r V πr²h I V πr²h I : h. V πr² h V r² πh V r πh π (D² d²) A Umstelle ch d π (D² d²) A I A π(d² d²) I: π I : A D² d² π A D² d² π A D² d² π A D² d π I π I D² I( ) I Averweg 0