7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
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- Gerda Kuntz
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1 Rdiziere 7 Rdiziere 7. Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergit. x x für * : Wurzelexpoet, N ud : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer t) Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegee, Rdiziere: der Potezwert wird gesucht! x Potezwert ud Expoet sid gegee, die Bsis wird gesucht! x 9 9 x Ds Rdiziere (Wurzelziehe) ist lso die erste Ukehropertio des Potezieres. Bei Rdiziere verwedet llerdigs dere Bezeichuge. Der Wurzelexpoet wird eistes icht geschriee. Mehrdeutigkeit vo Wurzel Ist = 9, so ist uch ( ) = 9. Es git lso zwei Zhle, die qudriert 9 ergee. U eie eideutige Zuorduge zu erreiche, ezeiche wir er ur die positive Grudzhl ls Qudrtwurzel. Ds Ergeis der Qudrtwurzel ist ls positive Zhl defiiert. Qudriere eideutige Zuordug (Fuktio) + +9 Rdiziere keie eideutige Zuordug (Reltio) Wurzelziehe ud qudriere hee sich uf. 9 Die Ukehrug gilt jedoch icht ier! 9 für 0, für R Defiitio 6 icht 6 udefiiert Es git keie reelle Zhl, die qudriert 6 ergit!
2 Rdiziere 7. Der llgeeie Wurzelegriff Jede Wurzel k i eie Potez it rtiole Expoete ugewdelt werde. Ugekehrt k jede Potez it rtiole Expoete ls Wurzel geschriee werde. * für 0,, N ud Beweis : us Forel oe: poteziere it : -te Wurzel ziehe: soit: x x x x Beweisgrudlge us der Defiitio: Die -te Wurzel us eier positive Zhl ist diejeige positive Zhl, dere -te Potez gleich ist. 9 9 x x x x x x Beispiele Gee Sie die Werte folgeder Wurzel ud che Sie die Proe!. 5? ? 6 6.? '000? 0' ' ? ? sei ?
3 WurzelusSuezieheurdie! wz uri Rdiziere 7. Additio ud Sutrktio vo Wurzel Bei der Additio ud der Sutrktio vo Wurzel dürfe ur Wurzel it gleiche Expoete ud Rdikde zu eie Glied zusegefsst werde köe. x x c x c x (geeiser Fktor uskler) Beispiele Vereifche Sie, flls öglich ? ? Rdiziere vo Produkte Ei Produkt wird rdiziert, ide jede Fktor eizel rdiziert. Beweis: x x Beweis: x Achtug, Wurzel us Produkt icht it Wurzel us Sue verwechsel! I Gegestz zu ist Zhleeispiel: soit: Merke :
4 Rdiziere Beispiele Bereche Sie ohe Tscherecher.. 9 6? ? ? (Quelle: Froewiler, Aufge 6) oder 7. 5? (Quelle: Froewiler, Aufge 6c) oder oder ? (Quelle: Froewiler, Aufge 6f) 6.? (Quelle: Froewiler, Aufge 6i) 9 xy xy
5 Rdiziere 7.5 Rdiziere vo Brüche Ei Bruch wird rdiziert, ide Zähler ud Neer rdiziert. 0 ud 0 Beweis: Beispiele Bereche Sie ohe Tscherecher.. 6? oder ? x 0x :? x 60 0x 0 5x x.? (Quelle: Froewiler, Aufge 6k) oder ? (Quelle: Froewiler, Aufge 6c)
6 Rdiziere 7.6 Rdiziere vo Poteze ud Poteziere vo Wurzel Eie Potez wird rdiziert, ide zuächst die Bsis rdiziert ud schliessed ds Ergeis poteziert. Liest die Regel «vo rechts ch liks», so gilt: Eie Wurzel wird poteziert, ide zuächst de Rdikde poteziert ud schliessed us de Ergeis die Wurzel zieht. *, N Beweis: 0, ud Bei Rdiziere eier Potez k de Wurzelexpoete gege de Potezexpoete kürze. Beweis: Beispiele Schreie Sie ls Poteze it rtiole Expoete ud vereifche Sie, flls öglich.. 8? ? 9 6.?. 8? 6 8 6
7 Rdiziere 5.? ? ? :? : : 7
8 Rdiziere 7.7 Rdiziere vo Wurzel Eie Wurzel wird rdiziert, ide die Wurzelexpoete ultipliziert ud it de eue Expoete die Wurzel zieht. Beweis: Wurzelexpoete dürfe vertuscht werde. Beweis: siehe oe Beispiele Vereifche Sie so weit ls öglich, lle Vrile > 0.. 6? 6 oder 6 6 it Potezgesetze gerechet. 6? oder 6. 6? 6. x x? x x x x x x 8
9 Rdiziere 5. x x y y? x x y y x x y y x x y x y x y ? Wurzel i Üerlick Defiitio Wurzel x x * für 0, N ud Allgeeier Wurzelegriff * für 0,, N ud Recheregel: 9
10 Rdiziere 7.9 Defiitiosege D ei Wurzel estie Die Mege der erlute Eisetzuge für die Vrile eies Ters et Defiitiosege oder Defiitiosereich D des Ters. Bei Wurzelufge it eier Vrile uter der Wurzel existiert ei Defiitiosereich. M drf hier lso icht jede elieige Zhl eisetze. I der Prxis geht so vor, dss sich de Ausdruck uter der Wurzel sieht ud d die Zhle erechet, für welche der Ausdruck uter der Wurzel 0 oder grösser ist. Diese Zhle sid d zulässig, die restliche icht. Beispiele für die Bestiug der Defiitiosege D. Allgeeier Astz: Rdikd eier Wurzel 0 d. h. 0 Wurzelusdruck Grudege G Rdikd 0 Defiitiosege D x 9 G R x 0 D x R x 0 x 8 5 x G R x 8 0 G R 5 x 0 G R 0 D x R x 8 D x R x 5 D R Drstellug durch Itervlle Zhleereiche vo reelle Zhle werde häufig uch ls Itervlle gegee. Mit eie «Itervll» eit eie Aschitt uf der Zhlechse. Bei eie Itervll hdelt es sich lso u eie Teilege us R. Es git edliche ud uedliche Itervlle. Auch für Itervlle git es i der Mthetik spezielle Schreiweise: Beispiele: x R x 0 [ 0 ; [ x R x 8 [ 8 ; [ x R x 5 ] ; 5 ] R [ ; [ M schreit lso die kleiere Greze liks, die grössere rechts, getret durch ei Seikolo «;». Ist die Kler uswärts gerichtet, so gehört die jeweilige Greze icht ehr zu gegeee Bereich, ist die Kler ch ie gerichtet, so gehört die jeweilige Greze zu gegeee Bereich. Bei (uedlich) ist die Kler stets uswärts gerichtet. Zusätzliche Ifortioe 0
11 Rdiziere 7.0 Üuge, Froewiler Löse Sie die folgede Aufge: Nuer Seite Beerkuge (,, f ud i), Rdikd 0, Grudlgeereich 5 (,, c, d, e ud g) Grudlgeereich 6 (e, h ud k) 5 Grudlgeereich 8 (,, d, e, i, j ud k) 5 Grudlgeereich 0 ( ud e) 6 Grudlgeereich (c ud e) 6 Grudlgeereich (, c ud f) 7 Grudlgeereich 5 (, c, f ud g) 7 Grudlgeereich 6 (,, c, d ud f) 7 Grudlgeereich 7 (,, e ud h) 8 Grudlgeereich (lle) 5, Kotrolle: Zhle eisetze Grudlgeereich (, d, g ud i) 5 Grudlgeereich 7 (, f ud g) 5 Schwerpuktereich 8 (, c, g, k ud ) 5 Schwerpuktereich 9 (d, f, g, h ud j) 5 Schwerpuktereich 50 (e, f, h, i ud j) 5 Schwerpuktereich 5 () 5 Schwerpuktereich 5 (, c, g ud h) 55 Schwerpuktereich 5 (c, e ud f) 55 Schwerpuktereich 5 (d, h ud i) 55 Schwerpuktereich 55 (g, i ud j) 55 Schwerpuktereich Schwerpuktereich 57 h 56 Schwerpuktereich 58 (d, f ud j) 56 Schwerpuktereich 6 (e ud f) 57 Schwerpuktereich 6 (j ud k) 57 Schwerpuktereich 6 (, f ud h) 58 Schwerpuktereich 65 (g, h ud i) 58 Schwerpuktereich 67 (, ud c) 58 Schwerpuktereich 68 (,, c ud e) 59 Schwerpuktereich
12 Rdiziere 7. Üuge (Aufheprüfuge vo Fchhochschule zw. BM-Prüfuge). Ds Ergeis ist i For eier Wurzel zugee. u s s E? s u u u s s 6 6 E u s u s u u u u s u. Bereche Sie ohe Recher. Gee Sie die Lösug ls gekürzte Bruch ? Bereche Sie ohe Recher. 7 B?
13 Rdiziere. Bereche Sie de Ausdruck: Stelle Sie die Ausrechug usführlich dr; gee Sie ds Resultt, ohe uszureche, i öglichst eifcher For. (Ds Resultt k ethlte.) ud soit: HN HN
14 Rdiziere 5. Vereifche Sie de folgede Ausdruck so weit wie öglich. :?
15 Rdiziere 6. Der folgede Ausdruck k so ugefort werde, dss keie Wurzel ehr uftritt. Führe Sie diese Uforug durch.? 7. Der Ausdruck ist ohe Tscherecher uszureche
16 Rdiziere 8. Vereifche Sie so weit wie öglich ?
17 Rdiziere 9. Bestie Sie ds Produkt. Schreie Sie i Resultt stelle vo gerochee Expoete Wurzelzeiche. 6 x x x x x? x 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0. Brige Sie de folgede Ausdruck i die For. p p p p ? p p p p 5 5 x y x y 50 p p p p
18 Rdiziere. Vereifche Sie so weit wie öglich.? siehe dere Lösugsstz ute! derer Lösugsstz : sttt: 8
19 Rdiziere. Vereifche Sie so weit wie öglich.?. Vereifche Sie so weit wie öglich. 5 8?
20 Rdiziere 7. Rdiziere it de TI Beispiel 7? Ergeis: Hiweis: 7 oder.658 je ch Eistellug Exkt/Näherug Der TI-89 ht ur eie Wurzeltste für die Qudrtwurzel (Tstekoitio ). Der TI-89 Titiu ht zusätzlich och die Fuktio Wurzel it der uch die -te Wurzel erechet werde k. Die Fuktio Wurzel() ist üer erreichr. Beispiel? Ergeis: der Recher erücksichtigt, dss sowohl positiv, ls uch egtiv sei k! Beispiel 5 : 5? Ergeis: Der Recher fsst zuse zu 5 :5 9. 0
21 Rdiziere Beispiel 6x x? Ergeis: 6x der Recher erket ds Bio 6x. Beispiel 5? Ergeis: der Recher zeigt de Lösugsweg icht. Beispiel 6? Ergeis: Hiweis: -te Wurzel fuktioiert ur it de Titiu! Für de orle TI-89 erfolgt die Eige geäss der Regel: x x lso z. B. 7 uf de TI-89 7^( )
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
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Also definieren wir: Die Definition ist damit unabhängig vom Kürzen oder Erweitern des Exponenten.
7. Poteze mit rtiole Expoete Eiführedes Beispiel: Wir versuche ls Potez vo zu schreie. Bei dieser Erweiterug solle die isherige Potezgesetze gültig leie. x mit poteziert x x ( ) ( ) log 8 Also defiiere
Funktion: Grundbegriffe A 8_01
Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz:
MATRIZENRECHNUNG A = Matrix: m Zeilen, n Spalten. Allgemein: A = heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix) aij:
MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri) ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
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Ausgbe 2007-09 Eleetre Algebr (Arithetik, Schulthetik) Seite Betrg reeller Zhle 10 Bioe Itervlle 10 Liere Fuktioe 8 Liere Gleichuge 8 Mittelwerte Potezgesetze 6 Qudrtische Fuktioe 9 Qudrtische Gleichuge
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.
Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt
Die Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt.
Wurzel Wurzelexpoet Radikad oder auch Basis Die Wurzel eier Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgeomme wieder a ergibt. Die -te Wurzel et ma auch Quadratwurzel, dabei lässt ma die (als Wurzelexpoet)
Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
Kurzfassung zur Wiederholung mit Wissenstest zum Potenzrechnen DEMO. für alle, die es brauchen. Datei Nr Stand 7.
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Kurzfssug zur Wiederholug mit Wissestest zum Potezreche für lle, die es bruche Dtei Nr. Std 7. Jur 08 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.de
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
Poteziere 6 Poteziere 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... = Fktore Potezwert Es ist =, =, =, : Bsis oder Grudzhl, R
Eine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.
. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
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Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
DOWNLOAD. Potenzgesetze für rationale Exponenten. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen
DOWNLOAD Michel Körer Potezgesetze für rtiole Expoete Michel Körer Grudwisse Wurzel ud Poteze. 0. Klsse Bergedorfer Kopiervorlge Dowloduszug us dem Origiltitel: Kubikwurzel bzw.. Wurzel Aufgbe Wie groß
Terme und Formeln Potenzen I
Terme ud Formel Poteze I Die Mrgrit philosophic ist die älteste gedruckte llgemeie Ezyklopädie us dem Jhr 0 i lteiischer Sprche. Ds Werk ethält ls Uiversits literrum ds gesmte Wisse des späte Mittellters.
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome 9 Für Experte Komplexe
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
2.1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
.. Poteze mit türliche Expoete Eie Potez (gelese: hoch ) ist eie bgekürzte Schreibweise für ds Produkt us gleiche Fktore : = wobei > eie türliche Zhl ist heisst Bsis, Expoet der Potez. Beispiele: 5 = =
STUDIUM. Mathematische Grundlagen für Betriebswirte
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5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
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vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
BBS Nürnberg Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe
S Nürerg Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe eeihuge: D Defiitiosege f( Fuktiosvorshrift f( Fuktioster f( Fuktiosgleihug Fuktioswert vo ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie Zuordug, die
INHALTSVERZEICHNIS MONTAG
Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - I - VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN 0 Motg: Zhleege, Vrile, Teruforuge, Wurzel ud Poteze, Ds Löse vo UGleichuge i eier Vrile. INHALTSVERZEICHNIS
f) n n 2 x x 4 für n gerade; x für n ungerade
R. Brik http://brik-du.de Seite 7.09.0 Lösuge Poteze I Ergebisse: E E E Ergebisse ( ) = 9 ; ( ) = 7 ; ( ) = 8 ; = ; 7 = ; = 7 ; = 9 ; ( ) = 7 9 Ergebisse x x x x x x ) ( + ) = + ( + ) = + c) x + x = (
Entstehen soll eine unendliche trigonometrische Reihe der Form n
utoriu Mthe M Fourier Reihe & Fourier rsfortio. Fourier Reihe Die Fourier Reihe ist für die Medietechi ud speziell die Nchrichtetechi eie der wichtigste Eleete. Ds hägt dit zuse, dss sie es eröglicht,
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
6 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... Fktore Potezwert Es ist,,, : Bsis oder Grudzhl, R * N,,, : Expoet oder Hochzhl,
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
Kapitel VI. Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Kpitel VI Eigeschfte differezierbrer Fuktioe S 6 (Fermt, 6-665) Die Fuktio f sei uf dem Itervll I defiiert ud ehme der iere Stelle ξ vo I eiem bsolute Extremum Ist f der Stelle ξ differezierbr, d gilt
Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG ( ) a) (4a 3b)(a + 2b)(5a + 6b) b) 1 x (1 x (1 x (1 x (1 x (1 x) ) ) ) ) b) ( m + 10) 5
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Blok Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeshltet!. Berehe Sie vo Hd: : 9 9. Berehe Sie vo Hd: / /. Zu welhe Zhleege ln,
Fachschaft Mathematik der Staatlichen Fachoberschule und Berufsoberschule Augsburg
Fchschft Mthemtik der Sttliche Fchoberschule ud Berufsoberschule Augsburg Auf de folgede Seite sid i kurzer Form die Schverhlte der Algebr drgestellt, mit eiige relevte Übugsbeispiele, i der Regel ch Schwierigkeitsgrd
multipliziert und der Ausdruck dann in Real- und Imaginärteil aufgespaltet: Zur Berechnung der Phase werden Zähler und Nenner zunächst mit 1 F F
8 requezgg lierer Sstee 9 t t t e e e Jede Differetitio etspricht lso eier Multipliktio it! Setze wir diese ere i die Differetilgleichug 87 ei, so erhlte wir ür de requezgg ergit sich lso 88 Beispiel:
Ohm Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe
Oh Gsiu Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe ezeihuge: Fuktiosvorshrift: Fuktioster kurz f( ist hier: Fuktiosgleihug = Grph eier Fuktio: ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie eideutige
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
Teilbarkeit. Christoph Dohmen. Judith Coenen. 17. Mai Christoph Dohmen, Diskrete Mathematik Teilbarkeit. Judith Coenen
Diskrete Mthemtik Teilrkeit Christoph Dohme 7. Mi 2006 Diskrete Mthemtik Teilrkeit Ihltsverzeichis. Eileitug 2. Der größte gemeisme Teiler 3. Divisio mit Rest 4. Der Eukli sche Algorithmus 5. Ds kleiste,
SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr,
Mathematische und physikalische Begriffe. Mathematische und physikalische Begriffe
6 Mthetische ud physiklische Begriffe Mthetische ud physiklische Begriffe Begriffe Erklärug Beispiele Größe ud Eiheite Physiklische Größe vo Zustäde ud Vorgäge. Eie physi klische Größe ist ds Produkt eies
sfg Quadratwurzeln a ist diejenige nichtnegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand:
M 9.1 Quadratwurzel a ist diejeige ichtegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: a 2 = a Die Zahl a uter der Wurzel heißt Radikad: a Quadratwurzel sid ur für ichtegative Zahle defiiert: a 0 25 = 5; 81
von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer
vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
MATHEMATIK BASICS. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Marc Peter Rainer Hofer. Ausgefülltes Exemplar für Lehrpersonen (Folienvorlagen)
MATHEMATIK BASICS Mrc Peter Rier Hofer Poteze, Wurzel ud Logrithme Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersoe (Folievorlge) Impressum Iteret: Folievorlge ud Lerkotrolle www.hep-verlg.ch/mt/mth.sics/ ISBN -9090-96-
Mathematische Grundlagen 1. Zahlenrechnen
Mthemtische Grudlge. Zhlereche Ihltsverzeichis:. Zhlereche..... Die Grudrecherte..... Reche i der Mege der türliche Zhle..... Reche i der Mege der gze Zhle... 5.. Reche i der Mege der rtiole Zhle... 7...
Definition (Supremum und Infimum). s R heißt Supremum der Menge M R, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, d.h.
Vorlesug 15 Itegrlrechug 15.1 Supremum ud Ifimum Zuächst ei pr grudlegede, wichtige Defiitioe. Defiitio 15.1.1. Eie Mege M R heißt ch obe beschräkt, we es ei s R gibt, so dss x s für lle x M. M ist ch
1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung
Grudwie Mthemtik 9.Kle Gymium SOB.Weiteretwicklug der Zhlvortellug Defiitio der Qudrtwurzel: Für 0 it diejeige icht egtive Zhl dere Qudrt ergibt. heißt Qudrtwurzel, heißt Rdikd. Beipiele: 0,5 0,5 64 8
Carmichaelzahlen und andere Pseudoprimzahlen
Crmichelzhle ud dere Pseudoprimzhle Christi Glus 26.05.2008 1 Der fermtsche Primzhltest Erierug 1 (Kleier Stz vo Fermt). Für p prim, Z, ggt(, p) 1 gilt: p 1 1 (mod p) Algorithmus 2 (Fermtscher Primzhltest).
R. Brinkmann Seite e) 2ad = 8a d. b) ( )( ) b) b 4b = 20b e) 2 3 5
R. Brik http://rik-du.de Seite 7.0.0 Lösuge Poteze II Ergeisse: E Ergeisse ) d 8 d e) d 8 d ) f) 8 E Ergeisse ) d 6 d d d ) y y y E Ergeisse ) + + 6 + E Ergeisse ) 8 + 8 7 + 0( ) ) 7 y + y 8 y + 9 E E6
Mathematik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösungen zu Serie 6
Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösuge zu Serie 6 26 Utersuche die folgede Fuktioefolge uf puktweise beziehugsweise gleichmäßige Kovergez, d.h. bestimme jeweils ob diese vorliegt ud gebe
Übersicht Integralrechnung
Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
Quadratwurzeln Armin P. Barth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH. Skript. Quadratwurzeln
Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Skript Qudrtwurzel Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Qudrtwurzel spiele eie sehr wichtige Rolle i der Mthemtik. Drum versuche wir, i diesem
Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.2 Algebra Grundrechenarten
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthetik Kpitel 3. Alger Grudreherte Verfsser: Hs-Rudolf Niedererger Elektroigeieur FH/HTL Vordergut, 877 Nidfur 055-654 87 Ausge: August 008 www.i.h 5. Ferur 04 TG
Folgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis
Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug
Kapitel 2. Terme. oder (x + 1)(x 1) = x 2 1
Kapitel 2 Terme Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme / 74 Terme Ei mathematischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x 2 heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke auf beide Seite des
1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
Poteziere 6 Poteziere 6. Eiführug We bei eier Multiplitio luter gleiche Ftore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... Ftore Potezwert : Bsis oder Grudzhl, R * N,,, : Expoet oder
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
Fit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen
Thema Fit i Mathe Musterlösuge 1 April Klassestufe 10 Wurzelfuktioe Uter der -te Wurzel eier icht-egative Zahl (i Zeiche: ) versteht ma die icht-egative Zahl, die mal mit sich selber multipliziert, die
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
Christoph Hindermann. Vorkurs Mathematik Wichtige Rechenoperationen
Kapitel 2 Christoph Hiderma 1 2.1 Wiederholug: Die gebräuchlichste Zahlebegriffe Natürliche Zahle: N bzw. N 0 N ={1,2,3,...} N 0 ={0,1,2,3,...} Gaze Zahle: Z, Erweiterug der atürliche Zahle um die egative
Moderne Testtheorie. Anhang: Grundlagen der Kovarianzrechnung. Autor: Siegfried Macho
Modere Testtheorie Ahg: Grudlge der rizrechug Autor: Siegfried Mcho Friourg 5 Ihltsverzeichis i Ihltsverzeichis A. Erwrtugswerte A.. Grudlegede Defiitio ud Recheregel für Erwrtuge A.. Bedigte Erwrtuge