sfg Quadratwurzeln a ist diejenige nichtnegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand:

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1 M 9.1 Quadratwurzel a ist diejeige ichtegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: a 2 = a Die Zahl a uter der Wurzel heißt Radikad: a Quadratwurzel sid ur für ichtegative Zahle defiiert: a 0 25 = 5; 81 = 9; 0,25 = 1 4 = 1 2 = 0,5; 0,0081 = 0,09; 4 =

2 M 9.2 Reelle Zahle Jeder uedliche icht periodische Dezimalbruch stellt eie irratioale Zahl dar. 2; 7; π; 0,12345 Die ratioale ud die irratioale Zahle bilde zusamme die Mege R der reelle Zahle. Jede reelle Zahl besitzt eie Bildpukt auf der Zahlegerade ud jedem Pukt auf der Zahlegerade etspricht geau eie reelle Zahl.

3 M 9.3 Recheregel für Wurzel Multiplikatiosregel: Divisiosregel: a b = a b a b = a b Vorsicht: Ma darf Wurzel icht auf die eizele Glieder eier Summe verteile! a + b = a + b 2 18 = 2 18 = 36 = 6; 8 18 = 8 18 = 4 9 = 2 3 Aweduge: 1) Teilweises Radiziere: 18 = 9 2 = 9 2 = 3 2; 12a 4 b 3 = 2a 2 b 3b 2) Neer ratioal mache: 6 3 = = = 2 3; = = 3) Summe ud Differeze vo Wurzel: = =

4 M 9.4 Biomische Formel 1. Biomische Formel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Plus-Formel 2. Biomische Formel: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Mius-Formel 3. Biomische Formel: (a + b) (a b) = a 2 b 2 Plus-Mius-Formel (5x + y) 2 = 25x xy + y 2 ; (0,5a 1) 2 = 0,25a 2 a + 1; (1 m)(1 + m) = 1 m 2 Aweduge: 1) Ausmultipliziere (Produkte werde zu Summe): = = = ) Faktorisiere (Summe werde zu Produkte): 9x 2 1 = (3x) = (3x + 1)(3x 1) 4 + x 2 4x = (2 x) 2 = 2 x

5 M 9.5 -te Wurzel a ist diejeige icht egative Zahl, dere -te Potez a ergibt: a = a Die Zahl heißt Wurzelexpoet: a = a 1 -te Wurzel sid ur für ichtegative Zahle defiiert: a = 2; 81 5 = 3; = 5; 0, = 0,3; 1 64 = 1 4 Die Gleichug x = a ka zwei, eie oder keie Lösug habe: a > 0 gerade L = a ; a ugerade L = { a} a = 0 L = {0} L = {0} a < 0 L = { } L = { a} x 4 4 = 2 L = { 2 4 ; 2} x 3 3 = 2 L = { 2}

6 M 9.6 Poteze mit ratioale Expoete Für a > 0 gilt: a 1 = a a m = a m a m = 1 a m = 8 Recheregel = 2; = 8 2 = 2 2 = 4; = 1 9 = 1 3 ; = = 1 27 Multipliziere bei gleicher Basis: Expoete addiere = = = 2 Multipliziere bei gleichem Expoete = (5 8) 1 3 = = 2 5 Poteziere vo Poteze Expoete multipliziere = = = 1 2 Dividiere bei gleicher Basis Expoete subtrahiere 4 1 3: = = = 1 2 Dividiere bei gleichem Expoete 2 1 3: = = = 3 Summe ud Differeze Zusammefasse ur bei gleichartige Terme möglich! 7a 1 3 3a 1 3 = 4a 1 3

7 M 9.7 Satz des Pythagoras I jedem rechtwiklige Dreieck habe die Quadrate über de Kathete zusamme de gleiche Flächeihalt wie das Quadrat über der Hypoteuse. a 2 + b 2 = c 2 Aweduge: Diagoale im Quadrat d 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 d = a 2 Höhe im gleichseitige Dreieck h a 2 = a 2 h 2 = 3 4 a2 h = a 2 3

8 M 9.8 Kathetesatz ud Höhesatz Höhesatz I jedem rechtwiklige Dreieck hat das Quadrat über der Höhe de gleiche Flächeihalt wie das Rechteck aus de beide Hypoteuseabschitte. h 2 = p q Kathetesatz I jedem rechtwiklige Dreieck hat das Quadrat über eier Kathete de gleiche Flächeihalt wie das Rechteck aus der Hypoteuse ud dem aliegede Hypoteuseabschitt. a 2 = c p b 2 = c q

9 M 9.9 Quadratische Fuktioe: Die Parabel Der Graph eier quadratische Fuktio f(x) = ax 2 + bx + c heißt Parabel. Die Parabel ist für a > 0 ach obe geöffet. a < 0 ach ute geöffet. Ist a = 1 oder a = 1, also f(x) = ±x 2, heißt der Graph Normalparabel. Nullstelle Der tiefste bzw. höchste Pukt heißt Scheitel der Parabel. Scheitel

10 M 9.10 Quadratische Fuktioe: Scheitelform Jede quadratische Fuktio lässt sich durch quadratische Ergäzug i die Scheitelpuktform f(x) = a(x d) 2 + e brige. Scheitel (d e) für a > 1 eger als die Normalparabel Um d i x-richtug verschobe für a < 1 weiter als die Normalparabel Um e i y-richtug verschobe f(x) = 0,5(x 2 + 4x + 10) = = 0,5 x 2 + 4x = f(x) = 0, 5x 2 + 2x + 5 Quadratische Ergäzug = 0,5[(x + 2) ] = = 0,5[(x + 2) 2 + 6] = = 0,5(x + 2) S( 2 3)

11 M 9.11 Quadratische Gleichuge Gleichuge der Form ax 2 + bx + c = 0 heiße quadratische Gleichuge. Ihre Lösuge sid die Nullstelle der zugehörige quadratische Fuktio f(x) = ax 2 + bx + c. Sid x 1 ud x 2 die Lösuge, so ka ma die Fuktio schreibe als f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) (Liearfaktorzerlegug) Lösugsformel ( Mitterachtsformel ): x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Der Term uter der Wurzel b 2 4ac heißt Diskrimiate D. Er gibt a, wie viele Lösuge die Gleichug besitzt. 3x 2 5x 2 = 0 x 1,2 = 5 ± ( 5)2 4 3 ( 2) 2 3 = 5 ± 7 6 x 1 = 12 6 = 2, x 2 = 2 6 = 1 3

12 M 9.12 Mehrstufige Zufallsexperimete Ei Zufallsexperimet, das aus mehrere Teilexperimete besteht, et ma mehrstufiges Zufallsexperimet. 1. Pfadregel Die Wahrscheilichkeit eies Ergebisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheilichkeite lägs des zugehörige Pfades. 2. Pfadregel Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ist gleich der Summe der Wahrscheilichkeite für die zugehörige Ergebisse. Aus eier Ure mit zwei gelbe ud drei violette Kugel werde acheiader zwei Kugel ohe Zurücklege gezoge. Ω = {gg, gv, vg, vv} P(vv) = = 3 10 P(zwei gleiche Kugel) = = 2 5

13 M 9.13 Trigoometrie am rechtwiklige Dreieck siα = cos α = taα = Gegekathete vo α Hypoteuse Akathete vo α Hypoteuse Gegekathete vo α Akathete vo α Beziehuge: siα = cos(90 α); cos α = si(90 α) ; si 2 α + cos 2 α = 1; taα = siα Werte: α siα 0 Merkhilfe cosα 1 taα existiert icht 0 cosα

14 M 9.14 Prisma ud Zylider Prisma Zylider Volume: Oberfläche: V Prisma = G h V = Grudfläche Höhe O = 2G + M V Zylider = G h = πr 2 h O Zylider = 2πr 2 + 2πr h

15 M 9.15 Pyramide ud Kegel Pyramide Kegel μ = r s 360 Volume: Oberfläche: V Pyramide = 1 3 G h V = 1 Grudfläche Höhe 3 O = G + M V Kegel = 1 3 G h = 1 3 πr2 h O Kegel = πr 2 + πr s