Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

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1 Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F Ereigisse mit E i E j = für alle i j ud Ω = E 1 E. Da gilt für jedes beliebige Ereigis E F 1.) P(E) = P(E E j ) P(E j ) 2.) Falls P(E) > 0 ist, so gilt außerdem P(E i E) = P(E E i) P(E i ) P(E) = P(E E i) P(E i ), i = 1,..., P(E E j ) P(E j ) Eie statistische Auswertug der SWU hat ergebe, dass im Mittel 10 % aller Fahrgäste im öffetliche Nahverkehr schwarz fahre. 70 % der Schwarzfahrer habe keie Fahrkarte, die restliche 30 % habe etweder gefälschte oder illegale Fahrscheie. Vo de ehrliche Fahrgäste habe im Schitt 5 % ihre Fahrkarte vergesse. (a) Mit welcher Wahrscheilichkeit ka ei kotrollierter Fahrgast keie Fahrkarte vorzeige? (b) Mit welcher Wahrscheilichkeit ist ei kotrollierter Fahrgast, der keie Fahrkarte vorzeige ka ei Schwarzfahrer? Lösug E = {ehrlicher Fahrgast}, S = {Schwarzfahrer}, K = {Fahrgast ka keie Fahrschei vorzeige} (a) P(K) = P(K E)P(E) + P(K S)P(S) = = (b) P(S K) = P(K S)P(S) P(K) = Tschebyscheff Ugleichug Sei X : Ω R eie Zufallsvariable auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) mit EX 2 <. Da gilt für jedes ε > 0 P( X EX ε) Var(X) ε 2 Variaz, Kovariaz ud Korrelatioskoeffiziet X, Y : Ω R Zufallsvariable auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) mit EX 2, EY 2 <. Wichtige Formel:

2 1.) Var(X) = EX 2 (EX) 2 2.) Cov(X, Y ) = EXY EXEY 3.) ρ(x, Y ) = Cov(X,Y ) Var(X) Var(Y ) X 1, X 2, Y 1, Y 2 : Ω R Zufallsvariable auf (Ω, F, P) mit EX1 2, EX2 2, EY 1 2, EY 2 2 Recheregel für Variaz ud Kovariaz: < ud α, β R. 1.) Cov(αX, βy ) = αβcov(x, Y ), isbesodere Var(αX) = Cov(αX, αx) = α 2 Cov(X, X) = α 2 Var(X) 2.) Cov(X 1 + X 2, Y 1 + Y 2 ) = Cov(X 1, Y 1 ) + Cov(X 1, Y 2 ) + Cov(X 2, Y 1 ) + Cov(X 2, Y 2 ) 3.) Var(X + Y ) = Var(X) + 2Cov(X, Y ) + Var(Y ) Falls X ud Y ukorreliert sid, d.h. Cov(X, Y ) = 0, so gilt außerdem 4.) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) Wichtig: aber im Allgemeie icht umgekehrt! Blatt 5, Aufgabe 2 X ud Y uabhägig X ud Y ukorreliert Es solle e i Aktie ivestiert werde. Dabei stehe 2 Aktie zur Auswahl: Aktie 1 kostet 80 e, der erwartete Kurs i eiem Jahr beträgt 90 e, bei eier Stadardabweichug vo 2 e. Aktie 2 kostet 120 e, der erwartete Kurs i eiem Jahr beträgt 150 e, bei eier Stadardabweichug vo 10 e. Das Geld soll mit miimalem Risiko ivestiert werde. Als Risikomaß verwede wir die Variaz, d.h. wir wolle die e so ivestiere, dass der Wert useres Portfolios i eiem Jahr miimale Variaz hat. Wie ist das Geld zu ivestiere, we (a) die Kurse i eiem Jahr uabhägig sid? (b) die Kurse i eiem Jahr eie Korrelatioskoeffiziete vo 0, 4 besitze? Zusätzlich wird stets davo ausgegage, dass Leerverkäufe icht erlaubt sid ud dass die e restlos ivestiert werde. Lösug Es bezeiche X de Kurs vo Aktie 1 ach eiem Jahr ud Y de Kurs vo Aktie 2 ach eiem Jahr. Gesucht sid α, β 0, so, dass { α 80 + β 120 = Var(αX + βy ) mi Eie Lösug bekommt ma, idem ma die erste Bedigug ach α auflöst ud daach i die zweite Bedigug eisetzt. Daach verwedet ma die obige Eigeschafte der Kovariaz um die zu miimierede Fuktio kokret zu bestimme. Das Miimum fidet ma da wie üblich. Blatt 6, Aufgabe 1 Die Zufallsvariable X sei gleichverteilt auf der Mege { 2, 1, 0, 1, 2}. Sei Y = X 2. (a) Bestimme Cov(X, Y ). (b) Sid X ud Y uabhägig? (Die Atwort ist zu begrüde!) Lösug

3 (a) Es gilt: Cov(X, Y ) = Cov(X, X 2 ) = EX 3 EXEX 2 Da die Verteilug vo X symmetrisch ist, gilt EX = EX 3 = 0, also Cov(X, Y ) = 0 Also sid X ud Y ukorreliert. [EX = 1 5 ( ) = 0 ud EX3 = 1 5 ( ) = 0 ] (b) X ud Y sid aber icht uabhägig, de z.b. P(X = 1, Y = 1) = P(X = 1, X 2 = 1) = P(X = 1) = 1 5 ud also P(X = 1)P(Y = 1) = P(X = 1)P(X 2 = 1) = P(X = 1)P(X { 1, 1}) = = 2 25 P(X = 1, Y = 1) P(X = 1)P(Y = 1) Schätze vo Parameter Θ R Parameterraum, {F θ ; θ Θ} parametrische Familie vo Verteiluge, X 1,..., X Zufallsstichprobe zur Verteilug F θ, θ = (θ 1,..., θ ) Θ. Mometeschätzer Ziel ist es, g(θ) zu schätze, wobei g : Θ R m eie Fuktio des Parametervektors θ ist. Ist g(θ) = f(m 1 (θ),..., m l (θ)) eie Fuktio f : R l R m gewisser Momete vo F θ, so wählt ma de Schätzer ĝ(θ) für g(θ) als wobei ˆm k = 1 i=1 X k i. ĝ(θ) = f( ˆm 1,..., ˆm l ), Sei X 1,..., X eie Zufallsstichprobe zur LN µ,σ 2-Verteilug. Bestimme mit Hilfe der Mometemethode eie Schätzer für de Parametervektor (µ, σ 2 ). Lösug ˆm 1 = 1 x j, ˆm 2 = 1 d.h. x 2 j, EX σ2 µ+ 1 = e 2, EX1 2 = e(2µ+σ2 )σ 2. Betrachte folgedes Gleichugssystem ˆm 1 = EX 1 ˆm 2 = EX 2 1 ˆm 1 = e µ+ σ2 2 µ + σ 2 2 = log( ˆm 1) µ = log( ˆm 1 ) σ2 2 ˆm 2 = e (2µ+σ2 )σ 2 (2µ + σ 2 )σ 2 = log( ˆm 2 ) 2 log( ˆm 1 )σ 2 = log( ˆm 2 ) σ 2 = log( ˆm 2) 2 log( ˆm 1 )

4 Daraus ergibt sich der Mometeschätzer (ˆµ, ˆσ 2 ) = (log( ˆm 1 ) log( ˆm 2) 4 log( ˆm 1 ), log( ˆm 2 ) 2 log( ˆm 1 ) ) Maximum-Likelihood-Schätzer Die Likelihood-Fuktio L : R Θ R vo F θ ist defiiert durch P(X 1 = x k ) ; F θ diskret L(x 1,..., x ; θ) = k=1 f(x k ) ; F θ absolutstetig mit Dichte f k=1 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ˆθ für θ ist derjeige Parametervektor, der die Likelihood-Fuktio für jede Datevektor (x 1,..., x ) maximiert. Oft ist es eifacher die Log-Likelihood-Fuktio logl(x 1,..., x ; θ) defiiert durch zu betrachte. logl(x 1,..., x ; θ) = log(l(x 1,..., x ; θ)) Sei X 1,..., X eie Zufallsstichprobe zur LN µ,σ 2-Verteilug. Bestimme mit Hilfe der Maximum-Likelihood- Methode eie Schätzer für de Parametervektor (µ, σ 2 ), wobei die Dichte f der LN µ,σ 2-Verteilug gegebe ist durch 1 f(x) = σx (log(x) µ) 2 2π e 2σ 2, x > 0 Lösug ( ) 1 L(x 1,..., x ; µ, σ 2 ) = σ 1 e 2π x 1 x logl(x 1,..., x ; µ, σ 2 ) = log( 2πσ 2 ) log(x j ) µ logl = σ 2 logl = 2σ σ 4 log(x j ) µ σ 2 Der ML-Schätzer für (µ, σ 2 ) ist also gegebe durch (log(x j ) µ) 2 2σ 2 (log(x j ) µ) 2 = 0 µ = 1 log(x j ) 2σ 2 (log(x j ) µ) 2 = 0 σ 2 = 1 (log(x j ) µ) 2 (ˆµ, ˆσ 2 ) = ( 1 log(x j ), 1 (log(x j ) 1 log(x j )) 2 ) Güteeigeschafte vo Schätzer Sei T (X 1,..., X ) ei Schätzer für g(θ). 1.) Erwartugstreue: ET (X 1,..., X ) = g(θ). 2.) Asymptotische Erwartugstreue: lim ET (X 1,..., X ) = g(θ).

5 3.) Starke Kosistez: lim T (X 1,..., X ) = g(θ). 4.) Schwache Kosistez: lim P( T (X 1,..., X ) g(θ) > ε) = 0, für jedes ε > 0. Wichtig: 1.) 2.) ud 3.) 4.) Im Allgemeie aber icht adersherum!