Gliederung. Value-at-Risk

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1 Value-at-Risk Dr. Richard Herra Nürberg, 4. Noveber 26 IVS-Foru Gliederug Modell Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Verteilug des Gesatschades Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk Risikobeurteilug eier Pesioskasse Hiweise für die Praxis Seite 2

2 Modell Hauptgesatheit der versicherte Persoe gesater Bestad Abrechugsverbad Versicherte i eie Tarif Versorgugsberechtigte i eie Pesiospla Verschiedee Ursache, aus der Hauptgesatheit i eie Nebegesatheit auszuscheide Typische Ausscheideursache köe beispielsweise sei: i der Lebesversicherug: Tod, Rückkauf, Beitragsfreistellug i der Krakeversicherug: Tod, Storo i der betriebliche Altersversorgug: Tod ohe Witwe, Tod it Witwe, Ivalidität, Ausscheide it oder ohe uverfallbare Asprüche, Portabilität, Wechsel i de Altersruhestad. Seite 3 Modell Ausscheidewahrscheilichkeite Für das Mitglied der Hauptgesatheit bezeiche für die Ausscheideursache h,, q P (Ausscheide wege Ursache h) die Wahrscheilichkeit aus der Hauptgesatheit auszuscheide ud () q h q die Wahrscheilichkeit, i der Hauptgesatheit zu verbleibe. Da es sich bei der Hauptgesatheit u Versicheruge hadelt, wird i Folgede ausgeschlosse, dass sätliche Ausscheidewahrscheilichkeite ull sid, d. h. h {,, } it q > Seite 4

3 Modell Zufallsvariable des Ergebisses Bezeiche die Zufallsvariable X für Mitglied das Ergebis (Aufwad bzw. Ertrag) für die Versicherug i Geschäftsahr, da gibt es für X ( + ) ögliche Realisatioe. Bezeiche R die Mege der ögliche Realisatio vo X. Für Erwartugswert ud Variaz vo X gilt da E(X ) Var(X ) { r (h ), h,,..., } h h q r : µ ( ) 2 2 µ σ q r : Darüber hiaus existiere auch die Moete höherer Ordug. Für die Versicherug ergebe sich die Realisatioe vo X als Differeze zwische de vorhadee Veröge ud der zu erbrigede Leistug. Seite 5 Modell Bezeiche L L () de Barwert (zu Begi des Jahres) aller Leistuge, die bei Ausscheide aus der Hauptgesatheit aufgrud der Ursache h (h,, ) fällig werde, de Barwert (zu Begi des Jahres) bei Verbleibe i der Hauptgesatheit. V Deckugskapital a Begi des Jahres bei Zugehörigkeit zur Hauptgesatheit P Präie (fällig zu Begi des Jahres) P S Sparpräie v, i Zis + i Seite 6

4 Modell Da gilt () () (h ) (h ) V + P q L + q L h q L + q L (h ) () (h ) (h ) h h ( ) () (h ) (h ) () h L + q L L ( ) () (h ) (h ) () h Risikokapital K für Ausscheideursache h L + q L L S (h ) (h ) V P q K h + + Seite 7 Modell Für die idividuelle Schadefuktio werde die Realisatioe festgelegt r vo X wie folgt r K L L für h,..., () r L L () () () Der Erwartugswert E(X ) ist da ( ) h E X q r h ( ) q L L () V + P L () Seite 8

5 Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Pesioszusage auf gleichbleibeder Jahresrete R, 6 % Witwereteawartschaft Populatiosodell der Richttafel, d.h. drei Ausscheideursache: Ivalidität, Tod it Witwe, Tod ohe Witwe Barwerte, riskierte Kapitale ud Ausscheidewahrscheilichkeite Verbleibe i der Hauptgesatheit (h ) L () () K v V () aa x + k x + k aia aw a ( x + k + x + k + x + k + ) v R a + w a P a q i q Ivalidität (h ) 2 ( x + k + x + k + ) L R v a + w a () i iw K L L q () () () i () x + k 2 2 Tod it Witwe (h 2) 2 L w R v a (2) w y x + + K L L (2) (2) () q q h (2) aa x + k x + k (3) L (3) () ( k) Tod ohe Witwe (h 3) (3) aa q q ( ) x + h k x + k K L 2 Seite 9 Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Der Erwartugswert des Eizelschades beträgt bei gleiche Populatiosodell ud gleiche Ausscheidewahrscheilichkeite wie für die Bewertug aia aw a aia aw a ( ) ( x + k + x + k x k,z x k ) + ( x + k x + k + x + k +,z x k ) E X R a w a P a P v a w a P a Zusätzliche Berücksichtigug der Fluktuatio Modifikatio der Ausscheidewahrscheilichkeite für Tod ud Ivalidität erforderlich Modellerweiterug (4) Fluktuatioswahrscheilichkeit q Da gilt ( x+ k+ x+ k+ ) L v u R a + w a (4) aia aw K L L (4) (4) () it u < Uverfallbarkeitsfaktor oder (4) L K L (4) () falls keie Asprüche aufrechterhalte werde Seite

6 Verteilug des Gesatschades Der Gesatschade des Versicherugsuterehes (bzw. eies Teilbestades) ergibt sich als Sue der Eizelschäde S X Es gilt da ( ) E( X ) E S µ ud wege der Uabhägigkeit der X Var S ( ) Var( X ) 2 σ Seite Verteilug des Gesatschades Berechug der Gesatschadeverteilug durch Faltug Da die Verteiluge der Eizelschäde bekat sid, ka die Gesatschadeverteilug durch Faltug erittelt werde ittels ( ) ( ) ( ) P S a P S a K P X K h wobei das riskierte Kapital bei Ausscheide wege Ursache h (h,, ) K des Mitglieds aus der Hauptgesatheit bzw. das Verbleibe i der Hauptgesatheit (h ) bezeichet. Mit Hilfe der Faltug ka isbesodere für kleiere Bestäde die Gesatschadeverteilug exakt ud zugleich schell erittelt werde. Seite 2

7 Verteilug des Gesatschades Approxiatio der Gesatschadeverteilug durch eie zusaegesetzte Poisso-Verteilug I kollektive Modell wird der Gesatschade S als Sue aus N Eizelschäde ud de Schadehöhe Y i betrachtet ud es wird ageoe, dass die Y i idetisch verteilt ud die Zufallsvariable N, Y i, Y 2, stochastisch uabhägig sid ud dass N poissoverteilt ist. Der Erwartugswert für die Azahl der Schäde beträgt E(N) P( X > ) () q ( ) h q : λ Die Verteilug des Gesatschades ergibt sich da für x > durch *l P(S x) p ( ) x l x e λ e λ l! Seite 3 Verteilug des Gesatschades Approxiatio der Gesatschadeverteilug durch die Noralverteilug Die Eizelschäde X i sid uabhägig ud habe eie Wertebereich, der höchstes + Werte ufasst Die Eizelschäde X i sid icht idetisch verteilt zetraler Grezwertsatz ur gültig, we die Lideberg-Bedigug erfüllt ist. Zetraler Grezwertsatz gilt, we - für alle Eizelschäde die Moete 4. Ordug existiere ud durch M > begrezt sid - Variaze der Eizelrisike ach ute durch c > begrezt sid Gesatschadeverteilug kovergiert gege Noralverteilug it Erwartugswert E(S ) ud Variaz Var(S ) Seite 4

8 Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk Das Risikoaß Value-at-Risk (VaR) ist defiiert durch VaR α ( X) u α ( X) α (,) Der Value-at-Risk ergibt sich soit aus der Verteilugsfuktio F vo X durch VaR α ( X) F ( α ) Das Risikoaß Tail Value-at-Risk (TVaR) ist defiiert durch TVaR α β α ( X) VaR ( X) dβ α (, ) α Der TVaR ist das arithetische Mittel der Quatile vo X für - α < β <. Dadurch wird der Verlauf der Verteilugsfuktio oberhalb des ( - α)-quatils bei der Beurteilug des Risikos eibezoge. Seite 5 Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk I Fall der Noralverteilug X ~ N (, Value-at-Risk 2 ) it Verteilugsfuktio ist der VaR α ( X) Ψ α u ( ) α ud it Φ als Verteilugsfuktio der Stadard-Noralverteilug gilt VaR α ( X) µ + σ Φ ( α ) Für de Tail Value-at-Risk gilt da it Noralverteilug als Dichtefuktio der Stadard- TVaR σ µ + ϕ( Φ α ) α α ( X) ( ) Seite 6

9 Risikobeurteilug eier Pesioskasse Pla A: Zusage auf Alters-, Ivalide- ud Hiterbliebeerete; der Leistugsaspruch etwickelt sich proportioal zur Diestzeit bei Uterehe (lieares Steigerugssyste). Der Aspruch auf Hiterbliebeeleistuge beträgt 6 % des Aspruchs des Versorgugsberechtigte. Pla B: I Gegesatz zu Pla A wird bei vorzeitige Leistugsfälle Ivalidität ud Tod it Hiterbliebeeversorgug eie Rete gewährt, die sich icht aus de erreichte Aspruch soder durch Zurechugszeit bis zu Pesioierugsalter ergibt. Die beide Pläe uterscheide sich dadurch, dass das riskierte Kapital i Pla B aufgrud der Zurechugszeit deutlich höher ist als i Pla A. Darüber hiaus wird die Azahl der Mitglieder der Hauptgesatheit (Aktive) i beide Fälle eial it. Persoe ud eial it 5.8 Persoe ageoe. Seite 7 Risikobeurteilug eier Pesioskasse Verteilugsfuktio Pla A, 5.8 Aktive % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% % % Pla A, 5.8 Persoe Seite 8

10 Risikobeurteilug eier Pesioskasse Verteilugsfuktio Pla B, 5.8 Aktive % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% % % Pla B, 5.8 Persoe Seite 9 Risikobeurteilug eier Pesioskasse Verteilugsfuktioe i Vergleich,9,8,7,6,5,4,3,2, -6 Mio -4 Mio -2 Mio Mio 2 Mio 4 Mio 6 Mio Pla A, 5.8 Persoe Pla B, 5.8 Persoe Pla B,. Persoe, auf 5.8 Persoe hochgerechet Seite 2

11 Risikobeurteilug eier Pesioskasse Vergleich der Risikoaße ud der Risike Bestad: Pla: Deckugsrückstellug: 5.8 Persoe Pla A 5.8 Persoe Pla B. Persoe Pla B auf 5.8 Persoe hochgerechet Pla B 339 Mio 349 Mio 58 Mio 349 Mio VaR TVaR VaR TVaR VaR TVaR VaR TVaR Mio Mio Mio Mio Mio Mio Mio Mio %,3,4,6,7,3,5,7 3,2 5%,3,5,8,8,4,6 2,2 3,4 %,5,5,2 2,,6,7 3,4 3,9 Seite 2 Hiweise für die Praxis Praktische Frage bei der Awedug Gesate Verteilugsfuktio erforderlich? Recheaufwad Welche Approxiatio ist besser? Gibt es Abschätzuge für die Qualität des (Tail-) Value-at-Risk der Approxiatioe? Seite 22

12 Hiweise für die Praxis Approxiatio durch Poisso- ud Noralverteilug Darstellug der Verteilugsfuktioe,9,8,7,6,5,4,3 Faltug Poisso Noral Erwartugswert,2, Seite 23,99,98,97,96,95,94,93,92,9,9,89 Hiweise für die Praxis Approxiatio durch Poisso- ud Noralverteilug Darstellug der Verteilugsfuktioe Ausschitt für de obere Bereich Faltug Poisso Noral, Seite 24

13 Hiweise für die Praxis Value-at-Risk für verschiedee Sicherheitsiveaus Faltug Poisso Noralverteilug % 95% 97,5% 99% Sicherheitsiveau Seite 25 Hiweise für die Praxis Tail Value-at-Risk für verschiedee Sicherheitsiveaus Faltug Poisso Noralverteilug % 95% 97,5% 99% Sicherheitsiveau Seite 26

14 Zusaefassug Zur Risikobeurteilug ist die (äherugsweise) Bestiug der Gesatschadeverteilug erforderlich Tail Value-at-Risk bezieht de weitere Verlauf der Verteilugsfuktio ei VaR < TVaR Eihaltug eies Sicherheitsiveaus it Hilfe des Value-at- Risk erreichbar Approxiatio durch Noralverteilug ka zu eier Uterschätzug des Risikos führe Seite 27 Dr. Richard Herra HEUBECK AG Lideallee 53 D-5968 Köl (Marieburg) Telefo: + 49 () 22 / Telefax: + 49 () 22 / e-ail: Iteret: R.Herra@heubeck.de Seite 28