3. Einführung in die Statistik

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1 3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : : : ; Zahlewerte, Werte vo Vektore, qualitative Größe B verschiedee Datetype: diskret (kategorial) stetig Nomialdate Ordialdate reelle Operatioe =6= =6=<> =6=<> + = rei qualitativ quatitativ quatitativ ohe Ordug der Werte Werte geordet Werte geordet metrische Skala Beispiele Farbe,Geschlecht, Note, Temperatur, Name Fehlerazahl Gewicht,Umsatz B Ablauf eier statistische Utersuchug: ) Plaug der Utersuchug - Versuchsplaug - Suche ach geeigete Datequelle ) Erhebug (Sammel) vo Date - zufällige Auswahl der Stichprobe, Dateerfassug - Abwäge zwische Koste für Date ud gewüschter Präzisio 3) Aufbereitug der Date (explorative Aalyse) - deskriptive Statistik - Erkee vo Strukture i de Date - Maßzahle, Tabelle, Gra ke 4) Iferezstatistik - Schätzug vo Modellparameter/Modellfuktioe - Ko dezitervalle, Tests 5) Iterpretatio - die Ergebisse i 4) sid zu iterpretiere, Schlussfolgeruge zu ziehe - gra sche Darstellug der Ergebisse i 4) - Abschlussbericht

2 4. Deskriptive Statistik Vorgegebe Date ; : : : ; Variatiosreihe (Ordugsstatistik) () ; () ; : : : ; () mit () () : : : () : Defiitio: Die relative Häu gkeit des Ereigisses Verteilugsfuktio a der Stelle x: x ergibt die empirische F (x) = Azahl der mit x mooto wachsede Treppefuktio mit Sprüge i B Histogramm Wir teile de Grudbereich G des Merkmals i mehrere disjukte Itervalle ei (möglichst gleiche Breite): I ; I ; : : : ; I k ; S k j= I j = G. H j Azahl der Stichprobeelemete im Itervall I j mit Breite Über jedem Itervall I ; : : : ; I k werde Balke der Breite i das Diagramm eigetrage. Die Höhe dieser Balke beträgt: a) die absolute Häu gkeit H j oder b) die relative Häu gkeit h j = H j oder c) relative Häu gkeit Itervallbreite = h j = H j B Stichprobemittel (Mittelwert) Empirischer Media ^m = Geometrisches Mittel ( Empirische Kegröße = (N) mit N = +, falls ugerade, (L) + (L+) mit L =, falls gerade. ~ = p : : :

3 Stichprobevariaz S = =! i Empirische Stadardabweichug v u S = t Variatioskoe ziet Empirische Schiefe: d = V = S 3 S 3 empirisches -Quatil: N ergibt sich durch Aufrude vo auf die ächstgrößere gaze Zahl. ^q = ( (N), we keie gaze Zahl ist, () + (+), we eie gaze Zahl ist. ^q ist Schätzer für das -Quatil der Verteilug. Quartilsabstad: ^q 0:75 ^q 0:5, Box-Whisker-Plot Whisker liks: (), Whisker rechts: () liker Rad Box: ^q 0:5, rechter Rad Box: ^q 0:75, Strich i der Mitte: ^m = ^q 0:5 Plus-Zeiche: Kozetratioskurve - Lorezkurve Werte: a ; : : : ; a N. Die Werte des Merkmalsträgers werde sortiert: a () a () a (3) : : : A = N a i 3

4 sortierte Ateilswerte: v 0 = 0; v i = A i j= a (j) für i = ; : : : ; N kumulierte Gleichateile: u i = i N (i = : : : N) Lorezkurve: Verbide der Pukte (u i ; v i ) Kozetratiosmaßach Gii/Lorez-Müzer = N v i N Lorez äche: Fläche zwische Diagoale ud Lorezkurve. Dieses Kozetratiosmaß gibt das Verhältis vo der Lorez äche ud der größtmögliche Lorez äche N N 0. a. Eifache Aalyse vo Zeitreihe Zeitreihe ; ; : : : ; B Durchschittliche Steigerugsrate pro Zeitabschitt: Idex = =( ), Rate r = ( ) 00% ist die jährliche Steigerugsrate für Zeitraum vom Jahr bis Jahr, d.h. i Jahre. B Gleitede Mittel Zahl k vorgegebe. t k ; : : : ; t+k : B Expoetielles Glätte Zahl (0; ) vorgegebe. häu g beutzte Werte: = 0: : : : 0:3 Progose für das Jahr t + : Gleitmittel zum Zeitpukt t ist der Mittelwert der Werte ~ t = k + t+k i=t k ~ t = ( ) ~ t + t ^ t+ = ( ) ~ t + t 4

5 5. Puktschätzuge Stichprobe ; : : : ; uabhägiger Zufallsgröße hat Verteilugsfuktio F (x). E( ) = ; Var( ) = Satz: Bei N (; ) besitzt eie N (; =)-Verteilug. Ist icht ormalverteilt, da ähert sich asymptotisch (! ) die Verteilug vo eier N (; =)-Verteilug. -Verteilug mit Freiheitsgrade: f(x) = ( = (=) x= x exp( ) für x 0 0 für x < 0: Gammafuktio, (m) = (m )! für m N, asoste Tabelle/Computer Satz: N (; ) =) S besitzt eie -Verteilug. Normalverteilug N (; ) Schätzer für spezielle Verteiluge ^ = = ; ^ = S = ( ) Expoetialverteilug mit Parameter ^ = = Poissoverteilug mit Parameter ^ = = Biomialverteilug mit Parameter p ud vorgegebeem Parameter N ^p = N 5

6 6. Ko dezbereiche Gegebe Stichprobe ; ; : : : ; uabhägiger Zufallsgröße, Mittelwert, S Stichprobevariaz Ko deziveau " = Z ; N (0; ), ud Z uabhägig. Die Zufallsgröße Y = eie t-verteilug mit Freiheitsgrade (, Symbol: Y t ). q Z besitzt da N (; ) Ko dezitervall für de Erwartugswert bei bekater Variaz J = z( =) p ; + z( =) p P ( J) = Ko dezitervall für de Erwartugswert bei ubekater Variaz J = t ( =) S p ; + t ( =) S p P ( J) = Ko dezitervalle für die Variaz ( )S zweiseitig: J = ( =) ; ( )S (=) eiseitig: J = 0; ( )S () P ( J) = Gegebe Ereigis A, P (A) = p, H absolute Häu gkeit des Auftretes vo A i der Stichprobe der Läge. Asymptotisches Ko dezitervall für p J = H + q + q qw ; H + q + q + qw mit W := r H ( H ) + q ; q = z( =); 4 P (p J) 6