8. Regressionsanalyse

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1 8. Regressiosaalyse Beschreibug der Abhägigkeit zweier Merkmale Gegebe eie Stichprobe (X ; Y ) : : : (X ; Y ) zur Grudgesamtheit (X; Y ), = corr(x; Y ) Korrelatioskoe ziet, R empirischer Korrelatioskoe ziet als Schätzer vo : R = X i X (Yi Y ) r P r (X i X) P (Y i Y ) Test auf Ukorreliertheit Hypothese: H 0 : = 0, H : 6= 0 T = R p p R Uter H 0 ist die Testgröße äherugsweise t -verteilt. Testetscheidug: H 0 wird abgeleht, falls jt j > t ( =), aderefalls erfolgt keie Ablehug. Y Zielgröße, Respose, beobachtet a Stelle Y ; : : : ; Y x Regressorvariable, gemesse a Stelle x ; : : : ; x Modell der lieare Eifachregressio: Y i = + + " i (i = : : : ); " ; : : : ; " uabhägige Zufallsgröße, Fehler, Residue ; wahre Parameterwerte Zusatzbediguge: E(" i ) = 0, Var(" i ) = B Schätzug der Regressioskoe ziete ^ = x i Y i P x i P Y i ; ^ = P Y i P x i Y i P

2 B Schätzug der Modellvariaz : ^ = B geschätzte Regressiosfuktio: Y i ^ + ^ ^f(x) = ^ + ^ x Progose - geschätzte Fuktioswerte a de Messstelle: ^Y i = ^ + ^ (i = : : : ) (geschätzte) Residue: ^" i = Y i ^Yi Schätzer für die Variaze vo ^ ud ^ : mit x =. ^v = ^ Korrelatioskoe ziet P x i 0 P = ^ + x C A ( x) x i ^v = ^ P P = ^ x ( i x) x i R = ( x) (Y i Y ) r P r P ( x) (Y i Y ) = ^ S x S Y R ahe bei 0 bedeutet das Vorliege eies schwache oder keies Zusammehages R ahe bei bzw. bedeutet das Vorliege eies starke Zusammehages R = deutet auf eie proportioale Zusammehag hi (steigede Regressiosgerade). R = deutet auf eie egativ proportioale Zusammehag hi (fallede Regressiosgerade). Bestimmtheitsmaß B = R = ^" i (Y i Y )

3 Sigi kaztests Voraussetzug, dass " i im Modell ormalverteilt: " i N (0; ) () Test auf Nichtvorhadesei eier Kostate Hypothese H 0 : = 0, H : 6= 0 T = ^ p^v Testetscheidug: H 0 wird abgeleht, falls jt j > t ( =), aderefalls wird H 0 icht abgeleht. () Test auf Uabhägigkeit vo Regressor x ud Zielgröße Y Hypothese H 0 : = 0, H : 6= 0 T = ^ p^v Testetscheidug: H 0 wird abgeleht, falls jt j > t ( =), aderefalls wird H 0 icht abgeleht. I Realisierug der Testetscheidug auf dem Computer: ^ geschätztes Sigi kaziveau bzw. p-wert Ist ^ <, da wird H 0 abgeleht. Ist ^, da wird H 0 icht abgeleht. Ko dezitervalle Ko deziveau " = Ko dezitervall für Parameter j J = h^j p^vj t ( =); ^ j + p^v j t ( =)i für j = ; Iterpretatio Ko dezitervall: P ( j J) = " Ko dezitervall für Regressiosfuktio f(x) = 0 + x a der Stelle x: J = h^ + ^ x qt ( =); ^ + ^ x + qt ( =)i wobei 3

4 q = q = v P x i x + x u t^ P P x i v 0 u t^ B (x + C A ; ( x) x = Iterpretatio Ko dezitervall: P (f(x) J) = " Mehrfachregressio Y Zielgröße, Respose, beobachtet a Stelle Y ; : : : ; Y x ; : : : ; x k Regressorvariable, die Variable wird gemesse a de Stelle ; : : : ; (i = ; : : : ; k) ichtzufällig Modell der lieare Regressio: Y i = + + : : : + k k + " i (i = : : : ); " ; : : : ; " uabhägige Zufallsgröße, Fehler, Residue ; : : : ; k wahre Parameterwerte, sid zu schätze Zusatzbediguge: E(" i ) = 0, Var(" i ) = Modellvariaz B Schätzug der Regressioskoe ziete ach der Methode der kleiste Quadrate: (Y i ( + + : : : + k k ))! mi bez. ; : : : ; k ergibt Schätzer ^ ; ^ ; : : : ; ^ k Schätzug der Modellvariaz ^ = k Y i ^ + ^ + : : : + ^ k k ; geschätzte Regressiosfuktio: ^f(x ; : : : ; x k ) = ^ + ^ x + : : : + ^ k x k vorhergesagte Werte für die Zielgröße: ^Yi = ^ + ^ + : : : + ^ k k 4

5 Maßfür die Güte der Apassug des Modells a die Date: Bestimmtheitsmaß wobei R multipler Korrelatioskoe ziet, B = R = SQE SQT SQT = SQE = (Y i Y ) ( ^Y i Y ) Gesamtquadratsumme durch die Regressio erklärte Quadratsumme Y = B = () R = bedeutet perfekte Apassug der Date durch das Modell, ^" i = 0 B = 0 () R = 0 bedeutet, dass Zielgröße icht liear vo de Regressore abhägt. Y i Sigi kaztests: im weitere Voraussetzug: " i N (0; ) Sigi kaziveau 8i () Test, ob die Zielgröße Y vo keiem Regressor abhägt Hypothese H 0 : = = : : : = k = 0; H : j 6= 0 für ei j T = k SQE k SQR mit SQR = (Y i ^Yi ) Testetscheidug: H 0 wird abgeleht, falls T > F k; k ( ), aderefalls wird H 0 abgeleht. meist als Tabelle der Variazaalyse im Computerprotokoll () Test auf Uabhägigkeit der Zielgröße Y vom Regressor x j Hypothese H 0 : j = 0; H : j 6= 0 T = ^ j ^ p c j c j ist das j-te Hauptdiagoalelemet vo (X > X). Uter H 0 besitzt T eie t k Verteilug. Testetscheidug: H 0 wird abgeleht, falls jt j > t k ( =), aderefalls wird H 0 abgeleht. 5

6 Ko dezitervalle Ko deziveau " = Ko dezitervall für Parameter j J = h^j ^ p c j t k ( =); ^ j + ^ p c j t k ( =)i für j = 0; : : : ; k Iterpretatio Ko dezitervall: P ( j J) = " 6

7 9. Kotigeztafel Stichprobe (X ; Y ) : : : (X ; Y ) zur Grudgesamtheit (X; Y ). Zu utersuche ist die Abhägigkeit vo X ud Y. Zufallsgröße X immt Werte ; ; : : : ; k a, Zufallsgröße Y immt Werte ; ; : : : ; l a. Die i-te Zeile der Kotigeztafel bedeutet das Ereigis X = i, die j-te Spalte das Ereigis Y = j. ij stellt die absolute Häu gkeit des Ereigisses X = i ud Y = j dar, i: die abolute Häu gkeit des Ereigisses X = i, :j die absolute Häu gkeit des Ereigisses Y = j. Kotigeztafel X Y : : : l Summe :j = : : : l : : : : l :... k k k : : : kl k: Summe : : : : : :l kx ij ; j: = ij ist also absolute Häu gkeit zu p ij, Die relative Häu gkeit i: die relative Häu gkeit :j die relative Häu gkeit ij Der -Uabhägigkeitstest lx ji ;. kx i: = lx :i = ist ei Schätzer für p i: = P (X = i), ist ei Schätzer für p :j = P (Y = j), ist ei Schätzer für p ij = P (X = i; Y = j). Hypothese: H 0 : X ud Y sid uabhägig, Sigi kaziveau T = kx lx j= ij i: :j Uter H 0 ist die Testgröße asymptotisch (k )(l ) -verteilt. Testetscheidug: Falls T > (k )(l ) ( ), wird die Hypothese der Uabhägigkeit abgeleht, aderefalls icht.! Cramérs V s T V = (c ) 7

8 0. Idexzahle B Preisidizes Wir betrachte eie Warekorb, der aus N verschiedee Güter besteht. Zum Zeitpukt 0 bzw. i der Basisperiode betrage die Preise p 0 ; p 0 ; : : : ; p 0N, zum Zeitpukt t bzw. i der Berichtsperiode betrage die Preise p t ; p t ; : : : ; p tn : achgefragte/verkaufte Mege der Güter zum Zeitpukt 0/Basisperiode q 0 ; q 0 ; : : : ; q 0N ; zum Zeitpukt t/berichtsperiode q t ; q t ; : : : ; q tn : (a) Laspeyres-Preisidex: (b) Paasche-Preisidex: B Megeidizes (a) Laspeyres-Megeidex: P (L) t = P (P ) t = Q (L) t = p ti q 0i p 0i q 0i p ti q ti p 0i q ti q ti p 0i q 0i p 0i (b) Paasche-Megeidex: B Wertidex/Umsatzidex U t = Q (P ) t = q ti p ti q 0i p ti p ti q ti p 0i q 0i 8