Gütefunktion und Fehlerwahrscheinlichkeiten Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Signifikanzniveau α = Interpretation von Testergebnissen I

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1 6 Hypothesetests Gauß-Test für de Mittelwert bei bekater Variaz 6.3 Gütefuktio ud Fehlerwahrscheilichkeite Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Sigifikaziveau α = Hypothesetests Gauß-Test für de Mittelwert bei bekater Variaz 6.3 Gütefuktio ud Fehlerwahrscheilichkeite Liksseitiger Test (µ 0 = 500) zum Sigifikaziveau α = α = 5 W'keit 'korrekt' W'keit 'falsch' H H α H 1 H 0 = 5 W'keit 'korrekt' W'keit 'falsch' µ µ µ µ Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 11 Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 1 6 Hypothesetests Iterpretatio vo Testergebisse 6.4 Iterpretatio vo Testergebisse I Durch die Asymmetrie i de Fehlerwahrscheilichkeite 1. ud. Art ist Vorsicht bei Iterpretatio vo Testergebisse gebote! Es besteht ei großer Uterschied zwische dem Aussagegehalt eier Ablehug vo H 0 ud dem Aussagegehalt eier Aahme vo H 0 : Fällt die Testetscheidug gege H0 aus, so hat ma sollte H 0 tatsächlich erfüllt sei wege der Beschräkug der Fehlerwahrscheilichkeit 1. Art durch das Sigifikaziveau α ur mit eier typischerweise gerige Wahrscheilichkeit α eie Stichproberealisatio erhalte, die fälschlicherweise zur Ablehug vo H 0 geführt hat. Aber: Vorsicht vor Über iterpretatio als Evidez für Gültigkeit vo H 1: Aussage der Form We H 0 abgeleht wird, da gilt H 1 mit Wahrscheilichkeit vo midestes 1 α sid usiig! Fällt die Testetscheidug jedoch für H0 aus, so ist dies ei vergleichsweise meist schwächeres Idiz für die Gültigkeit vo H 0, da die Fehlerwahrscheilichkeit. Art icht kotrolliert ist ud typischerweise große Werte (bis 1 α) aehme ka. Gilt also tatsächlich H 1, ist es deoch mit eier sehr große Wahrscheilichkeit möglich, eie Stichproberealisatio zu erhalte, die fälschlicherweise icht zur Ablehug vo H 0 führt. Aus diesem Grud sagt ma auch häufig statt H 0 wird ageomme eher H 0 ka icht verworfe werde. Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 13 6 Hypothesetests Iterpretatio vo Testergebisse 6.4 Iterpretatio vo Testergebisse II Die Ablehug vo H 0 als Ergebis eies statistische Tests wird häufig als sigifikate Veräderug (zweiseitiger Test), sigifikate Verrigerug (liksseitiger Test) oder sigifikate Erhöhug (rechtsseitiger Test) eier Größe bezeichet. Kostruktiosbedigt ka das Ergebis eier statistische Utersuchug auch im Fall eier Ablehug vo H 0 aber iemals als zweifelsfreier Beweis für die Veräderug/Verrigerug/Erhöhug eier Größe diee! Weiteres Problem: Aussage über die Fehlerwahrscheilichkeite 1. ud. Art gelte ur perfekt, we alle Voraussetzuge erfüllt sid, also we Verteilugsaahme erfüllt sid (Vorsicht bei approimative Tests) ud tatsächlich eie eifache Stichprobe vorliegt! Vorsicht vor Publicatio Bias : Bei eiem Sigifikaziveau vo α = 0.05 resultiert im Mittel 1 vo 0 statistische Utersuchuge, bei dee H 0 wahr ist, kostruktiosbedigt i eier Ablehug vo H 0. Gefahr vo Fehliterpretatioe, we die Utersuchuge, bei dee H0 icht verworfe wurde, verschwiege bzw. icht publiziert werde! Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 14

2 6 Hypothesetests Iterpretatio vo Testergebisse 6.4 Iterpretatio vo Testergebisse III sigifikat vs. deutlich Ei sigifikater Uterschied ist och lage kei deutlicher Uterschied! Problem: Fluch des große Stichprobeumfags Beispiel: Abfüllmaschie soll Flasche mit 1000 ml Ihalt abfülle. Abfüllmege schwakt zufällig, Verteilug sei Normalverteilug mit bekater Stadardabweichug = 0.5 ml, d.h. i ca. 95% der Fälle liegt Abfüllmege im Bereich ±1 ml um de (tatsächliche) Mittelwert. Statistischer Test zum Niveau α = 0.05 zur Überprüfug, ob mittlere Abfüllmege (Erwartugswert) vo 1000 ml abweicht. Tatsächlicher Mittelwert sei ml, Test auf Grudlage vo 500 Flasche. Wahrscheilichkeit, die Abweichug vo 0.1 ml zu erkee (Berechug mit Gütefuktio, siehe Folie 103): 99.4% Systematische Abweichug der Abfüllmege vo 0.1 ml zwar mit hoher Wahrscheilichkeit (99.4%) sigifikat, im Vergleich zur (ohehi vorhadee) zufällige Schwakug mit = 0.5 ml aber keiesfalls deutlich! Fazit: Durch wisseschaftliche Studie belegte sigifikate Verbesseruge köe verachlässigbar klei sei ( Werbug...) Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 15 6 Hypothesetests Teste mit p-wert 6.5 Der p-wert Hypothesetests komprimiere Stichprobeiformatio zur Etscheidug zwische H 0 ud H 1 zu eiem vorgegebee Sigifikaziveau α. Testetscheidug hägt vo α ausschließlich über kritische Bereich K ab! Geauere Betrachtug offebart: Abhägigkeit zwische α ud K ist mooto im Sie der Teilmegebeziehug. Gilt α < α ud bezeiche K α ud K α die zugehörige kritische Bereiche, so gilt für alle bisher betrachtete Gauß-Tests K α K α. Umittelbare Folge ist, dass Ablehug vo H0 zum Sigifikaziveau α mit α < α automatisch eie Ablehug vo H 0 zum Niveau α zur Folge hat (auf Basis derselbe Stichprobeiformatio)! Außerdem wird Kα für α 0 beliebig klei ud für α 1 beliebig groß, so dass ma für jede Realisatio T der Teststatistik sowohl Sigifikaziveaus α mit T K α wähle ka, als auch solche mit T / K α. Zusammefassed ka ma also zu jeder Realisatio T der Teststatistik das kleiste Sigifikaziveau α mit T K α bestimme (bzw. das größte Sigifikaziveau α mit T / K α ). Dieses Sigifikaziveau heißt p-wert oder empirisches (margiales) Sigifikaziveau. Mit der Iformatio des p-werts ka der Test also für jedes beliebige Sigifikaziveau α etschiede werde! Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 16 6 Hypothesetests Teste mit p-wert 6.5 p-wert bei Gauß-Tests auf de Mittelwert bei bekater Variaz 6 Hypothesetests Teste mit p-wert 6.5 Beispiel: p-werte bei rechtsseitigem Gauß-Test (Grafik) Realisierte Teststatistik N = 1.6, p-wert: Der Wechsel zwische N K α ud N / K α fidet bei de diskutierte Gauß-Tests offesichtlich dort statt, wo die realisierte Teststatistik N gerade mit (eier) der Greze() des kritische Bereichs übereistimmt, d.h. bei rechtsseitige Tests mit Kα = (N 1 α für N = N 1 α, bei liksseitige Tests mit Kα = (, N 1 α) für N = N 1 α, bei zweiseitige Tests mit Kα = (, N 1 α ) (N 1 α für N = { N1 α falls N < 0 N 1 α falls N 0 Durch Auflöse ach α erhält ma für rechtsseitige Tests de p-wert 1 Φ(N), für liksseitige Tests de p-wert Φ(N), für zweiseitige Tests de p-wert Φ(N) = (1 Φ( N)) falls N < 0 (1 Φ(N)) falls N 0 sowie die alterative Darstellug mi{φ(n), 1 Φ(N)}.. } = (1 Φ( N )) f N(0, 1) () p = p = N 0.85N = 1.6 N 0.99 Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 17 Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 18

3 6 Hypothesetests Teste mit p-wert 6.5 Beispiel: p-werte bei zweiseitigem Gauß-Test (Grafik) Realisierte Teststatistik N = 1.8, p-wert: f N(0, 1) () p 1 p = = p = N N = 1.8 N 0.85 N 0.85 N Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 19 6 Hypothesetests Teste mit p-wert 6.5 Etscheidug mit p-wert Offesichtlich erhält ma auf der Grudlage des p-werts p zur beobachtete Stichproberealisatio die eifache Etscheidugsregel H 0 ablehe p < α für Hypothesetests zum Sigifikaziveau α. Sehr iedrige p-werte bedeute also, dass ma beim zugehörige Hypothesetest H 0 auch da ablehe würde, we ma die maimale Fehlerwahrscheilichkeit 1. Art sehr klei wähle würde. Kleiere p-werte liefer also stärkere Idizie für die Gültigkeit vo H 1 als größere, aber (wieder) Vorsicht vor Überiterpretatio: Aussage der Art Der p-wert gibt die Wahrscheilichkeit für die Gültigkeit vo H 0 a sid usiig! Warug! Bei der Etscheidug vo statistische Tests mit Hilfe des p-werts ist es ubedigt erforderlich, das Sigifikaziveau α vor Berechug des p-werts festzulege, um icht der Versuchug zu erliege, α im Nachhiei so zu wähle, dass ma die bevorzugte Testetscheidug erhält! Schließede Statistik (WS 013/14) Folie Hypothesetests Tests ud Kofidezitervalle 6.6 Tests ud Kofidezitervalle Eger Zusammehag zwische zweiseitigem Gauß-Test ud (symmetrische) Kofidezitervalle für de Erwartugswert bei bekater Variaz. Für Kofidezitervalle zur Vertraueswahrscheilichkeit 1 α gilt: [ µ X N 1 α, X + ] N 1 α [ µ X ] N 1 α, N 1 α µ X X µ [ N1 α, N ] 1 α [ N1 α, N ] 1 α Damit ist µ also geau da im Kofidezitervall zur Sicherheitswahrscheilichkeit 1 α ethalte, we ei zweiseitiger Gauß-Test zum Sigifikaziveau α die Nullhypothese H 0 : µ = µ icht verwerfe würde. Vergleichbarer Zusammehag auch i adere Situatioe. Schließede Statistik (WS 013/14) Folie Tests für Mittelwert ud Variaz Gauß-Test für de Mittelwert 7.1 Zusammefassug: Gauß-Test für de Mittelwert bei bekater Variaz Awedugsvoraussetzuge eakt: Y N(µ, ) mit µ R ubekat, bekat approimativ: E(Y ) = µ R ubekat, Var(Y ) = bekat X 1,..., X eifache Stichprobe zu Y Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 Gegehypothese H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 Teststatistik N = X µ0 Verteilug (H 0) Beötigte Größe X = 1 N für µ = µ 0 (äherugsweise) N(0, 1)-verteilt Kritischer Bereich (, N 1 α ) (N 1 α (, N 1 α) zum Niveau α (N 1 α p-wert (1 Φ( N )) 1 Φ(N) Φ(N) Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 13

4 7 Tests für Mittelwert ud Variaz Gauß-Test für Ateilswert p 7. Approimativer Gauß-Test für Ateilswert p Wichtiger Spezialfall des (approimative) Gauß-Tests für de Mittelwert eier Zufallsvariable mit bekater Variaz: Approimativer Gauß-Test für de Ateilswert p eier alterativverteilte Zufallsvariable Erierug: Für alterativverteilte Zufallsvariable Y B(1, p) war Kofidezitervall für Ateilswert p ei Spezialfall für Kofidezitervalle für Mittelwerte vo Zufallsvariable mit ubekater Variaz. Aber: Bei der Kostruktio vo Tests für H 0 : p = p 0 gege H 1 : p p 0 für ei vorgegebees p 0 (sowie de eiseitige Variate) spielt Verteilug der Teststatistik uter H 0, isbesodere für p = p 0, etscheidede Rolle. Da Variaz für p = p 0 bekat approimativer Gauß-Test geeiget. Für p = p 0 gilt geauer Var(Y ) = Var( ) = p 0 (1 p 0 ) ud damit Var( p) = Var ( 1 ) = 1 Var(Y ) = p 0 (1 p 0 ). 7 Tests für Mittelwert ud Variaz Gauß-Test für Ateilswert p 7. Zusammefassug: (Appro.) Gauß-Test für Ateilswert p Awedugsvoraussetzuge approimativ: Y B(1, p) mit p [0, 1] ubekat X 1,..., X eifache Stichprobe zu Y Nullhypothese H 0 : p = p 0 H 0 : p p 0 H 0 : p p 0 Gegehypothese H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 Teststatistik N = Verteilug (H 0) Beötigte Größe p = 1 p p 0 p0 (1 p 0) N für p = p 0 äherugsweise N(0, 1)-verteilt Kritischer Bereich (, N 1 α ) (N 1 α (, N 1 α) zum Niveau α (N 1 α p-wert (1 Φ( N )) 1 Φ(N) Φ(N) Als Testgröße erhält ma also: N = p p 0 p0 (1 p 0 ) Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 133 Schließede Statistik (WS 013/14) Folie Tests für Mittelwert ud Variaz Gauß-Test für Ateilswert p 7. Beispiel: Bekatheitsgrad eies Produkts Utersuchugsgegestad: Hat sich der Bekatheitsgrad eies Produkts gegeüber bisherigem Bekatheitsgrad vo 80% reduziert, achdem die Ausgabe für Werbemaßahme vor eiiger Zeit drastisch gekürzt wurde? Aahme: Ketis des Produkts wird durch Y B(1, p) beschriebe, wobei p als Bekatheitsgrad des Produkts aufgefasst werde ka. Stichprobeiformatio aus Realisatio eifacher Stichprobe (!) zu Y : Uter = 500 befragte Persoe kate 381 das Produkt p = Gewüschtes Sigifikaziveau (ma. Fehlerwahrscheilichkeit 1. Art): α = 0.05 Geeigeter Test: (Appro.) liksseitiger Gauß-Test für de Ateilswert p 1 Hypothese: H 0 : p p 0 = 0.8 gege H 1 : p < p 0 = 0.8 Teststatistik: N = p p0 N(0, 1), falls H0 gilt (p = p 0 ) p0 (1 p 0) 3 Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.05: K = (, N 0.95 ) = (, 1.645) 4 Realisierter Wert der Teststatistik: N = = (1 0.8) 5 Etscheidug: N K H 0 wird abgeleht, der Bekatheitsgrad des Produkts hat sich sigifikat reduziert. Schließede Statistik (WS 013/14) Folie Tests für Mittelwert ud Variaz t-test für de Mittelwert 7.3 t-test für de Mittelwert bei ubekater Variaz Kostruktio des (eakte) Gauß-Tests für de Mittelwert bei bekater Variaz durch Verteilugsaussage N := X µ N(0, 1), falls X 1,..., X eifache Stichprobe zu ormalverteilter ZV Y. Aalog zur Kostruktio vo Kofidezitervalle für de Mittelwert bei ubekater Variaz: Verwedug der Verteilugsaussage t := X µ 1 t( 1) mit S = S 1 ( X ), falls X 1,..., X eifache Stichprobe zu ormalverteilter ZV Y, um geeigete Hypothesetest für de Mittelwert µ zu etwickel. Test lässt sich geauso wie Gauß-Test herleite, lediglich Verwedug vo S statt, Verwedug vo t( 1) statt N(0, 1). Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 136

5 7 Tests für Mittelwert ud Variaz t-test für de Mittelwert 7.3 Beziehug zwische symmetrische Kofidezitervalle ud zweiseitige Tests bleibt wie beim Gauß-Test erhalte. Wege Symmetrie der t( 1)-Verteilug bleibe auch alle etsprechede Vereifachuge bei der Bestimmug vo kritische Bereiche ud p-werte gültig. p-werte köe mit Hilfe der Verteilugsfuktio der t( 1)-Verteilug bestimmt werde (uproblematisch mit Statistik-Software). Zur Berechug der Gütefuktio: Verteilugsfuktio der ichtzetrale t( 1)-Verteilug beötigt (uproblematisch mit Statistik-Software). Zur Berechug vo p-werte ud Gütefuktioswerte für große : Näherug der t( 1)-Verteilug durch Stadardormalverteilug bzw. der ichtzetrale t( 1)-Verteilug durch Normalverteilug mit Variaz 1 (vgl. Gauß-Test) möglich. Aalog zu Kofidezitervalle: Ist Y icht ormalverteilt, ka der t-test auf de Mittelwert bei ubekater Variaz immer och als approimativer (äherugsweiser) Test verwedet werde. Schließede Statistik (WS 013/14) Folie Tests für Mittelwert ud Variaz t-test für de Mittelwert 7.3 Zusammefassug: t-test für de Mittelwert bei ubekater Variaz Awedugsvoraussetzuge eakt: Y N(µ, ) mit µ R, R ++ ubekat approimativ: E(Y ) = µ R, Var(Y ) = R ++ ubekat X 1,..., X eifache Stichprobe zu Y Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 Gegehypothese H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 Teststatistik t = X µ0 S Verteilug (H 0) Beötigte Größe t für µ = µ 0 (äherugsweise) t( 1)-verteilt X = 1 S = 1 ( ) ( X ) 1 = 1 Xi X 1 Kritischer Bereich (, t 1;1 α ) (t 1;1 α (, t 1;1 α) zum Niveau α (t 1;1 α p-wert (1 F t( 1) ( t )) 1 F t( 1) (t) F t( 1) (t) Schließede Statistik (WS 013/14) Folie Tests für Mittelwert ud Variaz t-test für de Mittelwert 7.3 Beispiel: Durchschittliche Wohfläche Utersuchugsgegestad: Hat sich die durchschittliche Wohfläche pro Haushalt i eier bestimmte Stadt gegeüber dem aus dem Jahr 1998 stammede Wert vo 71. (i [m ]) erhöht? Aahme: Verteilug der Wohfläche Y im Jahr 009 ubekat. Stichprobeiformatio: Realisatio eier eifache Stichprobe vom Umfag = 400 zu Y liefert Stichprobemittel = ud Stichprobestadardabweichug s = Gewüschtes Sigifikaziveau (ma. Fehlerwahrscheilichkeit 1. Art): α = 0.05 Geeigeter Test: Rechtsseitiger appro. t-test für de Mittelwert bei ubekater Variaz 1 Hypothese: H 0 : µ µ 0 = 71. gege H 1 : µ > µ 0 = 71. Teststatistik: t = X µ0 S t(399), falls H0 gilt (µ = µ 0 ) 3 Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.05: K = (t 399;0.95 = ( Realisierter Wert der Teststatistik: t = = Etscheidug: t K H 0 wird abgeleht; Test kommt zur Etscheidug, dass sich durchschittliche Wohfläche gegeüber 1998 erhöht hat. Schließede Statistik (WS 013/14) Folie Tests für Mittelwert ud Variaz t-test für de Mittelwert 7.3 Beispiel: p-wert bei rechtsseitigem t-test (Grafik) Wohflächebeispiel, realisierte Teststatistik t = 1.858, p-wert: 0.03 f t(399) () p = p = 0.03 t 399, 0.8 t = t 399, Schließede Statistik (WS 013/14) Folie 140