Teil II Zählstatistik

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1 Teil II Zählstatistik. Aufgabestellug. Vergleiche Sie experimetelle Zählverteiluge mit statistische Modelle (POISSON-Verteilug ud Normalverteilug) 2. Theoretische Grudlage Stichworte zur Vorbereitug: Impulszahl, Zählrate, Biomialverteilug, POISSON -Verteilug, Normalverteilug, Erwartugswert, Mittelwert, Stadardabweichug, absoluter Fehler, relativer Fehler Literatur: W. Walcher Praktikum der Physik, Kap. 6.4, 4.2 Teuber-Verlag 989 V. Schuricht, J. Steuer Praktikum der Strahleschutzphysik Kap..2., Verlag der Wisseschafte, 983 W. Stolz Radioaktivität, Kap. 2.5, Teuber-Verlag 990 W. H. Gräicher Messug beedet was u? Teuber-Verlag994 Ala M. Portis Berkeley, Physik Kurs 6 Physik ud Experimet Verlag Vieweg & Soh, Brauschweig J. Becker, H.J. Jodl Physikalisches Praktikum für Naturwisseschaftler ud Igeieure VDI-Verlag 99 37

2 2. Statistische Modelle Die Umwadlug radioaktiver Atomkere ist als Zufallsphäome statistische Gesetze uterworfe. Ma ka icht mit Sicherheit sage, wa sich ei Atomker umwadelt. Bekat ist ur die Wahrscheilichkeit, mit der das Umwadlugsergebis ierhalb eies vorgegebee Zeititervalls eitritt. Bei der Beobachtug radioaktiver Umwadlugsprozesse sid daher statistische Schwakuge zu erwarte. Die Wahrscheilichkeit, dass i eiem Zeititervall t, das klei gege die Halbwertzeit T /2 ist, Kerumwadluge (Zählimpulse) auftrete, wird mit eier bestimmte Verteilugsfuktio beschriebe, aus der sich die mittlere Zahl der Kerumwadluge ud dere Schwakuge bereche lasse. 2.. Biomialverteilug Bezeichet p die Wahrscheilichkeit dafür, dass bei eiem Eizelversuch ei bestimmtes Ereigis eitritt, so ist -p die Wahrscheilichkeit für das Nichteitrete. Die Wahrscheilichkeit P(), dass bei N voeiader uabhägige Versuche das Ereigis -mal eitritt, ist da durch die Biomialverteilug P ( ) N! p!! ( N ) N ( p) gegebe. Sie ist für gazzahlige Werte 0,,2,...,N defiiert. Für eie sehr große Zahl vo Ereigisse N lasse sich aus der Biomialverteilug zwei Grezfälle, die POISSON- ud die GAUSS-Verteilug ableite. () 2..2 POISSON Verteilug Im. Grezfall soll p"n< gelte, da N sehr groß ist, muss p relativ klei sei (z.b. Nulleffekt, d.h. die Ereigisse müsse relativ selte sid). Die POISSON-Verteilug (Gl. 2) ist somit die Grezverteilug der Biomialverteilug (Gl. ) für N ud p 0. Sie beschreibt die Verteilug selteer Ereigisse, die mit eier gerige Wahrscheilichkeit auftrete. µ P ( ) e! µ. (2) Sie gibt i userem spezielle Fall die Wahrscheilichkeit a, mit der i eier bestimmte Zeit t Zählereigisse registriert werde. Die Größe µ (Erwar 38

3 tugswert für N ) etspricht dabei der mittlere Zahl (Mittelwert) der Kerumwadluge (Zählereigisse) i der Zeit t. Währed µ eie gaze oder gebrochee Zahl sei ka, darf grudsätzlich ur gazzahlige Werte aehme. Aus Abb. ist ersichtlich, dass die POISSON Verteilug isbesodere für kleie µ usymmetrisch ist. Mit wachsedem µ äher sich die Maxima dem Mittelwert ud die Verteiluge werde mehr ud mehr symmetrisch. 0,4 P() 0,3 0,2 0, µ µ2 µ4 µ8 µ Abb. : POISSON -Verteilug für verschiedee Erwartugswerte µ Die statistische Schwakug oder Stadardabweichug σ eier Wahrscheilichkeitsverteilug ist defiiert als σ 2 P ( ) ( µ ). (3) Für de spezielle Fall der POISSON-Verteilug ergibt sich σ 2 µ bzw. σ µ. (4) Die POISSON -Verteilug ist zur Iterpretatio der Beobachtugsergebisse radioaktiver Umwadlugsereigisse geeiget. 39

4 2..3 GAUSS-Verteilug (Normalverteilug) Der 2. Grezfall der Biomialverteilug berücksichtigt das Auftrete relativ großer Wahrscheilichkeite (z.b. p0,5). Damit wird NApo. Uter dieser Bedigug geht die Biomialverteilug i die GAUSS-Verteilug (Normalverteilug) (Gl. 5) über. ( µ ) ( µ ) σ P e. (5) Bei der Normalverteilug (Gl. 5) trete im Gegesatz zur POISSON-Verteilug (Gl. 2) zwei uabhägige Parameter auf (µ ud σ). Beim Übergag vo der 2π POISSON- zur Normalverteilug muss die Stadardabweichug erhalte bleibe. Damit wird aus der zweiparametrige Verteilug (Gl. 5) die eiparametrige Verteilug ( ) σ ( µ ) 2 2 µ P e. 2π µ Sie gibt die Wahrscheilichkeit für das Auftrete eier Abweichug vom wahre Wert µ a ud gilt ur für große Werte µ ud Werte vo i der Nähe vo µ. Im Gegesatz zur POISSON-Verteilug ist sie, als Kurve (Abb. 2) dargestellt, symmetrisch zum Mittelwert µ, d.h., es trete gleich große positive ud egative Abweichuge vom Mittelwert mit gleicher Wahrscheilichkeit auf. Die Wedepukte der Kurve liege im Abstad ± σ vo µ. σ µ P(- µ ) 68,3% 95,5% -3σ -2 σ - σ 0 + σ +2 σ +3σ -µ Abb. 2: GAUSS-Verteilug P P ( µ ) 40

5 Je ach Größe vo σ ist die GAUSS-Kurve steiler oder flacher. Bei eiem Mittelwert µ 50 lässt sich die POISSON-Verteilug stets mit hireicheder Geauigkeit durch die GAUSS-Verteilug ersetze (Abb. 3). 0,4 0,3 µ P()bzw.P(- µ ) 0,2 0, µ Abb. 3: Vergleich der POISSON-Vereilug mit der GAUSS-Verteilug für die Erwartugswerte ud µ ud µ0 POISSON-Verteilug GAUSS-Verteilug Der Abb. 2 ist zu etehme, dass bei der GAUSS-Verteilug mit eier bestimmte Wahrscheilichkeit auch Werte auftrete, die eie größere Abweichug vo µ zeige, als es die Stadardabweichug agibt. Die Wahrscheilichkeit, dass bei eier eizele Beobachtug der Messwert (die Impulszahl) ierhalb des Bereiches ( ± σ) µ liegt, beträgt 0,683 oder, i Prozet ausgedrückt, 68,3%. 4

6 Mit eier Wahrscheilichkeit vo 3,7% liegt der Wert außerhalb dieses Itervalls. Etsprechede Berechuge zeige, dass das Ergebis eier Eizelmessug mit eier Wahrscheilichkeit vo 95,5% i de Bereich ( ± σ) eier Wahrscheilichkeit vo 99,7% im de Bereich ( µ ± 3 σ) fällt. µ 2 ud mit Damit gleichbedeuted ist die Agabe des prozetuale Ateils aller Messwerte, die ierhalb gewisser Greze liege: ( µ ± 6745σ) ( ± σ) 0, 50% µ 68,3% (σ-regel), (6) ( ± σ) µ 2 95,5% (2σ-Regel), ( ± σ) µ 3 99,7% (3σ-Regel). Die Größe µ ud σ gelte ur für die reie statistische Verteilug eier uedlich große Zahl vo Messwerte. Für die praktische Auswertug vo Messergebisse werde deshalb Näheruge verwedet. Die beste Aäherug a µ ist der arithmetische Mittelwert aus i-messuge, 2,... i : i i k k. (7) Ei brauchbarer Näherugswert für σ ist die experimetelle Stadardabweichug (mittlerer Fehler der Eizelmessug) oder mittlere quadratische Abweichug s i i ( i ) k die bei der Beurteilug radioaktiver Zählereigisse i σ µ s (9) übergeht. Für i geht µ. 2 (8) 3. Versuchsdurchführug Mittels eies Detektors werde Zählimpulse eies α-strahlers über das uiverselle Messwerterfassugssystem Cassy registriert. Durch Abstadsvariatio 42

7 zwische Detektors ud Präparat werde verschiedee mittlere Zählrate eigestellt ud die statistische Verteilug der Zählimpulse aufgeomme. 3. Zeige Sie qualitativ de Übergag vo der POISSON-Verteilug zur Normalverteilug. Nehme Sie 4 Messdiagramme auf:. 2. s 50 s s 4. Nulleffekt 3.2 Bereche Sie für 2. bis 4. die theoretische Werte über die POISSON - ud die Normalverteilug. Trage Sie die POISSON - die Normal - ud die experimetelle Werte i ei Diagramm ei. Welche Schlussfolgerug köe Sie ableite? 3.3 Bereche Sie für µ 50 die POISSON- ud Normalwerte für die Impulszahle 30+x 5 (x0,...7,8). Trage Sie die Werte i ei Diagramm ei. Diskutiere Sie die erhaltee Grafik! 3.4 Überprüfe Sie uter Verwedug vo Wahrscheilichkeitspapier ob für 3.. eie Normalverteilug (statistische Reiheit) vorliegt. Der eifachste Nachweis, dass registrierte Impulse eier Normalverteilug geüge, ka grafisch mit Hilfe vo Wahrscheilichkeitspapier erbracht werde. Auf der liear geteilte Abszisse werde die Zählimpulse ud auf die Ordiate die Summehäufigkeit i % aufgetrage. Für eie (theoretische) Normalverteilug ergibt sich eie Gerade die durch die i Tabelle agegebee Pukte verläuft. 43

8 Pukt Zählimpulse µ µ µ µ + µ µ 2 µ µ + 2 µ / % 50 5,9 84, 2,3 97,7 Tabelle : Theoretische Summehäufigkeit für markate Pukte der Normal- Verteilug Zwische de durch die Pukte 2 ud 3 (Wedepukte der Glockekurve ) gegebee Greze liege im Mittel 68% der Messpukte, d.h. die Wahrscheilichkeit (was oft i der Literatur auch als statistische Sicherheit, Vertrauesiveau bezeichet wird), dass eie Eizelmessug ierhalb dieser Greze liegt, beträgt 68%. Aalog beträt die statistische Sicherheit zwische de Pukte 4 ud 5 ca. 95%. Da aus eier edliche Azahl vo Messuge ermittelt wird, ist die Stadardabweichug selbst mit eiem mittlere relative Fehler vo ± 00 2 % (0) behaftet. Bei 00 Messuge (d. h. 00) ergibt sich also / 7,%. () ud Werde zur Kostruktio der Gerade die beide Pukte ( 2 ; 2, 3% ) ( 2 ; 97, 7% ) + verwedet, so ist zu beachte, dass dere Abszisse deshalb ur auf ϑ ± 2 2 (2) d.h. 7,% vo 2 ermittelte Verteilug geau festgelegt sid. Eie experimetell aus Messuge 44

9 97, ϑ ϑ /% ,5 ϑ ϑ Abb. 4 : Zur Bestimmug der statistische Verteilug vo Impulszahle gehorcht also auch da och eier GAUSS-Verteilug, we die Summehäufigkeitsgerade i dem Bereich liegt, der durch die i Abb. 4 gestrichelt gezeichete Gerade begrezt wird. I diesem Fall bezeichet ma die Zählug als statistisch rei d.h. es liege keie weitere zufällige oder systematische Fehler vor. 4.5 Fehlerbetrachtuge Führt ma ur eie eizige Messug mit dem Ergebis aus, so wählt ma als absolute Fehler bei der Bestimmug vo. Das Ergebis für de durch eie eizige Messug bestimmte Mittelwert ist da ±. (3) Der relative Fehler immt mit wachseder Azahl der gemessee Ereigisse (Zählimpulse) ab 45

10 . (4) Werde k Eizelmessuge mit de Ergebisse (i,..., k) durchgeführt, ka der Mittelwert als Ergebis agegebe werde: k k i i. (5) Der relative Fehler dieses Mittelwertes wird vo der Gesamtzahl der registrierte Zählereigisse bestimmt. k i i. (6) Soll beispielweise ei relativer Fehler vo % erreicht werde, so müsse isgesamt 0000 Ereigisse gezählt werde. Dabei spielt es keie Rolle, ob dies i mehrere Eizelexperimete oder i eiem eizige Experimet geschieht. Werde z.b. i 00 Eizelmessuge zu je 0 s isgesamt 006 Ereigisse gezählt, beträgt der Mittelwert der Eizelmessuge 00, 6. Der relative Fehler dieses Mittelwertes beträgt ik 006 %. (7) Der absolute Fehler des Mittelwertes beträgt %, 0. Das Messergebis für die Impulszahl lautet also ± 00,6 ±, 0. Beachte Sie, dass es icht im Widerspruch zu dieser relativ hohe Geauigkeit steht, we ma eie Eizelmessug mit z.b. ur 85 Zählereigisse erhält. Die Stadardabweichug der Eizelmessuge beträgt ud darf icht mit dem Fehler des Mittelwertes σ 0 (8) verwechselt werde. 46