Normalverteilung. Voraussetzung und verwandte Themen. Einführung. Ziel und Nutzen. Grundlagen

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1 h Normalverteilug Voraussetzug ud verwadte Theme Für diese Beschreibuge sid Grudlage der Statistik ud isbesodere der statistische Verteiluge vorteilhaft. Weiterführede Theme sid: Eiführug Die Normalverteilug stellt die häufigste ud gägigste Form der Wahrscheilichkeitsverteilug dar. Sie tritt auf, we zufällige Ereigisse auf eie Prozess wirke. Viele atur-, wirtschafts- ud igeieurswisseschaftliche Vorgäge lasse sich durch die Normalverteilug etweder eakt oder weigstes i sehr guter Näherug beschreibe (vor allem Prozesse, die i mehrere Faktore uabhägig voeiader i verschiedee Richtuge wirke). Ziel ud Nutze Mit der Normalverteiluge köe z.b. für bestimmte Eigeschaftsmerkmale, wie dem Durchmesser eier Welle, die Wahrscheilichkeit für bestimmte Werte ermittelt werde. Im Fall eier Fertigug eier Welle, ka damit berechet werde, wie viele Teile außerhalb eier Spezifikatio liege (Prozessfähigkeit). Grudlage Im Histogramm werde die Date i passede Klasse eigeteilt ud gezählt, wie viele sich dari befide. Die Gaußkurve stellt die ideale Wahrscheilichkeitsdichte für dieses Histogramm dar ud beschreibt de Verlauf, we ma uedlich viele Date hätte. h s e s : Variable Merkmal : Mittelwert s : Stadardabweichug Häufigkeit Relative Häufigkeit Merkmal 7 CRGRAPH

2 H Normalverteilug Die Gaußkurve hat zwei Parameter, de Mittelwert ud die Stadardabweichug, ei Maß der Streuug, das die Breite der Gaußkurve beschreibt. i i s i i Da für die quadrierte Abweichuge der Mittelwert beötigt wird, der aus de gleiche Date stammt, muss ma für eie Stichprobe eie sogeate Freiheitsgrad abziehe (der Mittelwert ist aufgrud eier begrezte Stichprobe fehlerbehaftet). Deshalb steht im Neer - statt ur. Für die Darstellug müsse die Date i Klasse aufgeteilt werde, die eie kostate Breite habe sollte (KlBr). Empfohle wird hierzu folgede Beziehug ach Sturges: KlBr Ma Mi = (Ma Mi)/( + 3,3 log()) : Azahl Date : größter vorkommeder Wert : kleister vorkommeder Wert Die berechete Klassebreite ist vorteilhafterweise auf- oder abzurude. Im sogeate Wahrscheilichkeitsetz ute ka ma im Maßstab der Y-Achse ablese wie viele Date i Summe vo liks bis zu eiem Wert vorliege. Dies ist die Fläche uter der Gaußkurve. Im Beispiel habe 3 eie Wert vo -, Summewahrscheilichkeit = -,3 Merkmal H e s s d Itegral ist hier icht lösbar Der Mittelwert liegt im Wahrscheilichkeitsetz bei 5 (hier bei Merkmal = ). Im Wahrscheilicheitsetz wird keie Klassierug beötigt, alle Datepukte köe mit ihre Häufigkeite direkt dargestellt werde. Diese Häufigkeite berechet ma äherugsweise mit: i H mit i = Ordugszahl der sortierte Werte Die Steigug der Gerade ist durch die Stadardabweichug der Date bestimmt. 7 CRGRAPH

3 Mittelwert ± Stadardabweichug liege im Bereich vo 6 bis 84. Weitere Bereiche sid auf der folgede Seite dargestellt, wobei hier = Stadardabweichug der Grudgesamtheit ist. Beide Darstellugsforme habe ihre Vorteile. Im Histogramm köe Mischverteiluge gut erkat werde, we mehrere Gipfel vorliege. Im Wahrscheilichkeitsetz sieht ma jede Datepukt ud Abweichuge vo der Gerade sid Abweichuge vo der Normalverteilug. Normalverteilug ud Häufigkeite ierhalb der Stadardabweichuge 68,7 95,45 99,73 99, , , CRGRAPH

4 Abweichuge vo der Normalverteilug Zweigipflige Verteilug Tal i der Mitte -> Kombiatio aus zwei Normalverteiluge. Ursache: Mischverteilug aus zwei Prozesse. Abhilfe: Gruppebildug ud Aufteilug i die beide Eiflussgröße. Rechteckverteilug Mehr oder weiger flach ohe ei ausgeprägtes Maimum. Ursache: Vermegug mehrerer Verteiluge. Abhilfe: Aufteilug i Eiflussgröße mit Hilfe eier Systemaalyse. Kammförmige Verteilug Abwechseld große ud kleie Häufigkeite. Ursache: Oft Mess-, Rudugs- oder Klassierugsfehler. Abhilfe: Messbereiche überprüfe oder kleiere Klassebreite verwede. Schiefe Verteilug Usymmetrischer Verlauf mit kurzem ud lagem Ede. Ursache: Natürliche Begrezug liks gege ud große Werte sid selteer. Abhilfe: Logarithmiere der Werte führt meist wieder zu eier Normalverteilug. Gestutzte Verteilug Usymmetrische eiseitig abrupt abfallede Seite. Ursache: Abgeschittee Verteilug durch Aussortierug. Abhilfe: Prozess ud Notwedigkeit der Aussortierug überprüfe (Koste). Radgipflige Verteilug Häufug eier am Rad liegede Gruppe. Ursache: Zuordug aller rechts liegede Messuge i eie Gruppe. Abhilfe: Klärug der Dateklassierug oder eier Sortierug. 7 CRGRAPH

5 Awedug i Visual-XSel 4. Als Beispiel für die Darstellug eier Mischverteilug wird hier ei Histogramm gezeigt. Alterativ ka das Wahrscheilichkeitsetz (Normal-Vertl.) oder die Weibull- Verteilug gewählt werde. Letztere ist für Lebesdauerutersuchuge zu verwede. 7 CRGRAPH

6 _ = 56,833 s =,45 K lassbr =, _ ( - ) - h = K lassbr e s s Häufigkeit Relative Häufigkeit 56,895 56,83 56,835 56,83 Durchmesser Als Wahrscheilichkeitsetz mit eier 8-parametrige Normalverteilug sieht das gleiche Beispiel folgedermaße aus: mm 99,9 _ = 56,83±9,99E - 5 s = 4,5E = 56,83 84 = 56,83 R ² =,979 Häufigkeit ,3, 56,895 56,83 56,835 56,83 mm Durchmesser Hierzu ist die Diagrammikoe ereut zu klicke Zuächst erscheit automatisch wieder die Dialogbo des Histogramms, das durch die Taste Diagrammauswahl zu schließe ist. 7 CRGRAPH

7 Daach wechsel Sie i die Normalverteilug ud wähle die etsprechede Optioe. Literatur Taschebuch der statistische Qualitäts- ud Zuverlässigkeitsmethode Die wichtigste Methode ud Verfahre für die Prais. Beihaltet statistische Methode für Versuchsplaug & Dateaalyse, sowie Zuverlässigkeit & Weibull. - Statistische Verteiluge ud Tests & Mischverteiluge - Si Sigma Eiführug ud Zykle - Systemaalyse Wirkdiagramm, FMEA, FTA, Matrize-Methode - Shaii- ud Taguchi-Methode - Versuchsplaug DoE, D-Optimal - Korrelatios- ud Regressiosverfahre - Multivariate Dateauswertuge - Prozessfähigkeit Messmittelfähigkeit MSA 4 ud VDA 5 - Regelkarte - Tolerazrechug ud Mote-Carlo-Simulatio - Statistische Hypothesetests - Weibull ud Lebesdaueraalyse - Stichprobegröße 9 Seite, Rigbuch ISBN: CRGRAPH