Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung

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1 .3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße vo mehrere Maschie (Fertigugslose),die das gleiche Teil fertige, vergliche werde. Voraussetzug ist, dass immer das gleiche Merkmal betrachtet wird. Ma ka kei Lägemaß mit eiem Durchmesser vergleiche. Umrechug eier tatsächliche Häufigkeitsverteilug i eie prozetuale Häufigkeitsverteilug Σ Besetzugszahle (Teileazahl) = 100 % Besetzugszahl eier eizele Klasse =? % Beispiel aus dem Abschitt Häufigkeitsverteiluge Besetzugszahl BZ = 150 / 150 Teile - das Maß 5,94 tritt 3-mal auf - das Maß 5,95 tritt 13-mal auf, etc. Berechug 150 = 100 % 3 =? % bzw. 150 = > 3 * 100 = 150 * 3 * 100 = 150 = =... prozetuale Häufigkeit vo % d.h. 5,94 3-mal =,00 % 5,95 13-mal = 8,66 % 5,96 6-mal = 4,00 % 5,97 5-mal = 16,66 % 5,98 40-mal = 6,66 % 5,99 7-mal = 18,00 % 6,00 17-mal = 11,33 % 6,01 9-mal = 6,00 % 6,0 4-mal =,66 % 6,03 -mal = 1,33 % 6,04 1-mal = 0,66 % :

2 : 6,08 1-mal = 0,66 % 6,09 -mal = 1,3 % 150-mal = 100,00 % Verteilug dieser prozetuale Häufigkeit mit Ausreißer ,0% 8,7% 4,0% 16,7% 6,7% 18,0% 11,3% 6,0%,7% 1,3% 0,7% 0,7% 1,3% I diesem Falle spricht ma auch vo eier relative Häufigkeitsverteilug. Nur relative Verteiluge gleicher Art sid auch vergleichbar, deshalb muss grudsätzlich stadardisiert werde. Betrachtet ma die Verteilug geauer, so fällt folgedes auf: Die Balkeazahl ist im Wesetliche eie Fuktio der Klasseweite. Eie Klasseweite vo (1/1000 = 0,001) setzt voraus, dass ei Messmittel 0,001 mm erfasse ka, welches die Balkeazahl erhöht hätte. Die Balkeläge hätte sich zwar verkürzt, jedoch dere Azahl steige lasse. Die Summe der Eizelhäufigkeite h() wäre wieder 100 %. h () = 100%

3 Berechug der Klasseweite (KW) ud Klasseazahl (KA) Die Klasseazahl (KA) errechet sich wie folgt Beispiel KA 3 bzw. KA KA bzw. KA 150 KA = 5,31 bzw. KA = 1, 5 KA =10... gewählt Weiger als 5 ud mehr als 15 (0) Klasse sollte vermiede werde. Zumidest ab 50 Werte sollte klassifiziert werde. Die Klasseweite (KW) errechet sich wie folgt KW (ma) KA (mi) Beispiel KW 6, ,94 KW 0,10 10 KW 0,01

4 Recherische Aufbereitug eier Stichprobe ohe Ausreißer Jede Stichprobe liefert viele Eizeliformatioe. Oft ist es jedoch otwedig, eie Stichprobe durch weige Agabe zu kezeiche. Diese berechete Werte bezeichet ma als Maßzahle der Stichprobe. Sie gebe Atwort auf zwei Frage: 1. Wo liege die Werte der Stichprobe?. Wie stark streue die Werte der Stichprobe? Maßzahle, die eie Atwort auf die erste Frage gebe, werde als Lagemaße, solche, die die zweite Frage beatworte, als Streumaße bezeichet. Arithmetischer Mittelwert Das wichtigste Lagemaß ist der arithmetische Mittelwert oder (µ). µ = Summe Azahl _ der _ der _ Stichprobe _ Stichprobe werte werte µ = I dem vorgeate Beispiel bedeutet dies: 1 i = 1 5, ,8 5, ,35 5, ,76 5, ,5 5, ,0 5, ,73 6, ,00 6, ,09 6,0 4 4,08 6,03 1,06 6,04 1 6,04 Summe ,38 - Summe der Stichprobewerte wäre 879,38 - Azahl der Stichprobewerte 147 µ = = i = 1

5 µ = ,38 der Mittelwert wie folgt: µ = 5,98 Es fällt auf, dass zur eigetliche Berechug die Werte der Klasse 6,08 ud 6,09 icht heragezoge wurde, da es sich, wie bereits erklärt, um Ausreißer hadelt. (vgl..3.1.) Das Lagemaß (Mittelwert) i userem Beispiel beträgt 5,98 mm, d.h. um diese mittlere Wert sid sämtliche restliche Werte azutreffe. Wie stark streue die Werte der Stichprobe? Eie Möglichkeit bestüde dari, die Eizelabstäde der Messwerte vo ihrem gemeisame Mittelwert zu bilde, diese aufzuaddiere ud durch die Azahl der Messwerte zu dividiere. Dies ergäbe da de mittlere Abstad A. A (µ ) i = = 1

6 Diese Kegröße ist jedoch stets 0, da sich die positive ud egative Abweichuge der Messwerte vom Mittelwert aufhebe. Um zu verhider, dass diese Kegröße 0 wird, köte ma die Vorzeiche der Abweichuge uberücksichtigt lasse ud die Absolutbeträge addiere. B µ i = = 1 Diese Kegröße ist zwar recht aschaulich, für de eigetliche Zweck der statistische Utersuchug - de Schluss vo der Stichprobe auf die Grudgesamtheit - jedoch ugeeiget. Ma behilft sich deshalb mit eier adere Gleichug, die eie geauere Aussage über die Streuug eier Grudgesamtheit macht. σ = i = 1 Oftmals fidet ma auch folgede Ausdruck: σ = 1 1 i= µ 1 1 ( µ ) Beide Forme sid absolut idetisch. Etwas uklar dürfte lediglich der Ausdruck (1/(-1)) sei. Für de Praktiker ist dies auch icht vo besoderer Wichtigkeit, hiermit wird lediglich ausgesagt, dass es sich um eie geschätzte Stadardabweichug hadelt. Diese Methode der kleiste Quadrate wurde uabhägig vo eiader vo Carl Friedrich Gauss ud Adrie Marie Legedre am Afag des 19. Jahrhuderts etwickelt ud zeigte zuächst bei der Lösug astroomischer Aufgabe ihre große Vorteile. Berechug der Stadardabweichug Was ist ochmals die Stadardabweichug? Aus der Summe aller quadratische Abweichuge der Eizelwerte vom Mittelwert errechet ma die mittlere quadratische Abweichug, auch Variaz (aus dem eglische "variace = Abweichug") geat Ma fidet auch die Bezeichug Mittlerer Fehler. Aus der Variaz zieht ma die Wurzel ud erhält de Streuwert σ (Stadardabweichug). Berechugsbeispiel wie folgt: (i) µ (i) = (i) -µ (i) ² Häufigkeit (i) ²*h (i) 5,94 5,98-0,04 0, , ,95 5,98-0,03 0, , ,96 5,98-0,0 0, , ,97 5,98-0,01 0, , ,98 5,98-0,00 0, , ,99 5,98 0,008 0, ,

7 6,00 5,98 0,018 0, , ,01 5,98 0,08 0, , ,0 5,98 0,038 0, , ,03 5,98 0,048 0,0085 0, ,04 5,98 0,058 0, , Summe : 147 0, Das Auftrete (Häufigkeit) eies jegliche Maßes muss berücksichtigt werde (Spalte Häufigkeit), de dadurch lässt sich die Gesamtabweichug leichter bereche. d.h. Die quadratische Gesamtabweichug aller 147 Abweichuge beträgt 0, mm². Us iteressiert die mittlere quadratische Abweichug. Lösug über 3-Satz (147-1) quadratische Abweichug = 0, mm² 1 quadratische Abweichug = 0, mm² σ² = 0, mm² (Variaz) σ = σ σ = 0, mm σ = 0, mm Zum Vergleich wurde die Berechug mittels Computerprogramm durchgeführt. Der Ausdruck ist achfolged dargestellt.

8 Die Ergebisse sid absolut idetisch. Der Computer braucht allerdigs ur eie Bruchteil der mauelle Rechezeit. Bei eier Berechug vo Had köe sich leicht Fehler eischleiche, was wiederum beim Recher ausgeschlosse sei dürfte. Des Weitere besteht ei fuktioaler Zusammehag zwische Streuug (Stadardabweichug) ud der allseits bekate Zahl "e" (Eulersche Zahl), die Basis des atürliche Logarithmus. Die mathematische Ableitug bzw. Beweisführug dazu wurde im Ahag abgehadelt (siehe Kapitel 3.).