R. Brinkmann Seite

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1 R. Brikma Seite Lösuge zur Biomialverteilug I Ergebisse: E1 E E E4 E E E7 Ergebis Ei Beroulli-Experimet ist ei Zufallsexperimet, das ur zwei Ergebisse hat. Die Ergebisse werde Erfolg (Treffer) oder Misserfolg (kei Treffer) geat. Die Trefferwahrscheilichkeit ist die Wahrscheilichkeit für eie Treffer (p). Eie Beroullikette etsteht, we dasselbe Beroulli-Experimet mehrmals acheiader ausgeführt wird. Die Läge eier Beroullikette gibt a, wie oft das eizele Experimet acheiader ausgeführt wird. Ergebisse a) Beroullikette; = ; Treffer: ; p = 1/. b) Keie Beroullikette. c) Keie Beroullikette. d) Beroullikette; = 4; Treffer: weiß p = /10; Treffer: rot p = 7/10. e) Keie Beroullikette. f) Beroullikette; = 8; Treffer: Zahl ; p = 0,. g) Beroullikette; Treffer: ; p = 0,; Ketteläge maximal. Ergebisse 8 1 P( A) = P( X = ) = 0,0988 P( B) = P( X ) = = 0, P( C) = P( X 1) = 0,9 P( D) = P( X ) = 0, Ergebis P A = P X = 1 = 0,409 ; P B = P X = 0 = 0,78 ; P C = P X = 0,7 ( ) ( ) Ergebis P A = P X = 0,747 P B = P X 0,944 Ergebis Die Müze muss midestes 7 mal geworfe werde, um mit eier Sicherheit vo midestes 99% midestes eimal Kopf zu erhalte. Ergebis Ma muss midestes 1 mal würfel, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 90% midestes eie zu werfe. Erstellt vo R. Brikma p9_stoch_071_e :00 Seite 1 vo 8

2 R. Brikma Seite E8 Ergebisse A: Ma wirft geau 10 mal die. P( A) = P( X = 10) 0,17 B: Ma wirft midestes 10 mal die. PB ( ) = PX ( 10) 0,4 C: Ma wirft höchstes 10 mal die. PC ( ) = PX ( 10) 0,8 D: Die Azahl der geworfee Sechser liegt zwische ud 1 eischließlich. E: Ma wirft mehr als 4 ud weiger als 1 Sechser. F: Die Augezahl ist i weiger als Fälle ugerade. G: Die Augezahl ist i mehr als 0 Fälle gerade. H: Es trete mehr als ud weiger als ugerade Augezahle auf. PD ( ) = P ( X 1) 0,79 PE ( ) = P ( X 14) 0,91 PF ( ) = PX ( 4) 0,078 P( G) = P( X 1) 0,449 PH ( ) = P ( X 4) 0,74 Erstellt vo R. Brikma p9_stoch_071_e :00 Seite vo 8

3 R. Brikma Seite Ausführliche Lösuge: A1 A1 Erkläre Sie die Begriffe Beroulli-Experimet, Trefferwahrscheilichkeit, Beroullikette ud Läge eier Beroullikette. Ausführliche Lösug Ei Beroulli-Experimet ist ei Zufallsexperimet, das ur zwei Ergebisse hat. Die Ergebisse werde Erfolg (Treffer) oder Misserfolg (kei Treffer) geat. Die Trefferwahrscheilichkeit ist die Wahrscheilichkeit für eie Treffer (p). Eie Beroullikette etsteht, we dasselbe Beroulli-Experimet mehrmals acheiader ausgeführt wird. Die Läge eier Beroullikette gibt a, wie oft das eizele Experimet acheiader ausgeführt wird. Beispiel: Eie Müze wird mal acheiader geworfe. Der Müzwurf ist ei Beroulli-Experimet, es gibt zwei Ergebisse, Zahl ud Kopf. Die Trefferwahrscheilichkeit ist p = 0,. Da der Müzwurf mal wiederholt wird, spricht ma bei diesem Experimet vo eier Beroullikette. Die Läge dieser Beroullikette beträgt =. A A Bei welche der folgede Zufallsexperimete hadelt es sich um Beroullikette? Gebe Sie, we möglich, die Trefferwahrscheilichkeit p ud die Läge der Beroullikette a. a) Ei Würfel wird dreimal geworfe ud die Azahl der Sechse otiert. b) Ei Würfel wird dreimal geworfe ud die Augesumme otiert. c) Aus eier Ure mit weiße ud 7 rote Kugel wird so lage ohe Zurücklege gezoge, bis die erste rote Kugel erscheit. d) Aus eier Ure mit weiße ud 7 rote Kugel wird 4-mal mit Zurücklege jeweils eie Kugel gezoge. e) Bei eiem Glücksrad erscheit i 0% aller Fälle eie 1, i jeweils % der Fälle eie bzw. eie. Das Rad wird 4-mal gedreht ud die Ziffer als 4- stellige Zahl otiert. f) Das Glücksrad aus (e) wird achtmal gedreht. Jedes Mal, we die erscheit, erhält ma 10 Cet. g) Das Glücksrad aus (e) wird so oft gedreht, bis die erscheit, höchstes jedoch füfmal. Ausführliche Lösuge a) Es hadelt sich um eie Beroullikette der Läge =. Als Treffer bezeichet ma das Ereigis. Die Trefferwahrscheilichkeit ist i jeder Stufe gleich p = 1/. Erstellt vo R. Brikma p9_stoch_071_e :00 Seite vo 8

4 R. Brikma Seite A b) Es hadelt sich um keie Beroullikette, da es i jeder Stufe verschiedee Ergebisse gebe ka. { 1; ; ; 4 ; ; }. Für eie Beroullikette dürfte es ur zwei sei. A c) Es hadelt sich um keie Beroullikette, da die Kugel icht zurückgelegt werde ud sich dadurch die Wahrscheilichkeit vo Stufe zu Stufe ädert. Für eie Beroullikette muss die Wahrscheilichkeit für eie Treffer i jeder Stufe gleich sei. A d) Es hadelt sich um eie Beroullikette der Läge = 4. Die Wahrscheilichkeit für Treffer weiß ist durch das Zurücklege kostat p = /10, für Treffer rot p = 7/10. A e) Es hadelt sich um keie Beroullikette, da es i jeder Stufe drei Ergebisse gebe ka { 1 ; ; }. Für eie Beroullikette darf es ur zwei Ergebisse pro Stufe gebe. A f) Es hadelt sich um eie Beroullikette der Läge = 8. Als Treffer wird die Zahl mit p = 0, festgelegt. I jeder Stufe bleibt die Wahrscheilichkeit kostat. A g) Es hadelt sich um eie Beroullikette mit ichtfestgelegter Läge. Als Treffer wird die Zahl mit der Wahrscheilichkeit p = 0, festgelegt. Die maximale Ketteläge beträgt. A A Ei Glücksrad hat gleich große Sektore mit de Symbole Kreis, Kreuz ud Ster. Es wird viermal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für folgede Ereigisse? A: Es tritt dreimal Ster auf. B: Es tritt midestes dreimal Ster auf. C: Es tritt höchstes eimal Ster auf. D: Es tritt höchstes dreimal Ster auf. Ausführliche Lösuge A: P( A) = P( X = ) = 4 0,0988 = = 7 81 Die Wahrscheilichkeit dafür, dass geau dreimal Ster auftritt, ist 0,0988. A B: P( B) = P( X ) = P( X = ) + P( X = 4) = , = + = + = = = Die Wahrscheilichkeit dafür, dass midestes dreimal Ster auftritt, ist 0, Erstellt vo R. Brikma p9_stoch_071_e :00 Seite 4 vo 8

5 R. Brikma Seite A C: PC ( ) = PX ( 1) = PX ( = 0) + PX ( = 1) = = = + = 0, Die Wahrscheilichkeit dafür, dass höchstes eimal Ster auftritt, ist 0,9. A D: P( D) = P( X ) = P( X 4) P( X = 4) = 1 P( X = 4) = , = = = Die Wahrscheilichkeit dafür, dass höchstes dreimal Ster auftritt, ist 0,9877. A4 Vo eier große Ladug Apfelsie sid 0% verdorbe. Es werde Stück etomme. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für folgede Ereigisse: A: Eie Apfelsie ist verdorbe. B: Alle Apfelsie sid i Ordug. C: Midestes zwei Apfelsie sid verdorbe. A4 Ausführliche Lösuge Treffer: Apfelsie ist verdorbe. = ; p = 0% p = 1 A4 A: P( A) = P( X = 1) = 0,409 1 = = = = 1 Die Wahrscheilichkeit dafür, dass geau eie Apfelsie verdorbe ist, ist 0,409. A4 B: B: Alle Apfelsie sid i Ordug, bedeutet, keie Apfelsie ist verdorbe P( B) = P( X = 0) = 1 1 0,78 0 = = 1 Die Wahrscheilichkeit dafür, dass alle Apfelsie i Ordug sid, ist 0,78. A4 C: P( C) = P( X ) P( X = 1) P( X = 0) = 1 = = = 0, Die Wahrscheilichkeit dafür, dass midestes zwei Apfelsie verdorbe sid, ist 0,7. Erstellt vo R. Brikma p9_stoch_071_e :00 Seite vo 8

6 R. Brikma Seite A A Die Wahrscheilichkeit für die Geburt eies Mädches beträgt 0,49, für die Geburt eies Juge 0,1. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i eier Familie mit 4 Kider A: geau zwei Mädche sid? B: höchstes Mädche sid? Ausführliche Lösuge A: P( A) = P( X = ) = = = = 0, Die Wahrscheilichkeit dafür, dass i der Familie geau zwei Mädche sid, ist 0,747. A B: P( B) = P( X ) = P( X 4) P( X = 4) = 1 P( X = 4) = = = = = 0, Die Wahrscheilichkeit dafür, dass i der Familie höchstes drei Mädche sid, ist 0,944. A A Wie oft muss ma eie Müze midestes werfe, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 99% midestes eimal Kopf zu erhalte? Ausführliche Lösug Die Wahrscheilichkeit für Kopf ud Zahl sei gleich ( p = 0,). Das Gegeereigis vo midestes eimal Kopf ist keimal Zahl. Es gilt also P X 1 0,99 bzw. für das Gegeereigis P X = 0 0,01 ( ) ( ) P( X = 0) = = = 1 P( X = 0) 0,01 0,01 logarithmiere z. B. mit l l l0,01 :l ( ) (berücksichtige dass l egativ ist) l( 0,01),4 1 l Die Müze muss midestes 7 mal geworfe werde, um mit eier Sicherheit vo midestes 99% midestes eimal Kopf zu erhalte. Erstellt vo R. Brikma p9_stoch_071_e :00 Seite vo 8

7 R. Brikma Seite A7 A7 A8 Wie oft muss ma midestes Würfel, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 90% midestes eie Sechs zu bekomme? Ausführliche Lösug A: Midestes eie bei Würfe. E = { 1; ; ;... } p = 1/ Das Gegeereigis vo A lautet: Keie bei Würfe. 0 1 P( A) = 1 P( A) = = = P ( A ) 0,9 1 0,9 1 0,1 1 l ( ) 0,1 logarithmiere ( ) l 0,1 umforme l l( 0,1 ) :l l 1 < l( 0,1) 1, l Ma muss midestes 1 mal würfel, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 90% midestes eie zu werfe. Ei Würfel wird 0 mal geworfe. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für folgede Ereigisse: A: Ma wirft geau 10 mal die. B: Ma wirft midestes 10 mal die. C: Ma wirft höchstes 10 mal die. D: Die Azahl der geworfee Sechser liegt zwische ud 1 eischließlich. E: Ma wirft mehr als 4 ud weiger als 1 Sechser. F. Die Augezahl ist i weiger als Fälle ugerade. G Die Augezahl ist i mehr als 0 Fälle gerade. H: Es trete mehr als ud weiger als ugerade Augezahle auf. Erstellt vo R. Brikma p9_stoch_071_e :00 Seite 7 vo 8

8 R. Brikma Seite A8 Ausführliche Lösuge 1 Kumulierte Biomialverteilug für = 0 ud p = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k 0 0, ,00 8 0,1 1 0, , , ,000 0,01 9 0,44 1 0, ,99 1 1,000 0,001 0, ,8 14 0,9 18 0,997 1,000 0,00 7 0, , ,9 19 0,999 1,000 1 Kumulierte Biomialverteilug für = 0 ud p = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k 1 0, ,007 0,1 0 0,1 0,9 40 0, , ,014 0,18 1 0,1 0, , ,001 0,0 7 0,9 0, , , ,001 0,04 8 0,49 0, ,98 4 1, ,00 4 0, , , , ,000 A8 A: Ma wirft geau 10 mal die. P A = P X = 10 = P X 10 P X 9 = 0,8 0,44 = 0,17 A8 B: Ma wirft midestes 10 mal die. P B = P X 10 = 1 P X 9 = 1 0,44 = 0,4 ( ) ( ) ( ) A8 C: Ma wirft höchstes 10 mal die. P C = P X 10 = 0,8 aus der Tabelle abgelese ( ) ( ) A8 D: Die Azahl der geworfee Sechser liegt zwische ud 1 eischließlich. P D = P X 1 = P X 1 P X = 0,810 0,01= 0,79 A8 E: Ma wirft mehr als 4 ud weiger als 1 Sechser. P E = P X 14 = P X 14 P X 4 = 0,9 0,00 = 0,91 A8 F: Die Augezahl ist i weiger als Fälle ugerade. P F = P X 4 = 0,078 aus der Tabelle abgelese ( ) ( ) A8 G: Die Augezahl ist i mehr als 0 Fälle gerade. P G = P X 1 = 1 P X 0 = 1 0,1 = 0,449 ( ) ( ) ( ) A8 H: Es trete mehr als ud weiger als ugerade Augezahle auf. P H = P X 4 = P X 4 P X = 0,877 0,1 = 0,74 Erstellt vo R. Brikma p9_stoch_071_e :00 Seite 8 vo 8