5 Bernoulli-Kette. 5.1 Bernoulli-Experiment. Jakob Bernoulli Schweizer Mathematiker und Physiker Einleitung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "5 Bernoulli-Kette. 5.1 Bernoulli-Experiment. Jakob Bernoulli 1654-1705 Schweizer Mathematiker und Physiker. 5.1.1 Einleitung"

Transkript

1 Seite vo 7 5 Beroulli-Kette Jakob Beroulli Schweizer Mathematiker ud Physiker 5. Beroulli-Exerimet 5.. Eileitug Oft iteressiert ma sich bei Zufallsexerimete icht für die eizele Ergebisse, soder ur dafür, ob ei Ereigis reffer eitritt oder icht eitritt. BEISPIEL: Werfe eies Würfels beim Siel Mesch ärgere dich icht ; ;3; 4;5 5.. Defiitio 6 ; Ei Zufallsexerimet, desse Ergebisraum i der Form dargestellt wird, et ma Beroulli-Exerimet. Ω Bezeichuge: reffer = Ereigis iete = Ereigis refferwahrscheilichkeit P 5..3 Beisiele ; Parameter ietewahrscheilichkeit P q

2 Seite vo 7 Würfelsiel Mesch ärgere dich icht 6 ; ; ; 3; 4;5;6 ; ;3; 4;5 ; P( ) 6 5 q P( ) 6 Mii-Roulette Exerimet: Zufälliges Ziehe eier Ziffer ( Mii-Roulette ) 0;; ; 3; 4;5; 6;7;8; 9 Ergebisraum Ereigis reffer = Die gezogee Ziffer ist eie Primzahl = ;3;5; 7 refferwahrscheilichkeit 4 P( ) 40 % 0, 4 0 ietewahrscheilichkeit q P( ) 0,4 0, 6 5. Beroulli-Ketterozess 5.. Defiitio Eie geordete Stichrobe mit Zurücklege, die aus eiem -stufige Ketterozess vo uabhägige Beroulli-Exerimete mit gleichbleibeder refferwahrscheilichkeit besteht, et ma Beroulli-Kette der Läge mit dem Parameter.

3 Seite 3 vo 7 = Azahl der Stufe = Läge der Kette = refferwahrscheilichkeit P = kostat 5.. Ziel: Berechug der Wahrscheilichkeit für geau k reffer Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ma bei eier Beroulli-Kette der Läge mit dem Parameter geau k 0 k reffer erzielt? geau reffer ; ; P k P X k P k W k B k B k X = refferazahl ( Zufallsgröße ) 5..3 Herleitug der Beroulli-Formel ahad eies Beisiels Exerimet: Zufälliges Ziehe eier Ziffer ( Mii-Roulette ) Ergebisraum 0;;;3;4;5;6;7;8;9 Ereigis reffer = Die gezogee Ziffer ist eie Primzahl = ;3;5;7 refferwahrscheilichkeit 4 P( ) 40 % 0, 4 0 ietewahrscheilichkeit q P( ) 0,4 0, 6 Gegebe: Läge 5 refferazahl k 3

4 Seite 4 vo 7 Gesucht: 3 geau 3 reffer 3 3 B 5; 0,4; k 3 B5;0,4;3 B 5 3 P X P P W 0,4

5 Seite 5 vo 7 P k (;;;;) 0,4 5 0,60 5 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 0 0,65 0

6 Seite 6 vo 7 Ergebis: Es gibt geau 0 Wege mit geau 3 reffer ud damit geau iete. Die Wahrscheilichkeit für eie dieser Wege ist ach der erste Pfadregel 0,4 0,6. Die gesuchte Wahrschei- 3 lichkeit für geau drei reffer beträgt somit ach der zweite Pfadregel P X 3 B 5;0,4;3 B 3 00,4 0,6 0,304 Berechug der Azahl 0 der Wege: 5 3 0,4 Vo 5 Stufe werde 3 Stufe für reffer ausgewählt. Für die Lage der 3 reffer ierhalb der 5-gliedrige Kette gibt es die folgede 0 Möglichkeite: Bei dieser Auswahl 3 aus 5 hadelt es sich um eie ugeordete Stichrobe ohe Wiederholuge mit 0 Ergebisse. Azahl der Wege = ! 5C !! Ergebis: 5 3 PX 3W 3 B5;0, 4;3 0, 4 0,6 0, 304 3,04 % 3 Fehler: 0 PX 3 0,35 3 Es hadelt sich um kei Lalace-Exerimet, da die 3 Wege icht gleichwahrscheilich sid.

7 Seite 7 vo Allgemeie Beroulli-Formel für eie Biomialverteilug Für die Wahrscheilichkeit, bei eier Beroulli-Kette der Läge mit dem Parameter geau k reffer zu erziele, gilt: P X k W k B k q k k k k k ; ; Begrüdug: k mit q Für jede Pfad aus Stufe mit k reffer ud k k ach der erste Pfadregel q. k iete beträgt die Wahrscheilichkeit Für die Lage der k reffer i der -stufige Kette gibt es Pfade mit geau k reffer. Möglichkeite. Also gibt es k k ach der zweite Pfadregel folgt die Behautug: P X k k ( ) k k P X x x auch: ( ) x x 5..5 abellarisierug ud grafische Darstellug eier Biomialverteilug = 5 = 0,4 5 PX kw k B5;0, 4; k B k 0, 4 0,6 k Wertetabelle: 5 k 5 k 0,4 k P X k W k 0, ,59 0,3456 0,304 0,0768 0,004

8 Seite 8 vo 7 afelwerk: Ausschitt aus afelwerk: = 0,4 B ; ; k P X k W k 0, ,590 0, ,3040 0, ,004 k

9 Seite 9 vo 7 Grafische Darstellug: P X k 0,4 0,3 0, 0, k Histogramm: 0,4 0,3 0, 0, Die Flächeihalte der Säule gebe die Wahrscheilichkeitswerte wieder, icht die Säulehöhe Midestes ei reffer Beisiel: 5 0,4

10 Seite 0 vo 7 P midestes ei reffer P X 5 P X 5 P PP 3 P4P 5 P ,4 0,4 5 0,4 0,6 0, ,6 0, ,9 afelwerk möglich P X P 0 q q q 0 Allgemei: 0 afelwerk evetuell möglich 5..7 Bereche vo Wahrscheilichkeite = 5 = 0,4 0,4 afelwerk möglich P(mehr reffer als iete) = P ( 3 X 5) P(3) P(4) P(5) = 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0, , ,004 = 0, Kumulative Verteilugsfuktio = 5 = 0,4 höchstes drei reffer P P X P X P P P P ,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0, , ,59 0,3456 0,304 0, ;0, 4; 5;0, 4; P X k P X k P P k F k F k B i Wertetabelle: k P( X k) W ( k) 0, ,59 0,3456 0,304 0,0768 0,004 P( X k) F( k) 0, , ,6856 0,996 0,98976 k i 0

11 Seite vo 7 k ;0 0; ; ;3 3; 4 4;5 5; P( X k) F( k) 0 0, , ,6856 0, Ausschitt aus afelwerk: = 0,4 k B ; ; k PX k W k B ; ; i PX k Fk Grafische Darstellug: 0, ,590 0, ,3040 0, ,004 k i 0 0, , ,6856 0,996 0,98976, ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,

12 Seite vo Allgemeie Formel für kumulative Verteilugsfuktio Für eie Beroulli-Kette der Läge mit dem Parameter gilt: k P X k F( k) F ; ; k F k B ; ; i i Bereche vo Wahrscheilichkeite mit Hilfe der Verteilugsfuktio = 5 = 0,4 BEISPIEL : P(mehr reffer als iete) = = 0,6856 0, 3744 P ( 3 X 5) P(3) P(4) P(5) F(5) F() BEISPIEL : P ( X 5) P( X 4) P() P(3) P(4) F(4) F() 0, , , Wartezeitaufgabe; Läge eier Beroulli-Kette Aufgabe: Welche Läge muss eie Beroulli-Kette mit dem Parameter 0,4 midestes besitze, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 90 % midestes eie reffer zu erziele? P0,4 P0,4 X 0,9 X 0 0,9 P0,4 X 0 0, P0,4 X 0 0, 0 0 0, 4 0,6 0, 0,6 0, l 0,6 l 0, l 0,6 l 0, 0

13 Seite 3 vo 7 l 0, 4,5 l 0,6 5 Allgemei: Welche Läge muss eie Beroulli-Kette mit dem Parameter midestes besitze, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes a midestes eie reffer zu erziele? P X a P X 0 a P X 0 a P X 0 a 0 0 q a q a q a l l l l q a 0 l a l q 5.3 Aufgabe 5.3. Likshäder 5 % der Mesche sid Likshäder. Es werde 0 Persoe (acheiader mit Zurücklege) zufällig beobachtet. Zu bereche sid folgede Wahrscheilichkeite: a) Keie Perso ist Likshäder PX 0 B0,5 0 0,5 0,85 0, b) Geau drei Persoe sid Likshäder PX 3 B0,5 3 0,5 0,85 0,983 3

14 Seite 4 vo 7 c) Geau drei aufeiaderfolgede Persoe sid Likshäder ,5 0,85 8 0,00866 d) Höchstes drei Persoe sid Likshäder PX 3 0,5 0,85 0,5 0,85 0,5 0,85 0,5 0, , oder: P X F F 3 0;0,5;3 3 0, ,5 e) Midestes drei Persoe sid Likshäder. 0 P X 3 P X F 0,800 0,7980 0,5 f) ur die erste Perso ist Likshäder. 9 0,5 0,85 0,03474 g) ur die erste drei Persoe sid Likshäder ,5 0,85 0,0008 h) Die erste drei Persoe sid Likshäder. 3 0,5 0, i) ur die zweite, dritte ud vierte Perso sid Likshäder ,85 0,5 0,85 0,5 0,85 0,0008 k) Midestes drei, aber weiger als acht Persoe sid Likshäder P 3 X 8 P 3 X 7 F 7 F 0, ,800 0, Überbelegug bei Reservierug a) Ei Hotel verfügt über 40 Zimmer, immt aber 50 Reservieruge a. Ei bestelltes Zimmer wird mit eier Wahrscheilichkeit vo 0 % storiert. Zu ermittel ist das Risiko der Überbelegug. P ( X 4) P( X 40) F(40) 0,5566 0,44374

15 Seite 5 vo 7 b) Zu ermittel ist die Azahl k der Zimmer, über die das Hotel verfüge müsste, damit bei 50 Reservieruge ud eier Storierugswahrscheilichkeit vo 0 % das Überbelegugsrisiko uter 5 % bleibt. k PX k PX k 0,95 k 0,95 50 P X 0,05 0,05 P X F0, k 0,95 k Zuverlässigkeit eies Systems Ei System besteht aus 00 eile, vo dee jedes mit eier Zuverlässigkeit vo 80 % arbeitet. Das System fuktioiert, we midestes 75 eile i Ordug sid. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für das Fuktioiere des Systems? 00 P X 75 P X 74 F 74 0, , Qualitätskotrolle 0,8 Bei der Herstellug vo elektroische Bauteile beträgt die Ausschusswahrscheilichkeit 0,05. Bei eier Qualitätskotrolle werde der Produktio zufällig 30 Bauteile etomme. Ermittel Sie folgede Wahrscheilichkeite: a) Geau drei eile sid defekt PX 3 B0,05 3 0,05 0,95 0,705 3 b) Mehr als füf eile sid defekt. 30 P X 5 P X 5 F 5 0,9967 0,0038 0,05 c) ur die erste vier eile sid defekt. 4 0,05 0,95 6 0,

16 Seite 6 vo 7 d) Geau zwei aufeiaderfolgede eile sid defekt, die adere aber icht. 0,05 0, Glücksrad 9 0,074.0 Ei Glücksrad ist i siebe gleich große Felder eigeteilt. Geau drei Felder trage de Buchstabe, geau vier Felder trage de Buchstabe. Ei Sieler dreht das Glücksrad 3-mal. Bereche Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ereigisse:. Bei de erste drei Drehuge erscheit der Buchstabe icht P. 0, Der Buchstabe erscheit geau dreimal P(.) PX 3 P3 X 3 B3 X 3 0, Der Buchstabe erscheit geau dreimal hitereiader, sost aber icht P(.3) 0, Der Buchstabe erscheit frühestes bei der füfte Drehug zum erste Mal P(.4) 0, Bei der letzte Drehug erscheit der Buchstabe zum füfte Mal P(.5) P X 4 B X 4 0, Beim eimalige Drehe eies adere Glücksrades wird der Buchstabe mit der Wahrscheilichkeit gedreht. Beim zweimalige Drehe dieses Glücksrades erscheit der Buchstabe mit eier Wahrscheilichkeit vo 84 % midestes eimal.. Bereche Sie.

17 Seite 7 vo 7 q q q q q q q 0,84 0,84 0,84 / 0,84 0 0,6 oder: 440,84 0,64 0,8, 4 0,4 0,6 q 0,84 0,6 q 0, 4 q 0, 4 q0,4 0,6 oder: P X 0,84 P X 0 0,84 PX 0 0,6 PX 0 0,6 0 0,6 0 0,6 0,4 0,6 0,4, 4 0,6

18 Seite 8 vo otaubeschieße A eiem otaubeschieße immt ei Schütze teil, der durchschittlich bei füf Schüsse dreimal trifft.. Zu bereche sid folgede Wahrscheilichkeite:. Er erzielt bei drei Schüsse keie (geau eie, geau zwei, drei) reffer. 3 PX k B k 0,6 0,4 k 3 k 3k 0,6 k 0 3 P X k 0,064 0,88 0,43 0,6. Er erzielt bei drei Schüsse midestes eie (midestes zwei) reffer. PX P X 0 0,064 0,936 P X P X P X 3 0,43 0,6 0,648.3 Er erzielt bei drei Schüsse höchstes eie (höchstes zwei) reffer. PX P X P X 0 P X P( X ) 0,064 0, 88 0, 43 0, , 6. Aus wie viele Schüsse muss eie Serie midestes bestehe, damit der Schütze mit mehr als 99 % Wahrscheilichkeit weigstes eie reffer erzielt? P X 0,99 PX 0 0,99 PX 0 0,0 P X 0 0, ,6 0, 4 0,0 0, 4 0,0 lg 0, 4 lg 0,0 lg 0, 4 lg 0,0 0

19 Seite 9 vo 7 lg 0,0 log 0,4 0,0 5,03 lg 0, Fehlede Schüler Vo eier Klasse mit 7 Schüler ist bekat, dass jeder Schüler im Durchschitt a 0 % der Uterrichtstage fehlt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass a eiem beliebig herausgegriffee ag höchstes zwei Schüler fehle? P X P0, X F0, P X P X P X Lotterielose , 0,9 0, 0,9 0, 0,9 0, ,0585 0,7445 0,598 I eier Lotterie gewit ma mit eier Wahrscheilichkeit vo %. Wie viele Lose muss ma midestes kaufe, um mit eier Sicherheit vo weigstes 95 % midestes eimal zu gewisse? P X 0,95 P X 0 0,95 P X 0 0,05 P X 0 0, , 0,88 0,05 0,88 0,05 lg 0,88 lg 0,05 lg 0,88 lg 0,05 0 lg 0,05 log0,88 0,05 3, 43 lg 0,88 4

20 Seite 0 vo Sort Jemad sielt gege eie gleichwertige Geger Schach (eis etc.). Ist es wahrscheilicher, midestes vo oder midestes vo 4 Siele zu gewie? 0 PX PP 0,5 0,5 0,5 0,5 30,5 0, PX PP3P4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, ,065 0, Buchstabelegesiel Bei eiem Buchstabelegesiel befide sich i eier Ure eu gleichartige Plättche, vo dee zwei de Buchstabe F, drei de Buchstabe O ud vier de Buchstabe S trage. Rude Sie im Folgede bei de zu berechede Wahrscheilichkeite auf vier achkommastelle. Ei Sieler zieht acheiader ohe Zurücklege drei Plättche ud legt sie vo liks ach rechts ebeeiader auf de isch. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass die gezogee Buchstabe das Wort FOS ergebe. 3 4 P FOS 0, u zieht der Sieler ei Plättche, otiert de Buchstabe ud legt das Plättche i die Ure zurück. Da zieht er das ächste Plättche, schreibt de erhaltee Buchstabe rechts ebe de erste ud fährt so fort, bis er isgesamt sechs Plättche gezoge hat; der Sieler erhält so ei Wort mit sechs Buchstabe. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass i dem gebildete Wort geau zweimal der Buchstabe S vorkommt P4 9 S 0, Der Ihalt der Ure wird u geädert, idem ohe Wisse des Sielers ei zusätzliches Plättche mit dem Buchstabe X i die Ure gemischt wird. Bereche Sie, wie oft der Sieler midestes mit Zurücklege ziehe muss, damit er mit eier Wahrscheilichkeit vo mehr als 95 % weigstes eimal de Buchstabe X zieht. P0, X 0,95

21 Seite vo 7 P0, X 0 0,95 P0, X 0 0,05 P0, X 0 0,05 0 0, 0,9 0, ,9 0, 05 l 0,9 l 0,05 l 0,9 l 0,05 0 l 0,05 8,43 l 0, Führerscheirüfug A de Führerscheirüfuge der Fahrschule Drauswirdickx ahme im Jauar 4 mäliche ud 70 weibliche Prüflige teil. Isgesamt 55 Prüflige ware icht erfolgreich. 80 Mäer habe die Prüfug bestade. Für das Zufallsexerimet Zufällige Auswahl eies Prüfligs werde folgede Ereigisse betrachtet: M: Der Prüflig ist mälich. B: Der Prüflig hat bestade. Beurteile Sie die stochastische Uabhägigkeit der Ereigisse M ud B. 4 9 PMPB 0, PM B 0, PMPB 84 stochastische Uabhägigkeit Für die folgede Betrachtuge werde u 5 Prüflige zufällig ausgewählt. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Fahrschüler mit Erfolg a der Prüfug teilahm, beträgt 70 %. Bereche Sie jeweils die Wahrscheilichkeit dafür, dass. geau 3 dieser 5 Prüflige bestade habe; PX 0 P0,7 X 0 B0,7 X 0 0, 7 0,3 0, mehr als die Hälfte dieser 5 Prüflige bestade habe; 5 P X 8 P X 7 F 7 0,0500 0, ,7

22 Seite vo 7.3 ur die erste acht dieser 5 Prüflige bestade habe; P(.3) 0, 7 0,3, 6 0 0, geau zwölf aufeiaderfolgede Prüflige bestade habe, die adere aber icht; 3 P(.4) 0, 7 0,3 4 0, der letzte dieser 5 Prüflige als zwölfter bestade hat. 4 P(,5) P 4 3 0,7 X 0, 7 0, 7 0,3 0, 7 0, Busuterehmer Ei Busuterehmer weiß aus Erfahrug, dass 0 % der Buchuge für eie agebotee Fahrt storiert werde. Ermittel Sie die Azahl k der Sitzlätze, über die der Bus verfüge muss, damit bei ursrüglich 50 Reservieruge ud eier Storierugswahrscheilichkeit vo 0 % das Überbelegugsrisiko uter 5 % bleibt. 0,8 ; 50 PX ( k) 0,05 PX ( k) 0,05 PX ( k) 0,95 PX ( k) 0,95 k Busuterehmer Ei Busuterehmer weiß aus Erfahrug, dass % der Buchuge für eie agebotee Fahrt storiert werde. Für eie agesfahrt steht ei Bus mit 4 Sitzlätze zur Verfügug. Es werde 45 Buchuge ageomme. Ermittel Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass die Sitzlätze icht ausreiche P0,88 X P X P X P X , , , 0, 080 0, ,0948 0,0037

23 Seite 3 vo Sortverei Eiem Sortverei gehöre 00 Mitglieder a. A der Jahreshautversammlug immt ei Mitglied mit eier Wahrscheilichkeit vo 35 % teil. Zur Beschlussfähigkeit müsse midestes 50 Mitglieder awesed sei. Im Versammlugslokal stehe 70 Sitzlätze zur Verfügug. Ermittel Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ereigisse: A: Alle awesede Mitglieder erhalte eie der zur Verfügug stehede Sitzlätze P A P X 70 F 70 0,5347 0,35 0,35 B: Die Versammlug ist beschlussfähig P B P X 50 P X 49 F 49 0,0009 0, ,35 0,35 0,35 C: Die Versammlug ist beschlussfähig, ud alle awesede Mitglieder erhalte eie Sitzlatz P C P 50 X 70 F 70 F 49 0,5347 0,0009 0,5356 0,35 0,35 0,35 Wie viele Sitzlätze müsste im Versammlugslokal midestes zur Verfügug stehe, dass mit eier Wahrscheilichkeit vo über 90 % alle awesede Mitglieder eie Sitzlatz fide? F F 78 0, ,9953 midestes 79 Plätze Schülerhausaufgabe Die Wahrscheilichkeit, dass Schüler Hausaufgabe bearbeite, beträgt. Bereche Sie, wie groß weigstes sei muss, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 50 % zwei zufällig ausgewählte Schüler die Hausaufgabe bearbeitet habe. B X 0,5 0,5 0 q 0,5 0 0,5 0,707

24 Seite 4 vo Multile-Choice-est Bei eiem Multile-Choice-est sid jeder der 30 Frage jeweils drei Atwortmöglichkeite beigegebe, wovo ur eie richtig ist. Die esterso kreuzt bei jeder Frage eie Atwort zufällig a. Gebe Sie a, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, geau zeh richtige Atworte zu gebe P 3 X 0 0, Ermittel Sie, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, mehr richtige als falsche Atworte zu gebe P X 6 P X 5 F 5 0,98 0, Fehltage Vo eier Klasse mit 3 Schüler ist bekat, dass jeder Schüler a % der Uterrichtstage fehlt. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass a eiem zufällig herausgegriffee ag geau füf Schüler fehle. P 3 X 5 0, 0,88 0, , Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass a eiem zufällig herausgegriffee ag höchstes zwei Schüler fehle. 0 P , X P0, X P0, X P0, X Würfelsiel Ei Sieler wirft eie Würfel 0-mal , 0,88 0, 0,88 0, 0,88 0,46730 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass a) der zweite Wurf eie 6 ist, Pa 6

25 Seite 5 vo 7 b) ur der zweite Wurf eie 6 ist, P b 9 5 0, c) der zweite ud dritte Wurf jeweils eie 6 ist, P c 0, d) ur der zweite ud dritte Wurf jeweils eie 6 ist? P d 8 5 0, e) geau zweimal 6 geworfe wird, Pe P 6 X 0, f) höchstes zweimal 6 geworfe wird, P P X F 0 f 6 0,3866 g) midestes zweimal 6 geworfe wird, Pg P X P X F 0,304 0, h) midestes zweimal ud höchstes füfmal eie 6 geworfe wird, P P X F F 0 h ,8985 0,304 0,76773 i) mehr als zweimal ud weiger als füfmal eie sechs geworfe wird, Pi P X 5 P 3 X 4 F 4 F 0, ,3866 0, j) bei de erste zeh Würfe geau zweimal eie 6 geworfe wird, P P X 0 0 j 0,907 6 k) bei de erste zeh ud de zweite zeh Würfe jeweils geau zweimal eie 6 geworfe wird?

26 Seite 6 vo 7 Pk P X P X 0,907 0, Glücksrad Ei Glücksrad ist i füf gleich große Felder eigeteilt. Geau zwei Felder trage de Buchstabe, geau drei Felder trage de Buchstabe. Ei Sieler dreht das Glücksrad zehmal. Bereche Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ereigisse: A: Bei de erste drei Drehuge erscheit der Buchstabe icht. B: Der Buchstabe erscheit geau dreimal. C: Der Buchstabe erscheit geau dreimal hitereiader, sost aber icht. D: Der Buchstabe erscheit frühestes bei der füfte Drehug zum erste Mal. E: Bei der zehte Drehug erscheit der Buchstabe zum füfte Mal PA 0,6 0, PB P 5 3 0,4 0,6 0,499 3 P C 0,4 0,6 8 0, PD0,6 0, PE P0,4 40,4 0,4 0,6 0,4 0, Beim eimalige Drehe eies adere Glücksrades wird der Buchstabe mit der Wahrscheilichkeit gedreht. Beim zweimalige Drehe dieses Glücksrades erscheit der Buchstabe mit eier Wahrscheilichkeit vo 84 % midestes eimal. Bereche Sie. P 0,84 P 0 0,84 P 0 0,6 P 0 0, ,6 0, 4 0, 4 0,4 0,6

27 Seite 7 vo 7 0,6

Wahrscheinlichkeit & Statistik

Wahrscheinlichkeit & Statistik Wahrscheilichkeit & Statistik created by Versio: 3. Jui 005 www.matheachhilfe.ch ifo@matheachhilfe.ch 079 703 7 08 Mege als Sprache der Wahrscheilichkeitsrechug, Begriffe, Grudregel Ereigisraum: Ω Ω Mege

Mehr

Statistik I/Empirie I

Statistik I/Empirie I Vor zwei Jahre wurde ermittelt, dass Elter im Durchschitt 96 Euro für die Nachhilfe ihrer schulpflichtige Kider ausgebe. I eier eue Umfrage uter 900 repräsetativ ausgewählte Elter wurde u erhobe, dass

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008 Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe

Mehr

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert. Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 7 3. Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger

Mehr

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung www.s.schule.de/~matheabi 1 Wahrscheilichkeitsrechug Eileitug Dieser Text ist etstade, um Schülerie ud Schüler der Jahrgagsstufe 12 die Wiederholug des Stoffs voragegageer Jahre zu erleichter. Nebe viele

Mehr

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/ mamaeusch Grudgesamtheitsaaylse ud Stichprobe. Betrachtuge zur Stichprobefidug Paula Lagares Justo Puerto 1 MaMaEuSch 2

Mehr

Daten und Zufall in der Jahrgangsstufe 9 Seite 1

Daten und Zufall in der Jahrgangsstufe 9 Seite 1 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite usammegesetzte uallsexperimete, Padregel Aubaued au de Erahruge aus de vorhergehede Jahrgagsstue beschätige sich die Schüler systematisch mit zusammegesetzte uallsexperimete

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst.

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst. Krytologie: Krytograhie ud Krytoaalyse Krytologie ist die Wisseschaft, die sich mit dem Ver- ud Etschlüssel vo Iformatioe befasst. Beisiel Iteretkommuikatio: Versiegel (Itegrität der Nachricht) Sigiere

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

Empirische Methoden I

Empirische Methoden I Hochschule für Wirtschaft ud 2012 Umwelt Nürtige-Geislige Fakultät Betriebswirtschaft ud Iteratioale Fiaze Prof. Dr. Max C. Wewel Prof. Dr. Corelia Niederdrek-Felger Aufgabe zum Tutorium Empirische Methode

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

2. Gleichwertige Lösungen

2. Gleichwertige Lösungen 8. Gleichwertige Lösuge Für die Lösug jeder lösbare Aufgabe gibt es eie uedliche Azahl vo (abstrakte ud kokrete) Algorithme. Das folgede Problem illustriert, dass eie Aufgabe eifacher oder kompliziert,

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen

WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen Aufgabe 1: WS 2000/2001 Aufgabe 1: (4 P (4 Pukte) Gebe Sie die Formel zur Bestimmug des relative sowie des koforme Zissatzes a ud erläuter Sie die Uterschiede bzw. Gemeisamkeite der beide Zisfüße. Lösug:

Mehr

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =

Mehr

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3 INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE

Mehr

15. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

15. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 5. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 5.. Eiführug Ereigisse sid oft icht geau vorhersagbar. Ma weiß vorher icht sicher, ob sie eitrete werde. Solche Ereigisse et ma zufällig. Beispiele: Müzwurf (Kopf oder Zahl)

Mehr

2 Wahl des Betriebsrats

2 Wahl des Betriebsrats 2 Wahl des Betriebsrats Übersicht R R Stadardprobleme aus diesem Kapitel 1 1. Wer ist wahlberechtigt?.. 1 2. Soderküdigugsschutz bei Wahle.... 2 3. Afechtug ud Nichtigkeit vo Betriebsratswahle.... 3 4.

Mehr

Lernhilfe in Form eines ebooks

Lernhilfe in Form eines ebooks Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite

Mehr

Demo für www.mathe-cd.de

Demo für www.mathe-cd.de Wahrscheilichkeitsrechug Hypergeometrische Verteilug Themeheft ud Traiigsheft Datei r. 4211 Stad 17. April 2010 Friedrich W. Buckel Demo für ITERETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 4211 Hypergeometrische

Mehr

3. Einführung in die Statistik

3. Einführung in die Statistik 3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : :

Mehr

Planen und Organisieren von Arbeitsabläufen. Kostenrechnung

Planen und Organisieren von Arbeitsabläufen. Kostenrechnung osterechug Bei der Vorkalkulatio werde die eies Erzeugisses vor der Herstellug ermittelt. Sie ist Grudlage für ei Preisagebot. Die Nachkalkulatio wird ach der Herstellug eies Erzeugisses durchgeführt.

Mehr

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen Testumfag für die Ermittlug ud Agabe vo Fehlerrate i biometrische Systeme Peter Uruh SRC Security Research & Cosultig GmbH peter.uruh@src-gmbh.de Eileitug Biometrische Systeme werde durch zwei wichtige

Mehr

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003 Credit Risk+ Itegratiossemiar zur BBL ud BWL Witersemester 2002/2003 Oksaa Obukhova lia Sirsikova Credit Risk+ 1 Ihalt. Eiführug i die Thematik B. Ökoomische Grudlage I. Ziele II. wedugsmöglichkeite 1.

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222 Korrekturrichtliie zur Studieleistug Wirtschaftsmathematik am..007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S-07 Für die Bewertug ud Abgabe der Studieleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme

Mehr

Versicherungstechnik

Versicherungstechnik Operatios Research ud Wirtschaftsiformati Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wedt DOOR Versicherugstechi Übugsblatt 3 Abgabe bis zum Diestag, dem 03..205 um 0 Uhr im Kaste 9 Lösugsvorschlag: Vorbereituge

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Model CreditRisk + : The Ecoomic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Semiar: Portfolio Credit Risk Istructor: Rafael Weißbach Speaker: Pablo Kimmig Ageda 1. Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk +

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien?

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien? Fiazmathematik Aufgabesammlug. Ei Kapital vo 5000 ist zu 6,5% ud ei Kapital vo 4500 zu 7% auf 2 Jahre agelegt. Wie groß ist der Uterschied der Edkapitalie? 2. Wa erreicht ei Kapital eie höhere Edwert,

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt 2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe 2.4.5.8 Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht:

Mehr

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT Qualitätskezahle für IT-Verfahre i der öffetliche Verwaltug Lösugsasätze zur Vo Stefa Bregezer Der Autor arbeitet im Bereich Softwaretest ud beschäftigt sich als Qualitätsbeauftragter mit Theme zu Qualitätssicherug

Mehr

Gliederung. Value-at-Risk

Gliederung. Value-at-Risk Value-at-Risk Dr. Richard Herra Nürberg, 4. Noveber 26 IVS-Foru Gliederug Modell Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Verteilug des Gesatschades Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk Risikobeurteilug

Mehr

Finanzmathematik für HAK

Finanzmathematik für HAK Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma

Mehr

Folgen und Reihen Glege 03/01

Folgen und Reihen Glege 03/01 Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische

Mehr

Zur Definition. der wirksamen. Wärmespeicherkapazität

Zur Definition. der wirksamen. Wärmespeicherkapazität Ao. Uiv. Prof. Dipl.-Ig. Dr. tech. Klaus Kreč, Büro für Bauphysik, Schöberg a Kap, Österreich Zur Defiitio der wirksae Wärespeicherkapazität vo Ao. Uiv. Prof. Dipl.-Ig. Dr. tech. Klaus Kreč Büro für Bauphysik

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung www.s.schule.de/~matheabi 32 www.s.schule.de/~matheabi 1 Stichwortverzeichis abhägig...8 bweichug... mittlere...7 iomialkoeffiziet...10 iomialverteilug...15, 24, 25 lockdiagramm...6 Ereigis...1 Elemetar-...1

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,

Mehr

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur Stichprobe im Rechugswese, Stichprobeivetur Prof Dr Iree Rößler ud Prof Dr Albrecht Ugerer Duale Hochschule Bade-Württemberg Maheim Im eifachste Fall des Dollar-Uit oder Moetary-Uit Samplig (DUS oder MUS-

Mehr

elektr. und magnet. Feld A 7 (1)

elektr. und magnet. Feld A 7 (1) FachHochschule Lausitz Physikalisches Praktikum α- ud β-strahlug im elektr. ud maget. Feld A 7 Name: Matrikel: Datum: Ziel des Versuches Das Verhalte vo α- ud β-strahlug im elektrische ud magetische Feld

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkomme zur der Aufgabesammlug Um sich schell ierhalb der ca. 35. Mathematikaufgabe zu orietiere, beutze Sie ubedigt das Lesezeiche Ihres Acrobat Readers: Das Ico fide Sie i der liks stehede

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 6. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug 6.. Defiitioe ud Beispiele Spiele aus dem Alltagslebe: Würfel, Müze, Karte,... u.s.w. sid gut geeiget die Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug darzustelle. Wir

Mehr

Abschlussprüfung 2014 an den Realschulen in Bayern

Abschlussprüfung 2014 an den Realschulen in Bayern Prüfugsdauer: 150 Miute Name: Abschlussprüfug 014 a de Realschule i ayer Mathematik II Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabe A 1 Nachtermi A 10 Agler verwede sogeate Schwimmer, die a der Agelschur

Mehr

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Hadelsschule Abschlussprüfug Sommer Fach: MATHEMATIK Bearbeitugszeit: Erlaubte Hilfsmittel: Zeitstude Nicht-programmierbarer Tascherecher

Mehr

Informatik II Dynamische Programmierung

Informatik II Dynamische Programmierung lausthal Iformatik II Dyamische Programmierug. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Zweite Techik für de Algorithmeetwurf Zum Name: "Dyamische " hat ichts mit "Dyamik" zu tu, soder mit

Mehr

Aufgaben zur vollständigen Induktion

Aufgaben zur vollständigen Induktion c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist

Mehr

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac)

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac) Beschreibede Statistik Kegröße i der Übersicht (Ac) Im folgede wird die Berechugsweise des TI 83 (sowie vo SPSS, s. ute) verwedet. Diese geht auf eie Festlegug vo Moore ud McCabe (00) zurück. I der Literatur

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

Transformator. n Windungen

Transformator. n Windungen echische iversität Dresde stitut für Ker- ud eilchephysik R. Schwierz V/5/29 Grudpraktikum Physik Versuch R rasformator rasformatore werde i viele ereiche der Elektrotechik ud Elektroik eigesetzt. Für

Mehr

Beurteilung des Businessplans zur Tragfähigkeitsbescheinigung

Beurteilung des Businessplans zur Tragfähigkeitsbescheinigung Fachkudige Stellugahme Beurteilug des Busiessplas zur Tragfähigkeitsbescheiigug Name Datum Has Musterma 7. Oktober 2015 Wilfried Orth Grüdugsberatug Stadort Würzburg: Stadort Stuttgart: Waldleite 9a Möhriger

Mehr

e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + 2b f) 2 log (x) + 3 log (2y) 0.5 log (z)

e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + 2b f) 2 log (x) + 3 log (2y) 0.5 log (z) Mathematik 1 Test SELBSTTEST MATHEMATIK 1. Forme Sie die folgede Terme um: a) y y y y + y : ( ) ( ) b) ( 9 ) 18 c) 5 3 3 3 d) 6 5 4 ( 7 y ) 3 4 5 ( 14 y ) e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + b f) log () +

Mehr

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

Statistik. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.html

Statistik. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.html Statistik Prof. Dr. K. Melzer kari.melzer@hs-esslige.de http://www.hs-esslige.de/de/mitarbeiter/kari-melzer.html Ihaltsverzeichis 1 Eileitug ud Übersicht 3 2 Dategewiug (kurzer Überblick) 3 2.1 Plaugsphase

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr

Finanzmathematische Formeln und Tabellen

Finanzmathematische Formeln und Tabellen Jui 2008 Dipl.-Betriebswirt Riccardo Fischer Fiazmathematische Formel ud Tabelle Arbeitshilfe für Ausbildug, Studium ud Prüfug im Fach Fiaz- ud Ivestitiosrechug Dieses Werk, eischließlich aller seier Teile,

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik

Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik Ihalt: Aufgabe -: Eifache achschüssige Zise Aufgabe : Eifache vorschüssige Zise Aufgabe 4-5: Ziseszise bei Zisasammlug Aufgabe 6-: Ziseszise bei Zisauszahlug

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Prof. Dr. Has-Wolfgag He UNIVERSITÄT DORTMUND Fachbereich Mathematik Istitut für Etwicklug ud Erforschug des Mathematikuterrichts Eiführug i die Stochastik Skriptum zur Vorlesug im WS 00/003 Ihaltsverzeichis.

Mehr

Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung Mathematik Formelsammlug Mathematik 1 Fiazmathematik 1.1 Reterechug Sei der Zissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie R die regelmäßig zu zahlede Rate, die Laufzeit. Edwert: Barwert: achschüssig R = R q 1 q 1

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitslehre

1 Wahrscheinlichkeitslehre Wahrscheilichkeitslehre. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Die Wahrscheilichkeitslehre ist ei elemetarer Bestadteil der Statistik. Die mathematische Wahrscheilichkeitslehre umfasst ei kompliziertes

Mehr

( ) Formelsammlung. Kombinatorik. Permutation: ohne Wiederholung. n! = n (n - 1) (n - 2)... 3 2 1 n= alle Elemente. Permutation: mit Wiederholung

( ) Formelsammlung. Kombinatorik. Permutation: ohne Wiederholung. n! = n (n - 1) (n - 2)... 3 2 1 n= alle Elemente. Permutation: mit Wiederholung Formelsammlug Kombiatori Permutatio: ohe Wiederholug! = ( - 1) ( - 2).... 3 2 1 = alle Elemete Permutatio: mit Wiederholug!! P, = = usw. = gleiche Elemete! 1! K 2! Stichprobe (SP) = geordete Auswahl Geordete

Mehr

Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik CURANDO UNIVERSITÄT ULM SCIENDO DOCENDO Elemetare Wahrscheilichkeitsrechug ud Statistik Uiversität Ulm Istitut für Stochastik Vorlesugsskript Prof. Dr. Volker Schmidt Stad: Witersemester 28/9 Ulm, im Februar

Mehr

Arbeitsplätze in SAP R/3 Modul PP

Arbeitsplätze in SAP R/3 Modul PP Arbeitsplätze i SAP R/3 Modul PP Was ist ei Arbeitsplatz? Der Stadort eier Aktioseiheit, sowie dere kokrete räumliche Gestaltug Was ist eie Aktioseiheit? kleiste produktive Eiheit i eiem Produktiosprozess,

Mehr

KUNDENPROFIL FÜR GELDANLAGEN

KUNDENPROFIL FÜR GELDANLAGEN KUNDENPROFIL FÜR GELDANLAGEN Geldalage ist icht ur eie Frage des Vertraues, soder auch das Ergebis eier eigehede Aalyse der Fiazsituatio! Um Ihre optimale Beratug zu gewährleiste, dokumetiere wir gemeisam

Mehr

Robuste Asset Allocation in der Praxis

Robuste Asset Allocation in der Praxis Fiazmarkt Sachgerechter Umgag mit Progosefehler Robuste Asset Allocatio i der Praxis Pesiosfods ud adere istitutioelle Aleger sid i aller Regel a ei bestimmtes Rediteziel (Rechugszis) gebude, das Jahr

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern KASSENBUCH ONLINE Olie-Erfassug vo Kassebücher Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Ituitive Olie-Erfassug des Kassebuchs... 5 3.2 GoB-sicher

Mehr

Körpergröße x Häufigkeit in [m] 1.50 1.60 1 1.60 1.70 5 1.70 1.80 49 1.80 1.90 53 1.90 2.00 15 2.00 2.10 1

Körpergröße x Häufigkeit in [m] 1.50 1.60 1 1.60 1.70 5 1.70 1.80 49 1.80 1.90 53 1.90 2.00 15 2.00 2.10 1 8 Kofidezitervalle 1 Kapitel 8: Kofidezitervalle A: Beispiele Beispiel 1: Im WS 2000/01 wurde im Rahme der Statistik Vorlesug 124 Studete u.a. zu ihrer Körpergröße befragt. Ma erhielt folgedes Ergebis:

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3 FIBU Kosterechug Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Variable oder fixe Kostestelleverteilug... 4 2.2 Mehrstufiges Umlageverfahre... 5 2.3 Kosolidierugsebee für die Wertekotrolle...

Mehr

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung Versuch D: Eergiebilaz eier Verbreug 1. Eiführug ud Grudlage 1.1 Eergiebilaz eier Verbreug Die Eergiebilaz eier Verbreug wird am eispiel eier kleie rekammer utersucht, i welcher die bei der Verbreug vo

Mehr

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81 Fiazmathematik 8 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide.

Mehr

Leitfaden zu den Zertifikate-Indizes. Discount-Index Outperformance-Index Bonus-Index Kapitalschutz-Index Aktienanleihen-Index

Leitfaden zu den Zertifikate-Indizes. Discount-Index Outperformance-Index Bonus-Index Kapitalschutz-Index Aktienanleihen-Index Leitfade zu de Zertifikate-Idizes Discout-Idex Outerformace-Idex Bous-Idex Kaitalschutz-Idex Aktiealeihe-Idex Fassug vom 22.02.2011 Versiosübersicht Versios- ID 1.00 1.10 1.20 1.30 Datum 28.02.2009 28.04.2009

Mehr

Investitionsentscheidungsrechnung Annuitäten Methode

Investitionsentscheidungsrechnung Annuitäten Methode Mit Hilfe der köe folgede Ivestitioe beurteilt werde: eizele Ivestitioe alterative Ivestitiosobjekte optimale Ersatzzeitpukte Seite 1 Folgeder Zusammehag besteht zwische der Kapitalbarwertmethode ud der

Mehr

Das Rätsel mit der Balkenwaage

Das Rätsel mit der Balkenwaage Das Rätsel mit der Balkewaage Mathematische Abhadlug über ei Iformatiosproblem 6. Juli 998:. Fassug 6. Jauar 999: 2. Fassug 24. Jui 2005: Überarbeitug Marti Abbühl, Thu, CH balkewaage@abbuehl.et 0. Ihalt

Mehr

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische

Mehr

Prof. Dr. Günter Hellmig. Klausurenskript Finanzmathematik

Prof. Dr. Günter Hellmig. Klausurenskript Finanzmathematik Prof. Dr. Güter Hellig lausureskript Fiazatheatik Ihalt: lausur vo WS 9/. Eifache Zise: Vorschüssigkeit ud Nachschüssigkeit. Reterechug: Reteedwert ud Retebarwert 3. Tilgugsrechug: Tilgugspla bei Ratetilgug

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

h i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert

h i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert Deskriptive Statistik dimesioale Date Date ud Häufigkeite Seite Nomial Ordial Metrisch (Kardial Metrisch klassiert Beschreibug: Date habe keie atürliche Reihefolge. Bsp: Farbe, Religio, Geschlecht, Natioalität...

Mehr

PrivatKredit. Direkt ans Ziel Ihrer Wünsche

PrivatKredit. Direkt ans Ziel Ihrer Wünsche PrivatKredit Direkt as Ziel Ihrer Wüsche Erlebe Sie eue Freiräume. Leiste Sie sich, was Ihe wichtig ist. Sie träume scho seit lagem vo eier eue Aschaffug, wie z. B.: eiem eue Auto eue Möbel Oder es stehe

Mehr

Mengenbegriff und Mengendarstellung

Mengenbegriff und Mengendarstellung R. Brikma http://brikma-du.de Seite 1 05.10.008 Megebegriff ud Megedarstellug Eie Mege, ist die Zusammefassug bestimmter, wohluterschiedeer Objekte userer Aschauug ud useres Dekes welche Elemete der Mege

Mehr

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07.

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07. Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Wirtschaftsigeieurwese Wirtschaftsmathematik Prüfugsleistug WI-WMT-P 040703 Datum 03.07.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich:

Mehr