5 Bernoulli-Kette. 5.1 Bernoulli-Experiment. Jakob Bernoulli Schweizer Mathematiker und Physiker Einleitung

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1 Seite vo 7 5 Beroulli-Kette Jakob Beroulli Schweizer Mathematiker ud Physiker 5. Beroulli-Exerimet 5.. Eileitug Oft iteressiert ma sich bei Zufallsexerimete icht für die eizele Ergebisse, soder ur dafür, ob ei Ereigis reffer eitritt oder icht eitritt. BEISPIEL: Werfe eies Würfels beim Siel Mesch ärgere dich icht ; ;3; 4;5 5.. Defiitio 6 ; Ei Zufallsexerimet, desse Ergebisraum i der Form dargestellt wird, et ma Beroulli-Exerimet. Ω Bezeichuge: reffer = Ereigis iete = Ereigis refferwahrscheilichkeit P 5..3 Beisiele ; Parameter ietewahrscheilichkeit P q

2 Seite vo 7 Würfelsiel Mesch ärgere dich icht 6 ; ; ; 3; 4;5;6 ; ;3; 4;5 ; P( ) 6 5 q P( ) 6 Mii-Roulette Exerimet: Zufälliges Ziehe eier Ziffer ( Mii-Roulette ) 0;; ; 3; 4;5; 6;7;8; 9 Ergebisraum Ereigis reffer = Die gezogee Ziffer ist eie Primzahl = ;3;5; 7 refferwahrscheilichkeit 4 P( ) 40 % 0, 4 0 ietewahrscheilichkeit q P( ) 0,4 0, 6 5. Beroulli-Ketterozess 5.. Defiitio Eie geordete Stichrobe mit Zurücklege, die aus eiem -stufige Ketterozess vo uabhägige Beroulli-Exerimete mit gleichbleibeder refferwahrscheilichkeit besteht, et ma Beroulli-Kette der Läge mit dem Parameter.

3 Seite 3 vo 7 = Azahl der Stufe = Läge der Kette = refferwahrscheilichkeit P = kostat 5.. Ziel: Berechug der Wahrscheilichkeit für geau k reffer Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ma bei eier Beroulli-Kette der Läge mit dem Parameter geau k 0 k reffer erzielt? geau reffer ; ; P k P X k P k W k B k B k X = refferazahl ( Zufallsgröße ) 5..3 Herleitug der Beroulli-Formel ahad eies Beisiels Exerimet: Zufälliges Ziehe eier Ziffer ( Mii-Roulette ) Ergebisraum 0;;;3;4;5;6;7;8;9 Ereigis reffer = Die gezogee Ziffer ist eie Primzahl = ;3;5;7 refferwahrscheilichkeit 4 P( ) 40 % 0, 4 0 ietewahrscheilichkeit q P( ) 0,4 0, 6 Gegebe: Läge 5 refferazahl k 3

4 Seite 4 vo 7 Gesucht: 3 geau 3 reffer 3 3 B 5; 0,4; k 3 B5;0,4;3 B 5 3 P X P P W 0,4

5 Seite 5 vo 7 P k (;;;;) 0,4 5 0,60 5 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 4 0,6 4 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 3 0,6 3 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 0,63 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 0,64 (;;;;) 0,4 0 0,65 0

6 Seite 6 vo 7 Ergebis: Es gibt geau 0 Wege mit geau 3 reffer ud damit geau iete. Die Wahrscheilichkeit für eie dieser Wege ist ach der erste Pfadregel 0,4 0,6. Die gesuchte Wahrschei- 3 lichkeit für geau drei reffer beträgt somit ach der zweite Pfadregel P X 3 B 5;0,4;3 B 3 00,4 0,6 0,304 Berechug der Azahl 0 der Wege: 5 3 0,4 Vo 5 Stufe werde 3 Stufe für reffer ausgewählt. Für die Lage der 3 reffer ierhalb der 5-gliedrige Kette gibt es die folgede 0 Möglichkeite: Bei dieser Auswahl 3 aus 5 hadelt es sich um eie ugeordete Stichrobe ohe Wiederholuge mit 0 Ergebisse. Azahl der Wege = ! 5C !! Ergebis: 5 3 PX 3W 3 B5;0, 4;3 0, 4 0,6 0, 304 3,04 % 3 Fehler: 0 PX 3 0,35 3 Es hadelt sich um kei Lalace-Exerimet, da die 3 Wege icht gleichwahrscheilich sid.

7 Seite 7 vo Allgemeie Beroulli-Formel für eie Biomialverteilug Für die Wahrscheilichkeit, bei eier Beroulli-Kette der Läge mit dem Parameter geau k reffer zu erziele, gilt: P X k W k B k q k k k k k ; ; Begrüdug: k mit q Für jede Pfad aus Stufe mit k reffer ud k k ach der erste Pfadregel q. k iete beträgt die Wahrscheilichkeit Für die Lage der k reffer i der -stufige Kette gibt es Pfade mit geau k reffer. Möglichkeite. Also gibt es k k ach der zweite Pfadregel folgt die Behautug: P X k k ( ) k k P X x x auch: ( ) x x 5..5 abellarisierug ud grafische Darstellug eier Biomialverteilug = 5 = 0,4 5 PX kw k B5;0, 4; k B k 0, 4 0,6 k Wertetabelle: 5 k 5 k 0,4 k P X k W k 0, ,59 0,3456 0,304 0,0768 0,004

8 Seite 8 vo 7 afelwerk: Ausschitt aus afelwerk: = 0,4 B ; ; k P X k W k 0, ,590 0, ,3040 0, ,004 k

9 Seite 9 vo 7 Grafische Darstellug: P X k 0,4 0,3 0, 0, k Histogramm: 0,4 0,3 0, 0, Die Flächeihalte der Säule gebe die Wahrscheilichkeitswerte wieder, icht die Säulehöhe Midestes ei reffer Beisiel: 5 0,4

10 Seite 0 vo 7 P midestes ei reffer P X 5 P X 5 P PP 3 P4P 5 P ,4 0,4 5 0,4 0,6 0, ,6 0, ,9 afelwerk möglich P X P 0 q q q 0 Allgemei: 0 afelwerk evetuell möglich 5..7 Bereche vo Wahrscheilichkeite = 5 = 0,4 0,4 afelwerk möglich P(mehr reffer als iete) = P ( 3 X 5) P(3) P(4) P(5) = 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0, , ,004 = 0, Kumulative Verteilugsfuktio = 5 = 0,4 höchstes drei reffer P P X P X P P P P ,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0, , ,59 0,3456 0,304 0, ;0, 4; 5;0, 4; P X k P X k P P k F k F k B i Wertetabelle: k P( X k) W ( k) 0, ,59 0,3456 0,304 0,0768 0,004 P( X k) F( k) 0, , ,6856 0,996 0,98976 k i 0

11 Seite vo 7 k ;0 0; ; ;3 3; 4 4;5 5; P( X k) F( k) 0 0, , ,6856 0, Ausschitt aus afelwerk: = 0,4 k B ; ; k PX k W k B ; ; i PX k Fk Grafische Darstellug: 0, ,590 0, ,3040 0, ,004 k i 0 0, , ,6856 0,996 0,98976, ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,

12 Seite vo Allgemeie Formel für kumulative Verteilugsfuktio Für eie Beroulli-Kette der Läge mit dem Parameter gilt: k P X k F( k) F ; ; k F k B ; ; i i Bereche vo Wahrscheilichkeite mit Hilfe der Verteilugsfuktio = 5 = 0,4 BEISPIEL : P(mehr reffer als iete) = = 0,6856 0, 3744 P ( 3 X 5) P(3) P(4) P(5) F(5) F() BEISPIEL : P ( X 5) P( X 4) P() P(3) P(4) F(4) F() 0, , , Wartezeitaufgabe; Läge eier Beroulli-Kette Aufgabe: Welche Läge muss eie Beroulli-Kette mit dem Parameter 0,4 midestes besitze, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 90 % midestes eie reffer zu erziele? P0,4 P0,4 X 0,9 X 0 0,9 P0,4 X 0 0, P0,4 X 0 0, 0 0 0, 4 0,6 0, 0,6 0, l 0,6 l 0, l 0,6 l 0, 0

13 Seite 3 vo 7 l 0, 4,5 l 0,6 5 Allgemei: Welche Läge muss eie Beroulli-Kette mit dem Parameter midestes besitze, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes a midestes eie reffer zu erziele? P X a P X 0 a P X 0 a P X 0 a 0 0 q a q a q a l l l l q a 0 l a l q 5.3 Aufgabe 5.3. Likshäder 5 % der Mesche sid Likshäder. Es werde 0 Persoe (acheiader mit Zurücklege) zufällig beobachtet. Zu bereche sid folgede Wahrscheilichkeite: a) Keie Perso ist Likshäder PX 0 B0,5 0 0,5 0,85 0, b) Geau drei Persoe sid Likshäder PX 3 B0,5 3 0,5 0,85 0,983 3

14 Seite 4 vo 7 c) Geau drei aufeiaderfolgede Persoe sid Likshäder ,5 0,85 8 0,00866 d) Höchstes drei Persoe sid Likshäder PX 3 0,5 0,85 0,5 0,85 0,5 0,85 0,5 0, , oder: P X F F 3 0;0,5;3 3 0, ,5 e) Midestes drei Persoe sid Likshäder. 0 P X 3 P X F 0,800 0,7980 0,5 f) ur die erste Perso ist Likshäder. 9 0,5 0,85 0,03474 g) ur die erste drei Persoe sid Likshäder ,5 0,85 0,0008 h) Die erste drei Persoe sid Likshäder. 3 0,5 0, i) ur die zweite, dritte ud vierte Perso sid Likshäder ,85 0,5 0,85 0,5 0,85 0,0008 k) Midestes drei, aber weiger als acht Persoe sid Likshäder P 3 X 8 P 3 X 7 F 7 F 0, ,800 0, Überbelegug bei Reservierug a) Ei Hotel verfügt über 40 Zimmer, immt aber 50 Reservieruge a. Ei bestelltes Zimmer wird mit eier Wahrscheilichkeit vo 0 % storiert. Zu ermittel ist das Risiko der Überbelegug. P ( X 4) P( X 40) F(40) 0,5566 0,44374

15 Seite 5 vo 7 b) Zu ermittel ist die Azahl k der Zimmer, über die das Hotel verfüge müsste, damit bei 50 Reservieruge ud eier Storierugswahrscheilichkeit vo 0 % das Überbelegugsrisiko uter 5 % bleibt. k PX k PX k 0,95 k 0,95 50 P X 0,05 0,05 P X F0, k 0,95 k Zuverlässigkeit eies Systems Ei System besteht aus 00 eile, vo dee jedes mit eier Zuverlässigkeit vo 80 % arbeitet. Das System fuktioiert, we midestes 75 eile i Ordug sid. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für das Fuktioiere des Systems? 00 P X 75 P X 74 F 74 0, , Qualitätskotrolle 0,8 Bei der Herstellug vo elektroische Bauteile beträgt die Ausschusswahrscheilichkeit 0,05. Bei eier Qualitätskotrolle werde der Produktio zufällig 30 Bauteile etomme. Ermittel Sie folgede Wahrscheilichkeite: a) Geau drei eile sid defekt PX 3 B0,05 3 0,05 0,95 0,705 3 b) Mehr als füf eile sid defekt. 30 P X 5 P X 5 F 5 0,9967 0,0038 0,05 c) ur die erste vier eile sid defekt. 4 0,05 0,95 6 0,

16 Seite 6 vo 7 d) Geau zwei aufeiaderfolgede eile sid defekt, die adere aber icht. 0,05 0, Glücksrad 9 0,074.0 Ei Glücksrad ist i siebe gleich große Felder eigeteilt. Geau drei Felder trage de Buchstabe, geau vier Felder trage de Buchstabe. Ei Sieler dreht das Glücksrad 3-mal. Bereche Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ereigisse:. Bei de erste drei Drehuge erscheit der Buchstabe icht P. 0, Der Buchstabe erscheit geau dreimal P(.) PX 3 P3 X 3 B3 X 3 0, Der Buchstabe erscheit geau dreimal hitereiader, sost aber icht P(.3) 0, Der Buchstabe erscheit frühestes bei der füfte Drehug zum erste Mal P(.4) 0, Bei der letzte Drehug erscheit der Buchstabe zum füfte Mal P(.5) P X 4 B X 4 0, Beim eimalige Drehe eies adere Glücksrades wird der Buchstabe mit der Wahrscheilichkeit gedreht. Beim zweimalige Drehe dieses Glücksrades erscheit der Buchstabe mit eier Wahrscheilichkeit vo 84 % midestes eimal.. Bereche Sie.

17 Seite 7 vo 7 q q q q q q q 0,84 0,84 0,84 / 0,84 0 0,6 oder: 440,84 0,64 0,8, 4 0,4 0,6 q 0,84 0,6 q 0, 4 q 0, 4 q0,4 0,6 oder: P X 0,84 P X 0 0,84 PX 0 0,6 PX 0 0,6 0 0,6 0 0,6 0,4 0,6 0,4, 4 0,6

18 Seite 8 vo otaubeschieße A eiem otaubeschieße immt ei Schütze teil, der durchschittlich bei füf Schüsse dreimal trifft.. Zu bereche sid folgede Wahrscheilichkeite:. Er erzielt bei drei Schüsse keie (geau eie, geau zwei, drei) reffer. 3 PX k B k 0,6 0,4 k 3 k 3k 0,6 k 0 3 P X k 0,064 0,88 0,43 0,6. Er erzielt bei drei Schüsse midestes eie (midestes zwei) reffer. PX P X 0 0,064 0,936 P X P X P X 3 0,43 0,6 0,648.3 Er erzielt bei drei Schüsse höchstes eie (höchstes zwei) reffer. PX P X P X 0 P X P( X ) 0,064 0, 88 0, 43 0, , 6. Aus wie viele Schüsse muss eie Serie midestes bestehe, damit der Schütze mit mehr als 99 % Wahrscheilichkeit weigstes eie reffer erzielt? P X 0,99 PX 0 0,99 PX 0 0,0 P X 0 0, ,6 0, 4 0,0 0, 4 0,0 lg 0, 4 lg 0,0 lg 0, 4 lg 0,0 0

19 Seite 9 vo 7 lg 0,0 log 0,4 0,0 5,03 lg 0, Fehlede Schüler Vo eier Klasse mit 7 Schüler ist bekat, dass jeder Schüler im Durchschitt a 0 % der Uterrichtstage fehlt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass a eiem beliebig herausgegriffee ag höchstes zwei Schüler fehle? P X P0, X F0, P X P X P X Lotterielose , 0,9 0, 0,9 0, 0,9 0, ,0585 0,7445 0,598 I eier Lotterie gewit ma mit eier Wahrscheilichkeit vo %. Wie viele Lose muss ma midestes kaufe, um mit eier Sicherheit vo weigstes 95 % midestes eimal zu gewisse? P X 0,95 P X 0 0,95 P X 0 0,05 P X 0 0, , 0,88 0,05 0,88 0,05 lg 0,88 lg 0,05 lg 0,88 lg 0,05 0 lg 0,05 log0,88 0,05 3, 43 lg 0,88 4

20 Seite 0 vo Sort Jemad sielt gege eie gleichwertige Geger Schach (eis etc.). Ist es wahrscheilicher, midestes vo oder midestes vo 4 Siele zu gewie? 0 PX PP 0,5 0,5 0,5 0,5 30,5 0, PX PP3P4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, ,065 0, Buchstabelegesiel Bei eiem Buchstabelegesiel befide sich i eier Ure eu gleichartige Plättche, vo dee zwei de Buchstabe F, drei de Buchstabe O ud vier de Buchstabe S trage. Rude Sie im Folgede bei de zu berechede Wahrscheilichkeite auf vier achkommastelle. Ei Sieler zieht acheiader ohe Zurücklege drei Plättche ud legt sie vo liks ach rechts ebeeiader auf de isch. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass die gezogee Buchstabe das Wort FOS ergebe. 3 4 P FOS 0, u zieht der Sieler ei Plättche, otiert de Buchstabe ud legt das Plättche i die Ure zurück. Da zieht er das ächste Plättche, schreibt de erhaltee Buchstabe rechts ebe de erste ud fährt so fort, bis er isgesamt sechs Plättche gezoge hat; der Sieler erhält so ei Wort mit sechs Buchstabe. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass i dem gebildete Wort geau zweimal der Buchstabe S vorkommt P4 9 S 0, Der Ihalt der Ure wird u geädert, idem ohe Wisse des Sielers ei zusätzliches Plättche mit dem Buchstabe X i die Ure gemischt wird. Bereche Sie, wie oft der Sieler midestes mit Zurücklege ziehe muss, damit er mit eier Wahrscheilichkeit vo mehr als 95 % weigstes eimal de Buchstabe X zieht. P0, X 0,95

21 Seite vo 7 P0, X 0 0,95 P0, X 0 0,05 P0, X 0 0,05 0 0, 0,9 0, ,9 0, 05 l 0,9 l 0,05 l 0,9 l 0,05 0 l 0,05 8,43 l 0, Führerscheirüfug A de Führerscheirüfuge der Fahrschule Drauswirdickx ahme im Jauar 4 mäliche ud 70 weibliche Prüflige teil. Isgesamt 55 Prüflige ware icht erfolgreich. 80 Mäer habe die Prüfug bestade. Für das Zufallsexerimet Zufällige Auswahl eies Prüfligs werde folgede Ereigisse betrachtet: M: Der Prüflig ist mälich. B: Der Prüflig hat bestade. Beurteile Sie die stochastische Uabhägigkeit der Ereigisse M ud B. 4 9 PMPB 0, PM B 0, PMPB 84 stochastische Uabhägigkeit Für die folgede Betrachtuge werde u 5 Prüflige zufällig ausgewählt. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Fahrschüler mit Erfolg a der Prüfug teilahm, beträgt 70 %. Bereche Sie jeweils die Wahrscheilichkeit dafür, dass. geau 3 dieser 5 Prüflige bestade habe; PX 0 P0,7 X 0 B0,7 X 0 0, 7 0,3 0, mehr als die Hälfte dieser 5 Prüflige bestade habe; 5 P X 8 P X 7 F 7 0,0500 0, ,7

22 Seite vo 7.3 ur die erste acht dieser 5 Prüflige bestade habe; P(.3) 0, 7 0,3, 6 0 0, geau zwölf aufeiaderfolgede Prüflige bestade habe, die adere aber icht; 3 P(.4) 0, 7 0,3 4 0, der letzte dieser 5 Prüflige als zwölfter bestade hat. 4 P(,5) P 4 3 0,7 X 0, 7 0, 7 0,3 0, 7 0, Busuterehmer Ei Busuterehmer weiß aus Erfahrug, dass 0 % der Buchuge für eie agebotee Fahrt storiert werde. Ermittel Sie die Azahl k der Sitzlätze, über die der Bus verfüge muss, damit bei ursrüglich 50 Reservieruge ud eier Storierugswahrscheilichkeit vo 0 % das Überbelegugsrisiko uter 5 % bleibt. 0,8 ; 50 PX ( k) 0,05 PX ( k) 0,05 PX ( k) 0,95 PX ( k) 0,95 k Busuterehmer Ei Busuterehmer weiß aus Erfahrug, dass % der Buchuge für eie agebotee Fahrt storiert werde. Für eie agesfahrt steht ei Bus mit 4 Sitzlätze zur Verfügug. Es werde 45 Buchuge ageomme. Ermittel Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass die Sitzlätze icht ausreiche P0,88 X P X P X P X , , , 0, 080 0, ,0948 0,0037

23 Seite 3 vo Sortverei Eiem Sortverei gehöre 00 Mitglieder a. A der Jahreshautversammlug immt ei Mitglied mit eier Wahrscheilichkeit vo 35 % teil. Zur Beschlussfähigkeit müsse midestes 50 Mitglieder awesed sei. Im Versammlugslokal stehe 70 Sitzlätze zur Verfügug. Ermittel Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ereigisse: A: Alle awesede Mitglieder erhalte eie der zur Verfügug stehede Sitzlätze P A P X 70 F 70 0,5347 0,35 0,35 B: Die Versammlug ist beschlussfähig P B P X 50 P X 49 F 49 0,0009 0, ,35 0,35 0,35 C: Die Versammlug ist beschlussfähig, ud alle awesede Mitglieder erhalte eie Sitzlatz P C P 50 X 70 F 70 F 49 0,5347 0,0009 0,5356 0,35 0,35 0,35 Wie viele Sitzlätze müsste im Versammlugslokal midestes zur Verfügug stehe, dass mit eier Wahrscheilichkeit vo über 90 % alle awesede Mitglieder eie Sitzlatz fide? F F 78 0, ,9953 midestes 79 Plätze Schülerhausaufgabe Die Wahrscheilichkeit, dass Schüler Hausaufgabe bearbeite, beträgt. Bereche Sie, wie groß weigstes sei muss, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 50 % zwei zufällig ausgewählte Schüler die Hausaufgabe bearbeitet habe. B X 0,5 0,5 0 q 0,5 0 0,5 0,707

24 Seite 4 vo Multile-Choice-est Bei eiem Multile-Choice-est sid jeder der 30 Frage jeweils drei Atwortmöglichkeite beigegebe, wovo ur eie richtig ist. Die esterso kreuzt bei jeder Frage eie Atwort zufällig a. Gebe Sie a, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, geau zeh richtige Atworte zu gebe P 3 X 0 0, Ermittel Sie, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, mehr richtige als falsche Atworte zu gebe P X 6 P X 5 F 5 0,98 0, Fehltage Vo eier Klasse mit 3 Schüler ist bekat, dass jeder Schüler a % der Uterrichtstage fehlt. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass a eiem zufällig herausgegriffee ag geau füf Schüler fehle. P 3 X 5 0, 0,88 0, , Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass a eiem zufällig herausgegriffee ag höchstes zwei Schüler fehle. 0 P , X P0, X P0, X P0, X Würfelsiel Ei Sieler wirft eie Würfel 0-mal , 0,88 0, 0,88 0, 0,88 0,46730 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass a) der zweite Wurf eie 6 ist, Pa 6

25 Seite 5 vo 7 b) ur der zweite Wurf eie 6 ist, P b 9 5 0, c) der zweite ud dritte Wurf jeweils eie 6 ist, P c 0, d) ur der zweite ud dritte Wurf jeweils eie 6 ist? P d 8 5 0, e) geau zweimal 6 geworfe wird, Pe P 6 X 0, f) höchstes zweimal 6 geworfe wird, P P X F 0 f 6 0,3866 g) midestes zweimal 6 geworfe wird, Pg P X P X F 0,304 0, h) midestes zweimal ud höchstes füfmal eie 6 geworfe wird, P P X F F 0 h ,8985 0,304 0,76773 i) mehr als zweimal ud weiger als füfmal eie sechs geworfe wird, Pi P X 5 P 3 X 4 F 4 F 0, ,3866 0, j) bei de erste zeh Würfe geau zweimal eie 6 geworfe wird, P P X 0 0 j 0,907 6 k) bei de erste zeh ud de zweite zeh Würfe jeweils geau zweimal eie 6 geworfe wird?

26 Seite 6 vo 7 Pk P X P X 0,907 0, Glücksrad Ei Glücksrad ist i füf gleich große Felder eigeteilt. Geau zwei Felder trage de Buchstabe, geau drei Felder trage de Buchstabe. Ei Sieler dreht das Glücksrad zehmal. Bereche Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ereigisse: A: Bei de erste drei Drehuge erscheit der Buchstabe icht. B: Der Buchstabe erscheit geau dreimal. C: Der Buchstabe erscheit geau dreimal hitereiader, sost aber icht. D: Der Buchstabe erscheit frühestes bei der füfte Drehug zum erste Mal. E: Bei der zehte Drehug erscheit der Buchstabe zum füfte Mal PA 0,6 0, PB P 5 3 0,4 0,6 0,499 3 P C 0,4 0,6 8 0, PD0,6 0, PE P0,4 40,4 0,4 0,6 0,4 0, Beim eimalige Drehe eies adere Glücksrades wird der Buchstabe mit der Wahrscheilichkeit gedreht. Beim zweimalige Drehe dieses Glücksrades erscheit der Buchstabe mit eier Wahrscheilichkeit vo 84 % midestes eimal. Bereche Sie. P 0,84 P 0 0,84 P 0 0,6 P 0 0, ,6 0, 4 0, 4 0,4 0,6

27 Seite 7 vo 7 0,6