Kapitel 2: Laplacesche Wahrscheinlichkeitsräume

Transkript

1 (Kapitel 2 : Laplacesche Wahrscheilicheitsräume) Kapitel 2: Laplacesche Wahrscheilicheitsräume Wie beim uverfälschte Müzewurf ud beim uverfälschte Würfel spiele Symmetrieüberleguge, die jedem Elemetarereigis die gleiche Wahrscheilicheit zuorde, i viele Aweduge eie wichtige olle Ma spricht vo eiem Laplace-Experimet, dh es hat edlich viele mögliche Ausgäge, die als gleich wahrscheilich agesehe werde Hierher gehöre Spiele, die auf Symmetrieeigeschafte eies Apparates beruhe, wie Würfel, Kartespiele ud oulette, aber auch Modelle der Physi, i dee die Verteiluge gewisser Teilche beschriebe werde, Modelle der Geeti, usw Weiter lasse sich viele Probleme omplexer atur auf diese eifache Experimete zurücführe, ud eie Azahl wichtiger Wahrscheilicheite baue sich auf diese eifache Wahrscheilicheitsmaße auf 21 Defiitio : Ei edlicher W-raum (Ω, P) heißt Laplacescher Wahrscheilicheitsraum, falls P(ω) 1 für alle ω Ω Ω P heißt da Gleichverteilug, Laplacesche Verteilug oder lassische Verteilug i Ω Es gilt : Die Wahrscheilicheit des Ereigisses A Ω ist: (*) P(A) A Azahl der für A güstige Fälle / Azahl der mögliche Fälle Ω Beweis : Übug! 22 Bemeruge : 1) I pratische Aufgabe wird oft stillschweiged die Aahme der Gleichverteilug gemacht edeweduge wie auf gut Glüc oder rei zufällig werde oft zur Formulierug der Gleichverteilug verwedet 2) Wie i (*) zu sehe, läuft i eiem Laplacesche W-raum die Berechug vo Wahrscheilicheite auf das Abzähle edlicher Mege hiaus ud führt deshalb zu ombiatorische Probleme

2 (Kapitel 2 : Laplacesche Wahrscheilicheitsräume) 3) Im orete Awedugsfall a bei uzureicheder Ketis des zugrude liegede Zufallsmechaismus die Gleichverteilugsaahme oft sehr problematisch sei Dies soll im Beispiel 1 vo 23 demostriert werde 23 Beispiele : 1 Vo eiem ausgefüllte Frageboge zu eier statistische Erhebug ist ur ei Fragmet erhalte Es läßt jedoch eree, daß es sich bei de Befragte um eie Familie mit zwei Kider hadelt, vo dee (midestes) eies ei Juge ist : das Fragmet ethält gerade och de Eitrag i die amesliste der Kider Was ist die Wahrscheilicheit dafür, daß auch das adere Kid ei Juge ist? (Es wird P( ) P( ) 2 1 ageomme) Lösuge : a) Das adere Kid a älterer Bruder, jügerer Bruder, ältere Schwester oder jügere Schwester sei, dh Ω {äb, jb, äs, js} Das Laplacemodell ergibt, daß die gesuchte Wahrscheilicheit gleich P({äB, jb}) 2 1 ist b) 3 Familietype omme i Frage: (, ), (, ) ud (, ) Die gesuchte Wahr- 1 scheilicheit ist also gleich P((, )) 3 Welches der beide Ergebisse ist orret? Die Atwort ist, daß das obige Zufallsexperimet icht ausreiched beschriebe ist, ud je ach weitere Umstäde jedes der beide Ergebisse auftrete a Sid die ame der Kider alphabetisch aufgeführt, so ist wohl die Lösug a) zutreffed Werde jedoch zuächst die ame der Söhe ud da die der Töchter i die Liste eigetrage, so ist die Lösug b) realistischer 2 Uremodelle : I eier Ure befide sich gut durchmischt gleichartige, aber verschiede gefärbte Kugel, ämlich schwarze ud (-) weiße Es werde willürlich Kugel herausgezoge, ud gesucht ist die Wahrscheilicheit dafür, geau schwarze Kugel zu erhalte ( : Ereigis A ) Zur Lösug dee wir us die Kugel der Ure mit de atürliche Zahle vo 1 bis beschriftet, wobei (zb) die schwarze Kugel die Zahle vo 1 bis trage

3 (Kapitel 2 : Laplacesche Wahrscheilicheitsräume) Zwei wichtige Fälle sid zu uterscheide: a) Ziehe ohe Zurüclege : (hier ) (α ) acheiader : Die Kugel werde der eihe ach gezoge ud außerhalb der Ure gelasse Ω { (a 1,,a ) a j { 1,, }, 1 j, ud a i a j für i j } Ω () : ( -1) ( - + 1) folgt: Uter der Aahme, daß ei Laplace-Experimet vorliegt, verfährt ma wie A besteht aus alle (a 1,,a ) Ω, für die geau Kompoete leier oder gleich sid A ( ) P(A ) () (-) - () ( - ) () - ()! ( - ) ( - )! ()! ( β ) gleichzeitig : Die Kugel werde durch eie Griff der Ure etomme Ω { T T { 1,, }, T } Ω ( ) A besteht aus alle T Ω, die geau Elemete leier oder gleich ethalte - A ( )( ) - P(A ) - - i Übereistimmug mit (α ) Falls ma ur och a der Azahl vo schwarze Kugel uter de gezogee Kugel iteressiert ist, wird durch p : P(A ),, ei Wahrscheilicheitsmaß auf Ω {, 1,, } defiiert (Die A sid paarweise uvereibar ud

4 (Kapitel 2 : Laplacesche Wahrscheilicheitsräume) p P(A ) P(U A ) P(Ω) 1 ) 24 Defiitio : Es seie, ud atürliche Zahle mit, Das Wahrscheilicheitsmaß p P() - - auf {, 1,, } heißt hypergeometrische Verteilug mit de Parameter, ud : Hg(,, ) b) Ziehe mit Zurüclege : Jede gezogee Kugel wird sofort wieder i die Ure zurücgelegt; ach ereutem Durchmische des Ureihalts wird die ächste Kugel auf gut Glüc gezoge Ω { 1,, } { (a 1,,a ) a j { 1,, }, 1 j } Ω A besteht aus alle (a 1,,a ) Ω, für die geau Kompoete leier oder gleich sid A ( ) P(A ) (-) - ( - ) - ( ) p q -, wobei p ud q 1 p Wieder wird durch p : P(A ) ei Wahrscheilicheitsmaß auf {, 1,, } defiiert 25 Defiitio : Es seie p 1, q 1 p ud eie atürliche Zahl Das Wahr- scheilicheitsmaß p P() ( ) p q - auf {, 1,, } heißt Biomialverteilug mit de Parameter ud p : B(, p) Bemerug : - p ( ) p q (p + q) 1 1

5 (Kapitel 2 : Laplacesche Wahrscheilicheitsräume) Bemerug : Falls, die Azahl aller Kugel, im Verhältis zu, der Azahl der gezogee Kugel, sehr groß ist, da ist Ziehe ohe Zurüclege ud mit Zurüclege pratisch dasselbe Wir zeige: 26 Satz : < p < 1 Falls,, so daß p, da Hg(,, )() B(, p)() für alle {, 1,, } Wir sage auch, Hg(,, ) overgiert schwach gege B(, p) : Hg(,, ) d B(, p) Beweis : 1 p q > () ( - ) () () ( - ) ( - ) () - - ( ) p q - Beispiel : I eier Stadt vo zwei Millioe Eiwoher stimme 4% für eie gewisse Partei 1 Leute werde zufällig ausgewählt Die Verteilug der Azahl der Eiwoher uter diese ausgewählte 1, die für diese Partei stimme, ist Hg(1, 8, 2) B(1;,4) 3 facher Müzewurf (mit uverfälschter Müze) : Ω {Z,W} Ω 2 Für 1 sei A W erscheit zum erste Mal beim ( + 1)te Wurf A besteht aus alle -tupel i dere erste Kompoete ei Z ud i dere ( + 1)ster Kompoete ei W steht A 2 -(+1) P(A ) 2 -(+1) / 2 2 (+1) (uabhägig vo!)

6 (Kapitel 2 : Laplacesche Wahrscheilicheitsräume) 4 Wir betrachte jetzt das Beispiel 3 aus 12, i dem eie Müze so lage geworfe wird, bis W erscheit, ud wobei die vorausgehede Ergebisse Z gezählt werde Ω I { } We wir aehme, daß die Müze uverfälscht ist, erhalte wir aus Beispiel 3: p P() 2 (+1), I p P( ) P( I ) 1 - P( I ) (+ 1) 2 1-1, was userer ituitive Erwartug, daß W irgedwa eimal auftrete muß, etspricht Wir öe us deshalb auf de leiere Stichproberaum Ω I beschräe 27 Defiitio : Es seie < p 1 ud q 1 p Das Wahrscheilicheitsmaß p P() p q auf I {, 1, 2, 3, } heißt geometrische Verteilug mit Parameter p : G(p)