Statistik. Prof. Dr. K. Melzer.

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1 Statistik Prof. Dr. K. Melzer Ihaltsverzeichis 1 Eileitug ud Übersicht 3 2 Dategewiug (kurzer Überblick) Plaugsphase eier statistische Utersuchug Festlegug des Utersuchugsziels Festlegug der Grudgesamtheit ud der statistische Eiheite Festlegug der zu erhebede Merkmale Festlegug vo Art ud Methode der Erhebug Durchführug der Erhebug Datebereiigug Behadlug vo Ausreißer Behadlug fehleder Werte Beschreibede Statistik Tabellarische ud grafische Darstellug eies Merkmals Darstellug eies qualitative Merkmals Darstellug eies quatitative Merkmals Statistische Kezahle für ei quatitatives Merkmal Berechug vo Kezahle bei Vorliege eier Messreihe Berechug vo Kezahle bei Vorliege eier Häufigkeitstabelle Kezahle bei Vorliege eier Häufigkeitstabelle mit Klasseeiteilug Zusammehag zwische zwei quatitative Merkmale Grafische Darstellug Empirischer Korrelatioskoeffiziet Lieare Regressio/Ausgleichsgerade Bestimmtheitsmaß Alterative Formel zur Berechug vo m ud r Wahrscheilichkeitsrechug ud Kombiatorik Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug Berechug vo Wahrscheilichkeite Grudformel für Wahrscheilichkeite bei Laplace-Zufallsexperimete Kombiatorik Permutatioe Die vier Grudaufgabe der Kombiatorik Gegeereigis ud zusammegesetzte Ereigisse Wahrscheilichkeite zusammegesetzter Ereigisse Mehrstufige Zufallsexperimete Zufallsvariable Überblick Type vo Zufallsvariable Berechug vo Wahrscheilichkeite mit der Verteilugsfuktio Kezahle vo Verteiluge Diskrete Zufallsvariable Hypergeometrische Verteilug Biomialverteilug Poissoverteilug Stetige Zufallsvariable Berechug vo Wahrscheilichkeite bei stetige ZV

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Normalverteilug Berechug vo Wahrscheilichkeite für Normalverteiluge Quatile der Normalverteilug Zufallsstreubereiche (ZSB) Summe vo Zufallsvariable Summe vo ormalverteilte Zufallsvariable Zetraler Grezwertsatz Stetigkeitskorrektur Näheruge für Verteiluge vo Zufallsvariable Schließede Statistik Puktschätzer Hypothesetests Geerelles Vorgehe beim Teste vo Hypothese Tabelle für statistische Tests Gauß-Test: Test für µ bei bekater Stadardabweichug t-test: Test für µ bei ubekater Stadardabweichug Zweistichprobe-t-Test Test für eie ubekate Wahrscheilichkeit/eie ubekate Ateil p Vertrauesbereiche Uterschied zwische Zufallsstreubereich ud Vertrauesbereich Tabelle für Vertrauesbereiche zur Vertraueswahrscheilichkeit 1 α Vertrauesbereich für µ bei bekater Stadardabweichug Vertrauesbereich für µ bei ubekater Stadardabweichug Vertrauesbereich für die Differez zweier Erwartugswerte µ 1 µ Vertrauesbereich für eie ubekate Wahrscheilichkeit p Statistische Methode i der Qualitätssicherug Qualitätsregelkarte Berechug der Eigriffsgreze Gruderhebug (Vorlauf) zur Schätzug vo µ ud Führe der Qualitätsregelkarte Prozessfähigkeit Tabelle 31

3 1 EINLEITUNG UND ÜBERSICHT 3 1 Eileitug ud Übersicht Wichtiger Hiweis: Diese Dateie werde für Studierede ausschließlich zur Nutzug im Rahme ihres Studiums a der Hochschule Esslige bereitgestellt. Jede weitergehede Nutzug, isbesodere Vervielfältigug jeder Art oder Weitergabe a Dritte, ist utersagt. Eie Defiitio vo Statistik: Die Statistik befasst sich mit der Gewiug ud Auswertug vo Date. Ziel ist die Vorbereitug vo Etscheiduge. Phase eier statistische Utersuchug ud Kapitel der Vorlesug Plaug Erhebug Dategewiug (Kurzer Überblick i Kapitel 2) Bereiigug Darstellug (Kapitel 3: Beschreibede Statistik) Auswertug Aalyse, Iterpretatio (Kapitel 5: Schließede Statistik) Etscheidug Hilfsmittel für Kapitel 5: Kapitel 4 (Wahrscheilichkeitsrechug) Spezialfall der vorherige Kapitel: Kapitel 6 (Statistische Methode i der Qualitätssicherug) 2 Dategewiug (kurzer Überblick) 2.1 Plaugsphase eier statistische Utersuchug Überblick: Festlegug des Utersuchugsziels Festlegug der Grudgesamtheit ud der statistische Eiheite Festlegug der zu erhebede Merkmale Festlegug vo Art ud Methode der Erhebug Festlegug des Utersuchugsziels Frage formuliere! Festlegug der Grudgesamtheit ud der statistische Eiheite Die zu utersuchede Grudgesamtheit muss präzise abgegrezt werde i räumlicher, zeitlicher ud sachlicher Hisicht, d. h. es muss defiiert werde, welche statistische Eiheite (ma sagt auch: Merkmalsträger oder Objekte ) dazugehöre ud welche icht Festlegug der zu erhebede Merkmale Arte vo Merkmale ud ihre mögliche Auspräguge: 1. Quatitative Merkmale: Die Auspräguge sid Zahle aus Messuge oder Zähluge. Differeze zwische zwei Auspräguge habe eie Bedeutug (z. B. ei Werkstück ist um 0, 3 mm läger als ei aderes). (a) Quatitativ-stetige Merkmale: Mögliche Auspräguge sid alle Werte i eiem Itervall.

4 2 DATENGEWINNUNG (KURZER ÜBERBLICK) 4 Stetige Merkmale trete vorzugsweise bei Messuge auf. Beispiele: Läge, Gewicht, Temperatur, Geldbeträge i Euro (!) (b) Quatitativ-diskrete Merkmale: Mögliche Werte sid ur eizele Pukte auf dem Zahlestrahl. Diskrete Merkmale trete vorzugsweise bei Zähluge auf. Als Auspräguge sid da ur 0, 1, 2,... möglich. Beispiel: Azahl der Defektstücke i eier Lieferug. 2. Qualitative Merkmale: Beschreibe Eigeschafte, die sich icht durch Messe oder Zähle ermittel lasse. Köe gelegetlich mit Hilfe vo Zahle codiert sei; da habe aber die Differeze der Codes keie Bedeutug. Z. B. bei Verschlüsselug 3 = gelb, 6 = grü ergibt es keie Si zu sage, Farbe grü sei doppelt so groß wie Farbe gelb. (a) Ordiale Merkmale: Die Auspräguge stehe i eier atürliche Ragfolge. Beispiel: Merkmal Iteresse a Statistik-Vorlesug mit Auspräguge sehr groß / groß / mittel / gerig / sehr gerig. (b) Nomiale Merkmale: Die Auspräguge lasse sich icht i eie Ragfolge brige. Beispiel: Merkmal Farbe Festlegug vo Art ud Methode der Erhebug Arte vo Erhebuge: Totalerhebug (auch: Vollerhebug ) Teilerhebug (Stichprobe) Eiige wichtige Methode zur Durchführug vo Stichprobeutersuchuge sid: Reie Zufallsstichprobe Systematische Auswahl (z. B. jeder hudertste produzierte Gegestad) Schichtestichprobe (Eiteilug der Grudgesamtheit i Schichte, die bezüglich des Utersuchugsmerkmals möglichst homoge sid. Aschließed wird aus jeder Schicht eie bestimmte Azahl vo Stichprobestücke gezoge. Der Ateil der i die Stichprobe aufgeommee Objekte ka vo Schicht zu Schicht uterschiedlich sei.) Klumpestichprobe (We sich die Grudgesamtheit i Klumpe zerlege lässt, die möglichst ählich wie Grudgesamtheit zusammegesetzt sid. Oft sid Klumpe geographisch defiiert, z. B. Kreise, Stadtbezirke, Plaquadrate,... ) Quoteverfahre (Durch Vorgabe vo Quote wird sichergestellt, dass die Stichprobe bei bestimmte Merkmale wie z. B. Frau/Ma, Alter, Berufsgruppe,... die gleiche Ateile ethält wie die Grudgesamtheit repräsetative Stichprobe) 2.2 Durchführug der Erhebug Eie Erhebug wird techisch durchgeführt z. B. durch Befragug (Frageboge, Iteret,... ), Beobachtug oder Experimet. Die Nutzug vo bereits vorhadeem (evtl. früher für adere Zwecke erhobeem) Datematerial bezeichet ma als Sekudärerhebug.

5 3 BESCHREIBENDE STATISTIK Datebereiigug Behadlug vo Ausreißer Als Ausreißer bezeichet ma Date, die offebar viel zu groß oder viel zu klei sid. Vorgehe: 1. Ausreißer idetifiziere; 2. überprüfe, ggf. berichtige; 3. we die Ausreißer icht berichtigt werde köe, (a) Datesatz streiche oder (b) fehlerhafte Date abäder (z. B. Ersetze durch de Mittelwert der icht fragliche Date) oder (c) Datesatz uverädert beibehalte. Die Möglichkeite 3b) ud 3c) sollte ur mit größter Zurückhaltug agewedet werde. Im Zweifelsfall wede ma Möglichkeit 3a) a. Ählich wie bei Ausreißer geht ma bei Werte vor, die zwar keie Ausreißer sid, die aber aus sostige Grüde umöglich oder uplausibel sid Behadlug fehleder Werte Das Vorgehe bei fehlede Werte etspricht sigemäß dem bei Ausreißer: 1. Fehlede Werte idetifiziere; 2. überprüfe, ggf. ergäze; 3. we die fehlede Werte icht ergäzt werde köe, (a) Datesatz streiche oder (b) eie Ersatzwert für die fehlede Date bereche (z. B. Mittelwert der icht fehlede Date). Es ist wichtig, dass alle Phase der Dategewiug mit größter Sorgfalt durchgeführt werde. Im schlimmste Fall köe sost die gewoee Date utzlos sei. 3 Beschreibede Statistik Ziel der beschreibede Statistik Sachverhalte aufzeige, die sost icht oder icht so leicht ersichtlich wäre. 3.1 Tabellarische ud grafische Darstellug eies Merkmals Vorbemerkug zur Objektivität bei Grafike: Auch ei Diagramm muss die darzustellede Größe objektiv wiedergebe. Hierzu gehöre u. a. auch folgede Regel, die hier aufgeführt werde, weil gege sie besoders oft verstoße wird: 1. Proportioalität vo Fläche ud darzustelledem Wert. Bei de meiste Diagrammtype (z. B. de ute geate: Kreisdiagramm, Säulediagramm, Histogramm) müsse die Fläche im Diagramm proportioal zu de darzustellede Werte sei. Z. B. wäre es icht korrekt, zwei Werte, vo dee der zweite doppelt so groß ist wie der erste, grafisch durch zwei Quadrate wiederzugebe, vo dee das zweite eie doppelt so große Seiteläge wie das erste hat (de die Fläche wäre da viermal so groß wie die erste statt richtig doppelt so groß). 2. Skalierug der Achse. Bei eiem Säulediagramm wird auf der y-achse ei quatitatives Merkmal aufgetrage. Nach der Regel 1) obe müsse (bei kostater Säulebreite) die Höhe der Säule proportioal zu de darzustellede Werte sei. Isbesodere darf daher die y- Achse icht verzerrt sei ud muss bei 0 begie. Sollte es ausahmsweise erforderlich sei, die Achse icht bei 0 begie zu lasse, muss dies deutlich ketlich gemacht werde. Sigemäß das gleiche gilt atürlich auch für die x-achse (sofer hier ei quatitatives Merkmal aufgetrage wird) ud für adere Diagrammtype.

6 3 BESCHREIBENDE STATISTIK Darstellug eies qualitative Merkmals Es wird die Häufigkeit des Auftretes der verschiedee Auspräguge dargestellt. Hier gibt es u. a. folgede Möglichkeite: Häufigkeitstabelle. Wichtig: korrekte Beschriftug der Kopfzeile ud der erste Spalte; ggf. ist eie Summezeile sivoll. Säulediagramm (auch: Stabdiagramm ). Kreisdiagramm (auch: Tortediagramm ). Achtug: Stellt ma mehrere Datereihe i je eiem Kreisdiagramm dar, sollte die Fläche eies Kreises proportioal zur Azahl der dargestellte Datewerte sei (d. h., der Radius eies Kreises proportioal zur Wurzel aus der Azahl der Datewerte). Vgl. dazu obe Regel 1) Darstellug eies quatitative Merkmals Bei eiem diskrete Merkmal stehe grudsätzlich die gleiche Darstellugsmöglichkeite wie bei eiem qualitative Merkmale zur Verfügug. Bei eiem stetige Merkmal (oder bei eiem diskrete Merkmal mit viele Auspräguge) müsse die Messwerte zuächst zu Klasse zusammegefasst werde. Aschließed köe die i Klasse eigeteilte Messwerte i eiem Histogramm dargestellt werde. Histogramm = Säulediagramm, bei dem die Säule über de etsprechede Klasseitervalle gezeichet werde ud daher a de Klassegreze aeiaderstoße. Folgede Regel sid bei Histogramme sivoll: Klasse so wähle, dass keie Messwerte auf de Klassegreze liege. Gleiche Klassebreite wähle, damit die Höhe der Säule proportioal zu de Häufigkeite der Klasse sid. Azahl der Klasse k, wobei = Azahl der Messwerte. Nebe de i ud geate Diagrammtype gibt es viele weitere Darstellugsmöglichkeite, die je ach Ziel der statistische Utersuchug ebefalls sivoll oder sogar besser geeiget sei köe. 3.2 Statistische Kezahle für ei quatitatives Merkmal Lagemaße: Gebe a, wo die Messwerte im Mittel liege, z. B. arithmetischer Mittelwert oder empirischer Media (Wo liege die Date? Pukte) Streuugsmaße: Gebe a, wie breit die Messwerte um de Mittelwert herum streue, z. B. empirische Variaz, empirische Stadardabweichug, Spaweite (Wie breit streue die Date? Abstäde) Ist die empirische Stadardabweichug (bzw. empirische Variaz) klei, liege also viele Messwerte i der Nähe des Mittelwertes. Ist sie groß, sid die Messwerte weiter vom Mittelwert etfert Berechug vo Kezahle bei Vorliege eier Messreihe Es ist eie Messreihe x 1,..., x gegebe, = Azahl der Messwerte.

7 3 BESCHREIBENDE STATISTIK 7 Arithmetischer Mittelwert x = 1 (x 1 + x x ) = 1 x i Empirische Variaz s 2 = 1 (x i x) 2 oder 1 [( s 2 = 1 ) ] x 2 i x 2 1 Empirische Stadardabweichug s = s 2 = 1 (x i x) 2 oder 1 s = [( s 2 = 1 ) ] x 2 i x 2 1 Die zweite Formel für s 2 ist eifacher azuwede; hier muss ma aber x mit großer Geauigkeit bereche! Die empirische Variaz gibt also die mittlere quadratische Abweichug vo x a. Die empirische Stadardabweichug hat dieselbe Dimesio wie die gegebee Messwerte. Sid beispielsweise die Messwerte i der Eiheit Gramm agegebe, so gilt die empirische Stadardabweichug auch die Eiheit Gramm. Nur i Ausahmefälle wird ma die Berechug vo x, s 2 oder s tatsächlich mit de obe geate Formel durchführe. Viel kürzer ist es, die Datereihe x 1, x 2,..., x ur ei eiziges Mal i de Tascherecher (TR) eizugebe ud aschließed sowohl x als auch s über die eigebaute TR-Fuktioe abzurufe. Dabei ist die empirische Stadardabweichug s auf dem TR oft mit dem Symbol 1 oder gelegetlich mit x, 1 o. ä. bezeichet. (Die empirische Variaz erhält ma da, idem ma de mit 1 abgerufee Wert quadriert.) Beachte Sie hierzu ggf. auch die auf der Iteretseite vo Prof. Plappert bereitgestellte Tascherecher-Bedieugsaleituge. Für diese Bedieugsaleituge wird keie Gewähr überomme! Daher bitte ahad vo Beispiele überprüfe. Empirischer Media Spaweite x = Messwert, der bei Sortierug der Messreihe ach der Größe i der Mitte steht (bei gerader Azahl vo Messwerte: arithmetisches Mittel der beide Messwerte i der Mitte). R = größter Messwert kleister Messwert = x max x mi Berechug vo Kezahle bei Vorliege eier Häufigkeitstabelle Es liege Messwerte x 1, x 2,..., x k mit zugehörige Häufigkeite vor. Der Messwert x 1 wurde f 1 -mal beobachtet, der Messwert x 2 wurde f 2 -mal beobachtet usw. Es sei = k f i die Summe aller Häufigkeite = Gesamtzahl aller Messuge. I de Formel für x bzw. s müsse hier alle Summade mit der jeweilige Häufigkeit gewichtet (= multipliziert) werde. Arithmetischer Mittelwert x = 1 k f i x i Empirische Variaz s 2 = 1 1 s 2 = 1 1 Empirische Stadardabweichug s = s 2 k f i (x i x) 2 oder [( k ) ] f i x 2 i x 2 Die zweite Formel für s 2 ist eifacher azuwede; hier muss ma aber x mit großer Geauigkeit bereche! Auch die Kezahle zu ka ma am kürzeste mit Hilfe der eigebaute TR- Fuktioe erledige. Leider ist die Art der Dateeigabe der Häufigkeite f 1, f 2,... bei verschiedee TR-Type uterschiedlich.

8 3 BESCHREIBENDE STATISTIK Kezahle bei Vorliege eier Häufigkeitstabelle mit Klasseeiteilug Es ist eie Häufigkeitstabelle (z. B. etstade durch Klasseeiteilug eies stetige Merkmals) gegebe. Es seie k = Azahl der Klasse, f i = Häufigkeit der i-te Klasse, m i = Mittelpukt der i-te Klasse, = k f i die Summe aller Häufigkeite. Hier rechet ma so, als ob alle Messwerte i der Mitte der jeweilige Klasse liege, ud verwedet da die etsprechede Formel, wobei ur x i durch m i ersetzt werde muss. Arithmetischer Mittelwert x 1 k f i m i Empirische Variaz s s Empirische Stadardabweichug s s 2 k f i (m i x) 2 oder [( k ) ] f i m 2 i x 2 Die zweite Formel für s 2 ist eifacher azuwede; hier muss ma aber x mit großer Geauigkeit bereche! 3.3 Zusammehag zwische zwei quatitative Merkmale Werde a jedem Utersuchugsobjekt gleichzeitig zwei Merkmale gemesse, so erhält ma eie Messreihe aus Wertepaare (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ),..., (x ; y ). Zwei Frage sid vo Iteresse : Ka ma de Grad der Abhägigkeit zwische de Zufallsgröße durch eie geeigete Kezahl quatifiziere Korrelatiosrechug Ka ma eie (äherugsweise) fuktioale Zusammehag zwische X ud Y mathematisch formuliere Regressiosrechug (Empirische) Regressio bedeutet: eie Gerade oder eie Kurve möglichst gut durch eie gegebee Puktewolke lege. Im Falle eier Gerade spricht ma vo liearer Regressio, sost vo ichtliearer Regressio (z. B. vo quadratischer Regressio, we die Regressioskurve eie quadratische Parabel ist) Grafische Darstellug Streudiagramm (Scatterplot) Puktewolke Empirischer Korrelatioskoeffiziet Beschreibt die Stärke ud Richtug des lieare Zusammehags. Empirischer Korrelatioskoeffiziet ( ) x i y i x y r = ( x 2 i ) ( x 2 Werte vo r: 1 r xy 1 y 2 i ) y 2 Liearer Zusammehag spiegelt sich i der Aussage Je größer x, desto [größer/kleier] ist tedeziell y. Falls r 1, gibt es eie starke lieare Zusammehag. (Aber icht ubedigt eie ursächliche Zusammehag zwische de x- ud y-werte!) Falls r 0, gibt es keie lieare Zusammehag. (Aber i mache Fälle eie Zusammehag aderer Art, z. B. quadratisch!) Falls r > 0, steigt die beste Gerade, falls r < 0 fällt sie.

9 3 BESCHREIBENDE STATISTIK 9 r xy = 1: alle Pukte (x i ; y i ) liege auf eier Gerade mit positiver Steigug r xy = 1: alle Pukte (x i ; y i ) liege auf eier Gerade mit egativer Steigug r xy > 0: positive (gleichsiige) Korrelatio; große Werte etspreche überwieged große Werte r xy < 0: egative (gegesiige) Korrelatio; große Werte etspreche überwieged kleie Werte r xy 0: ukorreliert Lieare Regressio/Ausgleichsgerade Gegebe: Stichprobe mit Datepukte (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ),..., (x ; y ). Dabei wird ageomme, dass ur die y-werte größere (z. B. zufällige) Schwakuge uterliege köe ud die x-werte fest (oder sehr geau bestimmbar) sid. Gesucht: Beste Gerade durch die zugehörige (x i y i )-Puktwolke Methode der kleiste Quadrate (MKQ): e 2 i soll miimal werde. Dabei ist e i = y i ŷ i der Abstad i y-richtug zwische dem y-wert des i-te Datepuktes y i ud dem zu x i gehörede y-wert auf der Regressiosgerade ŷ i. [Das Dach-Symbol bei ŷ i steht für geschätzer Wert. e i heißt Error oder Residuum.] Die MKQ führt zu folgeder Gleichug der empirische Regressiosgerade: ( ) x i y i x y y = mx + k mit m = ( ) ud k = y m x x 2 x 2 i Bestimmtheitsmaß Für alle Regressiostype (auch quadratische usw.) wird als Gütemaß das Bestimmtheitsmaß R 2 verwedet, d.h. wie gut die Gerade/Kurve die Puktwolke beschreibt (icht verwechsel mit der Spaweite R eier Messreihe!) Für das Bestimmtheitsmaß R 2 gilt a) 0 R 2 1 b) Falls R 2 1 verläuft die Regressiosgerade (oder -kurve) gut durch die Puktewolke. Falls R 2 0 gibt die Regressiosgerade (oder -kurve) die Puktewolke icht gut wieder. c) R 2 beschreibt de Ateil a der Variaz der y-werte, der durch die Regressio erklärt werde ka. Währed a), b), c) auch für ichtlieare Regressioe gelte, ist die Gleichug R 2 = r 2 ur im Falle der lieare Regressio richtig. (Der empirische Korrelatioskoeffiziet r bezieht sich ämlich ausschließlich auf die lieare Regressio.) Bemerkug zur Berechug vo m ud r bei liearer Regressio Viele TR habe eie eigebaute Berechugsmöglichkeit für die Parameter m ud k der empirische Regressiosgerade ud für de empirische Korrelatioskoeffiziete r ach Eigabe aller x- ud y-werte. Wer eie Tascherecher besitzt, bei dem das so icht möglich ist, beutzt am beste das gezeigte Berechugsschema. Die agegebee Formel sid für die Berechug vo Had also we im TR Regressio ud Korrelatio icht implemetiert sid am eifachste azuwede. Bei der Berechug vo m ud r müsse x ud y aber mit großer Geauigkeit bestimmt werde!

10 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK Alterative Formel zur Berechug vo m ud r Leichter zu merkede alterative Formel für m ud r verwede folgede Größe: [( empirische Variaz der x-werte s 2 x = 1 ) ] x 2 i x 2 1 [( empirische Variaz der y-werte s 2 y = 1 ) ] yi 2 y 2 1 [( empirische Kovariaz s xy = 1 ) ] x i y i x y 1 empirische Stadardabweichuge s x = s 2 x, s y = s 2 y Damit ist m = s xy s 2 x ud r = s xy s x s y 4 Wahrscheilichkeitsrechug ud Kombiatorik 4.1 Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug Zufallsexperimet: ei (prizipiell) beliebig oft wiederholbares Experimet, desse Ergebis aufgrud vo Zufallseiflüsse icht vorhersehbar ist. Realisierug eies Zufallsexperimets: das Ergebis der tatsächliche Durchführug eies Zufallsexperimets. Ergebisraum Ω: umfasst alle mögliche Ergebisse eies Zufallsexperimets. Ereigis: Teilmege vo Ω, ethält ei Ergebis oder mehrere Ergebisse, oder auch alle Ergebisse oder gar kei Ergebis. Wahrscheilichkeit P (A) eies Ereigisses A: beschreibt, wie groß die Chace des Eitretes vo A ist. Relative Häufigkeit eies Ereigisses A: Wird ei Zufallsexperimet -mal realisiert, ud tritt dabei das Ereigis A geau k-mal ei, so heißt h (A) = k/ die relative Häufigkeit vo A. Zusammehag ud Uterschied zwische relativer Häufigkeit ud Wahrscheilichkeit: Die Wahrscheilichkeit P (A) ist eie (mathematische) Kostate. Die relative Häufigkeit h (A) higege hägt vo Zufall (vo der kokrete Realisierug) ab. Im Allgemeie ist daher P (A) h (A). Falls groß ist, gilt aber das Gesetz der große Zahle P (A) h (A). We ma P (A) icht ausreche ka, aber eie Realisierug des Zufallsexperimets vom Umfag vorliege hat, ka ma P (A) uter Beutzug vo h (A) schätze; siehe Kapitel 5. Nach dem Gesetz der große Zahle wird diese Schätzug um so besser sei, je größer ist. Eie Defiitio vo Wahrscheilichkeit: Wahrscheilichkeite sid Voraussage für relative Häufigkeite des Eitretes vo Ereigisse auf lage Sicht (für de Grezfall eier gege Uedlich strebede Azahl vo Versuchsdurchführuge). Schrake für Wahrscheilichkeite: Es gilt 0 P (A) 1. P (A) = 0 gilt für ei umögliches Ereigis. Beispiel Würfelwurf: A = Augezahl größer als 7 ; hier ist P (A) = 0. P (A) = 1 gilt für ei mit Sicherheit eitretedes Ereigis. Beispiel Würfelwurf: A = Augezahl kleier als 7 ; hier ist P (A) = 1.

11 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK Berechug vo Wahrscheilichkeite Grudformel für Wahrscheilichkeite bei Laplace-Zufallsexperimete P (A) = A Ω = Azahl der Ergebisse ia Azahl aller mögliche Ergebisse Achtug: Diese Formel gilt ur für die Berechug vo Wahrscheilichkeite bei Laplace- Zufallsexperimete, d. h. falls die beide folgede Bediguge erfüllt sid: 1. Bei dem Zufallsexperimet sid ur edlich viele Ergebisse möglich. 2. Alle Ergebisse i Ω sid gleich wahrscheilich. Falls eie dieser beide Bediguge icht erfüllt ist, also we Ω uedlich viele Elemete ethält oder we es i Ω Ergebisse mit uterschiedliche Wahrscheilichkeite gibt, muss ma die Methode aus Kapitel 5 awede, um P (A) zu schätze Kombiatorik Für die Berechug vo P (A) uter der Laplace-Aahme muss ma i der Lage sei, A auszureche, also die i eiem Ereigis ethaltee Ergebisse abzuzähle. Die Lehre vom Abzähle heißt Kombiatorik. Defiitioe Fakultät:! = 1 2 (lies: Fakultät ) 0! = 1 (Defiitio) Berechug mit dem Tascherecher bis midestes 69! möglich. ( ) Biomialkoeffiziet: über k: := k Berechug des Biomialkoeffiziete:! k!( k)! (lies: über k ) Auf viele Tascherecher gibt es eie eigee Taste hierfür. ( )! Mit Hilfe der Defiitio := k k!( k)! We k klei ist: als Bruch. Bei dem Bruch stehe im Zähler k Faktore, die bei begie ud immer um 1 kleier werde. Im Neer stehe ebefalls k Faktore, die bei 1 begie ud immer um 1 größer werde. ( ) 17 Beispiel: = 17! = = 680; 3 3!(14)! hier stehe jeweils k = 3 Faktore i Zähler ( ) ud im Neer (1 2 3). Permutatioe 1. Permutatio ohe Wiederholug: Gegebe: verschiedee Elemete. Wie viele Möglichkeite gibt es, Objekte azuorde? Azahl a Möglichkeite (alle) Elemete i eie Reihefolge zu brige:! 2. Permutatio mit Wiederholug: Gegebe: Elemete. Uter de Elemete gibt es aber ur k verschiedee Elemete mit Azahle 1,..., k. D. h. vo Objekt 1 gibt es 1 (gleiche) Exemplare, vo Objekt 2 gibt es 2 (gleiche) Exemplare,... vo Objekt k gibt es k (gleiche) Exemplare. Auf wie viele Arte ka ma die = k Objekte aorde?! Azahl Möglichkeite, diese Elemete i eie Reihefolge zu brige: 1! 2! k! Die vier Grudaufgabe der Kombiatorik Grudoperatioe: Auswähle eier Teilmege aus eier Grudmege ( Ziehe ) Aorde der Elemete eier Mege

12 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 12 Grudaufgabe: Aus verschiedee Objekte werde k ausgewählt. Wie viele Möglichkeite gibt es? Die Atwort auf diese Frage hägt davo ab, ob die Reihefolge des Auswähles eie Rolle spielt ( geordet, mit Beachtug der Reihefolge ) oder icht ( ugeordet, ohe Beachtug der Reihefolge ); ob ei Objekt mehrfach ausgewählt werde darf ( mit Wiederholug, Ziehe mit Zurücklege ) oder icht. Stichprobeauswahl/Ziehe k aus geordet/mit Beachtug der Reihefolge ugeordet/ohe Beachtug der Reihefolge mit Zurücklege k ( ) + k 1 k mit Mehrfachbesetzug ohe Zurücklege! ( k)! ( ) k ohe Mehrfachbesetzug mit uterscheidbare Kugel icht uterscheidbare Kugel Verteile vo k Kugel auf Zelle Gegeereigis ud zusammegesetzte Ereigisse Ma ka Ereigisse miteiader verküpfe, um adere/komplexere Ereigisse zu erhalte. A ud B seie Ereigisse. A = ichta = Ω\A = A tritt icht ei = Gegeereigis vo A A B = A ud B = A ud B trete beide ei = sowohl A als auch B tritt ei = ud-ereigis A B = A oder B = A tritt eie oder B tritt ei oder beide trete ei = oder-ereigis Tipp: Beutze Sie die drei obige Verküpfuge/Operatioe, um Text i Formel umzuwadel. Beispiel: Ei Würfel wird zweimal geworfe, A sei das Ereigis im erste Wurf eie 6, B sei das Ereigis im zweite Wurf eie 6. A = im erste Wurf keie 6, d. h. im erste Wurf eie 1, 2, 3, 4 oder 5. A B = im erste ud im zweite Wurf eie 6 = zwei Sechse. A B = im erste oder im zweite Wurf (oder i beide) eie 6 = midestes eie 6. Wahrscheilichkeite zusammegesetzter Ereigisse Wahrscheilichkeit des Gegeereigisses A vo A: P (A) = 1 P (A) P (A B) Berechug mit dem Multiplikatiossatz: Multiplikatiossatz allgemei: P (A B) = P (A) P (B A)[= P (B) P (A B)] Multiplikatiossatz für uabhägige Ereigisse: P (A B) = P (A) P (B) Dabei ist P(B A) (lies: Wahrscheilichkeit vo B uter der Bedigug A ) die (bedigte) Wahrscheilichkeit, dass B eitritt, we sicher ist, dass A eitritt bzw. eigetrete ist. We sich zwei Ereigisse (defiitiv) icht beeiflusse, spricht ma vo uabhägige Ereigisse, da gilt P (B A) = P (B). Beispiel für bedigte Wahrscheilichkeite: Aus eiem Skatspiel (32 Karte) wird zweimal ohe Zurücklege gezoge. A sei das Ereigis im erste Zug wird eie Zeh gezoge, B das

13 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 13 Ereigis im zweite Zug eie Zeh. Da ist P (B A) = 3 31 die Wahrscheilichkeit, im zweite Zug eie Zeh zu ziehe, we ma im erste Zug eie Zeh gezoge hat. P (B A) = 4 31 ist die Wahrscheilichkeit, im zweite Zug eie Zeh zu ziehe, we im erste Zug keie Zeh gezoge wurde. Beispiel für abhägige/uabhägige Ereigisse: Zum Beispiel sid die Ereigisse A = im erste Zug eie Zeh ud B = im zweite Zug eie Zeh uabhägig, we aus eiem Skatspiel mit Zurücklege (ud euem Mische) gezoge wird. Wird ohe Zurücklege gezoge, so sid die Ereigisse abhägig (s.o.). P (A B) Berechug mit dem Additiossatz: Additiossatz allgemei: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Additiossatz für uvereibare Ereigisse: P (A B) = P (A) + P (B) Falls A ud B icht beide eitrete köe, so heiße A ud B uvereibar (A ud B schließe sich gegeseitig aus), da ist A B. Nur i diesem Spezialfall (A ud B köe icht beide eitrete) gilt da also der Additiossatz i der Form P (A B) = P (A) + P (B). Mehrstufige Zufallsexperimete Wir betrachte Zufallsexperimete, die sich aus 2 Eizelversuche aufbaue lasse, die acheiader oder gleichzeitig durchgeführt werde. Zur Beschreibug solcher zusammegesetzter Zufallsexperimete eige sich Baumdiagramme oder Wahrscheilichkeitsbäume. Berechug vo Wahrscheilichkeite im Baumdiagramm: Wahrscheilichkeit eies Pfades = Produkt der Wahrscheilichkeite lägs des Pfades (Multiplikatiosregel oder Pfadregel). Etlag der Pfade wird multipliziert Wahrscheilichkeit für ei Ereigis = Summe der Wahrscheilichkeite aller zu diesem Ereigis führede Pfade (Additiosregel oder Summeregel). Etlag der Äste wird addiert Kote... (zufällige) Ereigisse Pfade... (bedigte) Wahrscheilichkeite auftrage, Die Summe der Wahrscheilichkeite aller Verzweiguge ist gleich Eis. 4.3 Zufallsvariable Eie Zufallsvariable X beschreibt, welche Auspräguge eies quatitative Merkmals i eiem Zufallsexperimet mit welche Wahrscheilichkeite auftrete. Ma spricht vo eier diskrete Zufallsvariable, falls es sich um ei quatitativ-diskretes Merkmal hadelt, ud vo eier stetige Zufallsvariable, falls es sich um ei quatitativ-stetiges Merkmal hadelt. ZV = zufällige Zahl (für alle praktische Fälle)

14 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 14 Überblick Type vo Zufallsvariable stetig (ka alle Werte i Itervall aehme) messe Normalverteilug: X N(µ; 2 ) Expoetialverteilug: X Exp(λ) t-verteilug: X t Dichte f(x) = F (x) (ichteg. Fuktio mit Fläche 1) Verteilugsfuktio F (x) = P (X x) = x f(x) stetige Fuktio ZV X diskret (ur eizele Werte) zähle Hypergeom. Verteilug: X H(; N; M) Biomialverteilug: X B(; p) Poissoverteilug: X P o(λ) sostige diskrete Verteiluge Wahrscheilichkeitsverteilug/diskrete Dichte P (X = x i ) = f(x i ) (Liste aller Wahrscheilichkeite) Verteilugsfuktio F (x) = P (X x) = x i x P (X = x i) Treppefuktio Ziel: Berechug vo Wahrscheilichkeite (bei gegebee Situatiosbeschreibuge). Mit welcher Wahrscheilichkeit tritt das Ereigis... ei? 1. Situatiosbeschreibug / Experimet bestimmt de Typ der Verteilug. 2. Berechug vo Wahrscheilichkeite mit der zugehörige Verteilugsfuktio (diskret: mit Dichte). Die Verteilug eier ZV ist die zugrude liegede (statistische) Gesetzmäßigkeit hiter eier ZV. (Welche Werte komme statistisch gesehe mit welcher Wkt. vor?) Berechug vo Wahrscheilichkeite mit der Verteilugsfuktio Für beliebige Werte a, b IR gilt f(a) bei diskrete ZV falls a ei Wert ist, de X aimmt P (X = a) = 0 bei stetige ZV P (X a) = F (a) (Verteilugsfuktio a der Stelle a) P (a < X b) = F (b) F (a) [= P (X b) P (X a)] P (X > a) = 1 F (a) [= 1 P (X a)] Bei diskrete ZV: Achtug Ugleichheitszeiche beachte. Bei stetige ZV: darf durch < ud durch > (ud adersherum) ersetzt werde (im Gegesatz zu diskrete ZV). Kezahle vo Verteiluge Stichprobe (Date) Verteilug/ZV (Modell) Merkmal Zufallsvariable X x arithm. Mittelwert µ = E(X) Erwartugswert s 2 Empirische Variaz/ 2 = V ar(x) Variaz Stichprobevariaz s Empirische Stadardabweichug/ Stadardabweichug der Stichprobe Stadardabweichug Zusammehag ud Uterschied zw. Erwartugswert µ ud arithm. Mittel x: Der Erwartugswert µ ist für jede Zufallsvariable eie (mathematische) Kostate. Der arithmetische Mittelwert x dagege hägt vom Zufall ab, ämlich vo der jeweilige Messreihe x 1, x 2, x 3,..., x, d.h. de Realisieruge der Zufallsvariable X. Im Allgemeie gilt daher: µ x. Falls groß ist, gilt aber das Gesetz der große Zahle, das besagt, dass x µ.

15 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 15 We ma µ icht ket, aber eie Realisierug vom Umfag des (durch X beschriebee) Zufallsexperimets vorliege hat, ka ma µ uter Beutzug vo x schätze (siehe Kapitel 5). Nach dem Gesetz der große Zahle wird diese Schätzug um so besser sei, je größer ist. Zusammehag ud Uterschied zw. Variaz 2 ud empirischer Variaz s 2 : Die Variaz 2 eier Zufallsvariable X ist eie (mathematische) Kostate. Die empirische Variaz s 2 higege hägt vo Zufall ab, ämlich vo der kokrete Messreihe x 1, x 2, x 3,..., x, (= Realisierug der Zufallsvariable X) Im Allgemeie gilt daher: 2 s 2. Falls groß ist, gilt aber das Gesetz der große Zahle, das besagt, dass s 2 2. We ma 2 icht ket, aber eie Realisierug vom Umfag des (durch X beschriebee) Zufallsexperimets vorliege hat, ka ma 2 uter Beutzug vo s 2 schätze (siehe Kapitel 5). Nach dem Gesetz der große Zahle wird diese Schätzug um so besser sei, je größer ist Diskrete Zufallsvariable Eie diskrete Zufallsvariable ka ur eizele Pukte auf dem Zahlestrahl als Auspräguge aehme, z. B. k = 0, 1,... Die Liste, welche Ausprägug k mit welcher Wahrscheilichkeit ageomme wird, heißt diskrete Dichte. Mit adere Worte: Diskrete Dichte = Liste aller Wahrscheilichkeite P (X = k) Darstellug der diskrete Dichte: Liste, Tabelle oder Formel, grafisch als Stab-/Säulediagramm Verteilugsfuktio vo X Fuktio F (x) = P (X x) für alle x IR Erwartugswert µ = E(X) = k P (X = k) Variaz 2 = V ar(x) = ( k 2 P (X = k) ) µ 2 Stadardabweichug = 2 = V ar(x) Hypergeometrische Verteilug X H(; N; M) Beschreibug: Ziehe ohe Zurücklege: Gegebe sid N Objekte (z. B. eie Lieferug vo Bauteile oder Kugel i eier Ure). M gebe die Azahl der Objekte mit eier bestimmte Eigeschaft A a (z. B. defektes Bauteil bzw. rote Kugel). Uter de Objekte wird -mal eies zufällig ausgewählt; das gezogee Objekt wird icht zurückgelegt. Das Ergebis der folgede Ziehug ist also vo de vorherige Ziehuge abhägig. X gebe a, wie viele der gezogee Objekte die Eigeschaft A habe (z. B. Azahl der Defektstücke bzw. Azahl der rote Kugel). X ist da hypergeometrisch verteilt. Kurz: Edliche Grudgesamtheit (GG) aus N Elemete, M Elemete der GG habe eie spezifische Eigeschaft A (alterativ: p % der Elemete habe eie spezifische Eigeschaft A) etomme wird eie Stichprobe ohe Zurücklege vom Umfag X = Azahl der gezogee Elemete mit Eigeschaft A i der Stichprobe Da gilt X H(; N; M) d. h. X ist hypergeometrisch verteilt mit Parameter, N, M. Achtug: i mache Bücher wird die Reihefolge der Parameter aders agegebe.

16 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 16 Diskrete Dichte P (X = k) = ( )( ) M N M k k ( ) N, k = 0, 1, 2,..., mi{, M} Erwartugswert E(X) = µ = M N = p mit p = M N Variaz V ar(x) = 2 = M ( 1 M ) N = p (1 p)n N N N 1 N 1 Biomialverteilug X B(; p) Beschreibug: Ei Zufallsexperimet wird -mal idetisch durchgeführt (uabhägig voeiader). Bei jeder der Durchführuge tritt ei Ereigis A ( Erfolg ) mit der Wahrscheilichkeit p ei. Die Zufallsvariable X gebe a, wie oft bei de Durchführuge das Ereigis A aufgetrete ist. X heißt da biomialverteilt. Beispiele: Eiheite werde aus der laufede Produktio (Ausschussateil p) gezoge; X = Azahl der Defektstücke. Ziehe mit Zurücklege: Gegebe ist bestimmte Azahl vo Objekte (z. B. eie Lieferug vo Bauteile oder Kugel i eier Ure). p gebe de Ateil der Objekte mit eier bestimmte Eigeschaft A a (z. B. defektes Bauteil bzw. rote Kugel). Uter de Objekte wird -mal eies zufällig ausgewählt; da wird das ausgewählte wieder zurückgelegt ud es wird eu gemischt. (Nur da sid die Ziehuge uabhägig voeiader!) X gebe a, wie viele der gezogee Objekte die Eigeschaft A habe (z. B. Azahl der Defektstücke bzw. Azahl der rote Kugel). X = Azahl Erfolge beim -malige Durchführe des Experimets Da gilt X B(; p) d. h. X ist biomialverteilt mit Parameter, p. ( ) Diskrete Dichte P (X = k) = p k (1 p) k, k = 0, 1,..., k Erwartugswert E(X) = µ = p Variaz V ar(x) = 2 = p (1 p) Awedug: Als Näherug für die Hypergeometrische Verteilug falls N groß ist ud icht zu groß ist, d.h. der Ateil der gezogee Elemete klei ist (Faustregel: = 0, 1). Da ka ma die N hypergeometrische Verteilug H(; N; M) aäher durch die Biomialverteilug B(; p), wobei p = M N zu setze ist. Poissoverteilug X P o(λ) Verteilug selteer Ereigisse. Beschreibug: Gegebe ist eie Betrachtugseiheit (Itervall) wie z. B. Läge, Zeit oder Fläche. Die mittlere Azahl λ (lambda) vo Vorkommisse pro Betrachtugseiheit ist bekat. X = Azahl des (tatsächliche) Auftretes des betrachtete Ereigisses pro Betrachtugseiheit Da gilt X P o(λ) d. h. X ist poissoverteilt mit Parameter λ.

17 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 17 Diskrete Dichte Erwartugswert Variaz P (X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2, 3,... E(X) = µ = λ V ar(x) = 2 = λ Die Poissoverteilug wird isbesodere i folgede Fälle agewedet: 1. Als Näherug für die Biomialverteilug, we groß ud p klei ist (Faustregel: 30 ud p 0, 1). I diesem Fall ka ma die Biomialverteilug aäher durch eie Poissoverteilug P o(λ), wobei λ = p ist. 2. Bei Biomialverteilug ud hypergeometrischer Verteilug wird gezählt, wie viele Eiheite eie bestimmte Eigeschaft habe (z. B. defekt). Will ma statt desse die Azahl der Fehler a eier Eiheit beschreibe, eiget sich ur die Poissoverteilug. Ma muss da aber λ, die mittlere Azahl der Fehler pro Eiheit kee. 3. Auch i adere Fälle, bei dee als Parameter ur eie mittlere Azahl bekat ist, eiget sich die Poissoverteilug. Beispiel: I eier Telefozetrale gehe im Mittel 3 Gespräche ierhalb vo 5 Miute ei. Da ist zur Beschreibug der zufällige Azahl der i 5 Miute eigehede Gespräche eie Poissoverteilug mit λ = 3 awedbar. Stellt X P o(λ) eie zufällige mittlere Azahl pro Eiheit dar, wie bei 2) ud 3) obe erläutert, so lässt sich die mittlere Azahl auf Eiheite zusamme beschreibe durch eie Zufallsvariable mit Verteilug P o( λ). Im Beispiel Telefozetrale vo obe lässt sich also die zufällige Azahl vo Arufe i 10 Miute durch eie Zufallsvariable beschreibe, die P o(6)-verteilt ist Stetige Zufallsvariable Stetige Verteiluge sid i. d. Regel Modelle für das Verhalte vo stetige Zufallsvariable. Beobachtet ma bei eier ZV ei bestimmtes Verhalte, so ordet ma ihr ei passedes Modell, d.h. die etsprechede Verteilug zu ud schätzt die Parameter. Bei stetige Zufallsvariable tritt a die Stelle der diskrete Dichte eie Dichtefuktio. Wo bei diskrete Variable eie Summe auftritt, hat ma hier ei Itegral. Dichte Wahrscheilichkeite = Fuktio f(x) 0 mit f(x) dx = 1 werde (theoretisch) berechet als Fläche uter der Dichte P (a X b) = b a f(x) dx Verteilugsfuktio vo X Fuktio F (x) = P (X x) = oder (praktisch) mit Hilfe der Verteilugsfuktio F (x) vo X. x Fläche uter der Dichte liks vo x f(t) dt Erwartugswert µ = E(X) = x f(x) dx ( ) Variaz 2 = V ar(x) = x 2 f(x) dx µ 2 Stadardabweichug = 2 = V ar(x) für alle x IR Berechug vo Wahrscheilichkeite bei stetige ZV Bei stetige ZV gilt für beliebige Werte a, b IR P (X = a) = 0 P (X a) = F (a) P (a X b) = F (b) F (a) [= P (X b) P (X a)] P (X > a) = 1 F (a) [= 1 P (X a)]

18 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 18 Dabei darf durch < ud durch > ersetzt werde (im Gegesatz zu diskrete ZV). Normalverteilug X N(µ, 2 ) Modell für viele stetige Zufallsvariable. We eie Zufallsvariable ormalverteilt ist, schreibt ma hierfür auch X N(µ; 2 ), wobei µ ud 2 Erwartugswert bzw. Variaz bezeiche. Achtug: I der Statistik-Literatur wird als zweiter Parameter i der Klammer häufig statt desse die Stadardabweichug agegebe. Hier müsse µ ud 2 etweder bekat sei, oder es muss eie Stichprobe vorliege, so dass ma diese beide Größe durch de arithmetische Mittelwert bzw. die empirische Variaz der Stichprobe schätze ka (Puktschätzer, siehe Abschitt 5.1). Im zweite Fall ist ˆµ = x, ˆ 2 = s 2. Dichte f(x) = 1 2π 2 e 1 2 ( x µ ) 2 ( Gauß sche Glockekurve ) Erwartugswert E(X) = µ bestimmt die Lage der Dichtekurve Variaz V ar(x) = 2 bestimmt die Form der Dichtekurve Dichte der Normalverteilug: Gauß sche Glockekurve, Symmetrieachse: x = µ, Lage der Wedepukte x = µ ±. Berechug vo Wahrscheilichkeite für Normalverteiluge Stadardormalverteilug: Z N(0; 1) Spezielle ormalverteilte Zufallsvariable mit Erwartugswert 0 ud Variaz bzw. Stadardabweichug 1. Für die Stadardormalverteilug liegt die Verteilugsfuktio Φ(z) = P (Z z) als Tabelle vor (s. Ahag). (Weil die Verteilugsfuktio so wichtig ist, bekommt sie eie eigee Name.) Berechug vo Wahrscheilichkeite für X N(µ; 2 ) Eie beliebige Normalverteilug X N(µ; 2 ) muss zuächst stadardisiert werde. Es gilt ämlich: Z = X µ N(0; 1) (Stadardisierug) Das führt zu folgede Formel: P (X = x) = 0 ( ) x µ P (X x) = Φ ( ) ( ) b µ a µ P (a X b) = Φ Φ ( ) a µ P (X > a) = 1 Φ [= P (X b) P (X a)] [= 1 P (X a)] I Excel: Verteilugsfuktio bzw. Dichte vo beliebige Normalverteiluge über Fuktio NORM- VERT. Quatile der Normalverteilug Quatile der Stadardormalverteilug: Die Zahl z mit P (Z z) = 0, 95 heißt das 95%-Quatil der (Stadard-)Normalverteilug. Der Zahlewert dieses Quatils ist 1, 645; ma schreibt hierfür z 0,95 = 1, 645 Etspreched sid das 99 %-Quatil ud weitere Quatile defiiert. Die wichtigste Quatile stehe i eier Tabelle zur Verfügug.

19 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 19 Quatile für beliebige Normalverteiluge: Für eie Zufallsvariable X N(µ; 2 ) heißt die Zahl q 0,95 = µ + z 0,95 das 95%-Quatil dieser Normalverteilug. Es gilt: P (X q 0,95 ) = 0, 95 Etspreched ka ma durch Ersetze der Quatile der Stadardormalverteilug adere Quatile bereche. Allgemei: α-quatil: q α = µ + z α mit P (X q α ) = α I Excel: Berechug vo Quatile vo Normalverteiluge über die Fuktio NORMINV. Zufallsstreubereiche (ZSB) Zufallsstreubereich oder Progoseitervall eier ormalverteilte Zufallsvariable X: ei Itervall um de Erwartugswert µ, i dem sich die Auspräguge vo X mit eier Wahrscheilichkeit p (z. B. p = 90%, 98%, 99%) befide. Die Auspräguge vo X befide sich außerhalb des Zufallsstreubereiches mit eier Wahrscheilichkeit vo α = 1 p. Zufallsstreubereiche für eie ormalverteilte Zufallsvariable X N(µ; 2 ): [ Zweiseitig q α ; q ] 2 1 α = [ µ z 2 1 α ; µ + z 2 1 α ] 2 Eiseitig ach obe beschräkt ( ; q 1 α ] = ( ; µ + z 1 α ] Eiseitig ach ute beschräkt [q α ; ) = [µ z 1 α ; ) Für eie zweiseitige Zufallsstreubereich beötigt ma das z 1 α -Quatil der Normalverteilug, z. 2 B. also für eie zweiseitige 99%-Zufallsstreubereich z 0,995 = 2, 576. Wege z α = z 1 α geügt es, eie Tabelle mit Quatile der Stadardormalverteilug für hohe Wahrscheilichkeite (> 0, 5) zu habe. Zufallsstreubereiche für X Das durch X beschriebee Zufallsexperimet soll jetzt icht ur eimal durchgeführt werde, soder -mal uabhägig wiederholt werde. I welchem Bereich wird der arithmetische Mittelwert der Date liege? Ei solcher Bereich heißt ei Zufallsstreubereich für X. Die etsprechede Formel laute: Zweiseitig Eiseitig ach obe beschräkt Eiseitig ach ute beschräkt [ µ z 1 α 2 ] ; µ + z 1 α 2 ( ] ; µ + z 1 α [ ) µ z 1 α ; Beutzt ma die Formel mit = 1, so erhält ma atürlich wieder die Formel der Zufallsstreubereiche für X selbst Summe vo Zufallsvariable Summe vo ormalverteilte Zufallsvariable Voraussetzug: X 1, X 2,..., X sid uabhägig (!) ormalverteilt mit Erwartugswerte µ 1, µ 2,..., µ ud Variaze 2 1, 2 2,..., 2. Da gilt: Die Summe X 1 +X 2 + +X ist ist ebefalls ormalverteilt mit Erwartugswert µ 1 +µ 2 + +µ ud Variaz ; also X 1 + X X N ( µ 1 + µ µ ; ) (1)

20 4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND KOMBINATORIK 20 Spezialfälle: X 1 + X 2 N ( µ 1 + µ 2 ; ) X 1 X 2 N ( µ 1 µ 2 ; ) (2) (3) Habe X 1, X 2,..., X alle die gleiche Normalverteilug N(µ; 2 ), da gilt (bei Uabhägigkeit) für die Summe S = X 1 + X X N ( µ; 2) (4) für de arithmetische Mittelwert X = X ) 1 + X X N (µ; 2 (5) Besoders zu beachte sid das Pluszeiche bei der Variaz i Gleichug 3 ud der Neer der Variaz i Gleichug 5. Zetraler Grezwertsatz Summe vo icht ormalverteilte Zufallsvariable Voraussetzug: Es sid X 1, X 2,..., X Zufallsvariable, die uabhägige Durchführuge desselbe Zufallsexperimets beschreibe ud die de gleiche Erwartugswert µ ud die gleiche Variaz 2 habe. Da gilt, falls groß ist, für die Summe S = X 1 + X X N ( µ; 2) (6) für de arithmetische Mittelwert X = X ) 1 + X X N (µ; 2 (7) Isbesodere bedeutet das, dass eie Summe vieler uabhägiger Größe äherugsweise ormalverteilt ist, selbst we die eizele Summade icht ormalverteilt sid. Stetigkeitskorrektur Wird eie diskrete Zufallsvariable X, die ur gazzahlige Werte aehme ka, durch eie Normalverteilug N(µ; 2 ) approximiert, ( sollte ) Wahrscheilichkeite ( ) mit de Formel b µ +0, 5 a µ 0, 5 P (a X b) Φ Φ ( ) b µ +0, 5 P (X b) Φ ( ) a µ 0, 5 P (a X) = P (X a) 1 Φ berechet werde. Achtug: Bei diese Formel darf icht durch < ersetzt werde. Die Summade +0, 5 bzw. 0, 5 et ma Stetigkeitskorrektur. Sie sid erforderlich, we eie diskrete Zufallsvariable X mit gazzahlige Werte durch eie stetige Zufallsvariable (Normalverteilug) ageähert wird. Näheruge für Verteiluge vo Zufallsvariable (Zusammefassug) Approximatio vo HV durch BV durch P V X H(; N; M) B ( ) ; M N (Hypergeom. Verteilug Biomialverteilug) Näherug o.k. we N groß ud icht zu groß ist, d. h. we der Ateil der gezogee Elemete icht zu groß ist. Faustregel: N 0, 1. Da: p := M N X B(; p) P o(p) (Biomalverteilug Poissoverteilug) we groß ud p klei. Faustregel: 30 ud p 0, 1. Da: λ := p

21 5 SCHLIEßENDE STATISTIK 21 Approximatio vo HV, BV ud PV durch die Normalverteilug X H(; N; M) N(µ; 2 ) (Hypergeom. Verteilug Normalverteilug) Faustregel: Näherug o.k. falls N 0, 1 ud p (1 p) 9. Da: µ := M N = p ud 2 = p (1 p) N N 1 wobei p = M N X B(; p) N(µ; 2 ) (Biomialverteilug Normalverteilug) Faustregel: Näherug o.k. falls p (1 p) 9 Da: µ := p ud 2 := p (1 p) X P o(λ) N(µ; 2 ) (Poissoverteilug Normalverteilug) we groß ud λ hireiched groß Faustregel: Näherug o.k. falls λ 9 Da: µ := λ ud 2 := λ Die Faustregel für die Approximatio durch die NV bedeute 2 9. (I der Literatur gibt es verschiedee Faustregel.) Bei der Approximatio durch die NV ist i alle drei Fälle die Stetigkeitskorrektur zu beachte. 5 Schließede Statistik 5.1 Puktschätzer Oft ist der Verteilugstyp bekat, aber die etsprechede Parameter icht. Beispiele: Zufallsvariable Verteilug zu schätzede Parameter Messfehler, Produktiosfehler,... Beroulli-Schema (Erfolg Misserfolg) Normalverteilug Biomialverteilug seltee Ereigisse Poissoverteilug µ µ, p (bzw. µ = p) Diese Parameter köe aus eier Stichprobe geschätzt werde. Berechet ma für die ubekate Größe aus der Stichprobe eie Zahlewert als Näherug, so spricht ma vo eier Puktschätzug. Wichtige Beispiele: ist. Ubekater Parameter Wahrscheilichkeit p eies Ereigisses Erwartugswert µ Variaz 2 Stadardabweichug Puktschätzer ˆp = k (relative Häufigkeit, d. h. bei der Stichprobe vom Umfag trat das gesuchte Ereigis k-mal auf) ˆµ = x (arithmetischer Mittelwert der Stichprobe) ˆ 2 = s 2 (empirische Variaz der Stichprobe) ˆ = s (empirische Stadardabweichug der Stichprobe) Nach dem Gesetz der große Zahle liegt bei eier große Stichprobe der aus der Stichprobe berechete kokrete Schätzwert i der Nähe des wahre (ubekate) Parameters; aber eie kleie Differez wird es ormalerweise trotzdem gebe. Bei eier kleie Stichprobe muss ma vo deutlich größere Abweichuge zwische dem Puktschätzer ud dem wahre (ubekate) Parameter ausgehe. I beide Fälle wird ma versuche, die mögliche Abweichuge zwische dem geschätzte Wert ud dem ubekate wahre Wert zu quatifiziere. Dazu wird ma z. B. für de Fall eier ubekate Wahrscheilichkeit p Frage wie die folgede stelle:

22 5 SCHLIEßENDE STATISTIK Ka ma bestimmte Werte vo p ausschließe, z. B. ka ma ausschließe, dass gilt p 0, 5? 2. Ka ma eie Bereich agebe, i dem p liege ka, etwa i der Form p liegt im Itervall [0, 63; 0, 67]? Auf solche Frage ka es keie sivolle Atworte gebe, die mit 100-prozetiger Sicherheit richtig sid. Es gibt aber Verfahre, die mit großer Wahrscheilichkeit richtige Atworte liefer: 1. Tests Abschitt Vertrauesbereiche Abschitt Hypothesetests Ei statistischer Test ist ei Verfahre, um bestimmte Hypothese über eie ubekate Parameter auszuschließe Geerelles Vorgehe beim Teste vo Hypothese 1. Hypothese aufstelle (s.u.) 2. Sigifikaziveau α festlege, z. B. α = 0, 05, α = 0, 01 oder α = 0, Berechug des Zufallsstreubereichs (ach Tabelle) Falls H 0 zutrifft, sollte die Teststatistik mit großer Wahrscheilichkeit 1 α i diesem Zufallsstreubereich liege. 4. Berechug der Teststatistik aus der Stichprobe Teststatistike: x bzw. x y bzw. k 5. Testetscheidug: Teststatistik ZSB (=Aahmebereich) = H 0 ka icht verworfe werde/wird beibehalte Teststatistik / ZSB = H 0 wird (zu Guste vo H 1 ) verworfe/abgeleht 6. Atwortsatz d. h. Übersetze der Testetscheidug i das kokrete Awedugsproblem Falls die Stichprobedate der Nullhypothese icht widerspreche, braucht ma de ZSB icht zu bereche; z. B. we die Nullhypothese H 0 : µ 1000 lautet ud x = 1000, 7 ist. I eiem solche Fall wird die Nullhypothese ie verworfe; µ 1000 ka atürlich icht ausgeschlosse werde. Ergäzug: Aufstelle der Hypothese für Parametertests H 0 beihaltet de für de ubekate Parameter auszuschließede Wert (bzw. die auszuschließede Werte), H 1 das Gegeteil vo H 0, also die zu bestätigede Werte. Beispiele für Sigalwörter im Text:... gleich ugleich, weicht ab,... =... höchstes, icht mehr als größer, mehr als,... >... midestes, icht weiger als kleier, weiger als,... < H 0 H 1 H 0 immer =, oder (... gleich steht vore) H 1 immer, < oder >. Wahl des Sigifikaziveaus α Das Sigifikaziveau α ist immer eie kleie Wahrscheilichkeit. Sie ka frei gewählt werde ud gibt die Irrtumswahrscheilichkeit beim Beibehalte der Nullhypothese (Wahrscheilichkeit für de Fehler 1. Art) a.

23 5 SCHLIEßENDE STATISTIK 23 Mögliche Fehler bei statistische Tests H 0 wird verworfe H 0 wird icht verworfe H 0 trifft zu Fehler 1. Art (α-fehler) Wahrscheilichkeit: höchstes α Richtige Etscheidug H 1 trifft zu Richtige Etscheidug Fehler 2. Art (β-fehler) Wahrscheilichkeit: β Falls H 0 verworfe wird, gilt H 1 als statistisch achgewiese. Ma sagt auch, H 1 sei sigifikat bei Sigifikaziveau α. α ist die Wahrscheilichkeit, dass ma sich irrt (deshalb auch: Irrtumswahrscheilichkeit), d.h. H 1 gilt mit Wahrscheilichkeit 1 α. Im Allgemeie liefert ur das Verwerfe vo H 0 eie statistisch abgesicherte Aussage. Ka H 0 icht verworfe werde, so köe die i H 0 aufgeführte Möglichkeite icht ausgeschlosse werde; H 1 ist icht achgewiese. Über die Wahrscheilichkeit, mit der die Nullhypothese gilt, ka ma keie Aussage treffe Tabelle für statistische Tests Allgemeier ( ) Hiweis zu de Tabelle auf de folgede Seite: Bei de zweiseitige Tests ist das 1 α 2 -Quatil der Normalverteilug (bzw. t-verteilug) zu beutze. Ist zum Beispiel α = 5%, so muss bei der Normalverteilug das Quatil z 1 α = z 2 0,975 = 1, 96 beutzt werde. 1. Gauß-Test: Test für µ bei bekater Stadardabweichug zum Sigifikaziveau α Test (zum Sigifikaziveau α) eier Nullhypothese über de ubekate Erwartugswert µ, z. B. (erster Eitrag i der Tabelle) die Hypothese, dass µ gleich eier vorgegebee feste Zahl µ 0 (etwa eiem Sollwert oder dem bisherige Wert) ist. Gegebe: Stichprobe x 1, x 2,..., x. Die Messwerte sid Realisieruge vo uabhägige N(µ, 2 )- verteilte Zufallsvariable mit ubekatem Erwartugswert µ, aber bekater Variaz 2. H 0 H 1 Zufallsstreubereich für X, falls H 0 zutrifft µ = µ 0 µ µ 0 [µ 0 z 1 α 2 µ µ 0 µ < µ 0 [µ 0 z 1 α ; µ 0 + z 1 α 2 ) ; µ µ 0 µ > µ 0 ( ; µ 0 + z 1 α ] ] H 0 verwerfe falls x / ZSB x / ZSB x / ZSB 2. t-test: Test für µ bei ubekater Stadardabweichug zum Sigifikaziveau α Gegebe: Stichprobe x 1, x 2,..., x. Die Messwerte sid Realisieruge vo uabhägige N(µ, 2 )-verteilte Zufallsvariable mit ubekatem Erwartugswert µ, ud ubekater Variaz 2. Schätze durch s aus der Stichprobe. Deshalb müsse die Quatile der t-verteilug (mit 1 Freiheitsgrade) statt der Normalverteilug beutzt werde.

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