Vl Statistische Prozess und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3
|
|
- Elmar Simen
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Aufgabe ) Die Schichtdicke X bei eier galvaische Beschichtug vo Autoteile sei ormalverteilt N(μ,σ ). 4 Teile werde galvaisch beschichtet. Als Schichtdicke erhält ma (i μm): 7,0 3, 30, 3,5. a) Bereche Sie ei Vertrauesitervall für die erwartete Schichtdicke μ zur Sicherheitswahrscheilichkeit -α jeweils für - α = 0,90, - α = 0,95, - α = 0,99. Was bedeutet eie Sicherheitswahrscheilichkeit vo 0,90? Was stelle Sie fest, we die Sicherheitswahrscheilichkeit wächst? b) Wie groß ist die Sicherheitswahrscheilichkeit dafür, dass die erwartete Schichtdicke EX=μ der Produktio i eiem Vertrauesbereich x mit der Geauigkeit ε= 3μm liegt? c) 8 weitere Messuge ergabe zusamme mit de o.g. 4 Messuge (Stichprobe vom Umfag =3) folgede Schätzuge für μ ud σ : x 30m, s (m). Wie groß müsste der Stichprobeumfag sei, damit mit eier Sicherheit vo 95 % die erwartete Schichtdicke μ im Vertrauesbereich x mit eier Geauigkeit vo ε= μm liegt? Aufgabe ) Bei eier gelieferte Charge vo Drehteile wird agegebe, dass der Mittelwert μ bei 00 mm ud die Stadardabweichug σ bei 0, mm liegt. a) I welchem Bereich müsste da der beobachtete Mittelwert x eier Stichprobe vom Umfag =5 mit eier Sicherheit vo 99% liege? b) Eie Stichprobe vom Umfag =5 ergab das Stichprobemittel x = 99mm. Ageomme, die Agabe σ = 0, mm ist korrekt. Was köe Sie da über die Agabe μ = 00 mm sage? Ist diese auch korrekt?
2 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Aufgabe 3) Löse Sie uter der Aahme, dass die Durchlaufzeit X ormalverteilt ist folgede Aufgabe: Wie löst ma a), b) ud c), falls die Normalverteilug icht vorliegt? Aufgabe 4) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p( p).
3 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Aufgabe 5) Um de Ateil p = P(A) aller Objekte eier Grudgesamtheit zu ermittel, die die Eigeschafte A habe (z.b. A= Ausschuss), zieht ma aus der Grudgesamtheit eie Stichprobe vom Umfag ud schätzt p durch de etsprechede Ateil h (A) (= relative Häufigkeit) i der Stichprobe: p=p(a) h (A) Betrachtet ma h (A) als Zufallsgröße X (die Elemete der Stichprobe werde ja zufällig gezoge), so ka ma wieder EX ud Var X bereche. Es ist folgedes bekat: Für X = h (A) gilt: EX=p (d.h. h (A) schätzt im Mittel p korrekt) ud Var(X) = p( p)/ (d.h.wege Var(X) = E(X EX) = E(h (A) p) : h (A) schätzt p mit wachsedem immer besser, d.h. die quadratische Abweichug vo p wird im Mittel immer kleier. Wir wolle u wisse, wie groß die Wahrscheilichkeit P( h (A) p ε) ist, dass für ei feste Stichprobeumfag h (A) vo p höchstes um (ei kleies) ε abweicht. Es ist bekat, dass für 0 h (A) äherugsweise ormalverteilt ist, d.h. es gilt: p( p) p( p) h ( A) N( p, ) bzw. ( h ( A) p) N(0, ). a) Weise Sie uter Verwedug der Normalverteilug ach, dass u ( ) p( p) h (A) ± ε mit () ei Vertrauesitervall für p mit der Sicherheit α ist! b) I () ist p ubekat. Ersetzte Sie i () p( p) durch die i Aufgabe ermittelte obere Schrake. Wie sieht da ε bzw. ihr Vertrauesitervall h (A) ± ε für p aus? Was passiert da mit der Geauigkeit ud mit der Sicherheit des u etstadee Vertrauesitervalls? c) Wie groß ist für Ihr i Aufgabe ermitteltes Vertrauesitervall h (A) ± ε die Irrtumswahrscheilichkeit P( h (A) p > ε) höchstes? d) Wie groß muss der Stichprobeumfag midestes sei, damit gilt: P( h (A) p >ε) 0,00? e) Utersuche Sie das Itervall i b) für verschiedee für verschiedee, ε ud α! Was stelle Sie fest? 3
4 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Aufgabe 6) A eier Takstelle wird jedes takede Fahrzeug überprüft, ob es mit eiem Katalysator (K- Auto) ausgerüstet ist oder icht. a) Uter =50 Fahrzeuge befade sich 30 ohe Katalysator. Bereche Sie - uter Verwedug der Normalverteilug- eie Vertrauesbereich für de ubekate Ateil aller K-Autos zur Sicherheit vo 90%! b) Wie viele Autos müsste midestes überprüft werde, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo mehr als 90% die relative Häufigkeit der K-Autos vo der tatsächliche (ubekate) Wahrscheilichkeit für ei K-.Auto um weiger als 0,0 abweicht? Reiche =50 Beobachtuge aus? Ahäge: Ahag Übersicht über Tolerazbereiche Ahag Verteilugs ud Quatil Tabelle 4
5 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Ahag Übersicht über Schätzuge ud Tolerazbereiche für p=p(a), μ= EX ud σ = VarX Schätzfuktioe für p=p(a), μ= EX ud σ = VarX Sei X~Pθ eie Zufallsgröße, dere Verteilug vo eiem ubekate Parameter θ abhägt, (z.b. θ=μ=ex oder θ=σ =Var(X) oder θ=p=p(a)). Defiitio: Sei X,,X eie Stichprobe vo X ( uabhägige wie X verteilte Zufallsgröße). Da heißt eie Fuktio der Stichprobe ( ) = S(X,,X ) Schätzfuktio für θ. Gewüschte Eigeschafte eier Schätzfuktio: ( ). Erwartugstreue: E. Kosistez: Var E( ) 0 Erwartugstreue ud kosistete Schätzfuktioe für p=p(a), μ=ex ud σ =VarX a) Schätzfuktio für Ateile (Wahrscheilichkeite) p=p(a): h (A) = Ateil vo Objekte eier Stichprobe vo X vom Umfag, die die Eigeschaft A besitze. Es gilt: E( h ( A)) p Var ( h ( A)) E( h ( A) p) p( p) 4 0 p( p) (Die Ugleichug gilt, weil das Maximum vo f(p)=p(-p) a der Stelle 4 p=/ erreicht wird (Extremwert vo f(p) ist p=/. ) 5
6 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 b) Schätzfuktio für de Erwartugswert μ=ex eier Zufallsgröße X mit Var(X)=σ : X X i i arithmetisches Mittel eier Stichprobe X,,X vo X Es gilt: E ( X ) (erwartugstreu) Var( X ) E( X ) 0 (kosistet) (Berechug des Erwartugswertes: E( X ) E i X i Berechug der Variaz: Eigeschafte des Erwartugswertes i EX i X i besitzt de gleiche Erwartugswert wie X ( vo weil X Stichprobe ) i Var ( X ) Var X i VarX i Eigeschafte X i besitzt i i der i die gleiche Variaz Variaz wie X ( vo weil X Stichprobe ) ) c) Schätzfuktio für die Variaz σ =Var(X) eier Zufallsgröße X: S Es gilt: ( X i X ) i Streuug eier Stichprobe X,,X vo X E ( S ) (erwartugstreu) Var( S ) E( S ) 0 (kosistet) 6
7 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Defiitio Tolerazbereich: Sei X~Pθ eie Zufallsgröße, dere Verteilug vo eiem ubekate Parameter θ abhägt. X,,X sei eie Stichprobe vo X ( uabhägige wie X verteilte Zufallsgröße) ud = S(X,,X ) eie erwartugstreue ud kosistete Schätzfuktio für θ. Problem: Auch we eie Schätzfuktioe für θ erwartugstreu ud kosistet ist, gilt für jedes feste : P( = θ) = 0. D.h. trifft θ icht geau. Wir erhöhe die Trefferwahrscheilichkeit, we wir als Schätzug für θ ei kleies Itervall ± ε, ε>0, um herum betrachte. Defiitio: Das Itervall ± ε heisst Vertrauesitervall zur Sicherheitswahrscheilichkeit (Überdeckugswahrscheilichkeit) - α bzw. zur Irrtumswahrscheilichkeit α ud Geauigkeit ε, falls gilt: P ) ( Adere Bezeichuge für das Vertrauesitervall: Bereichsschätzug, Toleraz- oder Kofidezitervall, Vertrauesbereich, Kofidezbereich Bemerkug: Adere Schreibweise: Es ist P ) P( ) ( Ei Vertrauesitervall hägt vo 3 Größe ab:, ε ud α. Je breiter das Itervall, d.h. je größer ε, desto wahrscheilicher ist es, dass θ i dem Itervall liegt. Natürlich sid wir a möglichst kleie Itervalle iteressiert i dee θ mit hoher Wahrscheilichkeit -α liegt. Da kosistet ist, d.h. für wachsede Stichprobeumfag gege θ strebt, köe wir das immer durch ei geüged großes erreiche. 7
8 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 I diesem Zusammehag ergebe sich 3 praktische Fragestelluge: 3 Fragestelluge: a) Gegebe:, ε Gesucht: α b) Gegebe:, α Gesucht: ε c) Gegebe: α, ε Gesucht: Um diese zu beatworte, bzw. Tolerazbereiche bereche zu köe, beötige wir die Wahrscheilichkeitsverteilug der Schätzfuktio = S(X,,X ). Verteiluge der Schätzfuktioe h ( A), X, S für p=p(a), EX ud VarX ) Verteilug vo h (A) : a) Für < 0: h (A) ~ B(, p) p( p) b) Für 0: h (A) N(p, ) ) Verteilug vo X : a) Falls X~N(μ, σ ( X ) ) : X ~ N(, ) bzw. ~ N(0,) ( X ) ud ~ t s (für > 30 ist t- N(0,)) b) Falls X icht ormalverteilt ist oder die Verteilug vo X ubekat ist: ( X ) Für 0: N(0,) ( X ) ud t N(0,) s 3) Verteilug vo S : a) Falls X~N(μ, σ ) : ( ) S ~ b) Falls X icht ormalverteilt ist oder die Verteilug vo X ubekat ist: Für 0: ( ) S ~ 8
9 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Tolerazitervalle für p=p(a), μ= EX ud σ = VarX ) Tolerazitervall für Ateile (Wahrscheilichkeite) p=p(a) mit Sicherheitswahrscheilichkeit -α: u( ) Für 0: h ( A) () u(γ) ist das γ-quatil der Stadardormalverteilug (i Ahag Tabelle tabelliert). Es gilt: u( ) P p h ( A). () )Tolerazitervall für de Erwartugswert μ=ex eier Zufallsgröße X zur Sicherheit = -α: a) Fall: X~N(μ,σ ) ud bekate Variaz Var(X)=σ u( ) X (3) (u(γ) ist das γ-quatil der Stadardormalverteilug N(0,), siehe Ahag ) b) Fall: X~N(μ,σ ) ud ubekate Variaz Var(X)=σ t ( ) S X (4) Für > 30 geht ebefalls (weil da t ( ) u( ) ist) : u( ) S X (5) (t-(γ) ist das γ-quatil der t--verteilug, siehe Ahag ) c) Fall: X icht ormalverteilt oder die Verteilug vo X ist icht bekat: Für 0: Formel (3) falls die Variaz Var(X)=σ vo X bekat ist, Formel (5) falls die Variaz Var(X)=σ vo X ubekat ist. 9
10 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 3) Tolerazitervall für die Variaz σ = VarX zur Sicherheitswahrscheilichkeit = -α: Dieses Itervall ist icht symmetrisch: Ug σ Og mit ( ) S Ug, ( ) ( ) S Og (6) ( ) ( ) ist das γ Quatil der Chi-Quadrat-Verteilug mit - Freiheitsgrade. Es gilt: P(Ug σ Og) = α (7) Beweis zu Formel (7): Der Beweis erfolgt uter Verwedug der Verteilug ( ) S ~ (siehe obe): P(Ug σ Og) 0
11 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Beweis zu Formel (): Der Beweis erfolgt uter Verwedug der Normalverteilug der relative Häufigkeit p( p) h (A) N(p, ) für 0:
12 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Ahag : Verteilugs ud Quatiltabelle. Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug Verteilugsfuktio ud Quatile der Stadardormalverteilug Beispiele: u=,67 (u) = 0,955; u=,673 (u) = 0,958; u= 0,8 (u) = ( u) = 0,7939 = 0,06
13 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3. Quatile der Verteilug m\ 0,005 0,0 0,05 0,05 0, 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,000 0,000 0,000 0,004 0,06,706 3,84 5,03 6,635 7,879 0,00 0,00 0,05 0,03 0, 4,605 5,99 7,378 9,0 0,60 3 0,07 0,5 0,6 0,35 0,584 6,5 7,85 9,348,34,94 4 0,07 0,97 0,484 0,7,064 7,779 9,4,4 3,8 4,86 5 0,4 0,554 0,83,45,60 9,36,07,83 5,09 6,75 6 0,676 0,87,37,635,04 0,64,59 4,45 6,8 8,55 7 0,989,39,690,67,833,0 4,07 6,0 8,48 0,8 8,344,647,80,733 3,490 3,36 5,5 7,53 0,09,96 9,735,088,700 3,35 4,68 4,68 6,9 9,0,67 3,59 0,56,558 3,47 3,940 4,865 5,99 8,3 0,48 3, 5,9,603 3,053 3,86 4,575 5,578 7,8 9,68,9 4,7 6,76 3,074 3,57 4,404 5,6 6,304 8,55,03 3,34 6, 8,30 3 3,565 4,07 5,009 5,89 7,04 9,8,36 4,74 7,69 9,3 4 4,075 4,660 5,69 6,57 7,790,06 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,60 5,9 6,6 7,6 8,547,3 5,00 7,49 30,58 3,80 6 5,4 5,8 6,908 7,96 9,3 3,54 6,30 8,85 3,00 34,7 7 5,697 6,408 7,564 8,67 0,09 4,77 7,59 30,9 33,4 35,7 8 6,65 7,05 8,3 9,390 0,86 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,844 7,633 8,907 0,,65 7,0 30,4 3,85 36,9 38,58 0 7,434 8,60 9,49 0,85,44 8,4 3,4 34,7 37,57 40,00 5 0,5,5 3, 4,6 6,47 34,38 37,65 40,65 44,3 46, ,79 4,95 6,79 8,49 0,60 40,6 43,98 46,98 50,89 53, ,9 8,5 0,57,46 4,80 46,06 49,0 53,0 57,34 60,7 40 0,7,6 4,43 6,5 9,05 5,8 55,34 59,34 63,69 66,77 3
14 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug ,3 5,90 8,37 30,6 33,35 57,5 6,4 65,4 69,96 73,7 50 7,99 9,7 3,36 34,76 37,69 63,7 67,4 7,4 76,5 79, ,53 37,48 40,48 43,9 46,46 74,40 79,30 83,30 88,38 9, ,8 45,44 58,76 5,74 55,33 85,53 90,0 95,0 00,4 04, 80 5,7 53,54 67,5 60,39 64,8 96,58 0,9 06,6,3 6, ,0 6,75 65,65 69,3 73,9 07,6 3, 8, 4, 8, ,33 70,07 74, 77,93 8,36 8,5 4,3 9,6 35,8 40, Quatile m () der Verteilug mit m Freiheitsgrade P(X < m ()) = 4
15 Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 3. Quatile der t Verteilug m\ 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 Quatile t m () der t Verteilug mit m Freiheitsgrade P(X < t m ()) = t m () = t m ( ) t m () = u für m 500 5
Vl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5
Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe ) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p(-p). Aufgabe
MehrKapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer
7 Kapitel 6 : Pukt ud Itervallschätzer Puktschätzuge. I der Statistik wolle wir Rückschlüsse auf das Wahrscheilichkeitsgesetz ziehe, ach dem ei vo us beobachtetes Zufallsexperimet abläuft. Hierzu beobachte
MehrWirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
MehrX X Schätzen von Vertrauensintervallen Schwankungsintervall
.. Schätze vo Vertrauesitervalle..1. Schwakugsitervall Beispiel: X = Betrag vo Geldüberweisuge, ormalverteilt, µ = 5000, = 1000 Zufallsstichprobe mit = 100, Schätzer für µ: X X Gesucht: Itervall, i dem
MehrWirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
MehrWirksamkeit, Effizienz. Beispiel: Effizienz. Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) Konsistenz im quadratischen Mittel
3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez 3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Beispiel: Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische
Mehr,,, xn. 3. Intervallschätzungen Zufallsstichproben und Stichprobenfunktionen Zufallsstichproben. Zufallsvariablen mit
3. Itervallschätzuge 3.1. Zufallsstichprobe ud Stichprobefuktioe 3.1.1 Zufallsstichprobe 1 Sei eie Zufallsvariable ud seie gemeisamer Verteilug,,,, Zufallsvariable mit - da heiße 1,,, Zufallsstichprobe
MehrKapitel 5: Schließende Statistik
Kapitel 5: Schließede Statistik Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte
MehrSchätzen von Populationswerten
Schätze vo Populatioswerte SS00 7.Sitzug vom.06.00 Schätze vo Populatioswerte Ziel: Ermöglichug vo Aussage über die Grudgesamtheit ahad vo Stichprobedate Logische Methode: Iduktiosschluß Grudlage des Iduktiosschlusses:
MehrAnwendung für Mittelwerte
Awedug für Mittelwerte Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufalls- Stichprobe... "wahre", ubekate Mittelwert der Grudgesamtheit icht zufällig?... beobachtete Mittelwert zufällig Statistik für SoziologIe 1
Mehr4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2
4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form
Mehr3. Grundbegrie der Schätztheorie
Statistik, Abschitt 3. 3. Grudbegrie der Schätztheorie I der kormatorische Statistik will ma uter aderem auf Grud eier Stichprobe vom Umfag Iformatioe über ubekate Parameter θ der Verteilug F der zugrudeliegede
MehrStatistik. 5. Schließende Statistik: Typische Fragestellung anhand von Beispielen. Kapitel 5: Schließende Statistik
Statistik Kapitel 5: Schließede Statistik 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel 1» Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte der arithmetische
MehrParameterschätzung. Kapitel Schätzfunktionen
Kapitel 8 Parameterschätzug 8.1 Schätzfuktioe Def. 8.1.1: Es seie X 1,X,...,X uabhägige ZV, die alle die gleiche Verteilug besitze. θ sei ei ubekater Parameter dieser Verteilug. X 1,X,...,X ist als eie
MehrSchätzen von Populationswerten
Schätze vo Populatioswerte 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 Schätze vo Populatioswerte Ziel: Ermöglichug vo Aussage über die Grudgesamtheit ahad vo Stichprobedate Logische Methode: Iduktiosschluss Grudlage
MehrDie notwendigen Verteilungstabellen finden Sie z.b. hier:
Fakultät für Mathematik Istitute IAG ud IMO Prof. Dr. G. Kyureghya/Dr. M. Hödig Schätz- ud Prüfverfahre Die otwedige Verteilugstabelle fide Sie z.b. hier: http://www.ivwl.ui-kassel.de/kosfeld/lehre/zeitreihe/verteilugstabelle.pdf
Mehr2. Schätzverfahren 2.1 Punktschätzung wirtschaftlicher Kennzahlen. Allgemein: Punktschätzung eines Parameters:
. Schätzverfahre. Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle Allgemei: Puktschätzug eies Parameters: Ermittlug eies Schätzwertes für eie ubekate Parameter eier Zufallsvariable i der Grudgesamtheit mit Hilfe
MehrTests statistischer Hypothesen
KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir
Mehr1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6
Ihaltsverzeichis 1 Vorbemerkuge 1 Zufallsexperimete - grudlegede Begriffe ud Eigeschafte 3 Wahrscheilichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimete 6 5 Hilfsmittel aus der Kombiatorik 7 6 Bedigte Wahrscheilichkeite
Mehr2. Repetition relevanter Teilbereiche der Statistik
. Repetitio Statistik Ökoometrie I - Peter Stalder. Repetitio relevater Teilbereiche der Statistik (Maddala Kapitel ) Zufallsvariable ud Wahrscheilichkeitsverteiluge Zufallsvariable X (stochastische Variable)
Mehr1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2. Diskrete Zufallsvariable. 3. Stetige Zufallsvariable. 4. Grenzwertsätze. 5. Mehrdimensionale Zufallsvariable
1. Wahrscheilichkeitsrechug. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grezwertsätze 5. Mehrdimesioale Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable Eie Zufallsvariable X : Ω R heißt stetig, we
MehrEmpirische Verteilungsfunktion
KAPITEL 3 Empirische Verteilugsfuktio 3.1. Empirische Verteilugsfuktio Seie X 1,..., X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable mit theoretischer Verteilugsfuktio F (t) = P[X i t]. Es sei (x 1,...,
MehrÜbungen mit dem Applet erwartungstreu
Übuge mit dem Applet erwartugstreu Visualisierug vo erwartugstreu Begriffe ud statischer Hitergrud. Visualisieruge mit dem Applet..3. Zufallsstreuug der Eizelwerte...3. Mittelwerte 3.3 Variaz. 4.4 Variaz
MehrStatistik. 2. Semester. Begleitendes Skriptum zur Vorlesung. im FH-Masterstudiengang. Technisches Management. von. Günther Karigl
Statistik. Semester Begleitedes Skriptum zur Vorlesug im FH-Masterstudiegag Techisches Maagemet vo Güther Karigl FH Campus Wie 06/7 Statistische Schätzverfahre Statistische Schätzverfahre Währed die deskriptive
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom
INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE STOCHASTIK WS 005/06 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik vom 9..006 Musterlösuge Aufgabe A: Gegebe sei eie Urliste
MehrParameterschätzung. Numero, pondere et mensura Deus omnia condidit
Parameterschätzug Numero, podere et mesura Deus omia codidit Populatio, Zufallsvariable, Stichprobe Populatio Zufallsvariable X Stichprobe x eie"realisierug vo X (Beobachtug) alle mäliche Rekrute der US
MehrEingangsprüfung Stochastik,
Eigagsprüfug Stochastik, 5.5. Wir gehe stets vo eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P aus. Die Borel σ-algebra auf wird mit B bezeichet, das Lebesgue Maß auf wird mit λ bezeichet. Aufgabe ( Pukte Sei x
MehrFormelsammlung Statistik 29. Januar 2019
Formelsammlug Statistik Seite 1 Formelsammlug Statistik 9. Jauar 019 Witersemester 018/19 Adreas Löpker, HTW Dresde 1. Deskriptive Statistik (F1) Stichprobe x vom Umfag, Stichprobe y vom Umfag m x = (x
Mehr2 Einführung in die mathematische Statistik
2 Eiführug i die mathematische Statistik Die Hauptaufgabe der mathematische Statistik ist es, ahad der Eigeschafte eies Teils eier Mege vo Objekte auf die Eigeschafte aller Objekte i dieser Mege zu schließe.
MehrKonfidenzintervalle. Praktische Übung Stochastik SS 2017 Lektion 10 1
Kofidezitervalle Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 1 Kofidezitervalle Geerelle Aahme: Parametrisches Modell (P ϑ ) ϑ Θ Beobachtuge X 1,..., X u.i.v. ach P ϑ mit ubekatem ϑ Θ Grudidee: Schätzer
MehrEinführung in die Stochastik 10. Übungsblatt
Eiführug i die Stochastik. Übugsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler.7. A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 37 (4 Pukte) Ei Eremit am Südpol hat sich für die eibrechede polare Nacht mit
MehrÜbungen zu QM III Mindeststichprobenumfang
Techische Hochschule Köl Fakultät für Wirtschafts- ud Rechtswisseschafte Prof. Dr. Arreberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arreberg@th-koel.de Übuge zu QM III Mideststichprobeumfag Aufgabe 12.1 Sie arbeite
Mehr3 Vergleich zweier unverbundener Stichproben
3 Vergleich zweier uverbudeer Stichprobe 3. Der Zweistichprobe t-test Es wird vorausgesetzt, dass die beide Teilstichprobe x, x,..., x ud y, y,..., y jeweils aus (voeiader uabhägige) ormalverteilte Grudgesamtheite
MehrDiskrete Wahrscheinlichkeitstheorie Wiederholungsklausur
Techische Uiversität Müche Sommersemester 007 Istitut für Iformatik Prof. Dr. Javier Esparza Diskrete Wahrscheilichkeitstheorie Wiederholugsklausur LÖSUNG Hiweis: Bei alle Aufgabe wird ebe dem gefragte
MehrLösungsvorschlag Probeklausur zur Elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prof. Dr. V. Schmidt WS 200/20 G. Gaiselma, A. Spettl 7.02.20 Lösugsvorschlag Probeklausur zur Elemetare Wahrscheilichkeitsrechug Hiweis: Der Umfag ud Schwierigkeitsgrad dieser Probeklausur muss icht dem
MehrLehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschug ud Ökoometrie Dr. Rolad Füss Statistik II: Schließede Statistik SS 2007 6. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 6 3.03.20 Ihalt der heutige Übug Aufgabe D.7: Reche mit Zufallsvariable Erwartugswert- ud Variazoperator Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug
MehrTesten statistischer Hypothesen
Kapitel 9 Teste statistischer Hypothese 9.1 Eiführug, Sigifiaztests Sigifiaztest für µ bei der ormalverteilug bei beatem σ = : X i seie uabhägig ud µ, ) verteilt, µ sei ubeat. Stelle eie Hypothese über
MehrSBP Mathe Aufbaukurs 1. Absolute und relative Häufigkeit. Das arithmetische Mittel und seine Eigenschaften. Das arithmetische Mittel und Häufigkeit
SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Atwort Diese Lerkarte sid sorgfältig erstellt worde, erhebe aber weder Aspruch auf Richtigkeit och auf Vollstädigkeit. Das Lere mit Lerkarte fuktioiert ur
MehrMusterlösung für die Klausur zur Vorlesung Stochastik I im WiSe 2014/2015
Musterlösug für die Klausur zur Vorlesug Stochastik I im WiSe 204/205 Teil I wahr falsch Aussage Gilt E[XY ] = E[X]E[Y ] für zwei Zufallsvariable X ud Y mit edlicher Variaz, so sid X ud Y uabhägig. Für
Mehr6. Grenzwertsätze. 6.1 Tschebyscheffsche Ungleichung
6. Grezwertsätze 6.1 Tschebyscheffsche Ugleichug Sofer für eie Zufallsvariable X die Verteilug bekat ist, lässt sich die Wahrscheilichkeit dafür bestimme, dass X i eiem bestimmte Itervall liegt. Wie ist
MehrDr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheilichkeitstheorie, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG. - LÖSUNGEN. ypothesetest für die Dicke vo Plättche Die Dicke X vo Plättche, die auf eier bestimmte Maschie
MehrStatistik, Abschnitt (1) Gegeben sei der Stichprobenvektor (X 1,..., X n ). Die Stichprobenfunktion. ˆµ k := 1 n. Xi k (1) i=1.
Statistik, Abschitt.. Schätzmethode.. Mometemethode Für Parameter, die sich i bekater Weise aus de Momete zusammesetze, erhält ma Schätzuge, idem ma die theoretische Momete durch die sogeate empirische
MehrTeilaufgabe 1.1 (3 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein im Flughafen zufällig herausgegriffener Pauschalreisender ( ) =
Abiturprüfug Berufliche Oberschule 004 Mathematik 3 Techik - B I - Lösug Teilaufgabe.0 A eiem Flughafe sid 0% der Reisede Ferreisede. Uter de Ferreisede befide sich 5% Nicht-Pauschalreisede. Der Ateil
Mehr10. Intervallschätzung 10.1 Begriff des Konfidenzintervalls
10. Itervallschätzug 10.1 Begriff des Kofidezitervalls Mit uterschiedliche Stichprobe werde verschiedee Puktschätzer für de Parameter der Grudgesamtheit erzielt. We m Stichprobe aus der Grudgesamtheit
MehrStatistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39
Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle
MehrWahrscheinlichkeit & Statistik Musterlösung Serie 13
ETH Zürich FS 2013 D-MATH Has Rudolf Küsch Koordiator Blaka Horvath Wahrscheilichkeit & Statistik Musterlösug Serie 13 1. a) Die Nullhypothese lautet dass das echte Medikamet höchstes gleich gut ist wie
Mehr2 Induktive Statistik
Kapitel 2 Iduktive Statistik Seite 19 2 Iduktive Statistik 2.1 Grudprizipie der iduktive Statistik 2.2 Puktschätzug 2.2.1 Schätzfuktioe Defiitio 2.1 Sei X 1,...,X i.i.d. Stichprobe. Eie Fuktio heißt Schätzer
MehrUmrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung
.3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße
MehrGrundsätzlich sollen Varianz bzw. Standardabweichung Maße dafür sein, wie stark eine Verteilung um ihren Erwartungswert streut.
Eie Iterpretatiosfrage habe ich zu eiem Beispiel das i der der letzte Vorlesug behadelt wurde: Auf Folie.7 zur Variaz. Dort wird ei Beispiel eier stetige Zufallsvariable geat (Warte a eier S-Bah-Haltestelle).
MehrÜbungen Abgabetermin: Freitag, , 10 Uhr THEMEN: Testtheorie
Uiversität Müster Istitut für Mathematische Statistik Stochastik WS 203/204, Blatt Löwe/Heusel Aufgabe (4 Pukte) Übuge Abgabetermi: Freitag, 24.0.204, 0 Uhr THEMEN: Testtheorie Die Sollstärke der Rohrwäde
MehrKapitel VI. Einige spezielle diskrete Verteilungen
Kapitel VI Eiige spezielle diskrete Verteiluge D 6 (Hypergeometrische Verteilug) Eie Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch verteilt, we sie folgede Wahrscheilichkeitsfuktio besitzt: M N M P ( X ) p
MehrKonfidenzbereiche die auf Runden Normaldaten Basiert Sind
Kofidezbereiche die auf Rude Normaldate Basiert Sid Steve Vardema C-S (Johso) Lee (JQT 001, Comm Stat 00, (003)) Iliaa Vaca (M.S. laufed) 1 Gerudete/Digitale Date Kei eues Problem z. B. gibt es: Sheppard,
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Dr. Joche Köhler 9.04.008 Äderug Übugsstude Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die Gruppe vo Markus trifft sich am Doerstag statt im HCI D zusamme mit der Gruppe
MehrInhaltsverzeichnis. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 11 Universität Basel. Mathematik 2
Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum 11 Uiversität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Schätze Beötigtes Vorwisse: Der Stoff der Vorlesug,,Statistik wird als bekat vorausgesetzt, isbesodere Kapitel 11,,(Pukt)schätze
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Has Walser Mathematik 2 für Naturwisseschafte 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 Modul 209 Tabelle Has Walser: Modul 209, Tabelle ii Ihalt Fakultäte... 2 Biomialkoeffiziete... 2 3 Biomische Verteilug... 3
MehrInduktive Schlussweise. Schätzfunktionen und Schätzverfahren. Bibliografie
Auswertug uivariater Datemege -iduktiv - Iduktive Schlussweise Schätzfuktioe ud Schätzverfahre Schätzug I Bibliografie Prof. Dr. Kück Uiversität Rostock Statistik, Vorlesugsskript Abschitt 7..; 7.. Bleymüller
MehrEinführung in die induktive Statistik. Inferenzstatistik. Konfidenzintervalle. Friedrich Leisch
Spiel Körpergröße Zahl: Azahl weiblich Eiführug i die iduktive Statistik Friedrich Leisch Istitut für Statistik Ludwig-Maximilias-Uiversität Müche Tafelgruppe 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 9.1 4 5 3 2 1 0 1
MehrKapitel 9: Schätzungen
- 73 (Kapitel 9: chätzuge) Kapitel 9: chätzuge Betrachte wir folgedes 9. Beispiel : I eiem Krakehaus wurde Date über Zwilligsgeburte gesammelt. Bei vo 48 Paare hatte die beide Zwillige verschiedees Geschlecht.
MehrDiplomvorprüfung Stochastik
Uiversität Karlsruhe TH Istitut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Name: Vorame: Matr.-Nr.: Diplomvorprüfug Stochastik 10. Oktober 2006 Diese Klausur hat bestade, wer midestes 16 Pukte erreicht. Als Hilfsmittel
Mehr10. Testen von Hypothesen Seite 1 von 6
10. Teste vo Hypothese Seite 1 vo 6 10.1 Eiführug i das Teste vo Hypothese Eie Hypothese ist eie Vermutug bzw. Behauptug über die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses. Mit Hilfe eies geeigete Tests (=Testverfahre)
MehrKörpergröße x Häufigkeit in [m] 1.50 1.60 1 1.60 1.70 5 1.70 1.80 49 1.80 1.90 53 1.90 2.00 15 2.00 2.10 1
8 Kofidezitervalle 1 Kapitel 8: Kofidezitervalle A: Beispiele Beispiel 1: Im WS 2000/01 wurde im Rahme der Statistik Vorlesug 124 Studete u.a. zu ihrer Körpergröße befragt. Ma erhielt folgedes Ergebis:
Mehr5.3 Wachstum von Folgen
53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische
MehrKlausur vom
UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Domiik Faas Stochastik Witersemester 00/0 Klausur vom 7.0.0 Aufgabe 3+.5+.5=6 Pukte Bei eier Umfrage wurde 60 Hotelbesucher ach ihrer Zufriedeheit
MehrStatistische Experimente, statistische Modelle
Kapitel 2 Statistische Experimete, statistische Modelle 2.1 Defiitioe I diesem Kapitel führe wir eiige Begriffe ei, ud zwar i eier solche Allgemeiheit, daß sie auch für stochastische Prozesse eisetzbar
MehrDer Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsmittelwert
Der Vergleich eies Stichprobemittelwertes mit eiem Populatiosmittelwert Am Beispiel des Falschspielers habe wir - uterstützt durch Ketisse über die Eigeschafte der Biomialverteilug - erstmals gesehe, welche
MehrÜbungsblatt 9 zur Vorlesung. Statistische Methoden
Dr. Christof Luchsiger Übugsblatt 9 zur Vorlesug Statistische Methode Schätztheorie ud Kofidezitervalle Herausgabe des Übugsblattes: Woche 8, Abgabe der Lösuge: Woche 9 (bis Freitag, 65 Uhr), Besprechug:
MehrGütefunktion und Fehlerwahrscheinlichkeiten Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Signifikanzniveau α = Interpretation von Testergebnissen I
6 Hypothesetests Gauß-Test für de Mittelwert bei bekater Variaz 6.3 Gütefuktio ud Fehlerwahrscheilichkeite Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Sigifikaziveau α = 0.30 6 Hypothesetests Gauß-Test für de
Mehr2 ISO/BIPM-Leitfaden Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, GUM (2008 überarbeitet, die deutsche Fassung ist [3])
I- Messusicherheite: Lit.: Prof. Dr. Gerz Wahrscheilichkeitsrechug ud Usicherheitsberechug IO/BIPM-Leitfade Guide to the Epressio of Ucertaity i Measuremet, GUM (008 überarbeitet, die deutsche Fassug ist
MehrStatistische Modelle und Parameterschätzung
Kapitel 2 Statistische Modelle ud Parameterschätzug 2. Statistisches Modell Die bisher betrachtete Modellierug eies Zufallsexperimetes erforderte isbesodere die Festlegug eier W-Verteilug. Oft besteht
MehrX in einer Grundgesamtheit vollständig beschreiben.
Prof. Dr. Rolad Füss Statistik II SS 008. Puktschätzug vo Parameter eier Grudgesamtheit Nur durch eie Totalerhebug ka ma die Verteilug eier Zufallsvariable X i eier Grudgesamtheit vollstädig beschreibe.
MehrStochastik - Lösung (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL)
Prof. Dr. M. Schweizer ETH Zürich Witer 28 Stochastik - Lösug (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL). (6 Pukte) a) (2 Pukte) Wir defiiere die Ereigisse K {die Perso ist krak} ud T {der Test ist positiv}.
MehrStatistik I Februar 2005
Statistik I Februar 2005 Aufgabe 0 Pukte Ei Merkmal X mit de mögliche Auspräguge 0 ud, das im Folgede wie ei kardialskaliertes Merkmal behadelt werde ka, wird a Merkmalsträger beobachtet. Dabei bezeichet
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungen zum Wiederholungsblatt
TUM, Zetrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 23/4 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weider Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie Lösuge zum Wiederholugsblatt Aufgabe
MehrStochastik - Lösung (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL)
Prof. Dr. M. Schweizer ETH Zürich Sommer 8 Stochastik - Lösug (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL). (6 Pukte) a) (.5 Pukte) Wir defiiere die Ereigisse D = die ähmaschie bekommt eie kleie Defekt} ud U
MehrKapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
- 18 - (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) Kapitel 3: Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit Wird bei der Durchführug eies stochastische Experimets bekat, daß ei Ereigis A eigetrete
MehrDr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheilichkeitstheorie, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN. Ziehug vo Kugel aus eier Ure a. Die Zahl der Permutatio der Kugel, die aus Klasse utereiader gleicher
Mehr6 Vergleich mehrerer unverbundener Stichproben
6 Vergleich mehrerer uverbudeer Stichprobe 6.1 Die eifaktorielle Variazaalyse Die eifaktorielle Variazaalyse diet der Utersuchug des Eiflusses eier kategorieller (bzw. ichtmetrischer) Variable, die die
MehrProf. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008
1. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug ergibt sich aus de Grezwertsätze. Grezwertsätze sid Aussage über eie Zufallsvariable für de Fall, dass die Azahl
MehrTeilaufgabe 1.0 Bei der Firma Kohl kommen morgens alle im Büro Beschäftigten nacheinander ins Großraumbüro.
mathphys-olie Abiturprüfug Berufliche Oberschule 014 Mathematik 13 Techik - B I - Lösug Teilaufgabe 1.0 Bei der Firma Kohl komme morges alle im Büro Beschäftigte acheiader is Großraumbüro. Teilaufgabe
MehrEvaluation & Forschungsstrategien
Evaluatio & Forschugsstrategie WS2/2 Prof. Dr. G. Meihardt Johaes Guteberg Uiversität Maiz Prizipie des statistische Schliesses Samplig - Modellvorstellug Populatio Samplig Stichprobe Kewerte x Theoretische
MehrDer χ 2 Test. Bei Verteilungen Beantwortung der Frage, ob eine gemessene Verteilung Gauß- oder Poisson-verteilt ist oder nicht?
Der χ Test Es gibt verschiedee Arte vo Sigifikaztests Nebe Sigifikaztests, die sich mit dem Mittelwert beschäftige, gibt es auch Testverfahre für Verteiluge Bei Verteiluge Beatwortug der Frage, ob eie
Mehr1. Einführung. 1 A (T (x 1,..., x n )) P θ (dx 1 )... P θ (dx n ) X. P θ {T n (X 1,..., X n ) A} =
. Eiführug Bezeichuge: Der durch die Zufallsgröße X defiierte Wahrscheilichkeitsraum [X, B, P X ] heißt auch die Grudgesamtheit X. B ist die σ-algebra der Borelmege aus X. Vielfach wird die Grudgesamtheit
MehrIntervallschätzung II 2
Itervallschätzug Kofidezitervall für die Variaz Kofidezitervall für de Ateilswerte Kofidezitervall für die Differez zweier Ateile Bestimmug des Stichrobeumfags Itervallschätzug II Bibliografie Bleymüller
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 9 1 Ihalt der heutige Übug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Iformatioe zur Testatprüfug Besprechug der der Hausübug
MehrTests für beliebige Zufallsvariable
Kapitel 10 Tests für beliebige Zufallsvariable 10.1 Der Chi-Quadrat-Apassugstest Sei x eie gaz beliebige Zufallsvariable, dere Dichtefuktio icht oder icht geau bekat ist. Beispiel: Es seie z.b. mittels
MehrZenraler Grenzwertsatz
Zeraler Grezwertsatz Ato Klimovsky Zetraler Grezwertsatz. Kovergez i Verteilug. Normalapproximatio. I diesem Abschitt beschäftige wir us mit der folgede Frage. Frage: Wie sieht die Verteilug eier Summe
MehrBei 95%iger Konfidenz wäre der Mittelwert der GG zwischen 1421,17DM und 1778,83DM zu erwarten.
Aufgabe 36 (S. 346: Schätzverfahre für Mittelwert ud Stadardabweichug a Puktschätzuge für µ aufgrud der Werte der kleie Stichprobe aus Aufgabe 3 Bei eier Puktschätzug wird für de zu schätzede Parameter
MehrEvaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt
2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe 2.4.5.8 Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht:
MehrAuszüge der nichtparametrischen Statisik
Empirische Wirtschaftsforschug - 1 - Auszüge der ichtparametrische Statisik Kapitel 1: Räge ud lieare Ragstatistike Aahme, Defiitioe ud Eigeschafte (1.1) Aahme: (a) (b) Die Date x 1,, x sid midestes ordial.
MehrNormalverteilung. Standardnormalverteilung. Intervallwahrscheinlichkeiten. Verteilungsfunktion
Normalverteilug Stadardormalverteilug Normalverteilug N(μ, ) mit ichte : Gaußche Glockekurve μ μ μ+ μ >, f ( ) = ( μ) WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV π Eigechafte der ichte: - Maimum i μ - mmetrich
MehrEs gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
MehrLogarithmusfunktion, Rechenregeln für Logarithmen, Ableiten von Logarithmen (die Ableitung nach p wird hier stets als p geschrieben)
Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt (Pukt)Schätze Motivatio Eie vollstädige Iformatio über die Verteilug eies Merkmals X i eier Grudgesamtheit ka ur durch eie
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 9. Vorlesug Joche Köhler 1 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Testatprüfug am Doerstag 5.Mai Wa? Doerstag, 5. Mai, 8:00 Uhr
MehrTESTEN VON HYPOTHESEN
TESTEN VON HYPOTHESEN 1. Grudlage Oft hat ma Vermutuge zu Sachverhalte ud möchte diese gere durch Experimete bestätige. Dabei ka es sich i der Praxis zum Beispiel um Verteiluge vo gewisse Zufallsgröße
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
MehrStatistische Schätzungen
Statitiche Schätzuge Statitiche Schätzuge, Ei Wiechaftler mu geau mee, icht chätze! Da it aber eie wiechaftliche Schätzug! Lázló Smeller? (8,5±1,5) cm Aalytiche Statitik (iduktive o. chließede Statitik)
Mehr