Normalverteilung. Standardnormalverteilung. Intervallwahrscheinlichkeiten. Verteilungsfunktion

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1 Normalverteilug Stadardormalverteilug Normalverteilug N(μ, ) mit ichte : Gaußche Glockekurve μ μ μ+ μ >, f ( ) = ( μ) WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV π Eigechafte der ichte: - Maimum i μ - mmetrich zu μ - Wedepukte i μ ± Form der ichte i Abhägigkeit vo de Parameter - Je größer der Abtad vo μ, deto elteer liege die Werte - Je kleier, deto eger it die Kurve Erwartugwert: E X = μ Variaz: Var X = ² e Berechug vo Wahrcheilichkeite zu Fuß icht möglich ( μ) b P( a < X b) = e d a π =Φ ( b) Φ ( a) ( μ, ) ( μ, ) a b ichte Computerprogramme ethalte die Verteilugfuktio für beliebige μ, Zu Fuß : tabelliert it ur Stadardormalverteilug Φ ( ) = Φ ( ) Berechug vo durch Traformatio Φ μ, ( ) μ Φ ( μ, ) =Φ WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV, Verteilugfuktio Itervallwahrcheilichkeite Stadardormalverteilug Φ() (Auchitt au Verteilugtabelle),,,,,3,4,5,6,7,8,9,,5,54,58,5,56,599,539,579,539,5359,,5398,5438,5478,557,5557,5596,5636,5675,574,5753,,5793,583,587,59,5948,5987,66,664,63,64,3,679,67,655,693,633,6368,646,6443,648,657,4,6554,659,668,6664,67,6736,677,688,6844,6879,5,695,695,6985,79,754,788,73,757,79,74,6,757,79,734,7357,7389,74,7454,7486,757,7549,7,758,76,764,7673,774,7734,7764,7794,783,785,8,788,79,7939,7967,7995,83,85,878,86,833 Ableebeipiele: ( 3) ( 43)=.6664 Φ (,).4 =Φ. Φ (. 5) = (Umkehrfuktio, 5%-Quatil) Wege Smmetrie der ichte zu Null ethalte Tabelle ur die Fuktiowerte für. Für < erfolgt eie Berechug ach folgeder Beziehug: Φ ( ) = Φ( ) Ableebeipiel: Φ (.8) = Φ (.8) =.788 = Φ( ) tabelliert Normalverteilug N(μ, ) Berechug vo Itervallwahrcheilichkeite al Fläche uter der ichte für X ~ N( μ, ) b μ a μ Pa ( < X b) = Φ Φ b μ PX ( b) =Φ a μ Pa ( < X) = Φ abei ka durch < ud umgekehrt eretzt werde.. WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV 3 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV 4

2 Quatile der Normalverteilug Kofidezitervall für Parameter der Normalverteilug a -Quatil der Stadardormalverteilug it der Schwellwert, für de gilt, da uterhalb vo % ud oberhalb (-) % der Werte der Zufallgröße X liege: = PX ( < z) =Φ ( z), << z Berechug mit Umkehrfuktio: z =Φ ( ) Smmetrie der ichte bewirkt Smmetrie der Quatile z =z ie Quatile der Normalverteilug erhält ma z.b. mit MATLAB oder Ecel bzw. au eier Verteilugtabelle für Φ ( z.b. Formelammlug), im Iere der Tabelle achchlage, Quatil z etpreched auf dem Rad ablee Spezielle Quatile: z.95 =.64, z.975 =.96. z.99 =.33 z z WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV 5 z z f ( ) Φ( ) Augagpukt: Verteilug der Stichprobefuktio X X = X X N μ i = i, i ~ (, ) Traformatio i Stadardormalverteilug X μ P( z / < < z /) = / Umtelle der Ugleichugkette führt zu X z < μ < X + z / / omit X ~ N μ, X μ ~ N(,) / z / Kofidezitervall KI für Parameter μ zur Sicherheit - Quatil der Stadardormalverteilug N(,) WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-KI 6 Kofidezitervall für Parameter der Normalverteilug Kofidezitervall für Parameter der Normalverteilug KI für Erwartugwert μ bei bekater Stadardabweichug zum Kofideziveau - : Zweieitig Eieitig obe offe Eieitig ute offe z /, + z / z,, + z KI für Erwartugwert μ bei ubekater Stadardabweichug zum Kofideziveau - Zweieitig Eieitig obe offe t, /, + t, / t,, Eieitig ute offe + t,, KI für Parameter Zweieitig, q,, /, / Eieitig obe offe,, Eieitig ute offe, Quatile der ²-Verteilug der Ordug q mit - Freiheitgrade, t, q Quatile der Ordug q der t-verteilug mit - Freiheitgrade. WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-KI 7 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-KI 8

3 Statitiche Tet für Parameter der Normalverteilug Ablauf eie tatitiche Parametertet (am Bp. für Erwartugwert bei NV) Ja-Nei-Etcheidug darüber, ob der ubekate Parameter eier Verteilug gleich eiem gegebee kokrete Referezwert it z.b. Tet, ob der ubekate Erwartugwert μ eier Grudgeamtheit gleich μ it, Etcheidug wird ahad eier zufällige Stichprobe getroffe daher ur mit vorgegebeer Sicherheit bzw. Riiko/Irrtumwahrcheilichkeit H : μ = μ Nullhpothee H: μ μ Alterativhpothee Irrtumwahrcheilichkeit X μ Tetgröße mit bekater Verteilug, we H timmt / hier it bei Gültigkeit vo H T tadardormalverteilt T > z / Ablehbereich vo H bei Riiko, z /Quatil der Stadardormalverteilug der Ordug / Ablehbereich bei Riiko für H: μ = μ Ablehug - ichte der Tetgröße T, we Nullhpothee gilt we Nullhpothee wahr it, liegt T i dieem Itervall mit Wkt. - Ablehug Riiko : Irrtumwahrcheilichkeit für Ablehug der Nullhpothee, obwohl ie richtig it Fällt der au der Stichprobe berechete Wert der Tetgröße i de Ablehbereich, paiert da uter der Nullhpothee ur mit Wahrcheilichkeit. Leht ma i dieem Fall die Nullhpothee ab, it demach die Irrtumwahrcheilichkeit gleich. WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 9 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet Eieitige ud zweieitige Tet Zweieitiger Tet Nullhpothee: μ = μ gege Alterativhpothee: μ μ Eieitige Tet Nullhpothee: μ μ gege Alterativhpothee: μ > μ oder Nullhpothee: μ μ gege Alterativhpothee: μ < μ Tet über Mittelwerte ormalverteilter Zufallgröße () Eitichprobetet Gauß-Tet Vergleich μmit Referezwert μ; bekat Nullhpothee Alterativhpothee Tetgröße Ablehkriterium H : μ = μ H : μ μ X μ T > z / H : μ μ H : μ < μ / T < z H : μ μ H : μ > μ ~ N(, ) T > z ie Irrtumwahrcheilichkeit beagt, da ma bei Tet mit der Ablehug der Nullhpothee ach dieem Verfahre i etwa Fälle eie Fehler macht..3 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet

4 Fehlermöglichkeite bei der Tetetcheidug H richtig H falch H abgeleht Fehler. Art richtige Etcheidug H icht abgeleht richtige Etcheidug Fehler. Art β E gibt alo zwei mögliche Fehletcheiduge. a Riiko der Etcheidug gege H, obwohl H timmt (Fehler. Art), it über die Fetlegug de Ablehbereich durch begrezt. a Riiko der Beibehaltug vo H, obwohl H falch it (Fehler. Art) ergibt ich da automatich. Nur durch Vergrößer vo ka β bei gleichem verkleiert werde! Berechug de erforderliche Stichprobeumfag: Veruchplaug Tet über Mittelwerte ormalverteilter Zufallgröße () Eitichprobetet T-Tet Vergleich μmit μ ; ubekat Nullhpothee Alterativhpothee Tetgröße Ablehkriterium H : μ = μ H : μ μ X μ T > t, / H : μ μ H : μ < μ / T < t, H : μ μ H : μ > μ ~ t T > t, WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 3 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 4 Mittelwertvergleiche bei zwei ormalverteilte Zufallgröße biher Eitichprobetet: er Erwartugwert eier Grudgeamtheit wird mit eiem vorgegebee Referezwert μ vergliche Zweitichprobetet: ie Erwartugwerte μ ud μ vo zwei Grudgeamtheite werde vergliche. Bei Zweitichprobetet utercheidet ma och zwiche verbudee (gepaarte) ud icht verbudee (icht gepaarte) Stichprobe. verbude: icht verbude: die Stichprobewerte liege i Paare vor, die jeweil a de gleiche Objekte gemee wurde (z.b. vor ud ach eier Behadlug) die Stichprobe wurde i dijukte Grudgeamtheite erhobe (z.b. Geude ud Krake) Tet über Mittelwerte ormalverteilter Zufallgröße (3) Zweitichprobetet für verbudee Stichprobe Vergleich mit ; ubekat,, verbude, d =, i i i d d μ = μ μ X Y = X Y Nullhpothee Alterativhpothee Tetgröße Ablehkriterium H : μ = H : μ d T > t, / H : μ H : μ T d arithmetiche Mittel : empiriche Stadardabweichug der iffereze d = ( ) i i= < : > H μ H μ ~ t T < t, > t, i WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 5 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 6

5 Tet über Mittelwerte ormalverteilter Zufallgröße (4) Zweitichprobetet oppelter T-Tet Vergleich μ mit μ ; ubekat, aber gleich; icht verbude, X, Y Nullhpothee Alterativhpothee Tetgröße Ablehkriterium H μ = μ : H : μ μ X Y > T t +, H : μ μ H : μ < μ g + T < t +, H : μ μ H : μ > μ ~ t + T > t +, / t mq, Quatil der Ordug q der t-verteilug mit m Freiheitgrade (m gazzahlig) ( ) + ( ) gemeiame (gepoolte) Variaz g = + Tet über Mittelwerte ormalverteilter Zufallgröße (5) Zweitichprobetet Welch-Tet Vergleich μ mit μ ; ubekat, verchiede; icht verbude t, X, Y Nullhpothee Alterativhpothee Tetgröße Ablehkriterium H : μ = μ H : μ μ T > t f, / ( X Y ) / + H : μ μ H : μ < μ < T t f, H : μ μ H : μ > μ ~ t f T > t f, f, q Quatil der Ordug q der t-verteilug mit f Freiheitgrade, wobei ( / + / ) f = (abrude!) ( / ) /( ) + ( / ) /( ).4 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 7 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 8 Tet über Variaz ormalverteilter Zufallgröße Zweitichprobetet Vergleich mit Nullhpothee Alterativhpothee Tetgröße Ablehbereich : H = H : T F,, / : H : / H < T < F H,, : H : ~ F, H > T > F,, > oder T < F,, / Fmq,, : Quatil der F-Verteilug mit m, Freiheitgrade der Ordug q ieer Tet zum Vergleich vo Variaze wird auch al Vortet geutzt für die Wahl de paede Tet zum Mittelwertvergleich, d.h. Etcheidug zwiche doppeltem T-Tet (bei gleiche Variaze) Welch-Tet (bei verchiedee Variaze)..5 WS 6/7 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 9