Parametrische Einstichprobentests

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1 Parametrische Eistichprobetests Eiführug ud Begriffe beim Hypothesetest Hypothesetest für de Mittelwert Hypothesetest für die Variaz Hypothesetest für de Ateilswert Lehrstuhl Statistik Testverfahre I Bibliografie Bleymüller / Gehlert / Gülicher Verlag Vahle Statistik für Wirtschaftswisseschaftler Bleymüller / Gehlert Verlag Vahle Statistische Formel, Tabelle ud Programme PowerPoitPräsetatioe (Prof. Kück / Dr. Ricabal Vorlesugsskript für Statistik I (Dr. Pu Che Vorlesugsskript für Statistik II (Prof. Mohr, Private Haseuiversität Rostock Lehrstuhl Statistik Testverfahre I

2 Testverfahre usamme mit dem Schätze bildet das Teste vo Hypothese de Kerbereich der schließede oder iduktive Statistik. Statistische Tests sid Verfahre zur Überprüfug vo Hypothese (Aahme über ubekate Parameter oder über Verteiluge auf Basis eier bzw. mehrere ufallsstichprobe. Hypothese köe auf theoretische Überleguge, frühere Beobachtuge, Sollwerte, Güteaforderuge, Erfahruge, Behauptuge usw. basiere. Sie habe bis zum Beweis des Gegeteils ihre Gültigkeit, sie werde also zum weck der empirische Widerlegug oder Bekräftigug aufgestellt. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 3 Beispiel: Gericht Freispruch Freispruch Verurteilug Verurteilug Realität Uschuld Schuld Gerichtsverfahre zum Beweis des Gegeteils, wobei i der Demokratie die Uschuldshypothese Ausgagshypothese ist. Verfahre edet mit Spruch. Etscheidug Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 4

3 Beispiel: Dügemittelwerk Dügemittelwerk Verpackugsautomat Abweichug zwische Stichprobemittelwert ud Sollwert : Mit Hilfe statistischer Testverfahre ka i eiem solche Fall bestimmt werde, wie groß die Abweichug midestes sei muss, damit mit ausreicheder Wahrscheilichkeit auf eie falsch eigestellte bzw. defekte Verpackugsautomate geschlosse werde ka. Diese Verfahre fide i der modere Idustrie uter dem Begriff der statistische Produktioskotrolle massehaft Awedug. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 5 Statistische Hypothese eies Tests I eiem statistische Test werde zwei gegesätzliche Hypothese gegeüber gestellt. Die eie Hypothese egiert die adere. Eie Hypothese wird Nullhypothese geat ud mit H bezeichet. Sie beihaltet immer das Gleichheitszeiche. Die adere Hypothese wird Alterativhypothese geat ud mit H bzw. H A bezeichet. Weil Alterativhypothese ud Forschugsvermutug oft übereistimme, wird H auch Forschugshypothese geat. Null- ud Alterativhypothese sid stets disjuktiv. Die Ablehug der eie bedeutet die Aahme der adere ud umgekehrt. Um Missverstädisse zu vermeide, wird hier meistes ur über die Ablehug oder die Aahme der Nullhypothese H geredet. H vs. H Nullhypothese (H versus Alterativhypothese (H Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 6 3

4 Treffe vo Etscheiduge i eiem statistische Hypothesetest Aus der Sicht der Statistik gibt es zwei Möglichkeite, eie Etscheidug über die Aahme oder Ablehug eier Hypothese zu treffe. Determiistisch, we der Wert des Parameters oder die Verteilug i der Grudgesamtheit auf Grud eier Totalerhebug berechet werde ka. Es reicht ei simpler Vergleich, um die Etscheidug ohe Irrtum zu treffe. Stochastisch oder statistisch, we der wahre Wert des Parameters oder die Verteilug i der Grudgesamtheit aus praktische Grüde icht bestimmt, soder ur mittels eier zufällig ausgewählte Stichprobe vom Umfag geschätzt werde ka. I diesem Fall ist icht gesichert, dass die Etscheidug fehlerfrei ist. Hier sid zwei ustäde möglich: Treffe oder Irrtum. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 7 Fehlertyp bei eiem statistische Hypothesetest Test: H vs. H Etscheidug Aahme vo H Ablehug vo H Realität H trifft zu H trifft zu Treffe Irrtum (Fehler zweiter Art Irrtum (Fehler erster Art Treffe Leht ma H i eiem Test ab, we i der Wirklichkeit H zutrifft, da macht ma eie Fehler. Wird H ageomme (icht abgeleht, we H icht zutrifft, da macht ma auch eie Fehler. Beide Fehler uterscheide sich ihaltlich. Sie werde Fehler erster Art bzw. Fehler zweiter Art geat. wei richtige Etscheiduge (Treffe sid auch möglich. I der Tabelle werde die vier mögliche ustäde bei eiem statistische Test zusammegefasst dargestellt. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 8 4

5 Fehlermessug bei eier stochastische Etscheidug Die Größe der Fehler eies Tests werde mit Hilfe ihrer Wahrscheilichkeit gemesse ud mit W(I bzw. W(II bezeichet. Ma ka da uterscheide: W(I W(Fehler. Art W(H wird abgeleht H trifft zu W(II W(Fehler. Art W(H wird icht abgeleht H trifft icht zu Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 9 Größe des Fehlers erster Art W(I W(Fehler. Art W(H wird abgeleht H trifft zu I der empirische Forschug legt ma große Wert darauf, dass der Fehler bei der Aahme eier icht zutreffede Forschugshypothese H (Ablehug vo H, we H zutrifft so klei wie möglich bleibt. Dazu setzt ma eie obere Greze für die Wahrscheilichkeit dieses Fehlers (Fehler erster Art. Der Wert, der icht überschritte werde soll, wird Sigifikaziveau des Tests geat. Es gilt da W(Fehler. Art. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 5

6 Größe des Fehlers zweiter Art W(IIW(Fehler. Art W(H wird icht abgeleht H trifft icht zu Die obere Greze für die Größe des Fehlers zweiter Art wird mit β bezeichet. Es gilt W(Fehler. Art β. Die Differez -β wird als Macht oder Power des Tests geat. -β ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass ma eie zutreffede Forschugshypothese bzw. Alterativhypothese H fehlerfrei aimmt. Es ist atürlich auch erwüscht, eie Test durchzuführe, bei dem diese Wahrscheilichkeit so groß wie möglich zu erhalte ist. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I Fehlermessug - usammefassug Etscheidug Aahme vo H Ablehug vo H H trifft zu Treffe Irrtum W(Fehler. Art : Sigifikaziveau Realität H trifft icht zu Irrtum W(Fehler. Art β Treffe W(H wird abgeleht H trifft zu - β: Macht W(I W(Fehler. Art W(H wird abgeleht H trifft zu W(II W(Fehler. Art W(H wird icht abgeleht H trifft icht zu β W(fehlerfreie Aahme eier zutreffede Forschugshypothese H W(H wird abgeleht H trifft icht zu - W(H wird icht abgeleht H trifft icht zu - W(II - β Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 6

7 Prüfgröße, kritischer Bereich Test: H vs. H Um eie statistische Etscheidug über die Richtigkeit eier Hypothese auf Grud eier zufällig gezogee Stichprobe (,,..., zu treffe, defiiert ma eie geeigete Stichprobefuktio γˆ ud teilt de Wertebereich dieser Fuktio i zwei ausschließede Teile: eie Teilbereich K ud seier Komplemet K, so dass, we der Wert der Fuktio i de Teilbereich K hifällt, H abgeleht wird. Fällt der Wert der Stichprobefuktio i de adere Teilbereich, da wird H icht abgeleht (H wird ageomme. Die Stichprobefuktio ud die Teilbereiche werde i diesem usammehag Prüfgröße, Ablehugsbereich (Ablehug vo H ud Aahmebereich (Aahme vo H geat. Der Ablehugsbereich vo H wird auch kritischer Bereich geat. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 3 Etscheidugsregel γˆ K H wird abgeleht γˆ K γˆ K H wird icht abgeleht Es gilt für die Wahrscheilichkeit des Irrtums erster Art: W(γˆ W(H K H W(Fehler trifft i der Realität zu wird abgeleht. Art H trifft i der Realität zu Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 4 7

8 Klassifizierug vo statistische Tests ( Nach dem Ihalt der Hypothese: -Parametrische Tests (Tests über die Parameter eier bekate Verteilug -Verteilugstests (Tests über eie ubekate Verteilug Nach der Abhägigkeit der Verteilug der Stichprobefuktio vo der Verteilug der Grudgesamtheit: -Verteilugsgebudee Tests -Verteilugsfreie Tests Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 5 Klassifizierug vo statistische Tests ( Nach der Azahl der Stichprobe, die für de Hypothesetest otwedig sid: -Eistichprobetest -weistichprobetest -Mehrstichprobetest Nach der Form des kritische Bereiches -weiseitige Tests -Eiseitige Tests (rechtsseitige Tests bzw. liksseitige Tests Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 6 8

9 Bestadteile eies Hypothesetests Ei Hypothesetest besteht aus siebe Elemete:. zwei etgegegesetzt formulierte Hypothese (H ud H. eiem vo vorherei festgelegte Sigifikaziveau 3. eier bzw. mehrere Stichprobe 4. eier Stichprobefuktio oder Prüfgröße bzw. Testgröße 5. eiem Ablehugsbereich bzw. eiem Aahmebereich für H 6. eier Etscheidugsregel 7. eier Etscheidug Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 7 Eistichprobetests über de Mittelwert I diesem Abschitt werde folgede Eistichprobetests über de Mittelwert eier Grudgesamtheit behadelt: ( H : vs. H : (weiseitiger Test ( H : vs. H : < (Liksseitiger Test (3 H : vs. H : > (Rechtsseitiger Test Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 8 9

10 Eistichprobetests über die Variaz I diesem Abschitt werde folgede Eistichprobetests über die Variaz eier Grudgesamtheit behadelt: ( H : ² ² vs. H : ² ² (zweiseitiger Test ( H : ² ² vs. H : ²< ² (liksseitiger Test (3 H : ² ² vs. H : ²> ² (rechtsseitiger Test Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 9 Eistichprobetests über de Ateilwert I diesem Abschitt werde folgede Eistichprobetests über die Variaz eier Grudgesamtheit behadelt: ( H : vs. H : (zweiseitiger Test ( H : vs. H : < (liksseitiger Test (3 H : vs. H : > (rechtsseitiger Test Lehrstuhl Statistik Testverfahre I

11 weiseitiger Test für de Mittelwert Sei eie ormalverteilte ufallsvariable i eier Grudgesamtheit mit dem ubekate Mittelwert ud der bekate Variaz ², ~ N(, ². Es wird auf eiem Sigifikaziveau getestet, ob der Parameter gleich ist oder icht, d. h. es wird zwische de folgede Hypothese etschiede: H : vs. H : (weiseitiger Test W(H wird abgeleht W(Fehler. Art Lehrstuhl Statistik Testverfahre I Prüfgröße für de Test über de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz Sei (,,..., eie Stichprobe vom Umfag. Es gilt für jede i ~ N(, ². Um eie Etscheidug über de Mittelwert der Grudgesamtheit zu treffe, scheit es zweckmäßig zu sei, de Stichprobemittelwert oder eie Trasformatio vo ihm azuwede. Prüfgröße: Lehrstuhl Statistik Testverfahre I

12 Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 3 Kritischer Bereich des zweiseitige Test für de Mittelwertes eier N(, ² mit bekater ² Der kritische Bereich K für diese Test ist die Mege aller mögliche Werte der Prüfgröße, für welche gilt:. der Abstad vo ist so groß, dass ma die Nullhypothese ablehe soll,. die Wahrscheilichkeit, dass der Fehler bei dieser Etscheidug (Fehler erster Art icht größer als ist. { c W( ud c : K > > / / N(, ~ ² N( ; ~ Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 4 Berechug des kritische Bereiches { c W( ud c : K > > c c c c W( c c W( c c W( c W( c W( > { : { : { : K( > > >

13 Etscheidugsregel ud Treffe der Etscheidug K( H wird abgeleht (H wird ageomme Die Fehlerwahrscheilichkeit ist. W[ K( ] Diese Aussage ist richtig vor der iehug der kokrete Stichprobe. ieht ma eie kokrete Stichprobe, da ist der berechete Stichprobemittelwert keie ufallsvariable mehr ud deswege hat es keie Si, ach der iehug der SP eie Wahrscheilichkeitsaussage zu mache. Da der Wert vo ahe Null gewählt wird, ka ma ur hoffe, dass die Etscheidug richtig ist. K( H wird icht abgeleht (H wird ageomme Die Fehlerwahrscheilichkeit bei dieser Etscheidug ist ubekat. W[ K( ] W[H wird icht abgeleht H trifft icht zu] Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 5 β weiseitiger Test für de Mittelwert - usammefassug -. H : vs. H :. Sigifikaziveau: 3. Stichprobe vom Umfag : (,,..., 4. Prüfgröße: 6. Etscheidugsregel: K( H wird abgeleht 5. Kritischer Bereich: K( { : > K( H wird icht abgeleht (H wird ageomme 7. Treffe der Etscheidug aus der kokrete Stichprobe Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 6 3

14 usammehag zwische de Größe beider Fehler H : vs. H : ( ( : (Sigifikaziveau: Größe des Fehlers erster Art (Vorgegebe β: Größe des Fehlers zweiter Art (Im Allgemeie ubekat ( (3 Beide Fehler wachse gegeläufig. > > 3 β < β < β 3 Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 7 Beispiel: Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz Das Durchschittsgewicht vo Masthähche lag i der Vergageheit bei 49,5 g mit eier Stadardabweichug vo 8,9 g. Nach Übergag zu eiem eue Futtermittel liefert eie Stichprobe im Umfag vo 8 ei Durchschittsgewicht vo 496,3 g. Ka ma aufgrud dieses Stichprobeergebisses uter der Aahme eier gleichgebliebee Stadardabweichug mit eiem Sigifikaziveau vo % schließe, dass sich das Durchschittsgewicht i der Grudgesamtheit verädert hat? H : vs. H : ( 49,5, H : 49,5 vs. H : 49,5 x 496,3, , 9,58 K( { : > 496,3 49,5 z,8 8,9 8 Etscheidug: Da,8 <,58 gilt, wird H icht abgeleht. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 8 4

15 Eiseitige Tests für de Mittelwert Ei eiseitiger Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz uterscheidet sich vo dem zweiseitige Test ur i seiem etsprechede kritische Bereich. Liksseitiger Test Rechtsseitiger Test ( H : vs. H : < (3 H : vs. H : > Prüfgröße: K( { : < - Kritischer Bereich: K( { : > Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 9 Tests für de Mittelwert bei ubekater Variaz Die Tests für de Mittelwert eier Normalverteilug mit ubekater Variaz uterscheide sich vo de vorige Tests ur i der Prüfgröße ud de etsprechede kritische Bereiche. Tests: Prüfgröße: T S ~ t Kritischer Bereich: K( T t ( H : vs. H : { : > ; ( H : vs. H : < (3 H : vs. H : > K( { :T < - t ; K( { :T > t ; Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 3 5

16 Beispiel: Test für de Mittelwert bei ubekater Variaz Eie Maschie stellt Plättche her, dere Dicke ormalverteilt ist, mit dem Sollwert (Mittelwert,5 cm. Eie Stichprobe vo Plättche liefert ei arithmetisches Mittel vo,53 cm bei eier Stadardabweichug vo,3 cm. Die Hypothese, dass die Maschie och exakt arbeitet, ist auf eiem Sigifikaziveau vo,5 zu überprüfe. H : vs. H : (,5,5 H :,5 vs. H :,5 T S K( { : T > t ; Etscheidug: Da 3,6 >,6 ist, wird H abgeleht. t t 9 ;,975 ; x,53,6 s,3,53,5 t 3,6,3 Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 3 Tests für de Mittelwert eier ubekate Verteilug für große Stichprobe Für die ubekate Verteilug i der Grudgesamtheit ud große Stichprobeumfag (>3 lässt sich die t-verteilug durch die Stadardormalverteilug approximiere. Dadurch gelte: Test: Prüfgröße: T ~ t S ~ N( ; Kritischer Bereich: ( H : vs. H : K( { : T > ( H : vs. H : < K( { :T < - (3 H : vs. H : > K( { :T > Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 3 6

17 Beispiel : Test für de Mittelwert eier ubekate Verteilug Bei der Überprüfug des Verpackugsautomate im Dügemittelwerk werde 3 Säcke achgewoge, für die ei Durchschittsgewicht 5, kg ud eie Stadardabweichug 5 g berechet werde. Aufgrud dieses Stichprobebefudes ist eie Etscheidug über die Arbeit des Automate (fehlerhaft/ icht fehlerhaft zu treffe. Die Etscheidug soll bei 5-%ger Irrtumswahrscheilichkeit getroffe werde. Über die Verteilug des Gewichtes der Säcke liegt keie Iformatio vor. H : 5 vs. H : 5 T S K( { : T > t ;,5 t t 3 ;,975 ; x 5,,4 s,5 5, 5 t,7,5 3 Etscheidug: Da,7 >,4 ist, wird H abgeleht, d. h. ma ka aehme, dass der Automat fehlerhaft arbeitet. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 33 3 Beispiel : Test für de Mittelwert eier ubekate Verteilug 3 beträgt das Durchschittsalter der uzüge aus adere Kreise MV ach Rostock 3 Jahre. Im Jahr 4 liegt, bei eier Stichprobe vo Persoe, das Durchschittsalter der uzüge bei 9, Jahre mit eier Stadardabweichug vo 4,65 Jahre. Hat sich der Wert im Jahr 4 sigifikat verrigert, bei eiem Sigifikaziveau vo,5? Quelle: Statistische Berichte 3. Über die Verteilug des Alters liegt keie Iformatio vor. H : 3 vs. H : < 3 K( { :T < t ;,5 T S x 9, Etscheidug: Da -,55>-,66 ist, wird H icht abgeleht, d. h. die Verrigerug des durchschittliche Waderugsalters (uzüge ist icht sigifikat. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 34 t ; t 99 ;,95,66 s 4,65 9, 3 t,55 4,65 7

18 Beispiel 3: Test für de Mittelwert eier ubekate Verteilug Das durchschittliche Nettoeikomme liegt im März 4 bei.63. Bei eier Stichprobe vo Persoe im Jui 4 lag das durchschittliche Nettoeikomme bei.75 mit eier Stadardabweichug vo.7. Hat sich das durchschittliche moatliche Nettoeikomme bei eiem Sigifikaziveau vo,5 statistisch sigifikat erhöht? Quelle: Mikrozesus 4, Tabelle 36. Über die Verteilug des NE liegt keie Iformatio vor. H :.63 vs. H : >.63 K( { :T > t ;,5 T S x.75 Etscheidug: Da,9<,645 ist, wird H icht abgeleht, d. h. das durchschittliche Nettoeikomme im Jui 4 ist icht sigifikat höher als im März 4. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 35 t ; t99 ;,95,645 s t,9.7 Eistichprobetest für die Variaz ( H : ² ² vs. H : ² ² (weiseitiger Test ( H : ² ² vs. H : < ² (Liksseitiger Test (3 H : ² ² vs. H : ²> ² (Rechtsseitiger Test Modifizierte Stichprobevariaz als Stichprobefuktio: S i ( i Theoretische Verteilug der modifizierte Stichprobevariaz bei Normalverteilug der Grudgesamtheit ud eifacher ufallsstichprobe: χ (- S² ~ χ Prüfgröße: χ (-S² Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 36 8

19 ( H : ² ² H : ² ² ( H : ² ² H : ² < ² (3 H : ² ² H : ² > ² Kritische Bereiche für die Tests über die Variaz : Sigifikaziveau χ ; χ ; + χ ; S²( K( {S² : < χ oder S²( > χ ; χ ; Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 37 S²( K( {S² : < χ S²( K( {S² : > χ ; ; ; Beispiel: Eistichprobetest für die Variaz I der Vergageheit betrug die Variaz der ormalverteilte Lebesdauer eier bestimmte Batteriesorte, Jahre². Es soll u auf Stichprobebasis mit eiem Sigifikaziveau vo, geprüft werde, ob sich durch Eiführug eies kostegüstigere Produktiosverfahres die Variaz der Lebesdauer erhöht. Eie Stichprobe vo 5 ach dem eue Verfahre gefertigte Batterie liefert eie Variaz vo,6 Jahre². H : ², vs. H : ²>,, Kritischer Bereich: S²( K( {S² : > χ, χ ; χ 4;,99 4,98 ; 4,98 χ Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 38 χ Prüfgröße: (-S² ~ χ (-s ² 4,6 34,9, χ Etscheidug: 34,9<4,98 H ka icht abgeleht werde, d. h. aus dem Stichprobeergebis ka icht auf eie sigifikate Erhöhug der Variaz der Grudgesamtheit geschlosse werde. 9

20 Eistichprobetest für de Ateilswert ( H : vs. H : (weiseitiger Test ( H : vs. H : < (Liksseitiger Test (3 H : vs. H : > (Rechtsseitiger Test P: Stichprobeateilswert i i P P Prüfgröße: i i i : Beroulliverteilt mit dem Parameter f( W(i Für (- 9 gilt: P P ~ N(, ( ( f( W( i P: Biomialverteilt mit de Parameter ud Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 39 ( H : H : ( H : H : < Kritische Bereiche für die Tests über de Ateilswert Sigifikaziveau - - Für (- 9 + P K( {P : > ( P K( {P : < - ( (3 H : H : > - P K( {P : > ( Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 4

21 Beispiel: Eistichprobetest für de Ateilswert Der Fabrikat eies bestimmte Artikels behauptet gegeüber eiem Abehmer, dass der Ausschussateil i eier vo ihm agebotee Lieferug geau, bzw. % beträgt. I eier zur Qualitätsüberprüfug gezogee Stichprobe ohe urücklege im Umfag vo werde 3 Ausschussartikel gefude. Ist damit die Behauptug des Fabrikate bei eiem Sigifikaziveau vo,5 widerlegt? H :, vs. H :, Prüfgröße: Es gilt ( 9. Kritischer Bereich: K( {P : > P (,3,,3,3 z,,9,9,3 +,5,975,96 Etscheidug: <,96 K(a H ka icht abgeleht werde, d. h. aus dem SP-Ergebis ka die Behauptug des Fabrikate icht widerlegt werde. Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 4 Hypothesetests ud ihre Bestadteile - usammefassug - usamme mit dem Schätze bildet das Teste vo Hypothese de Kerbereich der schließede oder iduktive Statistik. Ei Hypothesetest besteht aus siebe Elemete:. zwei etgegegesetzt formulierte Hypothese (H ud H. eiem vo vorherei festgelegte Sigifikaziveau 3. eier bzw. mehrere Stichprobe 4. eier Stichprobefuktio (Prüfgröße bzw. Testgröße 5. eiem Ablehugsbereich bzw. eiem Aahmebereich für H 6. eier Etscheidugsregel 7. eier Etscheidug Lehrstuhl Statistik Testverfahre I 4