5.4.2 Die empirische Verteilungsfunktion als Ausgangspunkt

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1 Tests Der Kolmogorov Smirov Test Grudlage für de Kolmogorov Smirov Apassugs Test ist ei Satz vo Kolmogorov, die asymptotische Verteilug eier Statistik Δ betreffed. Aus Δ ergibt sich durch Modifikatio die Kolmogorov Smirov Prüfstatistik, die dem Kolmogorov Smirov Test zu Grude liegt. Der Abschitt schließt mit eiem Sachverhalt zur zweckmäßige Berechug der KS Statistik zu eier gegebee Stichproberealisatio. Der KS Test ist im Gegesatz zum χ 2 Apassugstest ur auf stetige W Maße awedbar. Überblick Das statistische Modell Sei das statistische Modell aus verabredet, woach (H, H, P ) = ( 1 H j, 1 H j, 1 P 0) = (H 0, H 0, P 0 ) die abzählbare Potez des W Raumes (H 0, H 0, P 0 ) = (R, B, P 0 ) ist. Die Verteilugsfuktio F 0 des W Maßes P 0 wird dabei als stetig uterstellt. Die Stichprobevariable der Stichprobe X := (X 1, X 2,...) uter P0 werde wiederum als die Projektioe X j : H H j = H 0, j N, defiiert. Damit erweist sich die Stichprobe X als eifach, d.h. die Stichprobevariable X j, j N, sid uabhägig ud idetisch verteilt: P Xj = (P 0 ) Xj = P 0, j N. Im Folgede bezeichet x = (x 1,..., x ) H 0 eie Realisatio der eifache Stichprobe X = (X 1,..., X ) : H 1 H j = H Die empirische Verteilugsfuktio als Ausgagspukt Sei Q 0, die gemäß 2.2.2(1) defiierte empirische Verteilug der Stichprobe X uter P 0 ud F 0, dere empirisch Verteilugsfuktio, vgl (2). Q 0, etspricht dem i 2.2.1(i) eigeführte W Maß Q x 0,, währed F 0, der i 2.2.1(ii) eigeführte Verteilugsfuktio F0, x etspricht. bzw. Q x 0,(B) := 1 {j N x j B} = 1 F x 0,(t) = 1 {j N x j t} = 1 1 B (x j ), B B, (i) j=1 1 ( ;t] (x j ), t R. (ii) j=1

2 10 Tests Der Zusammehag zwische Q 0, ud Q x 0, bzw. F 0, ud F0, x ergibt sich aufgrud vo 2.2.2(5). Grudlage für de Kolmogorov Smirov Apassugtest ist der als Satz wiedergegebee Sachverhalt. Dazu wird eie spezielle Statistik Δ betrachtet, aus der sich durch Modifikatio die Kolmogorov Smirov Statistik ergibt Die Statistik Δ Seie ud mit P = P 0 verabredet, weiter sei N. Mit Blick auf Satz wird die Statistik Δ : H R + Δ (x) := sup F 0, (t) F 0 (t) (iii) eigeführt. Die achfolgede Abbildug liefert eie Veraschaulichug der Situatio: Als Ausgagspukt: Die Graphe vo F 0 bzw. F 0,3 Offebar gilt Δ 3 (x) = max(a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 ) (iv)

3 Tests 11 bzw. Δ (x) = sup(a j, b j j N ), (v) wobei wir die (umittelbar verstädliche) Zahle a j, b j, j N 3 als defiiert betrachte. Die folgede asymptotische Aussage über Δ geht auf A.N. Kolmogorov; (Kolmogorov, A.N. (1933): Sulla determiazioe empirica di ua legge di distribuzioe; Gior. Ist. Ital. Attuari 4, 83-91); (Attuari = Versicherugsmathematiker) zurück Satz Seie ud verabredet, mit P = P 0. Für N sei Δ die i eigeführte Statistik Δ : H R +. Da kovergiert die Folge ( Δ ) =1 i Verteilug gege eie Verteilug H mit der Verteilugsfuktio G : R [0; 1], G(t) := { k= ( 1)k exp( 2k 2 t 2 ) für t > 0 0 sost ; d.h. es gilt lim P ( {x H 0 Δ (x) t }) = G(t), t R. Ma beachtet, dass die asymptotische Verteilug H vo Δ vo der Spezifikatio des zugrude gelegte W Maßes P 0 uabhägig ist Ei Testproblem Vorgelegt ist ei W Maß P mit stetiger Verteilugsfuktio F. Ahad der Realisatio x = (x 1,..., x ) der eifache Stichprobe X = (X 1,..., X ) (uter dem ubekate W Maß P 0 mit ebefalls stetiger Verteilugsfuktio, das hier die Rolle der wahre Verteilug überimmt), soll geprüft werde, ob P = P 0, also ob P die wahre Verteilug ist. Zur systematische Behadlug des formulierte Testproblems betrachtet

4 12 Tests ma das Testexperimet (H, H, W, W 1, W 2 ) mit W = {P P ist ei stetiges W Maß über (R, B)} W 1 := {P }, W 2 := W \ W 1. (i) (wahre Vertei- Die Stichprobe X ist gemäß dem ubekate W Maß P0 lug) verteilt. Bei dem formulierte Testproblem geht es um dieselbe Fragestellug, wie bei dem i 5.3 behadelte χ 2 Apassugstest, wobei hier eie Eischräkug vo W auf Poteze vo stetige W Maße über (R, B) vorgeomme wird. Die statistische Fragestellug ist, wie ma aufgrud des Testexperimetes (i) erket eie solche der icht parametrische Statistik Etwicklug eies Testkozeptes auf der Grudlage der KS Statistik Die Prüfug der Frage, ob die Hypothese zutrifft, ob die, die Hypothese defiierede Verteilug P gleich der als wahre Verteilug auftretede Verteilug P 0 ist, heißt letztedlich die beide Verteiluge wie auch immer miteiader zu vergleiche. Die wahre Verteilug P 0 offebart sich über die Stichproberealisatioe, währed die Verteilug P spezifiziert ist. Durch Modifikatio ergibt sich auf der i eigeführte Statistik Δ die sogeate Kolmogorov Smirov Prüfstatistik D : H R + D (x) := sup t R F 0, (t) F (t), (1) wobei F die Verteilugsfuktio des die Hypothese defiierede W Maßes P ud F 0, die empirische Verteilugsfuktio vo P 0 bei Stichproberealisatioe ist. Ersetzt ma im Rechtsterm vo D de Ausdruck F (t) durch F 0 (t), so ist ma auf die Statistik Δ aus 5.4.3(i) zurückgeführt.

5 Tests 13 Die KS Statistik D immt stets positive Werte a; die Aussage gilt ebeso für D. Trifft die Hypothese zu, d.h. ist die i 5.4.6, die Hypothese defiierede Verteilug F gleich der wahre Verteilug P 0, so gilt D = Δ. Dabei strebt D = Δ ach dem Satz vo Gliveko Catelli gege ull. Große positive Werte vo D (x) sid daher ei Idiz für das Abweiche vo P vo P 0, kleie positive Werte vo D (x) stütze die Hypothese, woach P gleich der wahre Verteilug P 0 ist. Für de hier zu testede Fall, dass die Hypothese zutrifft, d.h. dass P 0 = P ud somit D = Δ gilt, ist die asymptotische Verteilug H vo D = Δ bekat, vgl. Satz Diese Verteilug wird als Näherug für die Verteilug vo D = Δ beutzt. Das Gesagte führt zu folgedem Test Der Test Sei D (x) eie Realisatio der KS Prüfstatistik D ud fr (1 α) (H) das (1 α) Fraktil der asymptotische Verteilug H für α (0; 1), z.b. für α = 0, 05, so wird die Hypothese verworfe, falls D (x) > fr H (1 α); währed sie für D (x) fr H (1 α); icht verworfe wird. Ei Test, der auf der Statistik Δ ud ihrer asymptotische Verteilug H basiert, heißt Kolmogorov-Smirov (Apassugs )Test Bemerkug Die Verteilugsfuktio G vo H ist, vgl. Satz 5.4.4, über eie Reihe defiiert, so dass ma sich bei der umerische Bestimmug vo fr H (1 α) zweckmäßigerweise bereits berecheter, d.h. vertafelter Werte bediet Zur effiziete Bestimmug der KS Prüfstatistik

6 14 Tests Seie ud verabredet mit P 0 als wahrer Verteilug. Sei P das W Maß, welches i 5.4.5(i) die Hypothese defiiert; F bezeiche die (stetige) Verteilugsfuktio vo P. Sei x = (x 1,..., x ) H 0 eie Realisatio der eifache Stichprobe X : H H 0 vom Umfag, wobei X j gemäß der Verteilug P 0 über (H 0, H) = (R, B) verteilt ist. Eie Schwierigkeit, der ma bei der Bestimmug des Wertes der KS Prüfstatistik D (x) begeget, besteht dari, dass D (x) formal als das Supremum eier uedliche Mege defiiert ist: D (x) = sup F0,(t) x F (t). t R (i) Im Folgede wird aufgezeigt, wie ma dieses Supremum i (i) durch ei Maximum eier edliche Mege ersetze ka. Dazu beötigt ma eie modifizierte Darstellug vo F0, x, die im folgede Lemma agegebe wird: Lemma Sei x = (x 1,..., x ) H 0 eie Realisatio der eifache Stichprobe X : H H 0. Da die Verteilug vo X j stetig ist, j N, sid x 1,..., x mit Wahrscheilichkeit 1 paarweise verschiede; sei die Aordug vo x gemäß. Da gilt: F x 0,(t) = x (1) <... < x () 0 falls t < x (1) k falls x (k) t < x (k+1), k N 1 1 falls x () t. Beweis: Ist t < x (1), da ist die Azahl der Realisatioe x j mit x j t gleich 0. Ist x (k) t < x (k+1) für ei k N 1, da etspricht die Azahl der Realisatioe x j t der Azahl der gemäß ageordete x j t; diese

7 Tests 15 sid aber x (1) <... < x (k), so dass die gesuchte Azahl gleich k ist. Ist x () t, da ist {j N x j t} =. Das folgede Lemma liefert die ageküdigte Darstellug der KS Prüfstatistik D als das Maximum eier edliche Mege vo reelle Werte. Die Verwedug dieser Darstellug bietet sich stets bei Verwedug des KS Tests a Lemma Sei x = (x 1,..., x ) H 0 eie Realisatio der eifache Stichprobe X : H H 0, die gemäß P 0 verteilt ist. Sei x (1) <... < x (), die Aordug vo x = (x 1,..., x ) gemäß. Sei weiter ud x (0) :=, x (+1) := F x 0,( ) := F ( ) := 0 F x 0,( ) := F ( ) := 1, wobei F die stetige Verteilugsfuktio des die Hypothese defiierede W Maßes P bezeichet. Die KS Prüfstatistik D (x) sei gemäß 5.4.6(i) defiiert. Es gilt: { D (x) = max k max k=1 F (x (k)), F (x (k+1) ) k }. Beweis: Wege der Stetigkeit ud der Mootoie vo F gilt ach Lemma sup x (k) t<x (k+1) F 0, x F (t) = max { k F (x (k)), k F (x (k+1)) }, = 0, 1,..., ; (i) die getrete Betrachtug der drei Fälle

8 16 Tests (1) F (x (k+1) ) k (2) F (x (k) ) k < F (x (k+1)) (3) k < F (x (k)) liefert Wege sup F0, x (t) F (t) x (k) t<x (k+1) = max { k F (x (k)), F (x (k+1) ) k }, = 0, 1,...,. D (x) = max k=0 impliziert (i) das Gewüschte. sup F0,(t) x F (t) x (k) t<t(k+1) (ii) Bemerkug Ma beachtet, dass die i der Abbildug i illustrierte Situatio durch de Eitritt vo Fall 2 des Beweises zu für die drei Sprugstelle s 1, s 2, s 3 gekezeichet werde ka. Isofer bezieht sich diese Abbildug im Kotext der i 5.4.6(i) eigeführte KS Prüfstatistik D auf eie Spezialfall der Stichproberealisatioe x = (x 1,..., x ). Selbstbeurteilug Obwohl es sich beim KS Test ebefalls wie beim χ 2 Apassugstest um eie Apassugstest hadelt, sid die Akzete i 5.3 ud 5.4 bedigt durch techische Frage etwas aders gesetzt. Nehme Sie sich die Zeit ud vergleiche Sie die beide Testkozepte, wobei Sie die Etsprechuge exakt zu sehe versuche. Was ist der Uterschied vo D ud Δ? Uter welcher Maßgabe ist D gemäß H verteilt?