3 Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.10: K = (χ 2 k 1;1 α, + ) = (χ2 5;0.90, + ) = (9.236, + ) 4 Berechnung der realisierten Teststatistik:

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1 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Auftragseigagsbeispiel, realisierte Teststatistik χ , p-wert: Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: Chi-Quadrat-Apassugstest auf H : Y Geom(25) Geom(25)-Verteilug hat uedliche Träger {, 1, 2, } ud Wahrscheilichkeitsfuktio f χ 2 (4) (x) p 9832 p χ 4, 95 x χ p Geom(25) : N [, 1]; p Geom(25) (i) (1 25) i 25, Bedigug p i 5 ka also mit p i p Geom(25) (a i ) für a i : i 1 icht für alle i N erfüllt sei Klassierug hier also (trotz diskreter Verteilug) erforderlich Wege (für wachsedes i bzw a i ) abehmeder pi sivoll: Zusammefassug aller große i i der letzte Klasse K k so, dass Bedigug pi 5 für alle i {1,, k} erfüllt ist Wahrscheilichkeit (uter H ) pk für Klasse K k über Verteilugsfuktio oder als verbleibede Wahrscheilichkeit pk 1 k 1 i1 p i Je ach Verteilug F ud Stichprobeumfag köe aber auch komplexere Klassieruge ötig sei, um Bedigug pi 5 zu erfülle Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 161 Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Fortsetzug Beispiel Stichprobeiformatio: Häufigkeitsverteilug aus Klassierug eier eifache Stichprobe vom Umfag 1 zu Y liefert: a i i Gewüschtes Sigifikaziveau: α 1 Chi-Quadrat-Apassugstest: 1 Hypothese: H : F Y F Geom(25) H 1 : F Y F Geom(25) χ 2 ( i pi p ist uter H approximativ χ 2 (k 1)-verteilt, falls i1 i 5 für alle i gilt p i 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 3 Kritischer Bereich zum Niveau α 1: K (χ 2 k 1;1 α, + ) (χ2 5;9, + ) (9236, + ) 4 Berechug der realisierte Teststatistik: ( i p i p i K i i pi pi (, ] 32 (1 25) (, 1] 19 (1 25) (1, 2] 16 (1 25) (2, 3] 16 (1 25) (3, 4] 6 (1 25) (4, + ) i1 p i Σ χ Es gilt pi 5 für alle i {1,, 6} Näherug ok 5 Etscheidug: χ (9236, + ) K H wird abgeleht! (p-wert: 1 F χ 2 (5)(χ 2 ) 1 F χ 2 (5)(123366) ) Test kommt zum Ergebis, dass Y icht eier Geom(25)-Verteilug geügt Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 163 Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 164

2 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: Chi-Quadrat-Apassugstest (F stetig) Klassierug bei stetige hypothetische Verteiluge ubedigt erforderlich Hier: Klassierug soll vorgegebe sei (evtl implizit durch bereits klassierte Stichprobeiformatio statt vollstädiger Urliste!) Bei eigeer Wahl der Klassierug: Vorsicht, da Klassierug Test beeiflusst! Beispiel: Utersuchug, ob Y N(, 1) Stichprobeiformatio (aus eifacher Stichprobe vom Umfag 2): K i (, 15] ( 15, 75] ( 75, ] (, 75] (75, 15] (15, ) i Gewüschtes Sigifikaziveau: α 5 Geeigeter Test: Chi-Quadrat-Apassugstest 1 Hypothese: H : F Y F N(,1) H 1 : F Y F N(,1) χ 2 ( i pi p ist uter H approximativ χ 2 (k 1)-verteilt, falls i1 i 5 für alle i gilt p i Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 3 Kritischer Bereich zum Niveau α 5: K (χ 2 k 1;1 α, + ) (χ2 5;95, + ) (117, + ) 4 Berechug der realisierte Teststatistik: K i (a i 1, a i ] i pi F (a i ) F (a i 1 ) pi ( i p i pi (, 15] ( 15, 75] ( 75, ] (, 75] (75, 15] (15, + ) Σ Es gilt pi 5 für alle i {1,, 6} Näherug ok 5 Etscheidug: χ / (117, + ) K H wird icht abgeleht! (p-wert: 1 F χ 2 (5)(χ 2 ) 1 F χ 2 (5)(77828) ) Test ka Hypothese, dass Y stadardormalverteilt ist, icht verwerfe Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Chi-Quadrat-Apassugstest auf parametrisches Verteilugsmodell Chi-Quadrat-Apassugstest ka auch durchgeführt werde, we statt (eizeler) hypothetischer Verteilug eie parametrische Klasse vo Verteiluge als hypothetische Verteilugsklasse fugiert Durchführug des Chi-Quadrat-Apassugstests da i zwei Schritte: 1 Schätzug der Verteilugsparameter ierhalb der hypothetische Verteilugsklasse mit der ML-Methode 2 Durchführug des (reguläre) Chi-Quadrat-Apassugstest mit der hypothetische Verteilug zu de geschätze Parameter Zu beachte: Verteilug der Testgröße χ2 ädert sich! Bei ML-Schätzug auf Basis der für die Durchführug des Chi-Quadrat-Apassugstest maßgebliche Klassierug der Stichprobe gilt uter H äherugsweise χ 2 χ 2 (k r 1), wobei r die Azahl der per ML-Methode geschätzte Parameter ist Werde die Verteilugsparameter icht aus de klassierte Date, soder aus de ursprügliche Date mit ML-Methode geschätzt, gilt diese Verteilugsaussage so icht mehr (Abweichug allerdigs moderat) Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Zusammefassug: Chi-Quadrat-Apassugstest zur Apassug a parametrische Verteilugsfamilie Awedugsvoraussetzuge approx: Y beliebig verteilt, X 1,, X eif Stichprobe zu Y Familie vo Verteilugsfuktioe F θ für θ Θ vorgegebe k 1 Klassegreze a 1 < a 2 < < a k 1 vorgegebe Nullhypothese H : F Y F θ für ei θ Θ Gegehypothese H 1 : F Y F θ (für alle θ Θ) ( Teststatistik χ 2 ( i pi ) 2 i ) 2 ( p i 1 Verteilug (H ) i1 p i i1 p i 2 i p i1 i ) χ 2 ist uter H äherugsweise χ 2 (k r 1)-verteilt, we θ ML-Schätzer des r-dim Verteilugsparameters θ auf Basis klassierter Date ist (Verwedug vo θ siehe ute) (Näherug ur verüftig, falls pi 5 für i {1,, k}) Beötigte Größe p i F θ(a k ) F θ(a k 1 ) mit a :, a k :, i #{j {1,, } x j (a i 1, a i ]}, i {1,, k} Kritischer Bereich (χ 2 k r 1;1 α, ) zum Niveau α p-wert 1 F χ 2 (k r 1)(χ 2 ) Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 168

3 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: Chi-Quadrat-Apassugstest auf H : Y Geom(p) für p (, 1) Stichprobeiformatio: Häufigkeitsverteilug aus voragegageem Beispiel: a i i Erster Schritt: ML-Schätzug vo p mit Hilfe der klassierte Stichprobeiformatio: Ma ka zeige, dass der ML-Schätzer auf Basis der klassierte Stichprobe durch k p k + k i1 (i 1) i gegebe ist Hier erhält ma also die Realisatio p Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Zweiter Schritt: Durchführug des Chi-Quadrat-Apassugstest für H : F Y F 3333 (mit F p : F Geom(p) ) gege H 1 : F Y F 3333 uter Berücksichtigug der ML-Schätzug vo p durch geäderte Verteilug vo χ 2 uter H! Isgesamt: Chi-Quadrat-Apassugtest für Verteilugsfamilie: 1 Hypothese: H : F Y F p für ei p (, 1) (mit F p : F Geom(p) ) gege H 1 : F Y F p χ 2 ( i pi p ist uter H approximativ χ 2 (k 1 r)-verteilt, falls i1 i pi 5 für alle i gilt ud r-dimesioaler Verteilugsparameter per ML-Methode aus de klassierte Date geschätzt wurde 3 Kritischer Bereich zum Niveau α 1: K (χ 2 k 1 r;1 α, + ) (χ2 4;9, + ) (7779, + ) Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 169 Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 17 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 4 Berechug der realisierte Teststatistik: Eie ML-Schätzug aus de klassierte Date liefert de Schätzwert p 3333 für de ubekate Verteilugsparameter p ( i p i p i K i i pi pi (, ] 32 (1 3333) (, 1] 19 (1 3333) (1, 2] 16 (1 3333) (2, 3] 16 (1 3333) (3, 4] 6 (1 3333) (4, + ) i1 p i Σ χ Es gilt pi 5 für alle i {1,, 6} Näherug ok 5 Etscheidug: χ / (7779, + ) K H wird icht abgeleht! (p-wert: 1 F χ2 (4)(χ 2 ) 1 F χ2 (4)(48175) ) Test kommt zum Ergebis, dass Y Geom(p) icht verworfe werde ka (ML-Schätzug vo p: p 3333) 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Test auf geometrische Verteilug, realisierte Teststatistik χ , p-wert: 37 f χ 2 (4) (x) p 693 p 37 χ χ 4, 9 x Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 171 Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 172

4 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 82 Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest (Kotigeztest) Bisher: Eifache Stichprobe X 1,, X zu eier Zufallsvariable Y Im Folgede: Betrachtug vo eifache Stichprobe zu mehrdimesioale Zufallsvariable bzw (später) mehrere (uabhägige) eifache Stichprobe zu mehrere Zufallsvariable Erste Problemstellug: Utersuchug vo zwei Zufallsvariable Y A, Y B auf stochastische Uabhägigkeit Erforderliche Stichprobeiformatio: Eifache Stichprobe (X A 1, X B 1 ), (X A 2, X B 2 ),, (X A, X B ) vom Umfag zu zweidimesioaler Zufallsvariable (Y A, Y B ) Testidee: de bei Uabhägigkeit vo Y A, Y B bestehede Zusammehag zwische Radverteiluge vo Y A ud Y B sowie gemeisamer Verteilug vo (Y A, Y B ) ausutze: Gemeisame Wahrscheilichkeite stimme bei Uabhägigkeit mit Produkt der Radwahrscheilichkeite überei (falls (Y A, Y B ) diskret) Daher spreche gerige Abweichuge zwische gemeisame (relative) Häufigkeite ud Produkt der (relative) Radhäufigkeite für Uabhägigkeit, große Abweichuge dagege Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 82 Betrachtete Awedugssituatioe: 1 Sowohl Y A als auch Y B sid diskret mit weige Auspräguge, i der Stichprobe trete die Auspräguge a 1,, a k vo Y A bzw b 1,, b l vo Y B auf 2 Y A ud Y B sid diskret mit viele Auspräguge oder stetig, die Stichprobeiformatio wird da mit Hilfe vo Klassieruge A 1 (, a 1], A 2 (a 1, a 2],, A k (a k 1, ) vo Y A bzw B 1 (, b 1], B 2 (b 1, b 2],, B l (b l 1, ) vo Y B zusammegefasst 3 Mischforme vo 1 ud 2 Der Vergleich zwische (i der Stichprobe) beobachtete gemeisame absolute Häufigkeite ij ud bei Uabhägigkeit (auf Basis der Radhäufigkeite) zu erwartede gemeisame absolute Häufigkeite erfolgt durch die Größe χ 2 l i1 j1 ( ij ) 2, wobei ij die beobachtete gemeisame Häufigkeite für (a i, b j ) bzw (A i, B j ) aus der Stichproberealisatio ud i j i j die erwartete gemeisame Häufigkeite aus de Radhäufigkeite i vo a i bzw A i ud j vo b j bzw B j sid (i {1,, k}, j {1,, l}) Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 82 Für wachsede Stichprobeumfag kovergiert die Verteilug der Testgröße χ 2 bei Gültigkeit vo H : Y A, Y B sid stochastisch uabhägig gege die χ 2 ((k 1) (l 1))-Verteilug Die Näherug der Verteilug vo χ 2 uter H ist für edliche Stichprobeumfag verüftig, falls gilt: 5 für alle i {1,, k}, j {1,, l} Wie beim Chi-Quadrat-Apassugstest spreche große Werte der Teststatistik χ 2 gege die Nullhypothese Y A ud Y B sid stochastisch uabhägig, währed kleie Werte für H spreche Als kritischer Bereich zum Sigifikaziveau α ergibt sich also etspreched: K (χ 2 (k 1) (l 1);1 α, ) Die Testgröße χ 2 ist eg verwadt mit der bei der Berechug des korrigierte Pearsosche Kotigezkoeffiziete beötigte Größe χ 2 Aalog zum Chi-Quadrat-Apassugstest ka der Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest ebefalls auf Merkmale Y A bzw Y B agewedet werde, dere Auspräguge a 1,, a k bzw b 1,, b l och icht Zufallsvariable-koform als reelle Zahle kodiert wurde Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 82 Darstellug der Stichprobeiformatio üblicherweise i Kotigeztabelle der Form Y A \ Y B b 1 b 2 b l a l a l bzw Y A \ Y B B 1 B 2 B l A l A l a k k1 k2 kl A k k1 k2 kl Beötigte Größe i j köe da ach Ergäzug der Kotigeztabelle um ihre Radhäufigkeite i l j1 ij ud j k i1 ij i weiterer Tabelle mit aalogem Aufbau Y A \ Y B B 1 B 2 B l i A 1 ñ ñ ñ 1l 1 l 1 A 2 ñ ñ ñ 2l 2 l 2 A k ñ k1 k 1 ñ k2 k 2 ñ kl k l k j 1 2 l (hier für 2 Variate) oder (falls geüged Raum vorhade) direkt i der Kotigeztabelle berechet werde Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 176

5 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 82 Zusammefassug: Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest Awedugs- approximativ: (Y A, Y B ) beliebig verteilt voraussetzuge (X1 A, X1 B ),, (X A, X B ) eifache Stichprobe zu (Y A, Y B ) Auspräguge {a 1,, a k } vo Y A, {b 1,, b l } vo Y B oder Klassegreze a 1 < < a k 1 zu Y A, b 1 < < b l 1 zu Y B Nullhypothese H : Y A,Y B stochastisch uabhägig Gegehypothese H 1 : Y A,Y B icht stochastisch uabhägig Teststatistik l χ 2 ( ij ) 2 l ij 2 Verteilug (H ) Beötigte Größe i1 j1 i1 j1 χ 2 ist äherugsweise χ 2 ((k 1) (l 1))-verteilt, falls H gilt (Näherug ur verüftig, falls 5 für alle i, j) ij #{m {1,, } (x m, y m) A i B j } für alle i, j mit A i {a i }, B j {b j } bzw Klasse A i, B j ach vorg Greze, i j mit i l j1 ij, j k i1 ij, Kritischer Bereich (χ 2 (k 1) (l 1);1 α, ) zum Niveau α p-wert 1 F χ 2 ((k 1) (l 1))(χ 2 ) Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 82 Beispiel: Zusammehag Geschlecht/tägl Fahrzeit (PKW) Utersuchugsgegestad: Sid die beide Zufallsvariable Geschlecht (Y A ) ud täglich mit PKW zurückgelegte Strecke (Y B ) stochastisch uabhägig? Stichprobeiformatio: (Kotigez-)Tabelle mit gemeisame (i der Stichprobe vom Umfag 2 beobachtete) Häufigkeite, wobei für Y B eie Klassierug i die Klasse kurz, mittel ud lag durchgeführt wurde: Fahrzeit (Y B ) Geschlecht (Y A ) kurz mittel lag Mälich Weiblich Gewüschtes Sigifikaziveau: α 5 Geeigeter Test: Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 1 Hypothese: H : Y A, Y B stochastisch uabhägig gege H 1 : Y A, Y B stoch abhägig l χ 2 ( ij ) 2 ist uter H approximativ i1 j1 χ 2 ((k 1) (l 1))-verteilt, falls 5 für alle 1 i k ud 1 j l Schließede Statistik (WS 216/17) Folie Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 82 8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Uabhägigkeitstest 82 3 Kritischer Bereich zum Niveau α 5: K (χ 2 (k 1) (l 1);1 α, + ) (χ2 2;95, + ) (5991, + ) 4 Berechug der realisierte Teststatistik: Um Radhäufigkeite i ud j ergäzte Tabelle der gemeisame Häufigkeite: Tabelle der i j : Y A \ Y B kurz mittel lag i Mälich Weiblich j Y A \ Y B kurz mittel lag i Mälich Weiblich j Es gilt 5 für alle 1 i 2 ud 1 j 3 Näherug ok 4 (Fortsetzug: Berechug der realisierte Teststatistik) χ 2 5 Etscheidug: 2 i1 j1 3 ( ij ) 2 ( ( ( ( ( ( χ (5991, + ) K H wird abgeleht! (p-wert: 1 F χ2 (2)(χ 2 ) 1 F χ2 (2)(122547) ) Der Test kommt also zum Ergebis, dass die beide Zufallsvariable Geschlecht ud tägliche Fahrzeit (PKW) stochastisch abhägig sid Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 179 Schließede Statistik (WS 216/17) Folie 18