Ökonometrie Formeln und Tabellen

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1 Ökoometrie Formel ud Tabelle Formelsammlug 1 Lieares Modell ud KQ-Schätzug 11 Eifachregressio Lieares Modell: Y i = β 0 + β 1 x i + U i, i = 1,2,, Aahme des lieare Modells: A1: E[U i ] = 0 für alle i = 1,2,, A2: V AR[U i ] = σ 2 für alle i = 1,2,, A3: COV [U i U j ] = 0 für alle i,j = 1,2,, mit i j A4: E[x i U i ] = 0 für alle i = 1,2,, A5: S 2 x = 1 i (x i x > 0 Eifaches Gauß Modell: Zusätzliche Aahme: A6: U i N(0,σ 2 ) für alle i = 1,2,, 12 Kleist Quadrat Schätzer ˆβ 0 ud ˆβ 1 werde als KQ Schätzfuktioe bezeichet, we sie uter alle Schätzfuktioe β 0 ud β 1 diejeige sid, die die Residuequadratsumme RSS( β 0, β 1 ) = i=1 (Y i β 0 β 1 x i miimiere Zur Berechug der KQ Schätzer beötigte Momete: Sx 2 = 1 (x i x, SY 2 = 1 i=1 (Y i Y, S x,y = 1 i=1 1 (x i x)(y i Y ) i=1

2 2 Ökoometrie KQ Schätzer für β 0 ud β 1 : ˆβ1 = S x,y S 2 x, ˆβ0 = Y ˆβ 1 x KQ Progose Schätzer für β 0 + β 1 x = E[Y x]: Ŷ (x) = ˆβ 0 + ˆβ 1 x Schätzer für σ 2 : σ2 = 1 2 mit i=1 Û 2 i Û i = Y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i Streuugszerlegug: S 2 Y = S2 Ŷ + S2 Û Bestimmtheitsmaß: R 2 Y x = S2 Ŷ S 2 Y = 1 S2 Û S 2 Y R 2 Y x = (r XY = S2 x,y S 2 xs 2 Y = ˆβ 1 S x,y S 2 Y 13 Eigeschafte der Schätzfuktioe Liearität vo ˆβ 0 ud ˆβ 1 : ˆβ 1 = β 1 + w i U i i=1 mit w i = x i x S 2 x, ˆβ0 = β 0 + v i U i i=1 mit v i = 1/ w i x Erwartugswerte, Variaze ud Schätzer für die Variaze der Schätzfuktioe Schätzer E[ ] V AR[ ] V AR[ ] ˆβ 0 β 0 σ 2 x2 S 2 x ˆβ 1 β 1 σ 2 1 Sx 2 [ σ 2 Ŷ (x) β 0 + β 1 x 1 + σ 2 σ 2 σ ( ) ] 2 x x S x σ 2 x2 S 2 x σ 2 1 Sx 2 [ σ ( σ ( ) ] 2 x x S x 14 Zweifachregressio Lieares Modell: Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + U i, i = 1,2,, ˆβ 0, ˆβ 1 ud ˆβ 2 werde als KQ Schätzfuktioe bezeichet, we sie uter alle Schätzfuktioe β 0, β 1 ud β 2 diejeige sid, die die Residuequadratsumme RSS( β 0, β 1, β 2 ) = i=1 (Y i β 0 β 1 x 1i β 2 x 2i miimiere KQ-Koeffiziete: ˆβ 0 = y ˆβ 1 x 1 ˆβ 2 x 2, ˆβ1 = S x 1y S x2y Sx 2 1, ˆβ2 = S2 x 1 S x2y S x1y Sx 2 1 bzw

3 Formelsammlug 3 ˆβ 1 ˆβ 2 = = S2 x 1 1 S x1y S x2y S x2y S x1y S x 1y S x2y = S2 x 2 Sx 2 1 Sx 2 1 S x 1y S x2y Variaze: σ 2ˆβ1 = σ2,σ 2ˆβ2 = σ2 bzw σ2ˆβ1 σˆβ1 ˆβ2 σˆβ1 ˆβ2 σ 2ˆβ2 = σ2 S2 x 1 1 = σ2 S2 x 2 Sx 2 1 Sx k fach Regressio Lieares Modell: Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β k x ki + U i, i = 1,2,, KQ-Koeffiziete: ˆβ 0 = y ˆβ 1 x 1 ˆβ k x k ˆβ 1 ˆβ 2 = S x1x k S x2x k 1 S x1y S x2y ˆβ k S x1x k S x2x k S xk x k S xk Y z B i der Zweifachregressio Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + U i : ˆβ 1 = S x 1y S x2y, ˆβ 2 = S2 x 1 S x2y S x1y

4 4 Ökoometrie Variaze: V AR[ˆβ 1 ] COV [ˆβ 1 ˆβ2 ] COV [ˆβ 1 ˆβk ] COV [ˆβ 1 ˆβ2 ] V AR[ˆβ 2 ] COV [ˆβ 2 ˆβk ] COV [ˆβ 1 ˆβk ] COV [ˆβ 2 ˆβk ] V AR[ˆβ k ] = σ2 SX 1 X k Sx 2 x k Sx 1 x k Sx 2 x k Sx k x k 1 Für die Zweifachregressio Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + U i erhält ma daraus V AR[ˆβ 1 ] = σ2 V AR[ˆβ 2 ] = σ2, Korrigiertes Bestimmtheitsmaß: R 2 = 1 i=1 û2 i /( k 1) (yi y /( 1) 2 Statistische Iferez bei ormalverteilte Schätzparameter 21 Kofidezitervalle Bei ormalverteilte Schätzer gilt im Lieare Modell mit k Regressore ˆβ j β j t( k 1) V AR[ˆβ j ] ud ma erhält als ei (1 α) Kofidezitervall [ ˆβ j t 1 α 2 ; k 1 V AR[ˆβ j ] ; ˆβj + t 1 α 2 ; k 1 ] V AR[ˆβ j ] 22 Progoseitervall i der Eifachregressio I der Eifachregressio (bivariates Lieares Modell) gilt bei ormalverteilte Schätzparameter Ŷ (x) (ˆβ 0 + ˆβ 1 x) t( 2) V AR[Ŷ (x)] ud ma erhält als ei (1 α) Progoseitervall [ Ŷ (x) t 1 α 2 ; 2 V AR[Ŷ (x)] ; Ŷ (x) + t 1 α 2 ; 2 ] V AR[Ŷ (x)]

5 Formelsammlug 5 23 Hypothesetests 231 t Tests Bei ormalverteilte Schätzer gilt im Lieare Modell mit k Regressore uter H 0 : β j = β 0 j : ˆβ j βj 0 T = t( k 1) V AR[ˆβ j ] Ahad dieser Teststatistik ergebe sich für alterative Gegehypothese folgede kritische Bereiche (Ablehugsbereiche für H 0 ): Hypothese Kritischer Bereich H 0 : β j = β 0 j (bzw H 0 : β j β 0 j ) gege H 1 : β j < β 0 j t < t 1 α; k 1 H 0 : β j = β 0 j (bzw H 0 : β j β 0 j ) gege H 1 : β j > β 0 j t > t 1 α; k 1 H 0 : β j = β 0 0 gege H 1 : β j β 0 j t > t 1 α/2; k 1 Empirische t Werte tˆβj = ˆβ j V AR[ˆβ j ] 232 F-Test liearer Restriktioe m: Azahl der Restriktioe RSS r : Residuequadratsumme im restrigierte Modell RSS: Residuequadratsumme bei freier Schätzug H 0 : Restriktioe gelte H 1 : Restriktioe gelte icht Teststatistik: F = (RSS r RSS)/m RSS/( k 1) Verteilug uter H 0 : F ist F verteilt mit m Zähler ud k 1 Neerfreiheitsgrade 3 Tests der Aahme des Lieare Modells 31 Tests auf Autokorrelatio der Störgröße Zeitreihemodell y t = β 0 + β 1 x 1t + + β k x kt + u t t = 1,,

6 6 Ökoometrie Autoregressiver Prozess der Störgröße der Ordug m (AR(m)): u t = ρ 1 u t ρ m u t m + ǫ t Spezialfall: Autoregressiver Prozess der der Ordug 1 (AR(1)): u t = ρu t 1 + ǫ t Aahme: E[ǫ t ] = 0, V AR[ǫ t ] = σ 2 ǫ für alle t = 1,,, COV [ǫ t,ǫ τ ] = 0 für t τ Daraus folgt: E[u t ] = 0, V AR[u t ] = σ2 ǫ 1 ρ 2 für alle t = 1,,, COV [u t,u t j ] = ρj σǫ 2 1 ρ 2 für j = 1,t 1 Theoretische Korrelatioskoeffiziete: Korrellatioskoeffiziet ρ im AR(1) Prozess: ρ = COV [u t,u t 1 ] V AR[u t ] = E[u tu t 1 ] E[u 2 t] Korrelatioskoeffiziet ρ j im AR(m)-Prozess: ρ j = COV [u t,u t j ] V AR[u t ] = E[u tu t j ] E[u 2 t] für j = 1,,m Empirische Korrelatioskoeffiziete: ˆρ im AR(1) Prozess: ˆρ = S û t,û t 1 Sût = t=2 ûtû t 1 t=1 û2 t ˆρ j im AR(m) Prozess: ˆρ j = S û t,û t j Sût = t=j+1 ûtû t j t=1 û2 t für j = 1,,m 311 Test ach Breusch ud Godfrey auf Autokorrelatio bis zur Ordug m: Grudlage: û t aus y t = β 0 + β 1 x 1t + + β k x kt + u t Testregressio: û t = α 0 + α 1 x 1t + + α k x kt + ρ 1 û t 1 + ρ m û t m + ǫ t Überprüfug vo H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ m = 0 gege H1: H 0 gilt icht mit Hilfe eies F Tests Ma ka zeige, dass folgeder Test asymptotisch äquivalet zum F-Test: Die Teststatistik Q(m) = R 2 ist uter H 0 asymptotisch χ 2 verteilt mit m Freiheitsgrade R 2 bezeichet das multiple Bestimmtheitsmaß der Testregressio H 0 ist da zuguste vo H 1 abzulehe, we Q(m) de etsprechede kritische Wert ((1 α-quatil) der χ 2 (m)-verteilug überschreitet 312 Test ach Box ud Pierce auf Autokorrelatio bis zur Ordug m: Grudlage: Empirische Autokorrelatioskoeffiziete ˆρ j = t=j+1 ûtû t j t=1 û2 t für j = 1,,m Hypothese: H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ m = 0, H1: H 0 gilt icht Teststatistik: Q(m) = m j=1 ˆρ2 j ist asymptotisch χ2 (m)-verteilt

7 Formelsammlug Test ach Ljug ud Box auf Autokorrelatio bis zur Ordug m: Grudlage ud Hypothese wie bei Box ud Pierce Teststatistik: Q(m) = ( 2) m ˆρ 2 j j=1 j ist asymptotisch χ2 (m)-verteilt I kleie Stichprobe liefert der Ljug-Box Test zuverlässigere Ergebisse als der Test ach Box ud Pierce 314 Durbi-Watso-Test auf Autokorrelatio erste Grades: Grudlage: Quadrierte Abweichuge aufeiaderfolgeder KQ-Residue (û t û t 1 Hypothese: H 0 : ρ = 0 gege H 1 : ρ > 0 Teststatistik: D = t=2 (û t û t 1 t=1 û2 t 2(1 ˆρ) Die Verteilug der Teststatistik ist tabelliert Der kritische Wert hägt ab vo de Auspräguge der Regressore x it Für beliebige Regressorwerte existiere eie Obergreze d O ud eie Utergreze d U für de kritische Wert Fällt die Teststatistik zwische diese Greze ist keie Testetscheidug möglich Testetscheidug: d < d U : H 0 verwerfe d > d O : H 0 icht verwerfe d U < d < d O : keie Testetscheidug möglich Liksseitiger Test: H 0 : ρ = 0 gege H 1 : ρ < 0 ka ahad der Teststatistik D = 4 D überprüft werde 32 Tests auf Heteroskedastie der Störgröße 321 Park Test Grudlage: KQ Residuer û i, poteziell Heteroskedastie erzeugede Variable z Testregressio: lû 2 i = α 0 + α 1 lz i + ǫ i Testetscheidug: t Test auf Sigifikaz vo α White Test Grudlage: KQ Residuer û i, Regressore x 1i,x 2i,,x ki Testregressio: Regressio vo û 2 i auf alle k Regressore x 1i,x 2i,,x ki, i = 1,, dere Quadrate x 2 j,i ud die Kreuzprodukte x m,ix l,i, m l Im Fall vo k = 2 Regressore lautet die Testgleichug also û 2 i = α 0 + α 1 x 1i + α 2 x 2i + α 3 x 2 1i + α 4 x 2 2i + α 5 x 1i x 2i + ǫ i Testetscheidug: H 0 : α 1 = α 2 = = α k(k+3)/2 = 0 F Test auf Sigifikaz aller k(k + 3)/2 Steigugsparameter i der Testgleichug Der Test ist asymptotisch äquivalet zu folgedem Test: Die

8 8 Ökoometrie Teststatistik Q(k(k + 3)/2) = R 2 ist uter H 0 asymptotisch χ 2 verteilt mit k(k + 3)/2 Freiheitsgrade R 2 bezeichet das multiple Bestimmtheitsmaß der Testregressio H 0 ist da zuguste vo H 1 abzulehe, we Q(k(k+3)/2) de etsprechede kritische Wert ((1 α-quatil) der χ 2 (k(k+3)/2)- Verteilug überschreitet 33 Tests bei stochastische Regressore 331 Hausma Wu Test auf Edogeität der Regressore Grudlage: Poteziell edogeer Regressor x 2, Istrumetegleichug x 2i = α 0 + α 1 z 1i + α 2 z 2i + v i Testregressio: y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + γˆv i + u i Testetscheidug: t Test auf Sigifikaz vo γ, bei Sigifikaz vo γ wird die Aahme edogeer Regressore akzeptiert, eie Istrumetvariableschätzug ist da zweckmäßig 332 J Test auf Exogeität der Istrumete Grudlage: l poteziell edogee Regressore, k l exogee Regressore, m Istrumete, m > l û i : Residue der zweistufige KQ Schätzug Testregressio: Regressio der û i auf alle m Istrumete ud alle k l exogeee Regressore: û i = γ 0 + γ 1 z 1i + + γ m z mi + α 1 x 1i + α k l x k l,i + η i Testetscheidug: F: Teststatistik des F Tests auf gemeisame Sigifikaz der m Istrumete i der Testregressio J = mf ist asymptotisch χ 2 verteilt mit m l Freiheitsgrade Die Nullhypothese exogeer Istrumete wird abgeleht, we J das 1 α-quatil der χ 2 (m l)-verteilug überschreitet

9 Tabelle 9 Tabelle 1 Verteilugsfuktio Φ(x) der Stadardormalverteilug 6 0 (x) (z) = FX (z) z - x Ablesebeispiele: a) Die Wahrscheilichkeit, dass eie stadardormalverteilte Zufallsvariable eie Ausprägug kleier als 0,44 aufweist, beträgt 67%: Φ(0,44) = Φ(0,40 + 0,04) = 0,6700 b) Das Quatil λ p zur Ordug p = 0,975 der Stadardormalverteilug beträgt 1,96: Φ(z) = 0,9750 = Φ(λ 0,975 ) = z = λ 0,975 = 1,90 + 0,06 = 1,96 z=z 1 +z 2 z z

10 10 Ökoometrie 2 p Quatile t p;k der t Verteilug mit k Freiheitsgrade 6 0 f t (x; k) p = F X (t p;k) t p;k - x Ablesebeispiel: Das Quatil zur Ordug p = 0, 90 eier t Verteilug mit 10 Freiheitsgrade lautet 1,372 (dh dieser Wert wird vo eier etspreched verteilte Zufallsvariable mit eier Wkt vo 90% icht überschritte): p = 0,900 ; k = 10 = t 0,9 ; 10 = 1,372 p k

11 Tabelle 11 3 p Quatile χ 2 p;k der χ 2 Verteilug mit k Freiheitsgrade 6 f Chi (x; k) p = F X ( 2 p;k ) 0 2 p;k - x Ablesebeispiel: Das Quatil zur Ordug p = 0,90 eier χ 2 Verteilug mit 10 Freiheitsgrade lautet 15,99 (dh dieser Wert wird vo eier etspreched verteilte Zufallsvariable mit eier Wkt vo 90% icht überschritte): p = 0,900 ; k = 10 = χ 2 0,9 ; 10 = 15,99 p k

12 O koometrie ,95 ud 0,99 Quatile der F Verteilug ν1 : Azahl der Za hlerfreiheitsgrade (Azahl der Restriktioe, m) ν2 : Azahl der Neerfreiheitsgrade (Azahl der Freiheitsgrade der urestrigierte Regressio, k 1) Quelle: Eckey/Kosfeld/Dreger (1995): O koometrie

13 Tabelle 13 5 Kritische Werte der Durbi-Watso Statistik, α = 0, 05 : Beobachtugsumfag k: Azahl der Regressore eischließlich des Absolutglieds Quelle: Eckey/Kosfeld/Dreger (1995): Ökoometrie