Kovarianz und Korrelation

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1 Kapitel 2 Kovariaz ud Korrelatio Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 1 / 41 Lerziele Mathematische ud statistische Grudlage der Portfoliotheorie Kovariaz ud Korrelatio Kovariaz- ud Korrelatiosmatrix Multivariate Normalverteilug Erzeuge vo multiormalverteilte Zufallsvektore Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 2 / 41 Erwartugswert eier Liearkombiatio Der Erwartugswert eier Liearkombiatio vo ZVe ist die Liearkombiatio der eizele Erwartugswerte: E(a X + b Y + c = a E(X + b E(Y + c Allgemei E ( a i X i = a i E(X i Voraussetzug: alle Erwartugswerte existiere. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 3 / 41

2 Variaz eier Liearkombiatio Die Variaz eier Liearkombiatio vo ZVe ist icht die Liearkombiatio der eizele Variaze. Es gilt: V(a X + b Y + c = a 2 V(X + 2 a b Cov(X, Y + b 2 V(Y Die Kostate c beeiflusst die Variaz icht. Bei der Variaz eier Summe tritt ei gemischter Term auf: die Kovariaz der beide ZVe. Nur we die Kovariaz der beide ZVe Null ist, also beide ukorreliert sid, gilt: Die Variaz der Summe ist gleich die Summe der Variaze. Voraussetzug: alle Variaze existiere. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 4 / 41 Kovariaz Die Kovariaz zwische zwei ZV X ud Y ist defiiert als Cov(X, Y = E[(X E(X(Y E(Y] = x,y (x µ x (y µ y P(X = x, Y = y Hier gilt auch ei Verschiebugssatz: E[(X E(X(Y E(Y] = E[X Y] E(X E(Y Bemerkug: Ist Cov(X, Y = 0, folgt E[X Y] = E(X E(Y Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 5 / 41 Normalverteilte Zufallsvariable Reproduktioseigeschaft der Normalverteilug: Seie die ZVe X ud Y ormalverteilt mit X N(µ x, σ 2 x, Y N(µ y, σ 2 y ud Cov(X, Y = σ xy Da ist Z = a X + b Y + c N(µ z, σ 2 z µ z = a µ x + b µ y + c σ 2 z = a2 σ 2 x + 2 a b σ xy + b 2 σ 2 y Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 6 / 41

3 Korrelatio Die Korrelatio zwische zwei ZV X ud Y ist defiiert als Corr(X, Y = ρ(x, Y = ρ = Cov(X, Y V(X V(Y Es gilt immer 1 Corr(X, Y 1 Cov(X, Y = Corr(X, Y V(X V(Y Corr(X, Y = 0 Cov(X, Y = 0 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 7 / 41 Ukorrelierte Zufallsvariable Sid X ud Y ukorreliert, so gilt V(X + Y = V(X + V(Y aber auch V(X Y = V(X + V(Y Allgemei gilt für ukorrelierte ZV X i V ( a i X i = a 2 i V(X i Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 8 / 41 Uabhägige Zufallsvariable Zwei Zufallsvariable X ud Y heiße (stochastisch uabhägig we P(X = x, Y = y = P(X = x P(Y = y für all mögliche Merkmalsauspräguge x ud y. Uabhägige Zufallsvariable sid immer ukorreliert, i.e. X, Y uabhägig Corr(X, Y = Cov(X, Y = 0 Die Umkehrug gilt jedoch icht! Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 9 / 41

4 Beispiel 1 2-dimesioale Verteilug Wir suche für Y = X 1 + X 2 Erwartug ud Variaz. Die ZVe X 1 ud X 2 besitze die gemeisame Verteilug P(X 1 = x 1, X 2 = x 2 X 2 = 1 X 2 = 1 P(X 1 = x 1 X 1 = X 1 = P(X 2 = x Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 10 / 41 Beispiel 1 / Summe Die Werte vo Y = X 1 + X 2 erhält ma über die Tabelle Y = X 1 + X 2 X 2 = 1 X 2 = 1 X 1 = X 1 = mit der Verteilug Y = 0 Y = 1 Y = 2 Y = 3 P(Y = y Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 11 / 41 Beispiel 1 / Erwartugswert E(Y Für de Erwartugswert vo Y erhalte wir E(Y = y P(Y = y = = 2.0 Nach usere Regel ergibt sich E(Y = E(X 1 + X 2 = E(X 1 + E(X 2 = = 2.0 E(X 1 = x 1 P(X 1 = x 1 = = 1.4 E(X 2 = x 2 P(X 2 = x 2 = ( = 0.6 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 12 / 41

5 Beispiel 1 / Variaz V(Y Für die Variaz vo Y erhalte wir V(Y = E[(Y E(Y 2 ] = E[Y 2 ] [E(Y] 2 = = = 0.88 Nach usere Regel ergibt sich V(Y = V(X 1 + X 2 = V(X Cov(X 1, X 2 + V(X 2 = = = 0.88 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 13 / 41 Beispiel 1 / Variaz V(Y V(X 1 = x 2 1 P(X 1 = x 1 [E(X 1 ] 2 = = ( = 0.24 V(X 2 = x 2 2 P(X 2 = x 2 [E(X 2 ] 2 = = ( = 0.64 Cov(X 1, X 2 = E[X 1 E(X 1 ][X 2 E(X 2 ] = = E[X 1 X 2 ] E(X 1 E(X 2 = = x1,x 2 x 1 x 2 P(X 1 = x 1, X 2 = x 2 E(X 1 E(X 2 = = 1 ( = = 0 (eifacher: X 1 ud X 2 sid uabhägig Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 14 / 41 Beispiel 2 2-dimesioale Verteilug Die ZVe X 1 ud X 2 besitze die gleiche Radverteiluge wie i Beispiel 1. Die gemeisame Verteilug sei higege P(X 1 = x 1, X 2 = x 2 X 2 = 1 X 2 = 1 P(X 1 = x 1 X 1 = X 1 = P(X 2 = x Wir suche für Y = X 1 + X 2 Erwartug ud Variaz. Y = 0 Y = 1 Y = 2 Y = 3 P(Y = y Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 16 / 41

6 Beispiel 2 / Erwartugswert E(Y Für de Erwartugswert vo Y erhalte wir E(Y = y P(Y = y = = 2.0 Erwartugswert vo X 1 ud X 2 sid dieselbe wie i Beispiel 1. Nach usere Regel ergibt sich daher wie i Beispiel 1 E(Y = E(X 1 + X 2 = E(X 1 + E(X 2 = = 2.0 E(X 1 = x 1 P(X 1 = x 1 = = 1.4 E(X 2 = x 2 P(X 2 = x 2 = ( = 0.6 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 17 / 41 Beispiel 2 / Variaz V(Y Für die Variaz vo Y erhalte wir V(Y = E[(Y E(Y 2 ] = E[Y 2 ] [E(Y] 2 = = = 0.48 Variaze vo X 1 ud X 2 sid dieselbe wie im Beispiel 1. Die Kovariaz ist aber eu zu bereche. Nach usere Regel ergibt sich daher V(Y = V(X 1 + X 2 = V(X Cov(X 1, X 2 + V(X 2 = = ( = 0.48 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 18 / 41 Beispiel 2 / Variaz V(Y V(X 1 = 0.24 (Bsp. 1 V(X 2 = 0.64 (Bsp. 1 Cov(X 1, X 2 = E[X 1 E(X 1 ][X 2 E(X 2 ] = = E[X 1 X 2 ] E(X 1 E(X 2 = = x1,x 2 x 1 x 2 P(X 1 = x 1, X 2 = x 2 E(X 1 E(X 2 = = 1 ( = = 0.24 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 19 / 41

7 Beispiel 2 / Korrelatio Durch die Additio der Variable X 1 zu X 2 wird die Variaz vo X 1 + X 2 gegeüber der vo X 2 alleie deutlich reduziert. Die Kovariaz ist egativ, Cov(X 1, X 2 = 0.24, ud daher auch die Korrelatio: Corr(X 1, X 2 = Cov(X 1, X 2 V(X1 V(X 2 = = Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 21 / 41 Beispiel 3 Ukorrelierte Zufallsvariable Gegebe seie ukorreliert Zufallsvariable, X 1,..., X, die die gleiche Erwartugswerte, E(X 1 =... = E(X = µ ud die gleiche Variaze, V(X 1 =... = V(X = σ 2 besitze. V ( X i = V(X i = σ 2 = σ 2 Die Variaz steigt proportioal mit der Azahl der Summade. Die Stadardabweichug steigt ur mit der Wurzel der Azahl der Summade: V ( X i = σ 2 = σ Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 22 / 41 Beispiel 4 Diversifikatio Die beide ZVe R 1 ud R 2 sid die Redite vo zwei verschiedee Wertpapiere. Der aktuell Tageskurs sei bei beide gleich. Ageomme die ZVe R 1 ud R 2 sid ukorreliert ud habe gleiche Erwartugswert ud gleiche Variaze: E(R 1 = E(R 2 = µ, V(R 1 = V(R 2 = σ 2 Wir stelle 3 Portfolios zusamme: A. Nur Papier 1, B. Nur Papier 2, C. Papier 1 ud Papier 2 je mit eiem Ateil vo 1/2. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 23 / 41

8 Beispiel 4 Diversifikatio Wir bereche vo de 3 Portfolios Erwartugswert ud Variaz. E(A = E(R 1 = µ, V(A = V(R 1 = σ 2 E(B = E(R 2 = µ, V(B = V(R 2 = σ 2 E(C = E( 1 2 R R 2 = 1 2 E(R E(R 2 = µ, V(C = V( 1 2 R R 2 = ( V(R 1 + ( V(R 2 = 1 2 σ2 Wir sid idifferet zwische de Papiere 1 ud 2. Portfolio C liefert higege mit derselbe erwartete Redite ur die halbe Variaz. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 24 / 41 Risikostreuug ud Korrelatio Die Reduktio der Variaz durch Diversifikatio (Risikostreuug ist auch bei icht zu stark positive Korrelatioe sivoll. Besoders iteressat wird sie bei egative Korrelatioe. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 25 / 41 Risikostreuug ud ρ = +1 Bei starker positiver Korrelatio zwische de Redite ist die Variaz auch im Portfolio C hoch. Aus Corr(R 1, R 2 = 1 erhalte wir Cov(R 1, R 2 = Corr(R 1, R 2 V(R 1 V(R 2 = σ 2 E(C = E( 1 2 R R 2 = 1 2 E(R E(R 2 = µ V(C = V( 1 2 R R 2 = = ( V(R Cov(R 1, R 2 + ( V(R 2 = σ 2 Portfolio C ist u gleich schlecht wie A oder B. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 26 / 41

9 Risikostreuug ud ρ = 1 Bei starker egativer Korrelatio zwische de Redite verschwidet die Variaz im Portfolio C (fast. Aus Corr(R 1, R 2 = 1 erhalte wir Cov(R 1, R 2 = Corr(R 1, R 2 V(R 1 V(R 2 = σ 2 E(C = E( 1 2 R R 2 = 1 2 E(R E(R 2 = µ V(C = V( 1 2 R R 2 = = ( V(R Cov(R 1, R 2 + ( V(R 2 = 0 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 27 / 41 Optimale Risikostreuug Ageomme zwei Redite R 1 ud R 2 mit E(R 1 = µ 1, E(R 2 = µ 2 ud V(R 1 = σ 2 1, V(R 2 = σ 2 2 ud Kovariaz σ 12 liege vor. Wir suche die Kombiatio α 1 R 1 + α 2 R 2 mit miimaler Variaz uter der Eischräkug, dass die Summe der Gewichte 1 sei. mi α1,α 2 V[α 1 R 1 + α 2 R 2 ] NB: α 1 + α 2 = 1 Lagrage-Asatz: L(α 1, α 2 ; λ = V[α 1 R 1 + α 2 R 2 ] + λ (1 α 1 α 2 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 28 / 41 Optimale Risikostreuug L(α 1, α 2 ; λ = α 2 1 σ α 1 α 2 σ 12 + α 2 2 σ2 2 + λ (1 α 1 α 2 Notwedige Bediguge (statioäre Pukte: L α1 : 2 α 1 σ α 2 σ 12 λ = 0 L α2 : 2 α 1 σ α 2 σ2 2 λ = 0 L λ : 1 α 1 α 2 = 0 Mit α 2 = 1 α 1 ergibt die Lösug des Gleichugssystems α 1 = σ 2 2 σ 12 σ σ 12 + σ 2 2 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 29 / 41

10 Variaz eier Liearkombiatio Allgemei Gegebe seie Zufallsvariable, X 1,..., X, wobei die X i die Erwartugswerte µ i, die Stadardabweichuge σ i ud die Kovariaze σ ij besitze, E(X i = µ i, V(X i = σ 2 i = σ ii Cov(X i, X j = E[(X i µ i (X j µ j ] = σ ij Die Variaz eier Liearkombiatio dieser ZVe, a i X i, ist ( a i X i V = j=1 a i a j σ ij Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 30 / 41 Variaz eier Liearkombiatio: = 2 Setze wir = 2, so erhalte wir V ( 2 a i X i = 2 2 j=1 a i a j σ ij = = 2 j=1 a 1 a j σ 1j + 2 j=1 a 2 a j σ 2j = = (a 1 a 1 σ 11 + a 1 a 2 σ 12 + (a 2 a 1 σ 21 + a 2 a 2 σ 22 = = a 2 1 σ a 1 a 2 σ 12 + a 2 2 σ2 2 = = a 2 1 V(X a 1 a 2 Cov(X 1, X 2 + a 2 2 V(X 2 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 31 / 41 Variaz eier Liearkombiatio: = 3 Setze wir = 3, so erhalte wir V ( 3 a i X i = 3 3 j=1 a i a j σ ij = = 3 j=1 a 1 a j σ 1j + 3 j=1 a 2 a j σ 2j + 3 j=1 a 3 a j σ 3j = = a 2 1 σ a 1 a 2 σ a 1 a 3 σ 13 + a 2 2 σ a 2 a 3 σ 23 + a 2 3 σ2 3 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 32 / 41

11 Kovariazmatrix Sei X ei Spaltevektor der ZVe X i ud µ der zugehörige Vektor der Erwartugswerte. X = (X 1,..., X, µ = (µ 1,..., µ Wir multipliziere (X µ (X µ ud erhalte eie ( -Matrix, i Elemetschreibweise [(X i µ i (X j µ j ]. Dere Erwartugswert heißt Kovariazmatrix Σ vo X, Σ = E[(X µ(x µ ] = [E((X i µ i (X j µ j ] bzw. mittels Kovariaze σ ij = E[(X i µ i (X j µ j ] Σ = [σ ij ] Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 33 / 41 Variaz i Matrixschreibweise Die Variaz eier Liearkombiatio vo ZVe i Matrixschreibweise ist V ( a i X i = j=1 a i a j σ ij = a Σ a wobei a = (a 1,..., a der Spaltevektor der Koeffiziete a i ist. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 34 / 41 Eigeschafte der Kovariazmatrix Die wichtigste Eigeschafte der Kovariazmatrix sid: Σ ist symmetrisch. Da σ ij = E[(X i µ i (X j µ j ] = E[(X j µ j (X i µ i ] = σ ji gilt, ist Σ = [σ ij ] = [σ ji ] = Σ Σ ist positiv semidefiit. a Σ a 0 für alle Vektore a. Das heißt, die Variaz eier Summe vo ZVe ist immer größer oder gleich Null. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 35 / 41

12 Korrelatiosmatrix Die Korrelatio, ρ ij, zwische X i ud X j erhält ma aus ρ ij = σ ij σii σ jj wobei σ ij = Cov(X i, X j ud σ ii = Cov(X i, X i = V(X i. Die Korrelatiosmatrix R des Vektors X ist R = [ρ ij ] = diag{σ 11,..., σ } 1/2 Σ diag{σ 11,..., σ } 1/2 Die Hauptdiagoale der Korrelatiosmatrix besteht ur aus Eise. diag{σ 11,..., σ } 1/2 = diag{ σ 11,..., σ } 1 ist Diagoalmatrix mit Stadardabweichuge als Diagoalelemete. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 36 / 41 Multivariate Normalverteilug Sei X eie Spaltevektor vo Zufallsvariable, X = (X 1,..., X, die gemeisam ormal verteilt sid. X N(µ, Σ µ = (µ 1,..., µ ist der Vektor der Erwartugswerte der X i. µ i = E(X i Σ = [σ ij ] ist die Kovariazmatrix des Vektors X. σ ij = E[(X i µ i (X j µ j ] Ma schreibt auch X MN(µ, Σ. (multivariat ormal Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 37 / 41 Beispiel Bivariate Normalverteilug Sei X ei Spaltevektor vo Zufallsvariable, X = (X 1, X 2, die gemeisam ormal verteilt sid ( = 2. X N(µ, Σ Die Erwartugswerte seie µ = (3, 5, die Kovariazmatrix Σ = [σ ij ] ist gegebe durch σ 11 = V(X 1 = 4, σ 22 = V(X 2 = 9 ud σ 12 = Cov(X 1, X 2 = 3. ( X 1 X 2 (( ( N, Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 38 / 41

13 Cholesky-Zerlegug der Kovariazmatrix Jede symmetrische, positiv defiite ( -Matrix Σ ka als Produkt eier utere Dreiecksmatrix L mit sich selbst zerlegt werde. Σ = L L Es gibt auch die Zerlegug Σ = L D L Hier ist L eie utere Dreiecksmatrix mit Eiser i der Hauptdiagoale. D ist eie Diagoalmatrix. Es gilt: L D = L. (Utere Diagoalmatrix heißt, dass die Elemete oberhalb der Hauptdiagoale sid Null. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 39 / 41 Erzeugug vo Normalverteilte Zufallsvektore Gesucht ist ei Vektor X mit X N(µ, Σ mit gegebeem µ ud Σ. Der Asatz ist X = L ǫ + µ mit Σ = L L ud ǫ N(0, I. 1 Bereche Cholesky-Faktor L der Kovariazmatrix Σ. 2 Geeriere beliebig viele Vektore ǫ der Läge mit de übliche Zufallszahlegeeratore für stadard-ormalverteilte uivariate Zufallszahle. 3 Eisetze i X = L ǫ + µ liefert multivariat ormalverteilte Vektore mit der gewüschte Kovariaz- bzw. Korrelatiosstruktur. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 40 / 41 Erzeugug vo Normalverteilte Zufallsvektore Warum fuktioiert die Methode? Der Erwartugswert vo X ist der gewüschte: da E(ǫ = 0 gilt. E(X = E(L ǫ + µ = L E(ǫ + µ = µ Die Kovariazmatrix vo X ist Σ: V(X = E[(X µ (X µ ] = E[(L ǫ (L ǫ ] = = E[(L ǫ (ǫ L ] = L E[ǫ ǫ ] L = L I L = L L = Σ X ist ormalverteilt, da jedes X i aus eier Liearkombiatio der ormalverteilte ǫ j gebildet wird. (Vgl. die Reproduktioseigeschaft Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 41 / 41