Streukreisberechnungen bei ballistischen Versuchen unter der zweidimensionalen Normalverteilungsannahme

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1 Streukreisberechuge bei ballistische Versuche uter der zweidimesioale Normalverteilugsaahme Prof. Dr. Adreas Rudolph Uiversität der Budeswehr Müche WE Mathematik ud Iformatik FB BW Werer-Heiseberg-Weg Neubiberg 5. Juli 11 Ihaltsverzeichis 1 Eileitug 1 Die zweidimesioale Normalverteilug 3 Die Defiitio eies Streukreises 3 4 Eie Awedug 6 1 Eileitug I diesem Dokumet wolle wir folgede Ausgagssituatio utersuche: Es soll auf eie Scheibe geschosse werde, bei der ei Ursprug mit de Koordiate µ = (µ 1 ; µ T festgelegt ist. Diese Scheibe stehe i eier festgelegte Etferug d. Eie Waffe soll aufgrud ihrer Visiereistellug so auf d eigeschosse sei, dass sie prizipiell i de Ursprug µ trifft, we ma aus der Etferug d auf die Scheibe schießt. Da die Waffe aufgrud vo Zufallseiflüsse icht bei jedem Schuss exakt i de Ursprug treffe ka, somit die Eischläge X i = (X i1 ;X i T für i = 1,..., um de Ursprug streue 1, uterstellt ma für die Verteilug der Zufallsvektore (siehe z. B. Hauck (198, S. 117 eie zweidimesioale Normalverteilug. 1 Wir fasse somit die Eischläge als zweidimesioale Zufallsvektore auf 1

2 Bei Sportschütze ud Jäger wird die Güte eier Waffe (auch der verschossee Muitio gere durch de sogeate Streukreis gemesse. Hiermit ergebe sich folgede Frage: 1. Wie soll ei derartiger Streukreis gemesse werde. ist ei Streukreis icht vielleicht iadäquat (d. h. köte es icht auch ei Ellipsoid sei, ud isbesodere 3. wie passe derartige geometrische Gebilde zu eier zweidimesioale Normalverteilugsaahme? Diese Fragestelluge wolle wir i de achfolgede Abschitte utersuche. Die zweidimesioale Normalverteilug Um die obige Fragestelluge beatworte zu köe, muss zuerst eie sogeate Verteilugsaahme getroffe werde. Hier uterstellt ma für die Koordiate X = (X 1,X T der Eischläge auf der Scheibe eie sogeate zweidimesioale Normalverteilug. Eie derartige zweidimesioale Normalverteilug ist durch ihre Dichte festgelegt. Sie lautet f(x 1,x = 1 (π det(σ exp( 1 (x µt Σ 1 (x µ mit x = (x 1 ;x T siehe Morriso (1976, S. 86 ff. Hierbei ist Σ die sogeate Kovariazmatrix, sie gibt die Abhägigkeite ierhalb des Zufallsvektors X a (d. h. zwische de beide Kompoete des Zufallsvektors ud ist eie symmetrische -Matrix, ud µ der Erwartugswertvektor, dieser gibt de Schwerpukt der Verteilug a, somit de Pukt auf der Scheibe, a dem sich die Eischläge kozetriere, ud ist damit ei zweidimesioaler Vektor. Allgemei besteht der Zufallsvektor eier multivariate Normalverteilug aus p Kompoete, damit ist die Kovariazmatrix Σ eie p p-matrix ud der Erwartugswertvektor µ ei p-dimesioaler Vektor. A de statistische Bedeutuge ädert sich allerdigs ichts. Ihre Dichte sieht da wie folgt aus f(x 1,...,x p = 1 (π p det(σ exp( 1 (x µt Σ 1 (x µ mit x = (x 1,...,x p T Die Dichte diet dazu, gegebeefalls die Wahrscheilichkeit auszureche, dass sich ierhalb eies Rechtecks [a 1 ;b 1 ] [a ;b ] Eischläge befide (dazu müsse allerdigs die Kovariazmatrix Σ ud der Erwartugswertvektor µ bekat sei oder zumidest vorab geschätzt worde sei. Hierzu wird das folgede Doppelitegral ausgewertet:

3 Prob((X 1,X [a 1 ;b 1 ] [a ;b ] = b 1 b a 1 a f(x 1,x dx dx 1 Die Dichte der zweidimesioale Normalverteilug hat i etwa folgedes Aussehe: 3 Die Defiitio eies Streukreises Die aalytische Defiitio eies Kreises mit Mittelpukt µ = (µ 1 ; µ T ud Radius r ist gegebe durch K = {x R (x 1 µ 1 +(x µ r } mit x = (x 1 ;x T oder K = {x R (x 1 µ 1 r + (x µ r 1} Eie leichte Verallgemeierug des Kreises ist das Ellipsoid mit de Halbachse a ud b: E = {x R (x 1 µ 1 a + (x µ b 1} Defiiert ma eie positiv defiite symmetrische Matrix Σ durch ( r Σ = r da ka ma de Kreis auch bequem mit Hilfe dieser Matrix schreibe 3

4 K = {x R (x µ T Σ 1 (x µ 1} Im Fall eies Ellipsoide geschieht dies mit eier Matrix so dass ( a Σ = b E = {x R (x µ T Σ 1 (x µ 1} Wir uterstelle u vorab, dass die Eischläge X = (X i1 ;X i T für i = 1,..., auf der Scheibe uabhägige ud idetisch verteilte zweidimesioale ormalverteilte Zufallsvektore mit Erwartugswertvektor µ = (µ 1 ; µ T ud Kovariazmatrix ( r Σ = r sid. Damit besteht die Aufgabe, de Erwartugswertvektor µ ud i der Kovariazmatrix r zu schätze. Hierzu köe wir die Methode der Maximum-Likelihood-Schätzug awede. Die gemeisame Dichte ist durch das Produkt der Eizeldichte gegebe, wir erhalte deshalb Hieraus folgt weiter ( ( 1 f(x 1,...,x ; µ,r 1 = exp( 1 π det(σ ( 1 ( 1 = π r exp( 1 r x i µ (x i µ T Σ 1 (x i µ l( f(x 1,...,x ; µ,r = l(π l(r 1 r x i µ Die partielle Ableitug ach µ ergibt da l( f µ welche, Null gesetzt, als Schätzer für µ ergibt = 1 r (x i µ 4

5 ˆµ = x = 1 x i Die partielle Ableitug ach r ergibt l( f r = 1 r + 1 r 4 x i µ Wir setze diese partielle Ableitug ebefalls gleich Null ud erhalte zusamme mit dem Schätzer für µ: rˆ = 1 x i ˆµ Damit sid die Schätzer für die Bestimmugsgröße eies Kreises mit Mittelpukt µ ud Radius r festgelegt. Wir köe diese Vorgehesweise leicht auf de Fall eier Ellipse verallgemeier. I diesem Fall setze wir für die Kovariazmatrix a ( a Σ = b Wir erhalte i aaloger Weise als Schätzer für de Erwartugswertvektor ˆµ = x = 1 ( x1 x i = x ud etspreched durch Bildug der partielle Ableituge ach a ud b : ud aˆ = 1 (x i1 x 1 bˆ = 1 (x i x Ma muss hier sehe, dass ma hierbei uterstellt, dass bis hierher aus statistischer Sicht die Kompoete des Zufallsvektors als stochastisch uabhägig ageomme werde. Die Halbachse der Ellipse werde demzufolge als achseparallel zu de Koordiateachse ageomme. 5

6 Ka ma dies icht mehr voraussetze. da bleibt ichts aderes mehr übrig, als die gesamte Kovariazmatarix Σ zu schätze. Der gesuchte Maximum-Likehood-Schätzer ergibt sich i diesem Fall zu ˆΣ = 1 (x i x(x i x T siehe hierzu z. B. Muirhead (198, S. 18 ff. Die zugehörige Ellipse wird da gegebeefalls schräg zu de Koordiateachse liege. 4 Eie Awedug Hier ei Datesatz, bei dem 1 Schuss auf die Scheibe abgegebe wurde (Etferug 1 Meter, Kaliber.38 TIG: x-koordiate i mm y-koordiate i mm ,1 Damit ist der Schwerpukt gleich x = ( 6,6; 5,39 T. Für die Schätzug vo r erhalte wir da ˆ r = 69,78 somit geschätzt eie Kreis vom Radius vo 6,3 mm. Dies sieht da wie folgt aus: 6

7 Literatur J. Hartug ad B. Elpelt. Multivariate Statistik. Oldebourg, G. Hauck. Der Flug ugelekter Geschosse ud Rakete. Militärverlag der Deutsche Demokratische Republik, 198. D. F. Morriso. Multivariate Statistical Methods. McGraw-Hill Book Compay, R. J. Muirhead. Aspects of Multivariate Statistical Theory. Wiley,

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