3 Schließende Statistik im Normalverteilungsmodell

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1 3 Schließede Statistik im Normalverteilugsmodell 3.1 Kurze Erierug a Schätze ud Teste i parametrische Modelle Sei X 1,..., X eie Stichprobe uabhägig idetisch verteilter ZVe mit Verteilug F θ, ud Dichte f θ, θ Θ, Θ R k offe, ud X = (X 1,..., X ) die zugehörige Datematrix. Defiitio 3.1. Scorefuktio, Fisher-Iformatio Die Score-Fuktio s : R k R k ist der Gradiet der Log-Likelihood. ( ) s(θ; X) = θ log L(θ; X) = θ log 1 f θ (X i ) = f θ (X i ) θ f θ(x i ) Erierug 1: die Likelihood L(θ; X) ist die gemeisame Dichte der Date iterpretiert als Fuktio des ubekate Parameters θ. Erierug 2: der Gradiet φ eier Fuktio φ : R k R ist der Vektor der partielle Ableituge als Spalte geschriebe, also ψ(x) = (Dψ(x)).) Die Iformatiosmatrix vo Fisher ist die Kovariazmatrix F = Var(s(θ; X)). Bemerkug 3.2. Für X 1,..., X uabhägig idetisch verteilt gilt F = F 1. Beispiel 3.3. Sei F θ = N d (µ, I d ), d.h. θ = µ, Θ = R d. ( s(θ; X) = µ log (2π) 2d exp = (X i µ) = (X µ) 1 2 (X i µ) (X i µ) }) F = Var ( (X µ) ) = I d 35

2 Satz 3.4. (Cramér-Rao) Für jede uverzerrte Schätzer T = T(X) vo θ gilt uter Regularitätsbediguge Var(T ) F 1. Gilt =, so et ma de Schätzer T effiziet. Satz 3.5. Seie X 1,..., X i.i.d. mit Verteilug F θ. Sei ˆθ = arg max θ Θ der ML-Schätzer für θ. Da gilt uter Regularitätsaahme log L(θ; X) a) d ( ) (ˆθ θ) N d 0, F 1, 1 d. h. der ML-Schätzer ist asymptotisch uverzerrt, effiziet ud ormalverteilt. b) (ˆθ θ) ˆ F 1 (ˆθ θ) d χ 2 d, wobei ˆ F 1 ei kosisteter Schätzer vo F 1 ist. Daher ist θ : (ˆθ θ) } Fˆ 1 (ˆθ θ) χ 2 d;1 α ei asymptotisches Kofidezellipsoid für θ zum Niveau 1 α. Seie Θ 0, Θ 1 Θ ud Θ 0 Θ 1 =. Wir möchte H 0 : θ Θ 0 gege H 1 : θ Θ 1 teste. Der Likelihood-Quotiete-Test (LRT) leht H 0 ab, falls der Likelihood- Quotiet (LR) LR(Θ 0, Θ 1 ; X) = max L(θ; X) θ Θ 0 max L(θ; X) θ Θ 1 kleie Werte aimmt. Häufig betrachtet ma statt LR(Θ 0, Θ; X) die mooto (falled) trasformierte Teststatistik λ(θ 0, Θ 1 ; X) = 2 log LR(Θ 0, Θ 1 ; X) ( ) = 2 max log L(θ, X) max log L(θ, X). θ Θ 1 θ Θ 0 H 0 wird für große Werte vo λ abgeleht. 36

3 Satz 3.6. Sei Θ 0 ei m-dimesioaler Uterraum vo Θ R k ud Θ 1 = Θ \ Θ 0. Da gilt uter Regularitätsbediguge λ(θ 0, Θ 1 ; X) d χ 2 k m für alle θ Θ 0 (also uter H 0 ). Damit ergibt sich für de LRT der asymptotische Ablehugsbereich R = X : λ(θ 0, Θ 1 ; X) > χ 2 k m;1 α}. 3.2 Schätze Das Normalverteilugsmodell Im Folgede betrachte wir folgedes statistisches Modell } N d (µ, Σ) µ R d, Σ R d d symmetrisch, positiv defiit Vorlesug Der Parameter i diesem Modell ist θ = (µ, Σ). Da Σ symmetrisch ist, ist der Parameter eigetlich k = d + d(d + 1)/2 dimesioal. Der eigetliche Parametervektor ist θ = (µ 1,..., µ d, σ 11, σ 21,..., σ d1, σ 2,2,..., σ d,2,..., σ dd ) R d(d+3)/2. Diese Symmetrie-Redudaz i der Darstellug θ = (µ, Σ) ist icht problematisch, aber lästig, we ma z. B. ach θ ableite möchte. Ei Versuch, de Parameter-Raum präzise azugebe: Sei v : R d d R d(d+1)/2 folgedermaße defiiert: v(a) ist der d(d + 1)/2-stellige Vektor, der etsteht, idem ma die Spalte vo A übereiader schreibt ud die Über-Diagoal-Elemete rausstreicht. Da bezeiche v 1 die Umkehrabbildug, so dass die etstehede Matrix symmetrisch ist. Da ist } Θ = R d σ R d(d+1)/2 v 1 (σ) ist positiv defiit R d(d+3)/2. Diese Mege ist tatsächlich offe i R d(d+3)/2. 37

4 Satz 3.7. Maximum-Likelihood-Schätzer Seie X 1,..., X uabhägig, N d (µ, Σ). die Log-Likelihood: log L(µ, Σ; X) = 1 2 ML-Schätzer für µ: ˆµ = X, ML-Schätzer für Σ: ˆΣ = 1 l(det(2πσ)) + (X i X)(X i X). Erierug: ˆΣ ist ei verzerrter Schätzer für Σ: Es gilt E( ˆΣ) = 1 E(S) = 1 Σ. (X i µ) Σ 1 (X i µ) }, Beispiel 3.8. Körpergröße ud Gewicht (Fortsetzug vo Bsp. 1.2) Sei X = (X 1, X 2 ) N 2 (µ, Σ) mit µ ud Σ ubekat. Stichprobe x 1,..., x 100 }, x i = (x i1, x i2 ) (Größe, Gewicht Perso i). Schätzug für µ: x = 1 x i = (174.9, 76.7), Schätzuge der Kovariazmatrix: ˆΣ = S = Satz 3.9. Seie X 1,..., X,... uabhägig, idetisch verteilt mit edliche zweite Momete. Da gilt (X µ) d N d (0, Σ). Gilt zusätzlich X i N d (µ, Σ), da (X µ) Nd (0, Σ) ( also X Nd (µ, 1 Σ) ). 38

5 Bei der Kovariazmatrix stoße wir auf die Wishart-Verteilug: Satz Sei X die Datematrix vo uabhägige Realisieruge eier N d (0, Σ)-Verteilug ud C eie symmetrische ( )-Matrix. Da: X CX λ i W d (Σ, 1), wobei λ 1,..., λ die EW d vo C sid. X CX ist geau da Wishart-verteilt, we C 2 = C. Da: X CX W d (Σ, r), wobei r = Rag(C) = Spur(C). Satz Seie X 1,..., X uabhägig, N d (µ, Σ). Da gilt a) X ud S sid uabhägig, b) ˆΣ = ( 1)S = X H X W d (Σ, 1), c) ( 1)(X µ) ˆΣ 1 (X µ) = (X µ) S 1 (X µ) T 2 (d, 1). Bemerkug Die letzte Aussage lässt sich äquivalet formuliere: d (X µ) ˆΣ 1 (X µ) F d, d. d Korollar Seie X 1,..., X uabhägig, N d (µ, Σ), Sei Y i = AX i, i = 1,...,, für eie (k d)-matrix mit k d ud Rag(A) = k. Da gilt: Y N k (Aµ, 1 AΣA ), ˆΣ Y W k (AΣA, 1), ( 1)(Y Aµ) (A ˆΣ X A ) 1 (Y Aµ) T 2 (k, 1). 3.3 Teste Test Test auf de Erwartugswert µ für Σ bekat Parametrisches Modell: N d (µ, Σ) µ R }, d d. h. θ = µ, Θ = R d Vorlesug 39

6 H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ = µ 0 Lehe H 0 zum Sigifikaz-Niveau α ab, falls ˆT = (X µ 0 ) Σ 1 (X µ 0 ) > χ 2 d;1 α Herleitug 1: Uter H 0 : X N d (µ 0, 1 Σ). Σ 1/2 (X µ 0 ) N d (0, I d ) (X µ 0 ) Σ 1 (X µ 0 ) χ 2 d. Herleitug 2: Das ist der LRT. Θ 0 = µ 0 } ist hier 0-dimesioal. Log-Likelihood: } log L(µ; X) = 1 2 K + (X i µ) Σ 1 (X i µ) (K steht für Kostate; hägt icht vo µ ab). LR-Teststatistik: ( ) ˆT = λ(θ 0, Θ 1 ; X) = 2 max log L(θ, X) max log L(θ, X) θ Θ 1 θ Θ 0 ( } = 2 max 1 µ R d \µ 0 } 2 K 1 2 (X i µ) Σ 1 (X i µ) } 1 2 K 1 ) (X i µ 2 0 ) Σ 1 (X i µ 0 ) = = (X i µ 0 ) Σ 1 (X i µ 0 ) mi (X i µ 0 ) Σ 1 (X i µ 0 ) = (X µ 0 ) Σ 1 (X µ 0 ) Da ach Satz 3.6: ˆT µ R d (X i µ) Σ 1 (X i µ) (X i X) Σ 1 (X i X) d χ 2 d. Hier gilt sogar., 40

7 Bemerkug Sehr ützlich ud i 3.14 verwedet: Für alle µ R d gilt: (x i µ) Σ 1 (x i µ) = (x i x) Σ 1 (x i x) + (µ x) Σ 1 (µ x) Test Test auf de Erwartugswert für Σ ubekat Seie X 1,..., X uabhägig, N d (µ, Σ). H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ = µ 0 Lehe H 0 zum Sigifikaz-Niveau α ab, falls ˆT = ( 1)(X µ 0 ) ˆΣ 1 (X µ 0 ) > T 2 1 α(d, 1) = oder (äquivalet dazu) falls d (X µ d 0 ) ˆΣ 1 (X µ 0 ) > F d, d;1 α ( 1)d d F d, d;1 α Herleitug: siehe Satz Beispiel Gefälschte Bakote 100 echte (e) ud 100 falsche ( f ) Schweizer Bakote, 6 Variable: X 1 : Läge, X 2 : like Höhe, X 3 : rechte Höhe, X 4 : Abstad Rahme - uterer Rad, X 5 : Abstad Rahme - oberer Rad, X 6 : Diagoalläge ieres Bild Der Mittelwertsvektor der echte Bakote ist µ 0 = x e = (214.9, 129.9, 129.7, 8.3, 10.1., 141.5). 41

8 Wir wolle teste, ob dies der ubekate Erwartugswertvektor µ f der gefälschte Bakote sei ka, also H 0 : µ f = µ 0 vs. H 1 : µ f = µ 0 Eriug: x f = (214.8, 130.3, 130.2, 10.5, 11.1, 139.4) ˆΣ f = Die Teststatistik ˆT = ( 1)(x µ 0 ) ˆΣ 1 f (x µ 0 ) = 7288 ist deutlich größer als T (6, 99) = F 6,94;0.95 = H 0 wird zum Sigifikaz-Niveau 0.05 abgeleht. Hier wurde icht µ f = µ e getestet! Bemerkug Kofidezellipsoid zum Niveau 1 α: } µ : ( 1)(x µ) ˆΣ 1 (x µ) T1 α 2 (d, 1) = Kofidezitervall für a µ: 1(a x a µ) T(a) = a ˆΣa t 1;1 α/2 42 µ : (x µ) ˆΣ 1 (x µ) d d F d, d;1 α }

9 Aus max a T 2 (a) = ( 1)(X µ) ˆΣ 1 (X µ) T 2 (d, 1) ergibt sich ei simultaes Kofidezitervall für alle a µ, a R d : 1(a x a µ) a ˆΣa T1 α 2 (d, 1) Beispiel Gefälschte Bakote 95% Kofidezellipsoid für µ f : µ R 6 : (µ x f ) ˆΣ 1 f (µ x f ) 6 } 94 F 6,94;0.95 Simultae Kofidezitervalle (1 α = 95%): µ µ µ µ µ µ µ 4 µ Test Test auf die Kovariazmatrix Σ H 0 : Σ = Σ 0 vs. H 1 : Σ = Σ 0 Lehe H 0 zum Niveau α ab, falls ˆT = Spur(Σ 1 0 wobei p = d(d + 1)/2. ˆΣ) l det(σ 1 0 ˆΣ) d } > χ 2 p;1 α, 43

10 Herleitug: LRT; Erierug (Satz 3.6): ( ) λ(h 0, H 1 ; X) = 2 max log L(θ, X) max log L(θ, X) H 1 H 0 wobei hier log L(µ, Σ; X) = 1 2 l(det(2πσ)) + d χ 2 k m, (X i µ) Σ 1 (X i µ) Daher (vgl. Test 3.14) max log L(θ, X) = } l(det(2πσ 0 )) + Spur( ˆΣ Σ0 1 H 0 2 ) ud (vgl. Satz 3.7) max log L(θ, X) = } l(det(2π ˆΣ)) + d. H 1 2 }, Vorlesug Beispiel Idustriesektore (Datesatz U.S. Compaies) Eergiesektor ( = 15), Vermöge (Assets) X 1, Umsatz (Sales) X 2 ; X = 4084 ˆΣ = Teste Hypothese H 0 : Σ = Σ 0 = (Σ 0 ist die empirische Kovariazmatrix des Produktiossektors.) Teststatistik ˆT = , wird vergliche mit dem kritische Wert χ 2 3;0.95 = (p-wert ) H 0 wird akzeptiert. 44

11 Lieare Restriktioe Test Lieare Hypothese a µ (Σ bekat oder ubekat) Sei C R k d mit Rag k, a R k : H 0 : Cµ = a vs. H 1 : Cµ = a Wir setze Y i = CX i N k (µ Y, Σ Y ) mit µ Y = Cµ ud Σ Y = CΣ X C ud erier a Korrolar Für Σ bekat: (CX a) (CΣ X C ) 1 (CX a) H 0 χ 2 k Für Σ ubekat: ( 1)(CX a) (C ˆΣ X C ) 1 (CX a) H 0 T 2 (k, 1) oder (äquivalet dazu): k (CX a) (C ˆΣ X C ) 1 (CX a) H 0 F k, k k Beispiel Gefälschte Bakote Sid die mittlere Abstäde vom Bild zum obere Rad ud zum utere Rad bei de gefälschte Bakote gleich? H 0 : µ 4 = µ 5 vs. H 1 : µ 4 = µ 5 Formulierug als Cµ = a mit C = (0, 0, 0, 1, 1, 0), a = 0: ˆT 99 = 99(CX f ) ( C ˆΣ f C ) 1 CX f = > = F 1,99;0.95 H 0 wird abgeleht. 45

12 Beispiel Zweistichprobetest bei gleicher Stichprobegröße Datesituatio: X 1,..., X N d (µ 1, Σ 1 ), Y 1,..., Y N d (µ 2, Σ 2 ) iid. Formulierug als eie Stichprobe: Z i = X i N 2d µ 1, Σ 1 0, Y i 0 Σ 2 µ 2 Hypothese H 0 : µ 1 = µ 2 (vs. H 1 : µ 1 = µ 2 ) wird formuliert als Cµ = a mit µ = µ ] 1 R 2d, C = [I d I d R d 2d, a = 0 d R d µ 2 Awedug vo Test 3.22: (uter H 0 ) wobei ˆT = ( 1)(X Y) ( ˆΣ X + ˆΣ Y ˆΣ X,Y ˆΣ Y,X ) 1 (X Y) T 2 (d, 1), ˆΣ Y,X = ˆΣ X,Y = 1 Alterativ: (uter H 0 ) (X i X)(Y i Y). ( 1)(X Y) ( ˆΣ X + ˆΣ Y ) 1 (X Y) d χ 2 d. iid. Beispiel Gefälschte Bakote Sid die gemessee Läge bei de echte ud gefälschte Bakote im Schitt gleich, d. h. µ f = µ e. µ = (µ e, µ f ) = (214.9,129.9,129.7,8.3,10.1.,141.5,214.8,130.3,130.2,10.5,11.1,139.4) Teststatistik: ˆT = 99 (X e X f ) ( ˆΣ e + ˆΣ f ˆΣ e, f ˆΣ f,e ) 1 (X e X f ) = 2507 > = T0.95(6, 2 99) H 0 wird abgeleht. 46

13 Beispiel G. P. Frets: Geetica 3, 1921, S (Verfügbar i R im Package SMPracticals) Messug der Schädelläge (l1,l2) ud -breite (b1,b2) der erste beide Söhe vo = 25 Familie i mm. l b1 l b2 Wir teste auf Uterschiede zwische Erst- ud Zweitgeboree. Die Erstgeboree: x = (185.72, ), die Zweitgeboree: y = (183.84, ) T 2 = (1.88, 1.88) = < = d( 1) = d( 1) 2 F d, d;

14 Beispiel Wiederholte Messuge d Messuge a uabhägige Versuchsobjekte (z. B. Patiete kriege d verschiedee Medikamete) Messuge für i-tes Versuchsobjekt: X i = (X i1,..., X id ) N d (µ, Σ) H 0 : µ 1 =... = µ d vs. H 1 : i, j : µ i = µ j Hierzu: H 0 : Cµ = 0 mit C = Teststatistik (vgl. 3.22, k = d 1): ˆF = ( d + 1) X C (C ˆΣC ) 1 CX H 0 F d 1; d+1 d 1 Kotraste: Vektore b R d mit b 1 = 0 z.b. für d = 3: b = (1, 1, 0) oder b = (1, 0.5, 0.5). Für beliebiges a R d 1 ist a C ei Kotrast. R (d 1) d Simultae Kofidezitervalle: ( ) P a Cµ a CX ± d 1 d + 1 F d 1, d+1;1 αa C ˆΣC a a R d 1 = 1 α Beispiel Vokabeltests für = 40 Kider vo 8. bis 11. Klasse (d = 4)(vgl. Bock 1975) H 0 : µ 1 =... = µ 4 vs. H 1 : i, j : µ i = µ j (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1.086, 2.544, 2.851, 3.420) ˆΣ =

15 C wie im vorige Beispiel vergleicht aufeiaderfolgede Jahre. ˆF = ist hoch sigifikat für F 3;37 = Simultae Kofidezitervalle zum Niveau 95%: µ 1 µ µ 2 µ µ 3 µ µ 1 µ 2 + µ 3 + µ µ 2 µ Zwei-Stichprobe-Tests Test Erwartugswertvergleich bei gleicher Variaz Σ 1 = Σ 2 Seie X 1,..., X 1, Y 1,..., Y 2 uabhägige ZVe mit X i N d (µ 1, Σ), Y i N d (µ 2, Σ). H 0 : µ 1 = µ 2 vs. H 1 : µ 1 = µ 2 H 0 wird zum Niveau α abgeleht, falls ˆT = 1 2 ( ) ( ) 2 (X Y) ˆΣ 1 (X Y) > T 2 1 α(d, ) oder (alterative Formulierug) falls ˆF = 1 2 ( d 1) d( ) 2 (X Y) ˆΣ 1 (X Y) > F d,1 + 2 d 1;1 α, wobei ˆΣ = ( ) 1 ( 1 ˆΣ ˆΣ 2 ). 49

16 Herleitug: Sei δ = µ 1 µ 2. Stichprobevariable: X, Y ud ˆΣ i, i = 1, 2. ( X Y N d δ, ) Σ 1 2 ( ) ˆΣ = 1 ˆΣ ˆΣ 2 W d (Σ, ) Mit Satz 3.11: ( ) ( ) 2 (X Y δ) ˆΣ 1 (X Y δ) T 2 (d, ) Simultae (1 α)-kofidezitervalle für a δ: a δ a d( (X Y) ± ) ( d 1) F d, d 1;1 αa ˆΣa isbesodere für a = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (jte Kompoete): d( δ j (X j Y j ) ± ) ( d 1) F d, d 1;1 α ˆσ jj 10.Vorlesug Beispiel Idustriesektore Vermöge ud Umsatz im Eergiesektor ( 1 = 15): (X 1,1, X 1,2 ),..., (X 10,1, X 10,2 ), im Produktiossektor ( 2 = 10): (Y 1,1, Y 1,2 ),..., (Y 10,1, Y 10,2 ) x = 4084, y = , ˆΣ 1 = , ˆΣ = ˆF = < F 2,22;0.95 = ˆΣ 2 = H 0 wird zum Niveau 5% akzeptiert. Simultae Kofidezitervalle: µ 1,1 µ 2, µ 1,2 µ 2,

17 Beispiel Gefälschte Bakote (Wir tu so, also ob echte ud gefälschte Bakote die gleiche Kovariazmatrix hätte.) Simultae Kofidezitervalle für die Differeze der kompoeteweise Mittelwerte: δ δ δ δ δ δ Test Erwartugswertvergleich, verschiedee Variaze: Σ 1 = Σ 2 Seie X 1,..., X 1, Y 1,..., Y 2 uabhägige ZVe mit X i N d (µ 1, Σ 1 ), Y i N d (µ 2, Σ 2 ). Erierug: im Fall 1 = 2 = : siehe Bsp Jetzt allgemei für uterschiedliche Stichprobegröße. (für 1 ud 2 groß) H 0 : µ 1 = µ 2 vs. H 1 : µ 1 = µ 2 Lehe H 0 zum Niveau α ab, falls (X Y) ( 1 1 ˆΣ ˆΣ 2 ) 1 (X Y) > χ 2 d;1 α Herleitug: Mit δ = µ 1 µ 2 ist X Y N d (δ, 1 1 Σ Σ 2) 51

18 Daher (X Y) ( 1 1 Σ Σ 2) 1 (X Y) χ 2 d ud mit Slutsky-Lemma (X Y) ( 1 1 ˆΣ ˆΣ 2 ) 1 (X Y) d χ 2 d für Test Vergleich vo Kovariazmatrize Sei X j,i N d (µ j, Σ j ) uabhägig, j = 1,..., g, i = 1,..., j (g Gruppe). H 0 : Σ 1 =... = Σ g, H 1 : Σ 1,..., Σ g beliebig Lehe H 0 zum Niveau α ab, falls ˆT = l det( ˆΣ) g j l det( ˆΣ j ) > χ 2 (g 1)d(d+1)/2;1 α, j=1 wobei ˆΣ j Kovariazschätzug vo Gruppe j = 1,..., g ud ˆΣ = 1 g j=1 j ˆΣ j. Beispiel Eergie- vs. Produktiossektor (Variable Vermöge ud Umsatz) H 0 : Σ E = Σ Prod ˆT = , 95%-Quatil vo χ 2 3 = 7.81 (p-wert = 0.82). H 0 wird akzeptiert. 52

19 Beispiel Gefälschte Bakote H 0 : Σ e = Σ f ˆT = 127.9, 95%-Quatil vo χ 2 3 H 0 wird abgeleht. = 32.7 (p-wert = 0.0). Test Profile aalysis (Lieare Hypothese im Zwei-Stichprobe-Fall) d wiederholte Messuge für zwei Gruppe j = 1, 2 mit j Idividue z.b. Blutdruck i Behadlugs- ud Kotrollgruppe X ji N d (µ j, Σ) uabhägig, j = 1, 2, i = 1,..., j Grudlegede Frage: a) Sid die beide Profile parallel? (gleicher Verlauf auf verschiedee Niveaus) H 0 : C(µ 1 µ 2 ) = 0 C = T 2 = ( ) 2 ( )(X Y) C (C ˆΣC ) 1 C(X Y) H 0 T 2 (d 1, ) b) We die Profile parallel sid, sid sie gar gleich? H 0 : 1 (µ 1 µ 2 ) = 0 ( 1 (X Y) N 1 (µ 1 µ 2 ), ) Σ

20 ( )1 ˆΣ1 W 1 (1 Σ1, ) T = ( ) 2 ( )[1 (X Y)] 2 (1 ˆΣ1) 1 H 0 T 2 (1, ) c) We die Profile parallel sid, sid sie horizotal? H 0 : C(µ 1 + µ 2 ) = 0 X = 1 ( 1 X X 2 ) N d ( 1 ( 1 µ µ 2 ), 1 Σ) H 0 CX Nd (0, CΣC ) T 2 = ( )X C (C ˆΣC ) 1 CX H 0 T 2 (d 1, ) Beispiel Wechsler Erwachsee Itelligezskala (Morriso, 1990) Vergleichstests geetisch verschiedeer Persoegruppe ( 1 = 37, 2 = 12) Wisse X 1, Zuordug X 2, Reche X 3, Bildvervollstädigug X 4 (etspreched Y i, i = 1,..., 4 für Gruppe 2) x = (12.57, 9.57, 11.49, 7.97) y = (8.57, 5.33, 8.50, 4.75) ˆΣ 1 = ˆΣ 2 = Die Teststatistike samt p-werte für die drei Fragestelluge aus 3.36: F 1 = , p 1 = 0.71, F 2 = 17.21, p 2 = 10 4, F 3 = 53.32, p 3 =