3.2 Wilcoxon Rangsummentest

Transkript

1 3. Wilcoxo Ragsummetest Wir gehe davo aus, dass zwei Teilstichprobe x 1, x,..., x 1 ud y1, y,..., y vorliege, wobei die erste Teilstichprobe aus Realisieruge vo uabhägig ud idetisch stetig verteilte Zufallsvariable X 1,X,..., X mit der Verteilugsfuktio F 1 1 besteht ud aalog die zweite Teilstichprobe aus Realisieruge vo uabhägig ud idetisch stetig verteilte Zufallsvariable Y,Y,..., mit der Verteilugsfuktio F. Die Zufallsvariable 1 Y beider Teilstichprobe solle auch uabhägig voeiader sei. Bei diesem Test geügt es, we das Dateiveau midestes ordial ist. Es werde die folgede Hypothese getestet: H 0 : F 1 (z) = F (z) für alle z gege H 1 : F 1 (z) F (z) für midestes ei z Wie verwede die folgede Date im Beispiel: v1 v 5 19, ,1 14,5 3,5 13,5 18 Nach der Dateeigabe köe Sie de Butto Vergleich zweier uverbudeer Teilstichprobe aklicke, wobei Sie zuvor die beide Variable v1 ud v uter diesem Meüpukt auswähle müsse. Seite 11

2 Daach köe Sie Ragsummetest - uverbudee Teilstichprobe auswähle ud erhalte de folgede Output: Ragsummetest für zwei uverbudee Stichprobe H0: Die beide Verteilugsfuktioe sid idetisch gege H1: Die beide Verteilugsfuktioe sid icht idetisch Hier ist u.a. die eigegebee Stichprobe zu sehe: Stichprobe 1 (x i ) Rag(x i ) Stichprobe (y i ) Rag(y i ) Umfag 1. Teilstichprobe (m) 5 Umfag. Teilstichprobe () 4 Summe der Teilstichprobeumfäge (+m) Ragsumme erste Teilstichprobe (w) 34 Ragsumme zweite Teilstichprobe 11 E(W) 5 Var(W) p-wert (approximiert (1) ) (1) Approximierte p-wert für m+ > 5. 9 Bei diesem Test werde die Räge für beide Teilstichprobe zusamme vergebe, d.h. ma vergibt die Räge wie für eie große Stichprobe x 1, x,..., x, y 1 1, y,..., y. Die Ragzahle sid auch i der obige Tabelle zu sehe. Seite 113

3 Ma immt da die Ragsumme der erste Teilstichprobe als Prüfgröße: w 1 i1 Rag(x i ) Im Beispiel ist w = 34. Hieraus ka auch die Ragsumme der zweite Stichprobe berechet werde, de es gilt: i1 1 Rag(x i ) Rag(yi ) i1 ( 1) E(W) = 1 (+1)/ Var(W) = ( 1) k j1 t j (t j 1)(t j 1) Falls keie Biduge vorkomme, wie i userem Beispiel, da gilt: k j1 t (t 1)(t 1 = 0 j j j ) Die Liste der t j (mit j = 1,,, k) ethält im Beispiel ur Eise, de es komme keie Werte mehrfach vor bzw. es sid keie Biduge vorhade. Die Werte t j sid die absolute Häufigkeite der Werte der große Stichprobe x 1, x,..., x, y 1 1, y,..., y (siehe Kapitel 1.5). Im Beispiel ist E(W) = 5 ud Var(W) = 16, 6. Seite 114

4 Es wird ei approximativer p-wert ausgegebe, da z k E(W) Var(W) asymptotisch stadardormalverteilt ist: p-wert = (1-F N(0,1) ( z )) Hier sollte 1 + > 5 sei. Im Beispiel ist p-wert 0,075. I Bücher wie z.b. i [3], [8] ud [9] fidet ma Tabelle der exakte Verteilug für de Fall, das keie Biduge vorliege. Bei der Bestimmug der exakte Verteilug müsste ma alle 1 -elemetige Teilmege aus der Mege der Ragzahle { Rag(x1), Rag(x ),..., Rag(x ),Rag(y ), Rag(y ),..., Rag(y )} 1 1 ziehe ud die Summe über die Elemete dieser Teilmege bilde. Die relative Häufigkeite der Summade sid gleich die exakte Wahrscheilichkeite. Der kleiste Werte, de w aehme ka, der würde sich ergebe, we ur die Zahle vo 1 bis 1 Ragzahle der erste Stichprobe wäre. I diesem Falls wäre w = = 1 ( 1 + 1)/ = 15. De größte Wert für w ergibt sich, we i die erste Stichprobe die Ragzahle vo 1 bis falle: w = ( + 1) + ( + ) + + = ( + 1)/ - ( + 1)/ = 35. Es folgt die Tabelle der exakte Verteilug vo W i userem Beispiel: w P(W = w) P(W w) 15 0, , , , , , , , Seite 115

5 w P(W = w) P(W w) 19 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,7 8 0, , , , , , , , , , , , , , , Der exakte p-wert im Beispiel ergibt sich da wie beim Biomialtest: p-wert = mi{ P(W 34), P(W 34), 1} Es gilt: P(W 34) = 0,9963 P(W 34) = 1 - P(W 33) = = 0,01587 Also gilt: p-wert = P(W 34) 0,0317. Somit köte die Nullhypothese auf eiem Sigifikaziveau vo 5% verworfe werde, womit es eie sigifikate Uterschied zwische de beide Verteiluge F 1 ud F gibt. Seite 116

6 Umsetzug mit SAS: data dat1; iput x y; datalies; ru; proc par1way data = dat1 wilcoxo; class x; var y; ru; SAS-Output zur Prozedur NPAR1WAY: Die Prozedur NPAR1WAY Wilcoxo-Scorewerte (Ragsumme) für Variable y Klassifiziert ach Variable x x N Summe der Scorewerte Erwartet uter H0 Std.abw. uter H0 Mittelwert- Score Wilcoxo Zwei-Stichprobetest Statistik Normale Approximatio Seite 117

7 Wilcoxo Zwei-Stichprobetest Z Eiseitige Pr < Z Zweiseitige Pr > Z t-approximatio Eiseitige Pr < Z Zweiseitige Pr > Z Z ethält Kotiuitätskorrektur vo 0,5. Kruskal-Wallis-Test Chi-Quadrat DF 1 Pr > Chi-Quadrat Seite 118