Stochastik im SoSe 2018 Übungsblatt 2

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1 Stochasti im SoSe 2018 Übugsblatt 2 K. Paagiotou/ L. Ramzews / S. Reisser Lösuge zu de Aufgabe. Aufgabe 1 Eie Ure ethält B blaue, R rote ud G grüe Bälle. Wir ziehe eie Teilmege mit geau Bälle aus der Ure, ud ehme a, dass jede solche Teilmege mit der gleiche Wahrscheilicheit gezoge wird. a Wie groß ist die Wahrscheilicheit, dass wir geau r rote Bälle ziehe? Was ist die zugehörige Verteilug? b Wie groß ist die Wahrscheilicheit, dass wir geau r rote ud geau b blaue Bälle erhalte? c Verallgemeier Sie das Ergebis aus b auf de Fall, dass i der Ure 1 Bälle mit Farbe 1,..., f Bälle mit Farbe f ethalte sid. Lösug. a Die Azahl der gezogee Bälle, die rot sid, ist eie gaze Zahl zwische 0 ud. Wir wähle Ω {0, 1,..., }. Für r Ω gibt es ( R r Möglicheite r rote Bälle zu wähle, ( B+G r Möglicheite r blaue oder grüe Bälle zu wähle, ud isgesamt Möglicheite Bälle zu wähle. Wir erhalte: ( R ( B+G r r P ({r}, r Ω. Es hadelt sich um die Hypergeometrische Verteilug mit Parameter R, B + G ud. b Die Gesamtazahl der gezogee Bälle, die rot oder blau sid, ist eie gaze Zahl zwische 0 ud. Wir wähle Ω {(r, b : r, b, r + b {0,..., }}, ud eie ähliches Zählargumet wie i a ergibt P ( {(r, b} ( R ( B ( G r b r b, (r, b Ω. Das defiiert tatsächlich ei Mmaß, de die rechte Seite i der Gleichug ist 0 ud außerdem ( ( ( R B G ( ( ( ( R B G R + B + G. r b r b r b g (r,b Ω r+b+g r,g,b N 0 Dies ist eie Verallgemeierug der Vadermode Idetität: die rechte Seite zählt die Azahl -elemetiger Teilmege eier (R + B + G-elemetige Mege, ud die lie Seite ebeso jede dieser Mege a gewählt werde, idem zuerst die R + B + G Elemete i drei Gruppe mit R, B, G Elemete partitioiert werde, ud da jeweils r, b, g Elemete ausgewählt werde, so dass r + b + g. c Wir wähle Ω {(x 1,..., x f : x 1,..., x f, x 1 + +x f }. I eiem Tupel (x 1,..., x f 1

2 Ω bezeichet x i, 1 i f die Azahl Bälle der Farbe i, die gezoge werde. Da erhalte wir P ( {(x 1, x 2,..., x f } ( 1 ( 2 ( x 1 x 2... f x f, (x 1,..., x f Ω. Aufgabe 2 ( f Alice weiß, dass sie am Tag im Schitt λ R + s ud µ R + SMS beommt. Da sie dieses Semester die Stochasti Vorlesug besucht, weiß sie außerdem, dass es sivoll ist, diese Situatio mit der Poissoverteilug zu modelliere. Sie immt a, dass die Azahl der s, die sie pro Tag erhält, der Poissoverteilug mit Parameter λ ud die der SMS der Poissoverteilug mit Parameter µ folgt. Bestimme Sie mit diese Aahme die Wahrscheilicheit, dass Alice isgesamt N 0 Nachrichte (also s ud SMS am Tag erhält. Hiweis: Sie dürfe aehme, dass die Wahrscheilicheit, dass Alice l s ud l SMS erhält, das Produt der etsprechede Wahrscheilicheite ist. Lösug. Wir wähle als Ergebisraum Ω : N 2 0. Das us iteressierede Ereigis ist Wir defiiere weiter A : {ω (ω 1, ω 2 Ω : ω 1 + ω 2 }, N 0 B {ω (ω 1, ω 2 Ω : ω 1 } ud C {ω (ω 1, ω 2 Ω : ω 2 }. Da gilt A ud we wir de Hiweis beutze. 0 l {B l C l } P (A P (B l C l l0 e (λ+µ! l0 P (B l P (C l e (λ+µ l0 ( λ l µ l e (λ+µ (λ + µ, l! l0 λ l µ l l! ( l! die Gesamtzahl der Nachrichte ist also poissoverteilt zum Parameter λ + µ. Aufgabe 3 Sei Ω ei Ergebisraum ud E {{ω} ω Ω}. Zeige Sie: a Falls Ω abzählbar ist, so ist σ(e 2 Ω. b Ist Ω überabzählbar, so ist σ(e {A Ω A oder A ist abzählbar}. Lösug. a Aus der Defiitio vo σ(e folgt diret σ(e 2 Ω. Adererseits existiere für A 2 Ω Elemete ω 1, ω 2, E so dass A 1{ω }, 2

3 ud somit ist A σ(e. b Wir zeige zuächst, dass F : {A Ω : A oder A ist abzählbar} eie σ-algebra ist. (S1 ud (S2 sid trivial. Seie u A 1, A 2, F. Um (S3 zu zeige uterscheide wir zwei Fälle. 1. Seie alle A i abzählbar. Da ist auch i 1 A i abzählbar, also i 1 A i F. 2. Sei midestes ei A i überabzählbar. Da ist midestes ei A c i abzählbar ud daher ( abzählbar, also i 1 A i F. i 1 A ic i 1 Nu zur eigetliche Aufgabe; wir zeige σ(e F. Für jedes ω Ω ist trivialerweise die Mege {ω} abzählbar, also E F, daher A c i σ(e σ(f F. Sei A F. Falls A abzählbar, da existiere ω i E, i 1 so dass A i 1{ω i } σ(e. Falls A abzählbar, da existiere ω i E, i 1 so dass A i 1{ω i } σ(e. Da σ(e eie σ-algebra ist, folgt auch A σ(e. Isgesamt erhalte wir i beide Fälle, dass F σ(e. Aufgabe 4 Sei N. Seie (W N N 1, (S N N 1 Folge vo atürliche Zahle mit de Eigeschafte W N W N + S N p [0, 1] ud W N, S N für N. Wir betrachte eie Folge vo Experimete, wobei wir im N-te Experimet aus eier Ure mit W N weiße ud S N schwarze Kugel eie zufällige Teilmege mit isgesamt Kugel ziehe. Dabei ehme wir a, dass die Azahl gezogeer Kugel, die weiß sid, hypergeometrisch verteilt ist. Bestimme Sie, für N, die Wahrscheilicheit, dass geau weiße Kugel gezoge werde. Beschreibe Sie, was Sie gezeigt habe! Lösug. Zum Vereifache der Notatio setze wir W N + S N. Wir erhalte für {0, 1,..., } P ({} ( WN ( SN ( ZN ( W N! Z N (W N! S N! (S N (! Z N (!.! 3

4 Für c N 0 ist ach usere Voraussetzuge W N c p, S N c 1 p für N. Daher (a die Übugsleiter: erier Sie hier a die Tatsache vo der Vorlesug i0 (1 i/n 1 für festes ud aalog W N! Z N (W N! W N (W N 1 (W N ( 1 p für N S N! Z N (S N! S N (S N 1 (S N ( 1 (1 p für N. Außerdem ist (!! 1 für N. ( ( 1 ( ( 1 Damit folgt für N P ({} ( p (1 p. Ituitiv heißt das, dass i userem Experimet (also bei der Hypergeometrische Verteilug die Wahrscheilicheit eie weiße Kugel zu ziehe äherugsweise biomialverteilt ist, wobei der zugehörige Parameter p dem Ateil W N /(W N + S N der weiße Kugel a der Gesamtmege der Kugel etspricht. Ob ma zurüclegt oder icht, spielt bei wachsedem Umfag (W N + S N eie immer gerigere Rolle, dadurch a ma asymptotisch die Hypergeometrische Verteilug durch die leichter berechebare Biomialverteilug ersetze. Aufgabe 5 Sei A 2 Ω ei Megesystem. Zeige Sie, dass A geau da eie σ-algebra ist, we (S1 Ω A ud (S2 A A Ā A ud (S3 A 1, A 2,... A 1 A A oder (S1 Ω A ud (S2 A, B A A \ B A ud (S3 A 1, A 2,... A 1 A A. Lösug. Wir zeige die Äquivalez vo (S3 ud (S3, sowie vo (S2 ud (S2. Wir begie mit (S3 : Sei (S3 ud (A N A gegebe. Da ist ach De Morga A 1 Ā. 1 4

5 Dies ist ach (S2 ud (S3 i A. Sei u also (S3 gegebe. Wir ehme wieder (A N A. Mit De Morga ist also A 1 Ā. 1 Dies ist aber ach (S2 ud (S3 i A. Nu zu (S2. Wir beutze dafür A\B A B für beliebige Mege A ud B. Sei also (S2 ud A, B A gegebe. Da ist A\B A B. Dies ist ach (S2 ud (S3 i A. Sei abschließed (S2 ud A A gegebe. Da ist Dies ist ach (S2 i A. Aufgabe 6 Ā Ω\A. Sei (Ω, A ei Ereigisraum ud (A N eie Partitio vo Ω, also A A m fr m ud N A Ω. Setze F σ({a : N}. Zeige Sie, dass sich alle Elemete i B F als abzählbare Vereiiguge vo Elemete aus {A : N} darstelle lasse. Lösug. Wir zeige zuächst, dass G { i I A i : I N} eie σ-algebra ist. Klarerweise sid, Ω G. Da ( i I A i c i N\I A i, ist G auch abgeschlosse uter Komplemetbildug. Die Abgeschlosseheit uter abzählbare Vereiiguge folgt diret aus der Defiitio vo G. Aus der Kostrutio ist G F. Da {A : N} G für alle N erhalte wir weiter F σ({a : N} σ(g G. 5