Kapitel 2. Zahlenbereiche

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1 Kapitel 2. Zahlebereiche 2.1. Natürliche Zahle Die Mege N {1, 2, 3,... } der atürliche Zahle wird formal durch die Peao Axiome defiiert: (A1) 1 N (A2) N ( + 1) N (A3) m ( + 1) (m + 1) (A4) N ( + 1) 1 (A5) Für A N gilt das Vollstädigeitsaxiom : 1 A ( : [ A ( + 1) A]) A N Bemerug: Die Nachfolgeabbildug ( + 1) ist eie ijetiv. Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 37 / 190

2 2.1. Natürliche Zahle Beweisprizip der vollstädige Idutio. Dabei ist die Gültigeit eier Aussage A() für alle N zu beweise, d.h. es ist zu zeige N : A() wobei A() eie Aussageform ist, die vo N abhägt. Beweisschritte der vollstädige Idutio. (I1) Idutiosafag: 1, d.h. zeige A(1). (I2) Idutiosaahme: Es gelte A(). (I3) Idutiosschluss: + 1 Zeige die Impliatio A() A( + 1). Sid (I1)-(I3) durchführbar, so gilt die Aussage A() für alle N. Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 38 / 190

3 Beispiel 1 zur vollstädige Idutio I. Bestimme die Azahl t der Teilmege eier Mege mit Elemete, A {a 1, a 2,..., a } Vorgehe: Betrachte zuächst leie N, z.b. 1, 2, : Die Mege A 1 {a 1 } besitzt die Teilmege, {a 1 }, d.h. t : Die Mege A 2 {a 1, a 2 } besitzt die vier Teilmege ud somit gilt t 2 4., {a 1 }, {a 2 }, {a 1, a 2 } 3 3: Die Mege A 3 {a 1, a 2, a 3 } besitzt t 3 8 Teilmege. Vermutug: Es gilt t 2 für alle N. Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 39 / 190

4 Beispiel 1 zur vollstädige Idutio II. Satz: Eie elemetige Mege A {a 1,..., a } besitzt 2 Teilmege. Beweis: durch vollstädige Idutio über. Idutiosafag ( 1): Es gilt t Idutiosaahme: Es gelte t 2 für N. Idutiosschluss ( + 1): Zu zeige: A +1 {a 1,..., a, a +1 } hat 2 +1 Teilmege. Schreibe P(A +1 ) K 1 K 2 für die Potezmege vo A +1, wobei T K 1 a +1 / T T K 2 a +1 T Nach Idutiosaahme besitze K 1 ud K 2 geau t 2 Elemete. Weiterhi gilt ach Kostrutio K 1 K 2. Somit hat P(A +1 ) isgesamt t +1 t + t Elemete. Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 40 / 190

5 Beispiel 2 zur vollstädige Idutio I. Bestimme die Azahl p der verschiedee Aorduge (Permutatioe) für die Elemete eier elemetige Mege A {1, 2,..., } Vorgehe: Betrachte zuächst leie N, z.b. 1, 2, : Das Elemet i A 1 {1} besitzt ur eie Aordug (1), d.h. p : Für die Elemete i A 2 {1, 2} gibt es zwei Aorduge Somit gilt p 2 2. (1, 2), (2, 1). 3 3: Für die Elemete i A 3 {1, 2, 3} gibt es sechs Aorduge Somit gilt p 3 6. (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Vermutug: Es gilt p! für alle N. Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 41 / 190

6 Beispiel 2 zur vollstädige Idutio II. Satz: Es gibt p! Permutatioe für das Tupel (1, 2,..., ). Beweis: durch vollstädige Idutio über. Idutiosafag ( 1): Es gilt p 1 1. Idutiosaahme: Es gelte p! für N. Idutiosschluss ( + 1): Es gibt ach Idutiosaahme je! Permutatioe für die ( + 1) Tupel (i 1, i 2,..., i 1, i, + 1), (i 1, i 2,..., i 1, + 1, i ),. i 1,..., i {1,..., } }{{} (i 1, + 1, i 2,..., i 1, i ), paarweise verschiede ( + 1, i 1, i 2,..., i 1, i ) ud somit gilt p +1! } +. {{.. +! } ( + 1)! ( + 1)!. (+1) fach Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 42 / 190

7 Beispiel 2 zur vollstädige Idutio III. Folgerug: Eie elemetige Mege {a 1,..., a } besitzt geau! m m! ( m)!, für, m N 0 : 0 m m elemetige Teilmege. Dabei setzt ma 0! 1. Klassisches Beispiel: Zahlelotto. Es gibt 49 49! ! 43! Möglicheite, aus eier 49 elemetige Mege eie 6 elemetige Teilmege auszuwähle. Mit adere Worte: Die Wahrscheilicheit, beim (lassische) Zahlelotto 6 aus 49 die 6 richtige Zahle zu tippe, beträgt 1 ) ( Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 43 / 190

8 Eischub: Summe, Produte ud Poteze I. Defiitio: Allgemeie Summe ud Produte. b : b m + b m b (falls m ) m b : 0 (falls m >, leere Summe) m b : b m b m+1... b (falls m ) m b : 1 (falls m >, leeres Produt) m Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 44 / 190

9 Eischub: Summe, Produte ud Poteze II. Defiitio: Poteze. a : für 0 a 1 : 1/(a ) : für < 0 Potezgesetze. a a m a +m (a ) m a m Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 45 / 190

10 Biomialoeffiziete ud dere Eigeschafte I. Defiitio: Die (atürliche) Zahle Satz: ( m ) et ma Biomialoeffiziete. a) Für, m N, 0 < m, gilt die Reursiosformel m m m 1 wobei ( 0 ) ( ) 1 b) Für N 0 ud a, b R gilt der Biomische Lehrsatz (a + b) 0 ( ) a b Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 46 / 190

11 Biomialoeffiziete ud dere Eigeschafte II. Beweis zu Teil a): Es gilt (, m N, 0 < m ) ( m ) ( + m 1 )! m! ( m)! +! (m 1)! ( m + 1)!! ( m + 1) +! m m! ( + 1 m)!! ( + 1 m + m) m! ( + 1 m)! ( + 1)! m! ( + 1 m)! ( + 1 m ) Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 47 / 190

12 Beweis: Biomischer Lehrsatz I. Beweis zu Teil b): durch vollstädige Idutio über. Idutiosafag ( 0): Es gilt (a + b) 0 0 a 0 b Idutiosaahme: Für 0 gelte (a + b) Idutiosschluss ( + 1): 0 a b (a + b) +1 (a + b)(a + b) (a + b) 0 ( ) a b Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 48 / 190

13 Beweis: Biomischer Lehrsatz II. (a + b) +1 (a + b)(a + b) (a + b) 0 +1 j1 ( 0 j 1 a +1 b + ) a 0 b +1 + a j b +1 j a 0 b +1 + [( a b a b +1 0 ) + a b +1 a b ] 1 a b a b +1 + a +1 b a +1 b 0 Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 49 / 190

14 Reursive Berechug der Biomialoeffiziete. Pascalsches Dreiec Beispiel: (a + b) 5 1 a 0 b a 1 b a 2 b a 3 b a 4 b a 5 b 0 a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 50 / 190

15 Kapitel 2. Zahlebereiche 2.2. Primzahle Defiitio: Eie atürliche Zahl m N heißt Teiler vo N, falls ei N existiert mit m Ma schreibt da auch m. Jede Zahl besitzt offesichtlich die beide Teiler 1 ud, de es gilt stets 1 1 Existiert für > 1 ei weiterer Teiler, so et ma eie Primzahl. Die erste Primzahle laute 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Bemerug: Es gibt uedliche viele Primzahle. Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 51 / 190

16 Hauptsatz der Zahletheorie. Satz: Jede atürliche Zahl N läßt sich als Produt vo Primzahlpoteze schreibe, p r 1 1 pr pr wobei p j Primzahl ud r j N 0 für 1 j. Beweis: durch Idutio über. Idutiosafag ( 1): Es gilt Idutiosaahme: Alle besitze Primfatorzerlegug. Idutiosschluss ( + 1): Fall 1: Sei + 1 eie Primzahl. Da gilt + 1 ( + 1) 1. Fall 2: Sei + 1 eie Primzahl. Da gibt es, m mit + 1 m. Somit besitzt + 1 eie Primfatorzerlegug, da ud m je eie besitze. Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 52 / 190

17 Der ggt ud das gv. Defiitio: Seie, m N zwei atürliche Zahle. Da heißt ggt(, m) : max{ teilt ud m} der größte gemeisame Teiler (ggt) vo ud m. Weiterhi heißt gv(, m) : mi{ ud m teile } das leiste gemeisame Vielfache (gv) vo ud m. Beobachtug: Für p r 1 1 pr pr ud m p s 1 1 ps ps mit Primfatore p1,..., p ud Expoete r 1,..., r, s 1,..., s 0 gilt ggt(, m) p mi(r 1,s 1 ) 1 p mi(r 2,s 2 ) 2... p mi(r,s ) gv(, m) p max(r 1,s 1 ) 1 p max(r 2,s 2 ) 2... p max(r,s ) Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 53 / 190

18 Beispiel zu ggt ud gv. Beispiel: Für m gilt ggt(525, 180) gv(525, 180) ud m ggt gv Beobachtug: Für alle, m N gilt m ggt(, m) gv(, m) Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 54 / 190

19 Der Eulidische Algorithmus. Für, m N läßt sich der ggt mit dem Verfahre der iterierte Divisio bestimme. Vorüberlegug: Zu, m N, m, existiere eideutige q, r N 0 mit (Eulidischer) Algorithmus: INPUT:, m N mit m. q m + r, wobei 0 r < m. Setze r 0, r 1 m ud j 1; REPEAT r j 1 q j r j + r j+1, wobei 0 r j+1 < r j ; Setze j j + 1; UNTIL (r j+1 0) OUTPUT: r j ggt (, m). Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 55 / 190

20 Beispiel zum Algorithmus ud Z Kombiatio. Beispiel: Für 3054 ud m 1002 liefert der Eulidische Algorithmus: ggt(3054,1002) 6, gv(3054,1002) / Z Kombiatio des ggt(, m) vo ud m ( ) ( ) Die Z Kombiatio vo 3054 ud m 1002 ist gegebe durch ggt(3054, 1002) Reier Lauterbach (Mathemati, UiHH) Aalysis I für Igeieure 56 / 190