Aussagenlogik. Aussagenlogik

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1 I der mathematische Logik gibt es geau zwei Wahrheitswerte ämlich ur wahr oder falsch. Ei Drittes gibt es icht (Tertium o datur!). Zu eier Aussage a lässt sich die Negatio a (die Vereiug, sprich: "icht a") bilde. Zwei Aussage a ud b lasse sich durch die Kojuktio a b (das logische Ud, sprich: "a ud b"), die Disjuktio a b (das logische icht ausschließede Oder, sprich: "a oder b"), die Implikatio a b (die Schlussfolgerug, sprich: "aus a folgt b" oder "a impliziert b") oder die Äquivalez a b (die Gleichwertigkeit, sprich: "a gleichwertig zu b" oder "a äquivalet (zu) b") miteiader verküpfe. Die Ergebisse der eizele Verküpfuge sid i de folgede Wahrheitstafel agegebe: a a wahr falsch falsch wahr a b a b a b a b a b wahr wahr wahr wahr wahr wahr wahr falsch falsch wahr falsch falsch falsch wahr falsch wahr wahr falsch falsch falsch falsch falsch wahr wahr 1 Die Kojuktio ist also ur da wahr, we beide Aussage wahr sid, währed die Disjuktio wahr ist, we eie oder beide der verküpfte Aussage wahr sid. Nur die Implikatio, aus etwas Wahrem etwas Falsches zu schließe, ist falsch. Alle adere Implikatioe sid wahr. Ma sagt auch aus Usi ka alles geschlosse werde. Folgede Zusammehäge bestehe zwische de Verküpfuge: a b a b (a b) a b a b b a (a b) a b Die letzte zwei Beziehuge werde auch Regel vo de Morga geat. Beispiel: Es reget ud die Soe scheit. (Da gibt es eie Regeboge!) Das egiert: Es reget icht oder die Soe scheit icht. (Da gibt es keie Regeboge!) 197 Wegeer Math/1_Logik_k Diestag :11:58

2 We ma sich icht sicher ist, ob eie zusammegesetzte Aussage wahr ist, prüft ma diese mit Hilfe eier Wahrheitstafel, i der alle mögliche Kombiatioe vo Wahrheitswerte der beutzte Variable ausprobiert werde. a b c=(a b) a d=( a b) c d wahr wahr wahr falsch wahr wahr wahr falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr wahr wahr wahr wahr falsch falsch wahr wahr wahr wahr a b c=(a b) a b d=( b a) c d wahr wahr wahr falsch falsch wahr wahr wahr falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch wahr wahr wahr falsch wahr wahr falsch falsch wahr wahr wahr wahr wahr 3 Die folgede Wahrheitstafel beweise die Regel() vo de Morga. a b a b c= (a b) a b d=( a b) c d wahr wahr wahr falsch falsch falsch falsch wahr wahr falsch falsch wahr falsch wahr wahr wahr falsch wahr falsch wahr wahr falsch wahr wahr falsch falsch falsch wahr wahr wahr wahr wahr a b a b c= (a b) a b d=( a b) c d wahr wahr wahr falsch falsch falsch falsch wahr wahr falsch wahr falsch falsch wahr falsch wahr falsch wahr wahr falsch wahr falsch falsch wahr falsch falsch falsch wahr wahr wahr wahr wahr 4

3 Prädikatelogik Logische Aussage habe zwar eie Wahrheitswert, aber keierlei Bezug zu de Objekte der Welt. Um also Aussage über Objekte (z.b. Zahle) zu mache, bedarf es sog. Quatore. Will ma ausdrücke, dass für alle Elemete a eier Mege A ei bestimmtes Prädikat (=Aussage) P(a) gilt, so schreibt ma das folgedermaße: P(a) Das Zeiche wird auch Allquator geat (sprich: "für alle"). Soll otiert werde, dass es midestes ei Elemet a eier Mege A gibt, für das ei bestimmtes Prädikat P(a) gilt, so schreibt ma das folgedermaße: P(a) Das Zeiche wird auch Existezquator geat (sprich: "es gibt"). P(a) 5 Für beide Quatore gilt Prädikatelogik ( P(a)) P(a) I Worte: Die Negatio vo für alle a aus A gilt P(a) ist gleichwertig zu es gibt ei a aus A, so dass P(a) icht gilt. Beispiel: Das Gegeteil der Aussage alle Kreter sid Lüger lautet es gibt (midestes) eie Kreter, der kei Lüger ist. 6 ( P(a)) P(a)

4 Defiitioe, Sätze ud Beweise I der Mathematik beschäftigt ma sich mit Objekte des Dekes, die zwar aus der reale Welt abstrahiert (abstrahere = (etwas) abstreife) sid, ierhalb der Mathematik jedoch keierlei Bezug zur Welt außerhalb beötige. Zuerst legt ma die Objekte, vo dee ma spricht, i eier Defiitio fest. Da formuliert ma Aussage oder Sätze über diese Objekte. Aschließed muss ma für jede Satz eie Beweis agebe, bei dem ma sich atürlich auf bereits bewiesee Sätze stütze ka. Eiige grudlegede Sätze muss ma jedoch meistes voraussetze, die ma icht beweise will oder ka. Diese Sätze werde Axiome geat. 7 Defiitioe, Sätze ud Beweise Ei Beweis ist ichts Aderes als eie Kette vo Schlussfolgeruge, die mit eier ubestritte wahre Aussage begit ud bei der behauptete Aussage edet. Diese muss da ämlich wahr sei (we ma richtig geschlosse hat), da aus etwas Wahrem ur etwas Wahres gefolgert werde ka. Machmal geligt es icht, eie solche Beweiskette zu führe. Da ka ma auch mit der Negatio der behauptete Aussage begie ud versuche, durch korrekte Schlussfolgeruge auf eie Widerspruch zum Afag zu komme. We die Negatio eier Aussage falsch ist, so schließt ma, muss diese richtig sei. (Nicht alle Mathematiker erkee diese Beweismethode a. Deswege ist es immer besser, eie direkte Beweis zu habe.) 8

5 Beweis durch Widerspruch Im folgede der Beweis für de Euklidische Satz gegebe, dass es uedlich viele Primzahle gibt. Satz: Beweis: Es gibt uedlich viele Primzahle. Ageomme, es gäbe edlich viele Primzahle ud ihre Azahl sei. Da bezeiche wir diese mit p 1, p, p 3,... p. Wir bilde u das Produkt p aller dieser Primzahle ud zähle eis dazu. p = p 1 p p 3... p q = p + 1 Die Zahl p ist durch alle Zahle p i (1 i ) teilbar. Die Zahl q higege ist durch keie Zahl p i teilbar. Deswege muss es selbst eie Primzahl oder midestes durch eie -bisher ubekate- teilbar sei. Das aber steht im Widerspruch zur Ausgagsaahme, womit der Satz bewiese ist. (Ma schreibt da q.e.d. (= quod erat demostradum = was zu beweise war (mache schreibe auch w.z.b.w.)) ud versucht, möglichst cool dreizuschaue.) 9 Beweis durch vollstädige Iduktio Im folgede ist ei Beweis für die Formel vo Gauß über die Summe der Zahle vo 1 bis gegebe. Satz: i = (+1) IN i=1 Beweis: Die Formel ist richtig für =1. Sei sie richtig für ei >0, da ist +1 i=1 i = i + (+1) = (+1) i=1 = (+1) ((+1)+1) + (+1) = (+1)+ (+1) = (+) (+1) Die Formel gilt offesichtlich auch für +1. Da gilt sie auch für +, +3, +4, etc. (q.e.d.) Der Schluss we etwas für ei richtig ist, da ist es auch für +1 richtig, zusamme mit es ist für =1 richtig, woraus folgt da ist es für alle richtig, heißt Beweis durch vollstädige Iduktio. 10 IN i=1 i = (+1)