Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen"

Transkript

1 KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet: N 0 a R. Ma schreibt hierfur (a ) N ud (a ) 0, oder auch a 0, a, a 2,.... Die Zahle a heie Glieder der Folge. Die direte Vorschrift a wird als explizites Bildugsgesetz, die reursive Deitio der a als implizites Bildugsgesetz bezeichet. Eie Zahlefolge heit beschrat, we es reelle Kostate K ud K 2 gibt mit K a K 2 fur alle 0. Beispiel 5.. a =, = 0,, 2,..., ist eie explizit agegebee Zahlefolge (a ) =0. a Beispiel 5.2. Dagege ist a + = 2 a 2 +, a =, eie implizize Bildugsvorschrift. Beispiel 5.3. Eie implizite Bildugsvorschrift ist ebefalls a + = 2 (a + a ), a = 2. Typisch fur die implizite Bildugsvorschrift ist die Vorgabe eies Startwertes, hier a = 2. 49

2 50 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN Defiitio 5.2. Eie Zahlefolge (a ) 0 heit mooto wachsed, we a a + fur alle gilt, mooto falled, we a a + fur alle gilt, streg mooto wachsed bzw. streg mooto falled, we < astelle vo bzw. > astelle vo fur alle gilt, ach obe beschrat, we es ei reelles K gibt, so dass a K fur alle gilt, ach ute beschrat, we es ei reelles gibt, mit a fur alle, beschrat, we sie sowohl ach obe als auch ach ute beschrat ist, d.h. es gibt, K R mit a K fur alle. Beispiel 5.4. Die Folge a :=,, ist streg mooto falled ud beschrat, es gilt: > ud 0. + Beispiel 5.5. Die Folge a :=,, ist streg mooto wachsed ud beschrat, es gilt ud Beispiel 5.6. Die Folge a + = a 2 +a 2 ist beschrat, da 0 a2 +a 2 = +a 2 gilt, auerdem ist die Folge mooto falled, da a 2 + a 2 = a2 a 2 + a2 = a 2 ( (a 2 +)) = a4 a 2 0 gilt, d.h. + a 2 + a2 + a 2 a + a, da a 0 gilt. Mittels vollstadiger Idutio a ma zeige, dass a = ist. Idutiosstart: a =. Idutiosaahme: a =. Idutiosschritt: a + = a 2 a 2 + = =. + + Defiitio 5.3. Eie Zahlefolge (a ) 0, strebt oder overgiert gege de Grezwert a R, we es zu jeder beliebig leie vorgegebee Schrae ε > 0 eie Idex 0 N gibt, so dass gilt a a < ε fur alle 0. Ma schreibt: a a fur oder urz a a bzw. a = a. Jede gege Null overgierede Folge heit Nullfolge. Nicht overgete Folge heie diverget.

3 . FOLGEN 5 Beispiel 5.7. Fur die Folge (a ) >0 mit a = α, α R, gilt a = α =, α > 0,, α = 0, 0, α < 0, Der Fall fur α = 0 folgt umittelbar aus 0 =. Nu zum Fall α > 0. Es sei K eie beliebige positive reelle Zahl, da gilt α > K > α K. Es gibt folglich immer uedlich viele Glieder der Folge mit a > K ud damit ist α = fur α > 0. Im Fall α < 0, sei ε > 0 eie beliebige reelle Zahl. Da gilt 0 < α = α = α < ε ε < α ud deshalb ist α = 0. > α ε Bemerug 5.. Ma beachte, dass fur eie irratioale Zahl α > 0 die Wurzel α deiert ist als e α l. Satz 5.. Fur jede overgete Zahlefolge (a ) 0 gilt () Der Grezwert ist eideutig bestimmt, d.h. aus a = a ud a = b folgt a = b. (2) Kovergete Zahlefolge sid beschrat, d.h. es gibt eie Kostate K mit a K fur alle N 0. Beweis: zu (): Wir ehme a, dass gilt a = a ud a = b, d.h. es gilt a a < ε fur alle 0 ud a b < ε fur alle. Damit ist aber auch a b beliebig lei, da aus de Voraussetzuge folgt a b = a a + a b a a + a b 2ε fur max( 0, ). zu (2): Es sei ε =, da die Zahlefolge overget ist, gilt a a fur 0 a a a a a + fur 0. D.h. alle Glieder der Zahlefolge mit 0 liege zwische a ud a +. Es verbleibe damit edlich viele Glieder der Zahlefolge, die u.u. auerhalb des Itervalls [a, a + ] liege, deshalb musse diese edlich viele Glieder extra mit

4 52 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN eibezoge werde, es sei K := mi(a, a 0, a,..., a 0 ) ud K 2 := max(a +, a 0, a,..., a 0 ), da gilt K a K 2 fur alle 0. # Defiitio 5.4. Ist (a ) 0 eie Folge ud 0 < < 2 <... < m <... eie (uedliche) aufsteigede Idexfolge, da heit die Folge a 0, a, a 2..., a m,... Teilfolge vo (a ) 0. Umittelbar aus der Deitio folgt: Ist a = a, da overgiert auch jeder (uedliche) Teilfolge gege a. Defiitio 5.5. Ma sagt, dass eie Folge (bestimmt) gege de ueigetliche Grezwert divergiert, we zu jedem och so groem K R die Ugleichug a K fur alle > 0 (K) gilt. Aalog deiert ma die bestimmte Divergez gege de ueigetliche Grezwert. Beispiel 5.8. Fur die Folge(a ) >0 mit a = x, N, gilt, x >, a = x, x =, = 0, x <, diverget fur x. Es ist x R fest gewahlt ud wir betrachte die Folge x, x 2, x 3, x 4,..., x,.... Wir utersuche ur de Fall x < geauer, wie ma leicht sieht fallt die Folge i diesem Fall mooto (der Futiosverlauf vo x, fur 0 x ud = 2, 3, 5, 7, 0, 20 ist im folgede Bild dargestellt). Um die Kovergez achzuweise, musse wir zeige, dass für alle ε > 0

5 . FOLGEN 53 existiert ei 0 (ε) ( 0 darf ud wird vom gewahlte ε abhage), so dass a a = x < ε ist, für alle > 0. Es ist x = x ε fur x = 0, falls x 0, da gilt x < ε l( x ) = l x < l ε > l ε l x fur 0 < x <. Ma beachte, dass der aturliche Logarithmus eie mooto wachsede Futio ist, die fur 0 < x < egative reelle Werte aimmt. Folglich wahlt ma als 0 die leiste aturliche Zahl mit > l ε l x fur 0 < x <. Mit diesem 0 ist die Kovergez fur x < achgewiese. Satz 5.2. (Mootoie-Kriterium) Jede mooto wachsede oder mooto fallede beschrate Zahlefolge ist overget. ohe Beweis. Beispiel 5.9. Die Folge a := = 2 = ist oesichtlich mooto wachsed ud beschrat, da fur > gilt ud damit 0 a ( ) = ( ) ( ) ( ) = 2 2. Nach dem Mootoie-Kriterium existiert der Grezwert a. Mittels Fourier- Reihe a ma zeige, dass a = π2 6.

6 54 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN 2. Grezwertbestimmug 2.. Recheregel. Aus gegebee Folge (a ) 0 ud (b ) 0 werde durch Additio, Subtratio, Multipliatio ud Divisio eue Folge gewoe. Satz 5.3. Sid (a ) 0 ud (b ) 0 overgete Zahlefolge mit a = a ud b = b da gilt () a ± b = a ± b, (2) a b = ab, isbesodere ist ca = ca, fur c R. (3) Ist a 0, da gibt es ei N 0 mit a 0 fur alle ud fur die Folge (a ), (b ) gilt a = a, b = b a a. (4) a = a. (5) Ist a > 0, da gibt es ei 2 N 0 mit a > 0 fur alle 2 ud fur die Folge (a ) 2 gilt a = a. Beweisidee: () Aus a a 0 ud b b 0 folgt als Abschatzug mittels Dreiecsugleichug: (a ± b ) (a ± b) = (a a) ± (b b) a a + b b 0. (2) Wieder Dreiecsugleichug: a b ab = a (b b)+b(a a) a b b + b a a A b b + b a a 0, isbesodere ist a A da jede overgete Folge beschrat ist (siehe Satz 5..) ( ) (3) Ist a 0, da ethalt a a, a a icht die Null, aber alle Glieder der 2 2 Folge ab eiem gewisse Idex. Fur diese gilt a a = a a a a C a a, fur. (4) a a a a. (5) Ist a = 0, da sei ε > 0 beliebig lei gewahlt ud es gibt eie Idex 0 N 0, so dass a ε 2 gilt fur alle 0. Da gilt aber auch a ε

7 2. GRENZWERTBESTIMMUNG 55 fur diese ud damit a 0. Ist dagege a > 0, da gilt a a = a a a + a a a Beispiel 5.0. Die Folge a + = 2 ( a + a ) a + = + (a )2 2a ud deshalb a + a = 2 = a a a + a a a a 0., a = 2, ist mooto falled, da ( ) a a 0 ist, d.h. a + a. Damit ist die Folge ebefalls beschrat, da 2 = a a fur alle gilt. Nach dem Mootoie-Kriterium ist die Folge somit overget. Wege 2 a ist der Grezwert a = a > 0 ud es gilt ud deshalb auch a a fur. Ebeso gilt a + = a, da (a + ) dieselbe Folgeglieder hat wie (a ) 2. Deshalb ergibt sich ach Grezubergag : a = 2 (a + a ) a2 = 2 (a2 + ) 2 a2 = 2 a2 = ud wege a > 0 ist a = (ud icht a =.) Betrachte wir u die Folge h + := x a + = ( x a + x ) = ) (h + xh. 2 x a 2 Da h = x a = x ist, folgt: Die Hero'sche Folge h + = ) (h + xh, x > 0, 2 overgiert fur beliebige Startwert h > 0 gege x Grezwertbestimmug durch Abschätzug. Die Grudidee besteht dari Folgegleider so abzuschatze, dass ma de Grezwert beater Folge verwede a. Satz 5.4. (Vergleichsriterium) Lasse sich fur die Glieder der Zahlefolge (a ) 0 ach obe ud ute abschatze durch b a c mit b = c = c, da ist die Folge (a ) 0 overget ud es gilt = c. Beweis: Fur jedes ε > 0 gilt c ε b a c c + ε fur alle hireiched groe, also a c. #

8 56 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN Beispiel 5.. Es ist da 0 (si )2. Weiterhi ist da (si ) 2 = (( ) + ) = + ( ) + ach der Biomische Formel + = 0, =, ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 da fur jedes feste N gilt ud damit 0. Damit ergibt sich die Ugleichug + ( ) ( ) 2 2 ud es gilt ( ) 2 = 0. Damit ist aber auch ( ) 2 = ( ) = 0. ud ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) = (( ) + ) = = 0 + =. Satz 5.5. (Grezwertbildug erhält schwache Ugleichuge) Sid (a ) 0 ud (b ) 0 overgete Folge mit a b fur alle, da gilt a = a b = b. Bemerug 5.2. Die Grezwertbildug erhalt aber i. Allg. eie strite Ugleichuge. Aus a < b fur alle, folgt ur a = a b = b ud icht die strite Ugleichug, wie das Beispiel a = 0 ud b = belegt.

9 3. ZAHLENREIHEN 57 Satz 5.6. (Cauchy-Kriterium) Eie Zahlefolge (a ) 0 ist geau da overget, we fur alle hireiched groe Idizes m, der Betrag a a m beliebig lei wird, d.h. we es zu jeder (och so leie) positive Zahl ε > 0 eie aturliche Zahl N(ε) gibt, derart dass a a m < ε fur alle m, N(ε). 3. Zahlereihe Defiitio 5.6. Die aus der Zahlefolge (a ) 0 gebildete Folge (s ) 0 mit s := a = a + a a, 0, heit uedliche Reihe, sie wird mit a bezeichet. Die Zahle a i heie Glieder der Reihe ud die Summe s := a dere Partialsumme. Ma sagt, dass die Reihe overgiert bzw. divergiert, we die Folge der Partialsumme overgiert bzw. divergiert. Im Fall s = s R { } { } et ma s de Wert oder die Summe der uedliche Reihe ud schreibt a = s. Beispiel 5.2. Geometrische Reihe Fur die geometrische Reihe ist a := x, N 0, somit lautet die Folge der Partialsumme { s := a = x = + x + x 2 + x x x +, falls x, = x +, falls x =. Mit dem Ergebis fur x aus Beispiel 5.8 ergibt sich := N x := + x + x 2 + x x +... =0 N x = =0 x, falls x <,, falls x, diverget, falls x.

10 58 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN Beispiel 5.3. Die Folge b :=! = +! + 2! ! ist oesichtlich ebefalls mooto wachsed ud beschrat, da fur 2 gilt 0 <! = 2 3 ( ) = 2 Fur = 0 ist b 0 = 0! = ud fur = ist b = +! = 2, fur 2 gilt 2 +! + 2! ! = + 2 = + 2 ( 2 ) 3. 2 Durch de Grezwert dieser Folge ist die Eulersche Zahl e deiert: e := Bemerug 5.3. Es gilt ebefalls! = ( + ) = e. Mehr och a ma zeige, dass die Expoetialfutio durch de Grezwert!. wohldeiert ist. e x := ( + x ), x R, 3.. Kovergezriterie. Satz 5.7. (Kovergezriterie für Reihe) () Cauchysche Kovergezriterium für Reihe: Die Reihe a ist geau da overget, we es zu jeder och so leie Zahl ε > 0 eie Idex N(ε) gibt, so dass s s m = a m+ + a m a < ε fur alle m, N(ε). Ma a ohe Eischraug aehme, dass > m ist. (2) Notwediges Kovergezriterium: Die Glieder eier overgete Reihe bilde eie Nullfolge. (3) Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe: Fur jede mooto fallede Nullfolge a 0, a, a 2,... overgiert die alterierede Reihe ( ) a = a 0 a + a 2 a 3 ±....

11 3. ZAHLENREIHEN 59 Wir beweise ur (2). Wir setze m = ud erhalte we die Reihe overget ist fur alle ε > 0 : d.h. a 0. s s = a < ε fur alle > N(ε); Bemerug 5.4. Bei (2) hadelt es sich um ei otwediges Kovergezriterium, d.h. auch we dieses Kriterium erfullt ist, muss die Reihe icht overgiere, ist es aber icht erfullt, so divergiert die Reihe. Beispiel 5.4. Wir wede das Cauchy-Kriterium auf die Folge der Partialsumme s = l= ( )l+ a. Mit = m + ist l m+ s s m = ( ) l+ l = ( )m ( ) 2 m + + ( )3 m ( )+ m + l=m+ { = + ( + ) ( m+ m+2 m ) m+ 2 m+, falls gerade, m+ + ( + ) ( m+ m+2 m ) ( m+ 3 m m+ m+), falls ugerade, m +. D.h. s s m < ε, fur alle > m > ε bzw. > m > [ ε ] = N(ε). Damit ist gezeigt, dass die alterierede harmoische Reihe overgiert. Beispiel 5.5. Die Reihe divergiert, da a! = eie Nullfolge ist:!! = 2 3 = 0. Beispiel 5.6. Die harmoische Reihe = 0 gilt. Ma a amlich wie folgt abschatze: s 2 + = + ( ) ist diverget, obwohl a = ( = Beispiel 5.7. Die alterierede harmoische Reihe = ( )+ dagege overgiert ach dem Leibiz-Kriterium ud es ist = ( )+ = l 2. Beispiel 5.8. Auf die alterierede Reihe ±... = ( ) + 4 ( + ) = ist das Leibiz-Kriterium icht awedbar, da a = ( + ) = ( ) + = ist. ( + ) ) = e 0

12 60 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN Beispiel 5.9. Auf die alterierede Reihe ± ±... = ( ) + a = mit a 2 = ud a 3 2 =, =, 2,..., + ist das Leibiz-Kriterium icht awedbar, da wege < 3 + Folge der Glieder (a ) icht mooto falled ist. fur 2 die Beispiel Die alterierede Reihe l 2 l 3 + l 4 ±... = ( ) + l( + ) = ist overget ach dem Leibiz-Kriterium, da die Folge der Glieder (a ) mit a = eie mooto fallede Nullfolge ist. l(+) Satz 5.8. (Recheregel für overgete Reihe) Fur alle c R ud overgete Reihe a = a ud b = b, a, b R, gilt (a ± b ) = a ± b ud (c a ) = ca. Bemerug 5.5. Elemetare Umformuge, die bei edliche Summe de Summewert icht verader, sid bei uedliche Reihe ( " uedliche Summe\) icht ugeschrat erlaubt! () Es ist i. Allg. icht erlaubt Klammer wegzulasse. Beispiel: Die Reihe a mit a = ( ) = 0 ist overget. Lasst ma aber die Klammer weg, so divergiert die Reihe = b mit b = ( ). (2) Ma darf i. Allg. aber auch eie Klammer setze. Im vorige Beispiel a ma dadurch aus eier divergete Reihe durch Klammerug eies overgete Reihe. (3) Eie Umordug der Reiheglieder ist ohe Zusatzvoraussetzuge icht erlaubt.

13 3. ZAHLENREIHEN 6 Beispiel 5.2. Wir betrachte das folgede Beispiel: l 2 = = = Umordug = l 2 Aber: Satz 5.9. I eier overgete Reihe darf ma beliebig Klammer setze: s = a 0 + a + a = (a a ) + (a a 2 ) Beweis: Die Partialsumme s = (a a ) (a a ) der " gelammerte\ Reihe bilde eie Teilfolge der overgete Folge der Partialsumme s ud overgiere deshalb gege deselbe Grezwert. # 3.2. Absolute Kovergez. Eie Zusatzvoraussetzug, die die Sachlage vereifacht ist die absolut Kovergez: Defiitio 5.7. Die Reihe a heit absolut overget, we die Reihe der Betrage a = a 0 + a + a overgiert. Reihe, die zwar overgiere, aber icht absolut overgiere, et ma bedigt overget. Beispiel Die alterierede harmoische Reihe ( ) + 2 = ist eie bedigt overgete Reihe, da die Reihe selbst ach dem Leibiz-Kriterium overgiert, die Reihe der Betrage, d.h. die harmoische Reihe, ist aber diverget. Folgeruge: () Jede absolut overgete Reihe ist overget.

14 62 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN (2) Die Reihe a ist geau da absolut overget, we die Folge der Par- tialsumme der Reihe a : S := a = a 0 + a + a a beschrat ist. Beispiel Die Reihe = { = α overget, falls α >, diverget, falls α. Beweis: Wir betrachte zuachst de Fall α >. Zu gegebeem sei m so gewahlt, dass 2 m gilt. Da ist s s 2 m = + ( 2 + ) ( α 3 α α α m (2 m ) α ) (2 m ) α (2 m ) α ( ) m = 2α 2 α 2 α. m=0 Ist dagege α, so sid die etsprechede Partialsumme groer oder gleich de etsprechede Partialsumme der harmoische Reihe ud diese Reihe divergiere, da die harmoische Reihe diverget ist. # 3.3. Kriterie für absolute Kovergez. Diese Kriterie sid die i der Praxis am haugste agewadte zur Utersuchug vo Reihe.

15 3. ZAHLENREIHEN 63 Satz 5.0. (Kriterie für absolute Kovergez) () Vergleichsriterium: Besteht fur die Reiheglieder die Abschatzug 0 a b fur 0, da gilt Ist die Reihe b (absolut) overget, so ist auch die Rei- he a absolut overget. Gilt dagege a =, so ist auch b =. Eie Reihe b die de Voraussetzuge des Vergleichsriteri- ums geugt, heit Majorate der Reihe a. diver- Ist dagege a >, da ist die Reihe get. a (2) Quotieteriterium: Ist a 0 fur alle 0 ud overgiert die Folge der Quotiete a + a, da gilt: a Ist + a <, da ist die Reihe a absolut overget. a Ist dagege + a >, da ist die Reihe a diverget. (3) Wurzelriterium: Ist a <, da ist die Reihe a absolut overget. a Bemerug 5.6. Im Fall + a = bzw. a = a ma eie Aussage tree, die Reihe a (bedigt) overget oder auch diverget sei. Dies a leicht mit der alterierede harmoische bzw. der harmoische Reihe belegt werde. De es ist + = = =. Wobei wie bereits gezeigt, die alterierde harmoische Reihe overgiert, die harmoische Reihe selbst aber divergiert.

16 64 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN a Beweis: Wir weise die Kovergez ach. Gilt + a <, so gibt es eie reelle Zahl q mit 0 < q <, so dass a + a < q fur alle 0 N. Da a ma aber abschatze: a 0 + q a 0 + q 2 a q a 0 ud die Reihe mit dem allgemeie Glied b 0 + = q a 0 ist eie overgete Majorate, da b l = l=0 0 l=0 b l + a 0 l= 0 q l 0 = 0 l=0 b l + a 0 q l = l=0 0 l=0 b l + a 0 q. Fur das Wurzelriterium ist die Argumetatio och eifacher. Gilt a <, so gibt es eie reelle Zahl q mit 0 < q <, so dass a < q a < q fur alle 0 N ud damit ist a a 0 = a + 0 = 0 q = a + q 0 0 q = a + q 0 0 = 0 q 0 a + q 0 q. Nachweis der Divergez: Uter de obige Aahme ist (a ) 0 eie Nullfolge. # Beispiel Die Reihe = si( 3 +3) ist absolut overget, da si( 3 + 3) , fur 3 (da > 2 3 ) ist ud die Reihe Beispiel Die Reihe = ( + ) gema Beispiel 5.23 overgiert. = ist ach dem Vergleichsriterium overget, da overget ist. = 2 (+) 2 ist ud die Reihe Mit Hilfe der Folge der Partialsumme zeigt ma, dass die Folge gege overgiert. Es gilt s = a = = +. =

17 Beispiel Die Reihe ist ach dem Quotieteriterium diverget, da (+) +2 (+2)! + (+)! = 3. ZAHLENREIHEN 65 + (+)! ( ( + ) +2 ( + )! = = + ) ( + ) + ( + 2)! = e >. Beispiel Die Reihe + 2 2! + 4 3! + 8 4! + 6 5! +... = 2 ( + )! ist ach dem Quotieteriterium overget, da 2 + (+2)! 2 (+)! Beispiel Die Reihe ( ) 2 ( ) =0 2 + ( + )! 2 = = ( + 2)!2 + 2 = 0. ( ) = 9 = ( ) 2 + ist ach dem Wurzelriterium overget, da ( ) = = 2 <. Beispiel Die Reihe diverget, da (2 3 = ) ( + ) ( 2 ) = ( 2 ) ( 3 + ( ) 2) ist ach dem Wurzelriterium ( ) ( 2 + ) = 2 e, 8 >. 3 3 Ohe Beweis zwei ur fur absolut overgete Reihe gultige Recheregel: Satz 5.. Cauchy-Produt. Fur absolut overgete Reihe a ud b gilt die Produtformel ( ) ( ) ( ) a b = a b = a 0 b 0 +(a 2 b 0 +a 0 b )+(a 2 b 0 +a b +a 0 b 2 )+.... =0 Satz 5.2. Umordugssatz. Ist die Reihe a absolut overget mit dem Summewert s, da overgiert jede aus a durch Umordug der Glieder etstadee Reihe ebefalls gege s.

18 66 5. ZAHLENFOLGEN, GRENZWERTE UND ZAHLENREIHEN

α : { n Z n l } n a n IR

α : { n Z n l } n a n IR 1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen Agabe Aalysis - Beweise, Vollstädige Idutio, Folge 4. März 0 Aufgabe : Zum Aufwärme i Zeige durch geschictes Umforme, dass + + gilt. +!!!!!! +!! +! + + + + + ii Zeige durch vollstädige Idutio, dass 6 +

Mehr

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr

1. Zahlenfolgen und Reihen

1. Zahlenfolgen und Reihen . Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,

Mehr

Tutorium Mathematik I, M Lösungen

Tutorium Mathematik I, M Lösungen Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.

Die erste Zeile (Nummerierung) denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen. Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.

Mehr

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum

Mehr

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln 6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 8

Aufgaben zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe

Mehr

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,

Mehr

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 = Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

1 Vollständige Induktion

1 Vollständige Induktion 1 Vollstädige Idutio 1.1 Idutiosbeweise Das Beweisprizip der vollstädige Idutio ist eies der wichtigste Hilfsmittel der Mathemati icht ur der Aalysis. Es fidet Verwedug bei pratische alle Aussage, die

Mehr

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;

Mehr

Aufgaben zur vollständigen Induktion

Aufgaben zur vollständigen Induktion c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist

Mehr

Bitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann

Bitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann Das folgede Skript zur Vorlesug Spezielle Aspekte der Aalysis für Studierede des Lehramts a Grud, Haupt ud Realschule wird fortlaufed aktualisiert ud verädert werde. Das Skript ethält bei weitem icht alle

Mehr

3 Konvergenz, Folgen und Reihen

3 Konvergenz, Folgen und Reihen 3 Kovergez, Folge ud Reihe Für die Eiführug der reelle Zahle ware Cauchy-Folge vo ratioale Zahle vo großer Bedeutug. Gaz Allgemei lasse sich Folge vo Elemete i eier beliebige Mege A betrachte. Defiitio

Mehr

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P)

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P) Serie Abgabetermi: spätestes 24.0.2006, 09:00 Uhr Aufgabe.: 5 P Zeige Sie, dass das geometrische Mittel icht größer ist als das arithmetische Mittel, d.h., dass für alle Zahle a, b R mit a, b 0 gilt ab

Mehr

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09 Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

Einführung in die Grenzwerte

Einführung in die Grenzwerte Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der

Mehr

5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen

5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen 5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils

Mehr

Nennenswertes zur Stetigkeit

Nennenswertes zur Stetigkeit Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit

Mehr

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (

Mehr

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt

Mehr

6. Folgen und Grenzwerte

6. Folgen und Grenzwerte 56 Adreas Gathma 6. Folge ud Grezwerte Wie scho am Ede des letzte Kapitels ageküdigt wolle wir u zur eigetliche Aalysis, also zur lokale Utersuchug vo Fuktioe komme. Der zetrale Begriff ist dabei der des

Mehr

Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!

Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach! Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud

Mehr

5.3 Wachstum von Folgen

5.3 Wachstum von Folgen 53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische

Mehr

Folgen und Reihen Glege 03/01

Folgen und Reihen Glege 03/01 Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische

Mehr

18 2 Zeichen, Zahlen & Induktion *

18 2 Zeichen, Zahlen & Induktion * 18 2 Zeiche, Zahle & Idutio * Ma macht sich z.b. sofort lar, dass das abgeschlossee Itervall [ 3, 4] die Eigeschafte if[ 3, 4] 3 mi[ 3, 4] ud sup[ 3, 4]4max[ 3, 4] besitzt, währed das offee Itervall 3,

Mehr

Aufgaben zur Analysis I

Aufgaben zur Analysis I Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Mathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder

Mathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder Mathematik Abiturwisse Script vo Michael Telgkamp Vorlesug Dr. Bruder . Eiführug Abiturwisse Mathematik / 9. Zahlebereiche: N atürliche Zahle Z gaze Zahle Q ratioale Zahle R reelle Zahle C komplee Zahle

Mehr

1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6

1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6 65 Eric Müller Vollstädige Iduktio Nach GIUSEPPE PEANO (858-93) ka ma die Mege N der atürliche Zahle durch folgede Axiome defiiere []:. ist eie atürliche Zahl.. Zu jeder atürliche Zahl gibt es geau eie

Mehr

Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus

Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus www.mathemati-etz.de Copyright, Page 1 of 6 Streifzug durch die Welt der Biome ud darüber hiaus Die biomische Formel sid ützliche Istrumete, welche i viele Gebiete der Mathemati gewibriged eigesetzt werde

Mehr

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält

Mehr

Elementare Beweismethoden - Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollständige Induktion -

Elementare Beweismethoden - Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollständige Induktion - Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite vo 7 7.04.06 Elemetare Beweismethode - Direter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollstädige Idutio - 0. Vorbemerug zum Begriff des (allgemeie) Beweises

Mehr

5.7. Aufgaben zu Folgen

5.7. Aufgaben zu Folgen 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils

Mehr

III. Konvergenz von Folgen und Reihen

III. Konvergenz von Folgen und Reihen III.. Die Betragsfuktio metrische Räume 4 III. Kovergez vo Folge ud Reihe Durch die Betragsfuktio erhalte wir auf de reelle Zahle eie Abstadsbegriff ud somit eie metrische Struktur. Wir köe u Kovergez

Mehr

Lösungen zu Kapitel 4

Lösungen zu Kapitel 4 Lösuge zu Kapitel 4 Lösug zu Aufgabe : Die folgede Grezwerte köe aalog zu Beispiel 4.(c bestimmt werde: (a lim + = 3 3. (b Die Folge a ist diverget. (c lim + = 0. 3 (d lim ( + 3 = 0. (e lim ( + = 0. Lösug

Mehr

8.3. Komplexe Zahlen

8.3. Komplexe Zahlen 8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse

Mehr

Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen

Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen Vorlesugsergäzug zur Igeieurmathematik R.Brigola Ei kleies Eimaleis über Mittelwertbilduge Grudlage über arithmetische Mittel, geometrische Mittel, harmoische Mittel, quadratische Mittel ud das arithmetisch-geometrische

Mehr

Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel

Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr. 4003 (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt Defiitio eier Reihe

Mehr

Zahlenfolgen und Reihen

Zahlenfolgen und Reihen Zahlefolge ud Reihe Was ist eie Zahlefolge Bildugsgesetz We wir z. B. vo der Mege N der atürliche Zahle spreche, so sehe wir sozusage eie Sack voller Zahle, es besteht keie Ordug. Wir wede us u dem Fall

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

(8) FOLGEN und REIHEN

(8) FOLGEN und REIHEN Folge ud Reihe ÜBUNGEN Bestimme die gegeseitige Lage der Ebee ud gib die gemeisame Pukte bzw. Gerade a. x+4y - 6z= x + y - z = 4x - 4y+4z=0 x + y z = 0 x - y+z = x + y + z = x+y -5z= 4x - 7y+z= -x+y -z=8

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n, f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug

Mehr

Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD.

Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD. ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow Ihalt Eiführede

Mehr

Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5

Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5 FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die

Mehr

= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.

= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen. Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

1 Funktionen und Flächen

1 Funktionen und Flächen Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,,

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati PROF DRDR JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Iformatier I Witersemester 2003/2004 Aufgabeblatt 8 12 Dezember

Mehr

2 Differentialrechnung und Anwendungen

2 Differentialrechnung und Anwendungen Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug

Mehr

Testen statistischer Hypothesen

Testen statistischer Hypothesen Kapitel 9 Teste statistischer Hypothese 9.1 Eiführug, Sigifiaztests Sigifiaztest für µ bei der ormalverteilug bei beatem σ = : X i seie uabhägig ud µ, ) verteilt, µ sei ubeat. Stelle eie Hypothese über

Mehr

Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Serie 10

Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Serie 10 Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Mathematik Prof. A. Griewak Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jase Übugsaufgabe zur Vorlesug ANALYSIS I (WS 2/3) Serie 0 Musterlösug S.

Mehr

3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung

3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung 40 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe 3.2 Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Wede wir us u de Reiheetwickluge vo Fuktioe zu. 3.2. Defiitio Uter eier Potezreihe um de Pukt z 0 C versteht ma eie Reihe der

Mehr

Die eindeutige Duplizierung und Replizierung mit speziellen Supplementsystemen. Rudolf Pleier

Die eindeutige Duplizierung und Replizierung mit speziellen Supplementsystemen. Rudolf Pleier Die eideutige Duplizierug ud Replizierug mit spezielle Supplemetsysteme Rudolf Pleier D-92694 tzerict, Mai 2015 Ialtsverzeicis 1 1 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Termigescäfte...

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 2 - Konvergenz

Skript zur Analysis 1. Kapitel 2 - Konvergenz Skript zur Aalysis Kapitel 2 - Kovergez vo Prof. Dr. J. Cleve Fachhochschule Dortmud Fachbereich Iformatik September 2003 2 Ihaltsverzeichis 2 Folge ud Reihe 5 2. Folge.................................

Mehr

3. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

3. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathemati Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dip.-Math. Susae Pape. Übugsbatt zur Voresug Mathemati I für Iformati Witersemester 2009/2010 27./28. Otober 2009 Gruppeübug Aufgabe G1 (Biomiiaoeffiziete

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Beispiele, Graken, Beweise. c Uwe Jensen

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Beispiele, Graken, Beweise. c Uwe Jensen Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Beispiele, Grake, Beweise c Uwe Jese 8. Oktober 2007 Ihaltsverzeichis 4 Folge, Reihe, Grezwerte, Stetigkeit 47 4. Folge ud Reihe............................ 47

Mehr

7. Potenzreihen und Taylor-Reihen

7. Potenzreihen und Taylor-Reihen 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 39 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe Mit Hilfe der Cauchysche Itegralformel wolle wir u i diesem Kapitel ei weiteres sehr zetrales Resultat der Fuktioetheorie herleite, ämlich

Mehr

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =

Mehr

Eulersche Summationsformel

Eulersche Summationsformel Eulersche Summatiosformel ei Prosemiarvortrag Sve Grützmacher Betreut vo Dr. Kaste Cotets Vorwort Die eifache Formel 3 Die allgemeie Formel 5 4 Awedug 7 VORWORT Vorwort Dieser Prosemiarvortrag beschäftigt

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug

Mehr

Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt

Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de

Mehr

Die Gammafunktion. 1 Motivation und Definition der Gammafunktion

Die Gammafunktion. 1 Motivation und Definition der Gammafunktion Vortrag zum Semiar zur Futioetheorie, 4..8 Miriam Tamm I diesem Vortrag werde wir us mit der Gammafutio beschäftige. Sie ist eie der wichtigste mathematische Futioe ud eie der eifachste vo de ichtelemetare

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben II

Lösungen der Übungsaufgaben II Mathemati für die erste Semester (. Auflage): Lösuge der Übugsaufgabe II C. Zerbe, E. Osser, W. Müceheim 7 0 49 4. Ma bereche die Biomialoeffiziete,,,. 8 7 7! 74 7!(7 )! 4 0 49 ; 4; 98 8 8 4. Ma beweise

Mehr

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrateauf*Spielfelder Mit Erläuteruge zur Ableitug der Formel vo Dr. Volker Bagert Berli, 11.03.010 Ihaltsverzeichis

Mehr

Beweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen

Beweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen Beweistechike Vollstädige Iduktio - Beispiele, Erweiteruge ud Übuge Alex Chmelitzki 15. März 005 1 Starke Iduktio Eie etwas abgewadelte Form der Iduktio ist die sogeate starke Iduktio. Bei dieser Spielart

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

2 Folgen. Reihen. Konvergenz

2 Folgen. Reihen. Konvergenz 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 28 2 Folge. Reihe. Kovergez 2. Grudlage 2.. Folge: Defiitio ud erste Beispiele Defiito: Eie (reelle Zahle-)Folge ist eie Zuordug, bei der jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

3 Das Pascalsche Dreieck

3 Das Pascalsche Dreieck Goldeer Schitt Fiboacci Pascalsches Dreiec 3 Das Pascalsche Dreiec 3. Hocey, Taxifahre ud das Pascalsche Dreiec Was hat es mit dem Hoceyschläger auf sich? Wie viele Möglicheite hat ei Taxifahrer i New

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr DEMO für ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gz ausführliches Traiig Datei Nr. 40012 Neu geschriebe ud sehr erweitert Std: 4. Februar 2010 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i

Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge 1.1.1. Vorschüssige Retezahluge Ausgagspukt: Über eie edliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert RBW v,i ), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zu Begi

Mehr

Tobias Martin. Finanzmathematik. Mathematik-Studienhilfen. Grundlagen Prinzipien Beispiele. 3., aktualisierte Auflage

Tobias Martin. Finanzmathematik. Mathematik-Studienhilfen. Grundlagen Prinzipien Beispiele. 3., aktualisierte Auflage Tobias Marti Mathematik-Studiehilfe Fiazmathematik Grudlage Prizipie Beispiele 3., aktualisierte Auflage Tobias Marti Fiazmathematik Mathematik - Studiehilfe Herausgegebe vo Prof. Dr. Berd Egelma Hochschule

Mehr

Die Eulersche Reihe (Eine spezielle Fourierreihe)

Die Eulersche Reihe (Eine spezielle Fourierreihe) Die Eulersche Reihe (Eie spezielle Fourierreihe) Luis Felipe Müller Ausarbeitug zum Vortrag im Prosemiar Aalysis (Sommersemester 009, Leitug Prof. Dr. Eberhard Freitag) Ihaltsverzeichis Abbildugsverzeichis

Mehr

Folgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis

Folgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug

Mehr

5 Die komplexen Zahlen

5 Die komplexen Zahlen $Id: komplex.tex,v.6 00// :35: hk Exp $ $Id: folge.tex,v.3 00// :35:33 hk Exp hk $ 5 Die komplexe Zahle 5. Die komplexe Multiplikatio Wir hatte am Ede der letzte Sitzug die Polarkoordiate z r e(φ mit e(φ

Mehr

Musterlösungen für die Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik 2 für Informationswirtschaft. Markus Richter

Musterlösungen für die Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik 2 für Informationswirtschaft. Markus Richter Musterlösuge für die Übugsaufgabe zur Vorlesug Mathematik für Iformatioswirtschaft Markus Richter 4. September 0 Ihaltsverzeichis Norme ud Skalarprodukte. Norme....................................... Skalarprodukte..................................

Mehr