Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr

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1 Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/ Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe: Bis Doerstag, de , um :30 Uhr Aufgabe 9 (K) Utersuche Sie die Folge mit de achstehede Folgeglieder ( N) auf Kovergez ud bereche Sie gegebeefalls ihre Grezwert. a) a = (3 2 ) 3 +, c) c = 2 + α + β, α,β 0, b) b = a + b, 0 a b, d) d = Lösugsvorschlag a) Die Summade i der Defiitio der Glieder vo (a ) bilde keie kovergete Folge. Deshalb köe wir Satz 2.7 a) icht awede. Wir schreibe die Glieder mit dem Haupteer als Bruch: a = (3 2 ) 3 = (4 2)( 3 + ) + 3 (3 2 )( 2 + 4) + ( 3 + )( 2 + 4) = = = = ( ) Dabei habe wir die höchste Potez vo die im Neer auftritt i Zähler ud Neer ausgeklammert. Da habe wir ei Beispiel aus der Vorlesug sowie Satz 6.2 (3) d), f) ud g) verwedet. b) aus 0 a b folgt b a + b 2b. Daraus folgt (siehe Hilfssatz 5. bzw. Übug) b = b a + b = b 2b = 2b N. Da die kostate Folge mit Folgeglieder b gege b kovergiert, geauso wie die Folge mit de Folgeglieder 2b, da 2 für (siehe Übug), folgt aus Satz 6.2. (3) b) ud f), dass b b ( ).

2 c) Wir bereche c = 2 + α + β = ( 2 + α + β )( 2 + α + β + ) = 2 + α + β α + β α + β + α + β α + 0 = = α + α + β ( ). Dabei habe wir die höchste Potez vo die im Neer auftritt i Zähler ud Neer ausgeklammert. Da habe wir ei Beispiel aus der Vorlesug sowie Satz 6.2 (3) d), f) ud g) verwedet. d) Wege 3 = = 4 3 folgt (siehe Hilfssatz 5. bzw. Übug) ( ) 3 = = d 4 3 = 4( ) 3 N. Wie i der Übug gesehe, kovergiert sowohl der Ausdruck gaz liks als auch der Ausdruck gaz rechts jeweils gege für. Mit Satz 6.2 (3) b) ud f) erhalte wir d ( ). Aufgabe 0 a) Gebe Sie i (i) bis (v) reelle Folge (für N) mit de jeweilige Eigeschafte a (im Falle diverget jeweils mit eiem beschräkte ud eiem ubeschräkte Beispiel i (ii) bis (v), falls möglich). (i) (a ) ist beschräkt ud diverget. (ii) (a ) ist koverget ud (b ) diverget sowie a 2 = b 2 für alle N. (iii) (a ) ist koverget ud (b ) diverget sowie (a b ) koverget. (iv) (a ) ist koverget ud (b ) diverget sowie (a b ) diverget (v) (a ) ud (b ) sid jeweils diverget sowie (a b ) koverget. b) Utersuche Sie die Folge mit de achstehede Folgeglieder ( N) auf Kovergez ud bereche Sie gegebeefalls ihre Grezwert. (i) a = k=0 2 +k, (ii) b = ( + ) p ( + ), p Q. Lösugsvorschlag a) (i) Zum Beispiel a = ( ) für alle N. (ii) Zum Beispiel a = ud b = ( ) für alle N ((b ) beschräkt) oder a = 0 ud b = ( + ( ) + ) ((b ) ubeschräkt). (iii) Zum Beispiel a = ud b = ( ) für alle N ((b ) beschräkt) oder a = ud 2 b = für alle N ((b ) ubeschräkt). 2

3 (iv) Zum Beispiel a = + ud b = ( ) für alle N ((b ) ud (a b ) beschräkt), a = ud b = für alle N ((b ) ud (a b ) ubeschräkt) oder a = ( ) ud b = für alle N ((b ) ubeschräkt ud (a b ) beschräkt).(b ) beschräkt ud (a b ) ubeschräkt ist icht möglich, da das Produkt zweier beschräkert Folge (a ) ud (b ) wieder beschräkt sei muss. (v) Zum Beispiel a = b = ( ) (beide beschräkt), a = ( + ( ) ) ud b = ( + ( ) + ) (beide ubeschräkt) oder a = ( + ( ) ) ud b = ( + ( ) + ) (je eie beschräkt ud eie ubeschräkt). b) (i) Sei N. Für alle k N gilt da k = 2, also folgt = + + = = 2 + = k = =, das heißt a +. Nach Satz 6.2 der Vorlesug gilt + Daher folgt, ebefalls mit Satz 6.2, a für. (ii) Zuerst bereche wir ( )( ) b = ( + ) p ( + )p = = für. Jetzt schätze wir die Glieder b ach ute bzw. obe ab. Das liefert eie Idee wa die Folge kovergiert ud gege welche Grezwert. Idem wir de Summade 0 im Neer wegfalle lasse erhalte wir b ( + )p = ( + ) p /2. Wege + gilt + ach Hilfssatz 5. (bzw. Übug). Wir erhalte damit die utere Abschätzug ( + ) p b = ( + )p /2. Wir sehe, dass wir die Fälle p < 2, p = 2 ud p > 2 betrachte sollte, weil sich damit das Verhalte der eischließede Folge ädert. Falls p < 2 ( p 2 < 0), folgt (wieder mit Hilfssatz 5. bzw. Übug) 0 b ( + ) p /2 p /2 0, ( ). I der Übug wurde gezeigt, dass i diesem Fall b 0, ( ). 3

4 Falls p = 2 ( p 2 = 0) utze wir wieder + aber diesmal für eie obere Abschätzug. Es gilt 2 = + 2 ( + )p /2 b = = Satz 6.2 liefert, dass i diesem Fall b 2, ( ). Falls p > 2 ( p 2 < 0) erhalte wir mit der utere Abschätzug vo obe ud Satz.26 d) (es ist < + ud p 2 > 0) b 2 ( + )p /2 2 p /2. I der Übug wurde gezeigt, dass die Folge mit de Glieder p /2 ubeschräkt ist. Somit ist auch die Folge (b ) i diesem Fall ubeschräkt. Aufgabe (K) a) Zeige Sie, dass die Folge mit de achstehede Folgeglieder ( N) divergiere. (i) a =!, (ii) b = ( ). b) Die Folge (a ) sei defiiert durch a := + 2 für N. Beweise Sie die Kovergez vo (a ) gege ei a über die Defiitio, idem Sie zu jedem ε > 0 ei 0 (ε) N fide mit a a < ε für alle 0 (ε). c) Zeige Sie: Ist (a ) eie Nullfolge ud (b ) eie beschräkte Folge, da kovergiert die Folge mit de Glieder a b für N. Gilt das auch, we (a ) gege eie adere Wert als 0 kovergiert? d) Sei A R icht leer ud ach obe beschräkt. Beweise Sie die Existez eier maximierede Folge, d.h. eier Folge (a ) mit a A für alle N ud lim a = supa. Lösugsvorschlag a) (i) Wir beobachte, dass a = ( ) = N Somit ist die Folge ubeschräkt (zu jedem c 0 fide wir ei N mit a c) ud deshalb diverget. (ii) Wäre die Folge koverget, so wäre auch die Folge gegebe durch c = ( ) = b + als Summe zweier kovergeter Folge ach Satz 6.2 koverget. Dass die Folge (c ) jedoch diverget ist, wurde i der Vorlesug gezeigt. Alterativ ehme wir a, (b ) kovergiere gege eie Grezwert b. Sei ε = 3 4, da existiert ei 0 N mit b b < ε 0. 4

5 Nu folgt jedoch für 0, dass b b + = 2 (+), falls gerade, ud b b + = 2, falls ugerade, also zusamme (+) ( + ) b b + b b + b b + < = 3 2, ei Widerspruch. Somit divergiert die gegebee Folge. b) Idem wir im Zähler ud Neer ei ausklammer ud die aus der Vorlesug bekate Tatsache verwede, dass gege 0 kovergiert für, sehe wir ahad der Recheregel für kovergete Folge, dass a = 2 + = ( ). Geauer gilt a 2 = = 2 = ud somit a 2 < ε > 2 ε. Wir wähle also 0(ε) als die kleiste atürliche Zahl größer 2 ε. c) Nach Voraussetug gibt es ei r 0 so, dass b r für alle N. Wir zeige, dass die Folge mit de Glieder a b eie Nullfolge ist ud müsse somit ur dere Beträge betrachte. Da a 0, köe wir wie folgt abschätze: 0 a b a b r a. Satz 6.2 (2) besagt, dass die Folge (r a ) gege 0 kovergiert für. Somit köe wir mit 6.2 (3) b) der Vorlesug schließe, dass (a b ) eie Nullfolge ist, isbesodere also kovergiert. Das Beispiel a = ud b = ( ) für alle N zeigt, dass die Aussage icht gilt, we ma ur aimmt, dass (a ) eie beliebige kovergete Folge ist. d) Da A icht leer ud ach obe beschräkt ist, existiert supa R. Für alle N setze ε := > 0. Nach Satz.3 existiert für jedes N ei a A mit a supa ε. Da das Supremum eie obere Schrake vo A ist, gilt außerdem a supa für alle N. Zusammegeomme erhalte wir a supa ε = 0 ( ), womit a gege supa kovergiert für ach Satz 6.2(2). Aufgabe 2 a) Zu eier Folge (a ) defiiert ma die Folge der Cesàro-Mittel durch c := a k für N. 5

6 (i) Zeige Sie: Kovergiert (a ) gege ei a R, da kovergiert auch (c ) gege a. (ii) Gebe Sie eie divergete Folge (a ) a dere Folge vo Cesàro-Mittel kovergiert. Beweise Sie die Kovergez. b) Etscheide Sie jeweils (Beweis oder Gegebeispiel), ob (a ) eie Nullfolge ist, falls es zu jedem ε > 0 ei 0 N gibt, so dass für alle 0 gilt: (i) a 2 + 2a < ε (ii) a < ε 2 + ε + 3 ε (iii) a < ε. Lösugsvorschlag a) (i) Sei ε > 0. Weil (a ) gege a kovergiert, gibt es zu 2 ε > 0 ei N N mit a k a 2 ε für alle k N. Der Abstad der übrige Folgeglieder zu a lässt sich ach obe beschräke, de die Mege { a a,..., a N a } ist edlich, besitzt also ei Maximum r := max{ a a,..., a N a }. Wähle u 0 N so, dass 0 N ud Nr ε r(n ) 0 2. Da gilt auch rn < ε 0 2 für alle 0. Sei u 0. Es gilt a = a = a. Somit erhalte wir durch Awedug der Dreiecksugleichug a k a = (a k a) a k a N = a k a + N r + ε 2 + ε 2 = ε Das zeigt, dass die Folge (c ) gege a kovergiert. a k a k=n ε 2 = N r + ε 2 (ii) Es ist bekat, dass die Folge mit de Glieder a = ( ) icht kovergiert (siehe Vorlesug). Mit vollstädiger Iduktio sieht ma umittelbar ei, dass ( ) k 0, gerade = also isb., ugerade ( ). Hieraus folgt ( ) = ( ), sodass die Folge der Cesàro Mittel zu (a ) ach Satz 2.0 b) gege 0 kovergiert. b) (i) (a ) muss keie Nullfolge sei. Nehme wir zum Beispiel die Folgeglieder a = ( + ( ) ), so gilt a { 2,0} N. 6

7 Somit gilt für alle ε > 0 ud alle N, dass a 2 + 2a = a a + 2 = 0 < ε, obwohl (a ) offesichtlich diverget ist. Auch eie kovergete Folge (a ) ist möglich, zum Beispiel a = 2 für alle N. (ii) Hier ist die Aussage richtig. Sie gilt auch für adere Grezwerte als 0 ud für beliebig komplizierte Terme auf der rechte Seite, solage diese "klei sid, we ε klei ist". Sei ε > 0 beliebig.. Fall: ε. Da gilt ε, 4 ε ε < ε. Zu δ = 6 gibt es ach Voraussetzug ei 0 N mit a < δ 2 + δ + 3 δ. Dies bedeutet a < ε ε 4 ( ε ε ) < ε Fall: ε <. Da gilt ε 2,ε 4 ε. Zu δ = ε2 6 gibt es ach Voraussetzug ei 0 N mit a < δ 2 + δ + 3 δ. Dies bedeutet a < ε ε ε ( 4 ε ) < ε. 4 (iii) (a ) muss keie Nullfolge sei. Nehme wir zum Beispiel die Folgeglieder a = 42 für alle N, so gilt für alle ε > 0 ud 42 ε a = 42 = 42 ε ε ε, aber (a ) ist offesichtlich keie Nullfolge. Ei aderes Beispiel wäre a = 42 für alle N. 7