4-1 Elementare Zahlentheorie

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1 4-1 Elemetare Zahletheorie 4. Dirichlet s Satz über Primzahle i arithmetische Progressioe. Satz (Dirichlet 1837). Seie a, k atürliche Zahle. Sid die Zahle a, k teilerfremd, so gibt es uedlich viele Primzahle mit a mod k. Also: Sid die Zahle a, k teilerfremd, so ethält die Folge a, a + k, a + 2k, a + 3k,... (ma et dies eie arithmetische Progressio) uedlich viele Primzahle. Die Umkehrug gilt atürlich auch (sogar i verschärfter Form): Gibt es weigstes zwei Primzahle 1 2 mit i a mod k für i = 1, 2, so sid a, k teilerfremd (de i a mod k besagt, dass es x i N gibt mit i = x i k + a; ist d ei gemeisamer Teiler vo a ud k, so ist d auch ei Teiler vo x i k + a = i, also ei gemeisamer Teiler vo 1, 2 ; der eizige gemeisame Teiler vo zwei verschiedee Primzahle ist 1). Es gilt also: Sid a, k atürliche Zahle, so ist die Azahl der Primzahle mit a mod k etweder 0 oder 1 oder. Im Fall a = k = 1 ist dies Euklid s Satz, dass es uedlich viele Primzahle gibt. Für k = 2 ist dies auch icht aufreged: es gibt uedlich viele ugerade Primzahle. Aber für alle k 3 ist dies iteressat. Für k = 10 besagt der Satz: Für jede der Ziffer 1, 3, 7, 9 gibt es uedlich viele Primzahle mit dieser Edziffer i der Dezimaletwicklug vo. Wir werde zeige, dass die Reihe a divergiert. Wir werde sogar eie Art Gleichverteilug der Primzahle auf die zu k teilerfremde Restklasse beweise. l() 4.0. Erierug: Restklasse-Charaktere Defiitio. Sei k N. Ei Restklasse-Charakter modulo k ist eie zahletheoretische Fuktio : N C mit folgede drei Eigeschafte: (i) Geau da ist () = 0, we (, k) > 1 gilt. (ii) Ist mod k, so ist () = ( ). (iii) Die Fuktio ist stark multilikativ Ist ei Restklasse-Charakter modulo k, so ist jeder vo Null verschiedee Wert () eie φ(k)-te Eiheitswurzel Es gibt geau φ(k) Restklasse-Charaktere modulo k Für jedes k gibt es de Restklasse-Charakter (k) 0 mit (k) 0 () = 1 falls (, k) = 1 0 sost ma et ih de Hautcharakter, die übrige Restklasse-Charaktere ehme auch Werte ugleich Null ud Eis a. Ei Restklasse-Charakter, der ur reelle Werte (also 0, 1, 1) aimmt, heißt reeller Charakter.,

2 Leitfade Bielefeld WS 2009/ Orthogoalitätsrelatio I. Sei ei Restklasse-Charakter modulo k. Da gilt: k φ(k) falls = 0 (l) = 0 0, l=1 statt über die Zahle 1 l k zu summiere, ka ma über ei beliebiges Reräsetatesystem modulo k summiere Orthogoalitätsrelatio II. Seie l, l N mit (k, l) = 1. Da gilt: φ(k) falls l 1 mod k, (l) = 0 l 1 mod k, dabei wird über alle Restklasse-Charaktere modulo k summiert. Wir verwede eie allgemeiere Versio: Für l, l N mit (k, l) = 1 gilt: (l ) φ(k) falls l (l) = l mod k, 0 l 1 mod k, (wieder wird über alle Restklasse-Charaktere modulo k summiert) Treug der Restklasse. Vo u a sei k N fest gewählt. So weit ichts aderes otiert ist, sid alle Kogrueze, Restklassebilduge ud Restklasse-Charaktere modulo k. Wie üblich ee wir eie Fuktio f : M C beschräkt (hier ist M eie Mege, ebe der Defiitiosbereich vo f, etwa M = R oder M = N) beschräkt, we es eie reelle Zahl b gibt mit f(x) b für alle x M. Sid f, g: M C Fuktioe, so schreibt ma f(x) = g(x) + O(1), falls f g beschräkt ist ( Ladau-Notatio ). Hier ist eie eidrigliche Warug erforderlich: Die Ladau-Notatio ist ei Missbrauch des Gleichheitszeiches: liks steht eie Fuktio, rechts steht sozusage eie gaze Klasse vo Fuktioe.... Noch eie allgemeie Bemerkug. We wir mit eier Reihe der Form t a t arbeite, müsse wir jeweils Partialsumme betrachte. Sid die Zahle a t icht-egative reelle Zahle, so folgt aus der Beschräktheit der Partialsumme die Kovergez der Reihe. Oft werde aber die Zahle a t beliebige komlexe Zahle sei. Da folgt aus der Beschräktheit der Partialsumme keieswegs die Kovergez. Machmal würde es viel Mühe bereite, die Kovergez zu zeige, währed ma leicht die Beschräktheit sieht. We die Beschräktheit für die jeweilige Argumetatio ausreicht, werde wir auch ur dies zeige. Wir folger i diesem Abschitt die Divergez vo aus eier Voraussetzug ( ). Die weitere Abschitte diee da dazu, diese Voraussetzug zu beweise. l()

3 4-3 Elemetare Zahletheorie Satz. Seie a, k N teilerfremd. Es gelte: ( ) Ist ei vom Hautcharakter verschiedeer Restklasse-Charakter, so ist die Fuktio () l() für x R beschräkt. Da ist die Reihe diverget. x a l() Beweis. Sei N die Mege der Primzahle x, ud für 0 c k 1 sei N(c) die Mege der N mit c mod k. 1 (a) N () l() = N = k 1 c=0 N(c) ( k 1 = c=0 = φ(k) () l() (a) N(a) (c) (a) ) (c) (a) l() l() N(c) l() Als erstes wurde die Reihefolge des Summieres geädert, da wurde N i die Restklasse modulo k zerlegt, dabei gilt da () = (c) für N(c). Drittes wird für jede Restklasse der kostate Faktor (c) (a) vorgezoge; dieser Faktor ist ur für a c vo Null verschiede ud da gleich φ(k), dies ist die zweite Orthogoalitätsrelatio. Es folgt also: N(a) l() = 1 1 φ(k) (a) = 1 φ(k) = 1 φ(k) N N N 0 () l() l() () l() + O(1), φ(k) (a) 0 N () l() dabei habe wir verwedet, dass eierseits 0 (a) = 1 gilt, adererseits, dass es ur edlich viele Primzahle mit 0 () 1 gibt, ud atürlich die Voraussetzug, dass alle Summade mit 0 beschräkt sid.

4 Leitfade Bielefeld WS 2009/ N Wir wisse, dass die Reihe l() l() divergiert. Dies besagt, dass die Fuktio (i Abhägigkeit vo x) ubeschräkt ist. Also sehe wir, dass N(a) (i Abhägigkeit vo x) ubeschräkt ist. Aber dies besagt gerade, dass die Reihe diverget ist. a l() l() 4.2. Verwedug der Magoldt-Fuktio. Wir begie mit eiem gaz allgemeie (ud für viele Überleguge wichtige) Hilfssatz: Lemma Die Reihe ist koverget. m 2 l m Beweis: Es ist t=0 1 = t 1, also t=2 1 = 1 t 2 1 = 1 ( 1). Also m 2 l m = < 2 2 l() ( 1) l() ( 1) 2 l() 2 (die letzte Abschätzug folgt aus 2( 1) 2 für 2). Die letzte Reihe ist bekatlich koverget (de l() 1/2, also wird die Reihe l() durch die 2 Reihe 1/2 2 = 3/2 = ζ( 3 2 ) majorisiert). Die Magoldt-Fuktio Λ ist folgedermaße defiiert: l() falls eie echte Potez vo ist, Λ() = 0 sost Korollar. Kovergiert beschräkt. () l() ()Λ(), so ist die Fuktio () l() x ()Λ() Beweis: Die Fuktioe x ud x uterscheide sich ur durch Terme der Form l() mit Primzahl ud m 2. Es ist also m x () l() = x ()Λ() + O(1).

5 4-5 Elemetare Zahletheorie ()Λ() We also kovergiert, so ist die Fuktio x ist auch die Fuktio x beschräkt. () l() ()Λ() beschräkt, also 4.3. L-Reihe: Kovergez Sei k eie atürliche Zahl ud ei Restklasse-Charakter modulo k Defiitio. Ma et L(s, ) = () s eie (Dirichlet sche) L-Reihe. Für k = 1 gibt es ur de Hautcharakter (1) 0, ud L(s, (1) 0 ) = ζ(s) ist icht aderes als die Riema sche ζ-fuktio. Ei Beisiel für k = 4. Es gibt geau eie icht-triviale Restklassecharakter modulo 4, ämlich 1 1 mod 4, () = 1 für 3 mod 4, 0 0 mod 2 Es ist L(1, ) = , dies ist die sogeate Leibiz-Reihe mit Wert L(1, ) = π 4 ; vor Leibiz (1682) war diese Reihe scho im 14.Jahrhudert dem idische Mathematiker Madhava bekat; der schottische Mathematiker Gregory otierte die Formel Alle L-Reihe sid für s > 1 absolut koverget. Beweis: Es ist () etweder gleich 1 s oder aber Null, also ist 1 s eie Majorate. s Warug. Keie L-Reihe ist für s = 1 absolut koverget. Beweis: Sei ist ei Restklasse-Charakter modulo k. Die folgede Kogrueze sid alle modulo k. Ageomme, L(1, ) ist absolut koverget. Da ist die Teilreihe koverget. Aber es gilt > 1 > > 1, 2 k demach wäre alle diese Reihe ud da auch ihre Summe koverget. Die Summe ist aber die harmoische Reihe. Folgerug. Ist ei Hautcharakter, so ist L(1, ) diverget. Beweis: Hier hadelt es sich ja um eie Reihe mit icht-egative Glieder.