Lösung: Die Zahl ist die größte Zahl mit der in der Aufgabenstellung genannten Eigenschaft.

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1 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg 005 Rude ufgabe Eie atürliche Zahl besteht aus paarweise verschiedee Ziffer, vo dee keie Null ist. Streicht ma i dieser Zahl eie beliebige Ziffer k, so ist die eu etstadee Zahl durch k teilbar. estimme die größte Zahl mit dieser Eigeschaft. Lösug: Die Zahl ist die größte Zahl mit der i der ufgabestellug geate Eigeschaft. eweis: Die Zahl erfüllt alle Teilbarkeitsbediguge der ufgabe: teilt teilt 97368, da die Edziffer 8 gerade ist. 3 teilt 9768, da die Quersumme 33 durch 3 teilbar ist. 6 teilt 9738, da diese Zahl gerade ist ud ihre Quersumme 30 durch 3 teilbar ist. 7 teilt 9368, da 9368 = teilt 9736, da die aus de letzte 3 Ziffer gebildete Zahl 36 durch 8 teilbar ist. 9 teilt 7368, da die Quersumme 7 durch 9 teilbar ist. Es wird u gezeigt, dass es keie Zahl N gibt, die größer als ist ud zugleich die i der ufgabe geforderte Eigeschaft besitzt. Sei N die größte Zahl mit der i der ufgabestellug geforderte Eigeschaft. Im Folgede ist N(k) die Zahl, die aus N etsteht, we ma aus N die Ziffer k streicht. Da die Ziffer 0 icht verwedet werde darf, ka auch die Ziffer 5 icht i der Darstellug vo N auftrete. Nach dem Streiche der Ziffer 5 müsste ämlich N(5) durch 5 teilbar sei, N(5) müsste also etweder mit der Ziffer 0 oder mit der Ziffer 5 ede. Dies ist umöglich, da 0 icht vorkomme darf ud die 5 gestriche wurde. Die Zahl N ka icht aus alle verbleibede acht Ziffer bestehe, de die Quersumme vo N(9) wäre da = 3, so dass N(9) icht durch 9 teilbar wäre. N ka also höchstes siebe Stelle besitze. Es muss also eie der Ziffer,,,9 i der Darstellug vo N fehle. Damit N möglichst groß wird, sollte die Ziffer 9 ethalte sei, daher muss die Quersumme vo N durch 9 teilbar sei (damit N(9) durch 9 teilbar bleibt). Da = 40, ist 36 die eizige durch 9 teilbare Zahl, die ma durch Subtraktio eier eistellige Zahl vo 40 erhalte ka. Somit ka die Ziffer 4 icht i der Darstellug vo N ethalte sei. Eie siebestellige Zahl mit de geforderte Eigeschafte ka also ur aus de Ziffer,, 3, 6, 7, 8 ud 9 bestehe. Die letzte Ziffer vo N ka icht ugerade sei, de beim Streiche jeder der drei gerade Ziffer k muss N(k) gerade sei. Streicht ma diese letzte Ziffer, so erket ma, dass aus dem gleiche Grud die vorletzte Ziffer gerade sei muss. Damit komme ur die Edzifferkombiatioe 6, 8, 6, 68, 8 ud 86 i Frage. LWM 005 Rude Seite vo

2 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg Die Zahl N(8) muss auch durch 4 teilbar sei. us diesem Grud komme die Edzifferkombiatioe 6 ud 6 icht i Frage, da diese Zahle icht durch 4 teilbar sid, was sie ach der bekate Teilbarkeitsregel für 4 sei müsste. Es bleibe also die vier mögliche Edzifferkombiatioe 8, 68, 8 ud 86. I alle vier Fälle edet N(8) etweder auf die Ziffer oder auf die Ziffer 6. us der Teilbarkeit vo N(8) durch 4 folgt, dass die drittletzte Ziffer vo N ugerade sei muss: Nur die zweistellige Zahle, 3, 5, 7 ud 9 bzw. 6, 36, 56, 76 ud 96 sid durch 4 teilbar ud ede mit der Eierziffer bzw. 6. Da ach dem Gezeigte 8 a der Eier- oder Zeherstelle steht, muss eie Zahl, die größer als ist ud die agegebee ediguge erfüllt, auch mit der Zifferkombiatio 97 begie. Utersucht ma die vier Fälle der mögliche Edzifferkombiatioe 8, 68, 8 ud 86 systematisch, so sid pro Fall ur och vier Zahle zu betrachte, de i jedem dieser vier Fälle bleibe für die drei mittlere Stelle drei Ziffer. Dabei muss die drittletzte Ziffer vo N ugerade sei. Edzifferkombiatio 8 (Die verbleibede Ziffer für die drei mittlere Stelle sid 6, 3 ud.) 97638: N(7) = 9638 = ist icht durch 7 teilbar : N(7) = 9638 = ist icht durch 7 teilbar : N(7) = 9368 = ist icht durch 7 teilbar ist kleier als 9738 (emerkug: erfüllt auch die gestellte ediguge.) Edzifferkombiatio 68 (Die verbleibede Ziffer für die drei mittlere Stelle sid 3, ud.) 97368: N(7) = 9368 = ist icht durch 7 teilbar : N(7) = 9368 = ist icht durch 7 teilbar : erfüllt alle Eigeschafte (siehe obe) ist kleier als Edzifferkombiatio 8 (Die verbleibede Ziffer für die drei mittlere Stelle sid 6, 3 ud.) 97638: N(7) = 9638 = ist icht durch 7 teilbar : N(7) = 9638 = ist icht durch 7 teilbar : N(7) = 9368 = ist icht durch 7 teilbar ist kleier als Edzifferkombiatio 86 (Die verbleibede Ziffer für die drei mittlere Stelle sid 3, ud.) 97386: N(7) = 9386 = ist icht durch 7 teilbar : N(7) = 9386 = ist icht durch 7 teilbar : N(7) = 9386 = ist icht durch 7 teilbar ist kleier als Da alle Fälle vollstädig behadelt wurde, ist gezeigt, dass die größte Zahl mit de geforderte Eigeschafte ist. LWM 005 Rude Seite vo

3 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg ufgabe I de Mittelpukte der Seite eies Dreiecks werde die Lote auf die Seite ach auße errichtet. Diese scheide de Umkreis des Dreiecks i de Pukte *, * ud *. Zeige, dass der Höheschittpukt des Dreiecks * * * zugleich der Ikreismittelpukt des Dreiecks ist. eweis: Schritt : Zuächst wird gezeigt, dass *, * ud * die Wikelhalbierede des Dreiecks sid. Ihr Schittpukt ist demach der Mittelpukt I des Ikreises des Dreiecks. *, β ud γ bezeiche die drei Iewikel des Dreiecks. S c Da * ach ufgabestellug auf der Mittelsekrechte zur Seite des Dreiecks liegt, ist * = *. Nach dem Umfagswikelsatz sid Umfagswikel zu gleich lage Sehe auch gleich weit. Daher folgt * = * =. alog ist β γ * = ud * =. S a * I S b * Schritt : Nu wird bewiese, dass *, * ud * sekrecht auf de Seite des Dreiecks * * * stehe; ihr Schittpukt ist demach der Höheschittpukt des Dreiecks * * *.. eweismöglichkeit zu Schritt : Die Wikel * ud * sid beide Umfagswikel über der Sehe *, * * β daher ist = = (siehe Schritt ). Die Wikel * * ud * γ sid beide Umfagswikel über der Sehe *, daher ist * * = * =. Sei S a der Schittpukt der Strecke * ud **. Da ergibt sich im Dreieck S a * : * S = 80 * * * * a = 80 * * * * β γ = 80 = 80 ( + β + γ) = 90. LWM 005 Rude Seite 3 vo

4 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg Daher steht * sekrecht auf **. alog steht * sekrecht auf ** ud * steht sekrecht auf **. Somit sid *S a, *S b ud *S c die Höhe im Dreieck ***. Nach Schritt ist der Schittpukt der Höhe des Dreiecks *** der Ikreismittelpukt des Dreiecks.. eweismöglichkeit zu Schritt : Die i der ufgabestellug beschriebee Lote auf die Seite sid die Mittelsekrechte des Dreiecks. Sie scheide sich im Umkreismittelpukt U. Da U* ud U* Radie sid, ist *U* ei gleichschekliges Dreieck mit asis **. Demach gilt für die asiswikel: * * U = U* * =ϕ. () Sei M der Mittelpukt der Strecke, S sei der Schittpukt vo mit **, P sei der Schittpukt vo * mit ** ud T sei der Schittpukt vo mit **. Da M * = 90, ist ε = MS * = 90 ϕ (Wikelsumme im Dreieck SM *). * Der Wikel SP ist Scheitelwikel zu MS*, also ist auch SP = ε. alog folgt aus der eziehug (), dass PT = ε. Da * die Wikelhalbierede des Wikels bei ist, gilt TP = PS =. Somit habe die Dreiecke PT ud SP zwei gleichgroße Wikelpaare. Nach dem Wikelsummesatz muss i beide Dreiecke auch der dritte Wikel, der sich i beide Dreiecke bei P befidet, übereistimme. Die Summe dieser beide gleich weite Wikel PT ud SP ergibt aber 80, da sie Nebewikel sid. Somit sid die beide Wikel jeweils 90 ud * ist sekrecht zu **. alog steht * sekrecht auf ** ud * steht sekrecht auf **. * / / ϕ ε ε S P ε T ϕ M U * LWM 005 Rude Seite 4 vo

5 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg 3. eweismöglichkeit zu Schritt : Vorbemerkug: D Gegebe sid zwei Sehe ud D eies Kreises. We die Kreisböge D ud zusamme eie Halbkreis bilde, da sid die Strecke ud D orthogoal. eweis der Vorbemerkug: Die Parallele zu durch scheide de Kreis i dem weitere Pukt. ei eier Spiegelug a der Mittelsekrechte vo wird auf ud auf abgebildet. Somit ist = ' ud ' = + ' = ' + ' =. Da ach Voraussetzug D ud zusamme eie Halbkreis bilde, bilde also auch D ud ' zusamme eie Halbkreis. Somit ist D ' ei Halbkreis. Die Strecke D ist also ei Durchmesser des Kreises. Nach dem Satz vo Thales sid u die Strecke D ud orthogoal. Da ud parallel sid, sid auch die Strecke ud D orthogoal. D Zum 3. eweis vo Schritt : Da *, * ud * auf de Mittelsekrechte des Dreiecks liege, gilt für die ogeläge (immer gege de Uhrzeigersi bezeichet): * = *, * = * ud * = *. Diese sechs Kreisböge bilde zusamme de volle Kreis, also ergebe die drei öge *, * ud * zusamme eie Halbkreis. Es ist aber * + * = * *. Nach der Vorbemerkug steht demach * sekrecht auf **. alog steht * sekrecht auf ** ud * sekrecht auf **. * * * LWM 005 Rude Seite 5 vo

6 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg ufgabe 3 Nach folgedem Verfahre werde Zahlekette gebildet: (V) Die erste Zahl ist eie atürliche Zahl größer als. (V) Ist eie Zahl gerade, so ist die ächste Zahl halb so groß. (V3) Ist eie Zahl ugerade ud größer als, so ist die ächste Zahl um kleier. (V4) Die Kette edet mit dem Erreiche der Zahl. (eispiele: 0 / 0 / 5 / 4 / / oder 9 / 8 / 9 / 8 / 4 / / ) estimme zu gegebeem > die größte ud die kleiste fagszahl, die zu eier Kette mit Glieder führt. Lösug:. Die größte fagszahl, die zu eier Kette mit Glieder führt, ist.. Die kleiste fagszahl, die zu eier Kette mit Glieder führt, ist eweis: a. b. +, we eie ugerade Zahl ist, ud 3, we eie gerade Zahl ist. Teil : Mit de folgede drei Schritte wird die größte Zahl, die zu eier Kette der Läge führt, bestimmt. () ist die eizige usgagszahl, die zu eier Kette der Läge führt. De für x jede Zahl x > ist sowohl x als auch och größer als. Ma ka also icht ach ur eier wedug der Vorschrifte (V) oder (V3) auf die usgagszahl x scho bei akomme. x () Für jede atürliche Zahl x > ist < x. Die Divisio durch (Vorschrift (V)) führt also zu eiem größere bstieg i der Kette, als die Subtraktio vo (Vorschrift (V3)). (3) Für die ildug eier Kette der Läge sid weduge der Vorschrifte (V) ud (V3) otwedig. Daraus folgt, dass die größte Zahl ist, die zu eier Kette der Läge führt. De ausgehed vo ka ma mit weduge vo Vorschrift (V), die jeweils zum größtmögliche bstieg i der Kette führt, zur gelage. Teil : Nu wird die kleiste Zahl, die zu eier Kette der Läge führt, bestimmt. Vorbemerkug: Ist a die kleiste Zahl, die zu eier Kette der Läge führt, so ist Zahl, die zu eier Kette der Läge + führt. a + die kleiste eweis der Vorbemerkug: Die Zahl a + ist ugerade. Geht ma vo ihr aus, so muss ma zuächst (V3) awede ud erhält a. Das ächste Glied der Kette ist da ach wedug vo (V) die Zahl a. usgehed vo a schließt sich da ach ahme eie Kette der LWM 005 Rude Seite 6 vo

7 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg Läge a. Somit erhält ma mit a + als usgagszahl eie Kette der Läge +. Ma muss zeige, dass a + die kleiste solche Zahl ist. Sei dazu b irgedeie Zahl, die zu eier Kette der Läge + führt. Es wird a+ b gezeigt: Ist b ugerade, so führt ach Vorschrift (V3) die Zahl b zu eier Kette der Läge +. Die Zahl b ist gerade. Somit führt ach Vorschrift (V) die Zahl b zu eier Kette der Läge. Da a ach ahme die kleiste Zahl ist, b die zu eier Kette der Läge führt, ist a. Somit a+ b. Ist b gerade, so führt ach Vorschrift (V) die Zahl b zu eier Kette der Läge +. b b We ugerade ist, so führt ach Vorschrift (V3) zu eier Kette der Läge. Da a die kleiste Zahl ist, die zu eier Kette der b Läge führt, ist a. Somit a+ < a+ b. We b gerade ist, so führt 4 b ach Vorschrift (V) zu eier Kette der Läge. Da a ach ahme die kleiste Zahl ist, die zu eier b Kette der Läge führt, ist a. Somit a+ < 4a b. 4 Mit dieser Vorbemerkug ka ma ausgehed vo ud 3 (de kleiste Zahle, die zu eier Kette der Läge bzw. 3 führe) der Reihe ach die kleiste Zahle a, die zu Kette der Läge führe, bestimme. I der folgede Tabelle ist dies für die Zahle bis durchgeführt: a Fall : ist eie ugerade atürliche Zahl. Da gilt eweis für Fall: + a =. Offesichtlich ist a für ugerade (weiße Spalte der Tabelle) immer um kleier als eie Zweipotez. Der Expoet ist gemäß der Tabelle bei de erste ugerade atürliche Zahle immer die Hälfte vo +. Gilt für eie ugerade Zahl u a + =, so ist ach der Vorbemerkug a+ = a + = + = =. Es ist also weiterhi auch für die ächste ugerade Zahl + die kleiste Zahl a + zur Kette der Läge + um kleier als eie Zweipotez. Dere Expoet ist LWM 005 Rude Seite 7 vo

8 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg wieder die Hälfte vo ( + ) +. Somit gilt die Formel alle ugerade atürliche Zahle. + a = der Reihe ach für Fall : ist eie gerade atürliche Zahl. Da gilt eweis für Fall : a = 3. De grau gefärbte Spalte der Tabelle etimmt ma, dass a für gerades immer um kleier als das Dreifache eier Zweipotez ist (ämlich um kleier als 3, 6,, 4, 48, 96,.). Der Expoet vo ist gemäß der Tabelle bei de erste gerade atürliche Zahle immer um kleier als die Hälfte vo. Gilt für eie gerade Zahl u a = 3, so ist ach der Vorbemerkug + a+ = a + = 3 + = 3 = 3 = 3. Es ist also weiterhi auch für die ächste gerade Zahl + die kleiste Zahl a + zur Kette der Läge + um kleier als das Dreifache eier Zweipotez. Der zugehörige Expoet ist wieder um kleier als die Hälfte vo +. Somit gilt die Formel a = 3 der Reihe ach für alle gerade atürliche Zahle. Variate für die eweise für Fall ud uter Verwedug vo Dualzahle: Nach der Vorbemerkug im eweis vo Teil gelagt ma sukzessive vo der kleiste Zahl a zur kleiste Zahl a + durch die Recheoperatio mal plus. Die wedug dieser Recheoperatio ist besoders eifach, we ma die Zahle im Zweiersystem schreibt, also als so geate Dualzahle. Für eie Zahl im Zweiersystem bedeutet ämlich die Recheoperatio mal, dass eie 0 hite agehägt wird (so wie bei Zahle im Zehersystem die Recheoperatio mal 0 ). ddiert ma aschließed die, so wird aus der agehägte 0 eie. Die Recheoperatio mal plus agewadt auf eie Dualzahl bedeutet also, dass a die Dualzahl rechts eie agehägt wird. Zu Fall : us a = 3 =( ) folgt = ( ) 3 a, = ( ) 5 a usw. 7 k Folglich ist für eie ugerade Zahl = k : a =... = =. k Zu Fall : us a = =( 0) folgt = ( ) 4 0 = 0 Folglich ist für eie gerade Zahl = k: k k k a = 0... = + ( ) = 3 = 3. k + a, a ( ), = ( 0) 6 a usw. 8 LWM 005 Rude Seite 8 vo

9 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg ufgabe 4 uf eiem Kreis liege die Pukte, ud mit < 90 o. Es gibt Kreispukte P, für die der Thaleskreis über P die vo ausgehede Halbgerade durch bzw. i ud i je eiem weitere Pukt scheidet. Diese Schittpukte werde mit S bzw. T bezeichet. Für welche dieser Kreispukte P hat die Strecke ST maximale Läge? Lösug: Sei K der usgagskreis durch,, ud. Die Strecke ST hat geau da maximale Läge, we P ei Kreisdurchmesser des Kreises K ist.. eweismöglichkeit: ehauptug: Sei M der Mittelpukt des Thaleskreises k über P ud =. Da gilt SMT =. eweis der ehauptug: Uabhägig vo der Lage vo P ist der Umfagswikel zur Sehe ST im Kreis k. Nach dem Satz vom Mittelpuktswikel ist also der zugehörige Mittelpuktswikel SMT =. K T Nach dieser ehauptug ist die Sehe ST im Kreis k immer eie Sehe zum Mittelpuktswikel. Eie Sehe zu eiem M S feste Mittelpuktswikel ist aber umso läger, je größer der Kreisradius des zugehörige Kreises ist. Somit wird ihre Lä- ge maximal, we der Durchmesser P vo k die maximal mögliche Läge hat. Da P ach ufgabestellug auf dem Umkreis k P K des Dreiecks liege muss, ist P da maximal, we P ei Kreisdurchmesser vo K ist. I diesem Fall fällt der Thaleskreis k über P mit K zusamme. Er hat mit der vo ausgehede Halbgerade durch de weitere Schittpukt, mit der vo ausgehede Halbgerade durch de weitere Schittpukt. Somit fällt S mit ud T mit zusamme. LWM 005 Rude Seite 9 vo

10 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg. eweismöglichkeit: k' k S M' M T T' S' Vorbemerkug: Gegebe ist ei Wikel mit Scheitelpukt. Gegebe sid weiter zwei Kreise k ud k durch, die beide die beide Schekel des Wikels scheide. Die Schittpukte vo k mit de Schekel seie mit S bzw. T bezeichet, die Schittpukte vo k mit de Schekel seie mit S bzw. T bezeichet. We k eie größere Durchmesser als k hat, so ist auch die Sehe S T läger als die Sehe ST. eweis der Vorbemerkug: Zuächst betrachte wir de Soderfall, der i der obige Zeichug dargestellt ist: Der Mittelpukt M vo k liege auf der Gerade (M). Hierbei bezeichet M de Mittelpukt vo k. I diesem Fall geht k aus k durch eie zetrische Streckug mit M' Streckzetrum ud Streckfaktor hervor. Diese zetrische Streckug bildet M die Sehe ST auf die parallele Sehe S T ab. We der Radius M' vo k größer ist als der Radius M vo k, so ist der Streckfaktor größer als ud somit ist S T läger als ST. Im allgemeie Fall geht aber k aus k durch eie zetrische Streckug mit Zetrum ud eie aschließede Drehug um hervor. Durch die zetrische Streckug wird k auf eie Kreis k mit gleichem Radius wie k abgebildet. Nach dem ebe bewiesee ist die zugehörige Sehe S T läger als die Sehe ST, we der Radius vo k größer als der Radius vo k ist. M' M'' k'' T' S'' Somit ist die Vorbemerkug bewiese. k' T'' S' Es bleibt zu zeige, dass die gleich große, aber um gegeeiader verdrehte Kreise k ud k gleich lage Sehe S T ud S T habe (siehe bbildug). Der Wikel ist i k Umfagswikel zur Sehe S T ud i k Umfagswikel zur Sehe S T. Da die Weite des Umfagswikels die Läge der zugehörige Sehe ach der Umkehrug des Umfagswikelsatzes eideutig bestimmt, ist die Läge vo S T durch eideutig bestimmt. Da k ud k kogruet sid, müsse S T ud S T gleich lag sei. LWM 005 Rude Seite 0 vo

11 Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg Zum eweis der ufgabe: Sei u die Figur wie i der ufgabestellug gegebe (siehe bbildug rechts). Die Sehe ST des Thaleskreises über der Strecke P hat ach der Vorbemerkug da maximale Läge, we der Durchmesser P dieses Thaleskreises möglichst groß ist. Da P ach ufgabestellug auf dem Umkreis K des Dreiecks liege muss, ist P da maximal, we P ei Kreisdurchmesser vo K ist. I diesem Fall fällt der Thaleskreis über P mit K zusamme. Er hat mit der vo ausgehede Halbgerade durch de Schittpukt, mit der vo ausgehede Halbgerade durch de Schittpukt. Somit fällt S mit ud T mit zusamme. k K M T P S LWM 005 Rude Seite vo