4. Mathematikschulaufgabe

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1 10 Gegebe sid die Pukte A(/4), B(/8) ud Z 1 (5/6) eier zetrische Streckug mit dem Zetrum Z 1 ud k = - 11 Fertige eie Zeichug a ud kostruiere die Bildstrecke [A`B`] Platzbedarf: - < x < 15 ud 0 < y < 14 1 Bereche die Koordiate vo A` ud B` 1 [AB] wird u mit Z ud k > 0 auf [B`A`] abgebildet Kostruiere Z ud bereche seie Koordiate 14 Zeiche u das Dreieck A`B`C` mit C`(14/1) i das Koordiatesystem ei Z 1; k<, Bereche die Koordiate vo C für C C` ud zeiche ABC ei ττττθ τττττθ 15 Begrüde, dass Z 1 A < ZB` gilt Bereche jeweils die Strecke x ud y (Die Zeichuge sid icht maßstabsgetreu) 1 [EB] II [DC] [AB] II [ED] [CB] II [FD] ud [CE] II [AD] RM_A006 **** Lösuge Seite (RM_L006) wwwmathe-physik-aufgabede

2 1 Vereifache de folgede Term soweit als möglich: ( 5 4 ( < 0 Dem Dreieck ABC mit A(-4/-1), B(5/-1) ud C(1/5) werde Rechtecke DEFG so eibeschriebe, daß gilt: [DE] [AB]; F [BC]; G [AC] 1 Zeiche das Rechteck mit D(-/-1) i das ΧABC ei ud bestimme recherisch die Läge der Strecke [GF] i Abhägigkeit vo a mit a = DG Setze GF = b Für die Zeichug: - 5 x 6; - y 6; 1 LE = 1cm Bestimme recherisch die Fläche der Rechtecke i Abhägigkeit vo a Für welche Wert vo a ergibt sich das Rechteck mit der größte Fläche? Gib A max a 4 Bereche für a = die Koordiate der Pukte F ud G 5 Für welche Wert vo a ist das eibeschriebee Rechteck ei Quadrat? (Recherische Herleitug) 0 I eiem Koordiatesystem sid die Urpukte A(-8/), B(/-6) ud C(4/4) eies Dreiecks ABC sowie die Bildpukte A (4/-4) ud C (-/y C ) des Bilddreiecks A B C eier zetrische Streckug mit dem Streckugszetrum Z ud dem Streckugsfaktor k gegebe Lege eie Zeichug a, die fortlaufed ergäzt wird Für die Zeichug: - 10 x 6; - 8 y 5; 1 LE = 1 cm 1 Bereche de Streckugsfaktor k ud die fehlede Koordiate des Bildpuktes C (Das Ergebis aus darf icht verwedet werde) C läßt sich kostruiere, ohe daß ma y C ud Z ket Gib eie kuze Beschreibug dieser Kostruktio Kostruiere das Streckugszetrum Z ud bereche die Koordiate vo Z Kostruiere de Bildpukt B ud bereche seie Koordiate Zeiche u das Bilddreieck A B C 4 Bereche de Flächeihalt A des Urdreiecks ABC 5 Bereche de Flächeihalt A des Bilddreiecks A B C RM_A009 **** Lösuge 5 Seite (RM_L009) wwwmathe-physik-aufgabede

3 10 Für die irratioale Zahl x < 40 lässt sich mit dem Tascherecher durch die Formel x 1 40 < x x 1 : ei Näherugswert ermittel 11 Gib eie Tastefolge für de Tascherecher a 1 Begie mit dem erste Näherugswert x 1= 6 ud bereche de bestmögliche Näherugswert am Tascherecher Schreibe dabei die Zwischewerte x, x, x 4 usw auf x 1= 6 x 4 = x = x 5 = x = x 6= Bestmöglicher Näherugswert: 40 = 1 Mache im Term 6 11 so weit wie möglich de Neer ratioal, ud vereifache de eue Term da Vereifache so weit wie möglich: 4, 7 ( 8 ( <, 5( < Radiziere teilweise: 108 < 5 18a b < a, b ( 4 Uter welcher Bedigug für a ud b sid die folgede Zeiche jeweils Terme? a, b a, b( a 1 b, RM_A0155 **** Lösuge Seite (RM_L0155) 1 () wwwmathe-physik-aufgabede

4 0 Bereche x ud y Es gilt: [BC] II [DE] 41 Bilde das Dreieck ABC mit A(7/0), B(10/7) ud C(/6) durch zetrische Streckug mit Z(1/) als Zetrum ud k = -0,5 als Streckugsfaktor ab Ermittle die Bildpukte A, B ud C durch messe mit dem Geodreieck Platzbedarf: -4 x 11 ; -1 y 8 ττττθ τττθ 4 Bereche mit Hilfe der Abbildugsvorschrift ZP ' < k ZP die Koordiate des Puktes A 4 Bereche de Flächeihalt des Dreiecks ABC ud da mit Hilfe des Streckugsfaktors k de Flächeihalt des Bilddreiecks A B C RM_A0155 **** Lösuge Seite (RM_L0155) () wwwmathe-physik-aufgabede

5 10 Die Strecke ΖAB mit A(-/) ud B(6/) ist die Hypoteuse eier Schar vo rechtwiklige Dreiecke, dere Eckpukte auf der Kreisliie k mit ΖAB als Durchmesser liege Der Pukt P ist Fußpukt der Höhe C auf ΖAB 11 Zeiche die Strecke ΖAB, de Kreis k ud die Dreiecke ABC mit C 1(4/ ) bzw C (-1/ ) i ei Koordiatesystem Platzbedarf: - x 7; - y 7 1 Bereche die Streckeläge BC ud PC 1 Bereche allgemei für die Dreiecke ABC die Läge a(x) = BC ud b(x) = AC i Abhägigkeit vo der x-koordiate der Pukte C 14 Zeiche das Dreieck ABC 0 mit C 0 (,5/ ) ei ud bereche die y-koordiate des Puktes C 0 15 Zeige durch Rechug, dass sich der Flächeihalt der Dreiecke ABC i Abhägigkeit vo der x-koordiate der Pukte C i der Form A(x) = 4 1 4x, x darstelle lässt 0 Gegebe sid die Pukte A(/8), B(/4) ud Z 1 (5/6) sowie die Zetrische Streckug Ζ Z Ζ 1 ; k <, ' ' AB AB 1 Fertige eie Zeichug a ud kostruiere die Bildstrecke Ζ ' ' Platzbedarf: - x 15; 0 y 14 Bereche die Koordiate vo A ud B ΖAB wird u mit Z ud k > 0 auf ΖAB ' ' abgebildet Kostruiere Z ud bereche seie Koordiate AB 4 Zeiche u das Dreieck A B C mit C (14/1) ei Bereche die Koordiate vo C Z1 für die Abbildug ; k<, C C ' ud zeiche das Dreieck ABC ei RM_A0156 **** Lösuge Seite (RM_L0156) wwwmathe-physik-aufgabede

6 10 Radiziere teilweise: a b 1 u 6uv v 0 Mache de Neer ratioal: 1 4, 0 4 5, 0 Multipliziere aus ud vereifache soweit möglich ohe Tascherecher; bestimme da de Näherugswert 1 7, 1(, ( < < 7 7 5( 7, 5( < 4 6, 6( < 40 Gegebe: A(-6/4); B(5/); P ΖAB ; AB :PB = : Bereche die Koordiate vo P mit Hilfe eier Vektorgleichug 50 Gegebe ist das Dreieck ABC mit A(-6/4), B(/-1), C(-1/5) 51 Bereche die Koordiate des Schwerpuktes S 5 Bereche die Koordiate der Eckpukte des Mittedreiecks MMM a b c 5 Zeige: S ist auch Schwerpukt des Dreiecks MMM a b c 54 I welchem Verhältis stehe die Flächeihalte vo Dreieck ABC ud Dreieck MMM? a b c RM_A0157 **** Lösuge Seite (RM_L0157) wwwmathe-physik-aufgabede

7 10 Die Pukte A(/1), B(5/) ud C(/6) sid Eckpukte eies Dreiecks 11 Zeiche das Dreieck ABC 1 Bilde das Dreieck ABC durch Scherug auf das Dreieck A B C ab Scherugsachse g: y = - ; Scherugswikel ι< 45 Platzbedarf: -7 x 7; -4 y 8 1 Bereche de Flächeihalt des Bilddreiecks A B C 0 Gegebe ist die Fuktio y =, x ; G = x 1 Gib die Defiitiosmege ud die Wertemege der Fuktio a Welche Eigeschaft habe alle Elemete (Zahlepaare) der Fuktio? Fertige eie Wertetabelle für x ζ, 4;, ;, ;, 1;, 0,5; 0; 0,5; 1; ; ; 4 Zeiche de Graph der Fuktio 1 Bestimme die Lösugsmege des folgede Gleichugssystems G = x Vereifache soweit wie möglich ud bereche da mit dem Tascherecher das Ergebis auf drei Stelle ach dem Komma 6x y < 6x, y < 4 Vereifache soweit wie möglich ohe Tascherecher Beachte die Möglichkeit, teilweise zu radiziere a) 6 18, 18 < b) 4x 8x 4 < 9 9 c) 7 8 ( 7, 8 ( < RM_A0158 **** Lösuge Seite (RM_L0158) wwwmathe-physik-aufgabede

8 10 Radiziere soweit als möglich abc 1 4a², 1ab 9b² 14 18a bc 50abc Vereifache folgede Terme soweit als möglich ab² 54a³bc² ( 7a, 1a) 7ab 4 ( 5, 10)² , 1, 15 Ei rechtwikliges Dreieck ABC mit de Kathete [AB] ud [BC] sowie folgede Maße ist gegebe: b = 7 cm; p = cm Zeiche eie Plafigur ud bereche: a; c; q; h b 4 Ei Dreieck ABC mit folgede Maße ist gegebe: c = 5 cm; hc < cm ud b = 4 cm Zeiche eie Plafigur ud überprüfe recherisch, ob das Dreieck bei C rechtwiklig ist 50 Die Pukte A(0/0); B(4/-) ud C (x / 4) sid die Eckpukte eier Schar vo Dreiecke ABC 51 Zeiche die Schardreiecke ABC 1 für x1 < ud ABC für x < 6 i ei Koordiatesystem ud zeige recherisch, dass das Dreieck ABC 1 rechtwiklig ist Für die Zeichug: 1LE 1cm ;, 1 x 10;, 4 y 5 5 Stelle die Seiteläge AC ud [Ergebis: AC (x) < x² 16 LE ; BC (x) < x², 8x 65 LE ] BC aller Schardreiecke i Abhägigkeit vo x dar 5 Uter de Dreiecke ABC gibt es ei Dreieck ABC mit eiem rechte Wikel bei B Zeiche das Dreieck ABC i das Koordiatesystem ei ud bereche die x- Koordiate vo C RM_A0194 **** Lösuge Seite (RM_L0194) wwwmathe-physik-aufgabede

9 < mit A, 1( ud ( Zetrum Z 1, ( ud dem Streckugsfaktor k = 1,5 auf die Gerade g abgebildet Ermittle durch Zeichug ud Rechug die Gleichug der Gerade g 1 Die Gerade g AB B wird durch zetrische Streckug mit dem Die ute stehede Skizze zeigt de symmetrische Giebel eies Hauses Bereche die Läge x, we folgede Läge bekat sid: a = 10m, b = 5 m ud h = 4 m 0 Gegebe ist die Raute ABCD mit A 1, 4(, B41, ( C16 ( ud D 1(, Verkürzt ma die Diagoale [AC] vo A ud C aus um jeweils x LE ud verlägert [BD] über B hiaus um x LE, so etstehe achsesymmetrische Drache ABCD 1 Zeiche die Raute ABCD ud de Drache ABCD für x < 1,5 i ei Koordiatesystem Für die Zeichug: 1 LE = 1 cm;, x 10;, 5 y 7 Bereche de Flächeihalt des Drache ABCD Gib ei sivolles Itervall für x a 4 Bestimme de Flächeihalt A(x) der Drache ABCD i Abhägigkeit vo x A(x) <, x 9x 0 FE ] [Zwischeergebis: ( 5 Bestimme recherisch die Belegug vo x, für die ma de Drache mit dem größte Flächeihalt erhält Gib A a max RM_A08 **** Lösuge Seite (RM_L08) wwwmathe-physik-aufgabede

10 Klasse 9 II / III 10 Zeiche ei gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seiteläge 8 cm 11 Dem Dreieck ABC soll ei Rechteck PQRS eibeschriebe werde Für das Rechteck ist folgedes zu berücksichtige: PQ :PS < : R BC, S AC, PQ AB Kostruiere das eibeschriebee Rechteck 0 Gegebe sid Parallelogramme Die Pukte ABCD mit A,, 4( ud B ( D liege auf der Gerade g mit der Gleichug y < x, 1 Zeiche das Parallelogramm ABC1D 1 für x1 <, 4 ud die Gerade g i ei KOS Für die Zeichug: 1LE < 1cm ;, 6 x 4;, 5 y Bereche die Koordiate des Puktes C 1 Bereche de Flächeihalt des Parallelogramms ABC1D 1 4 Bereche de Flächeihalt aller Parallelogramme ABCD i Abhägigkeit vom x-wert der Pukte D 5 Bereche die Koordiate des Puktes D, für de es kei Parallelogramm gibt Begrüde deie Etscheidug mit eiem kurze Satz 6 Uter de Parallelogramme ABCD gibt es ei Rechteck ABCD Bereche die Koordiate der Pukte D ud C RM_A049 **** Lösuge Seite (RM_L049) 1 (1) wwwmathe-physik-aufgabede

11 Klasse 9 II / III 10 Die Gerade g: y < x 6 ist Trägergraph der Pukte C 4 vo gleichseitige Dreiecke ABC mit A x 0 ( ud C x x 6 4 ( 11 Zeiche die Gerade g sowie die Dreiecke ABC ud x, 4;, i ei Koordiatesystem Für die Zeichug: 1LE < 1cm ;, 9 x 6;, y 9 ABC für ζ 1 Dem Dreieck PQR mit P, 8 0(, Q 4,5 0 ( ud Q 7,5 ( ka das Dreieck ABC der Dreiecksschar ABC eibeschriebe werde, Zeiche die beide Dreiecke PQR ud ABC i das Koordiatesystem zu 11 ei 0 Eie Raute ABCD mit de Diagoale AC ud BD ist Grudfläche eier Pyramide Der Schittpukt der beide Diagoale ist M Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt sekrecht über dem Pukt A der Grudfläche Die folgede Maße sid gegebe: AC < 10 cm, A S < 7 cm, BD < 8 cm 1 Zeiche das Schrägbild der Pyramide ABCDS mit AC als Schrägbildachse ud q < 1, ϖ< 45 Gib alle rechte Wikel (90 ) a, die i der Pyramide vorhade sid Beispiel: MT ΡCAS Auf der Seitekate AS liegt der Pukt T mit A T < cm Der Pukt T ist Eckpukt des Dreiecks BDT Zeiche das Dreieck BDT i das Schrägbild ei ud bereche seie Flächeihalt auf Stelle ach dem Komma gerudet 0 Auf eie quaderförmige Halle ist ei Dach aufgesetzt, das die Form eier gerade Pyramide besitzt (Abb rechts) Gegebe sid folgede Läge: a< 16m b< 1m h< 6m s< 11,5m 1 Bereche die Höhe h 1 Welche Läge muss ei Seil habe, das auf kürzestem Weg vo A ach S gespat wird? Rude jeweils auf zwei Nachkommastelle RM_A040 **** Lösuge Seite (RM_L040) 1 (1) wwwmathe-physik-aufgabede