Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr

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1 ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik

2 00 Geometrische Folge. Defiitio ud erste Beispiele Geometrische Folge Eie Zahlefolge heißt geometrisch, we der Quotiet aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist. a + = () a Beispiele a) a a a Die Quotiete aufeiaderfolgeder Glieder sid stets : = = = =... a a a b) 8 0, 0, 0, 0, 0,... Die Quotiete aufeiaderfolgeder Glieder hier : a a a = = = =... a a a c) Für die Aufgabe Prüfe ach, ob eie geometrische Folge vorliege ka a = ; a = ; a = ; a = ;... 9 müsse diese Quotiete berechet werde: a 9 a a = = = = ; = = = = ; = = = ;..., a a a 9 Weil diese Quotiete gleich sid, ka eie geometrische Folge vorliege. Ma sagt ka, weil es zahllose weitere Folge gibt, die z. B. ab a oder später abweiche ud keie geometrische Folge bilde. d) Die Folge { ; 6 ; 6 ; ; ; ;... } ist zu utersuche. a 6 a 6 Lösug: = = = ; = = ; a a 6 a a = = = ; = = a 6 a a6 = = = ; a Da alle mögliche Quotiete aufeiader folgeder Zahle gleich groß, ämlich = sid, liegt eie geometrische Folge vor.

3 00 Geometrische Folge. Die iere Struktur vo geometrische Folge a Aus der Defiitio, woach die Quotiete + a = kostat sei solle, folgt diese Gleichug: a a = + () Sie zeigt, wie ma vorgehe muß, um eie arithmetische Folge zu erzeuge. Beispiel : Ma wählt ei erstes Glied der Folge, etwa a = ud z.b. = Da folgt ach (): a = a = = a = a = = 7 a = a = 7 = 7 a = a = 7 = 87 usw. Dieses Vorgehe läßt sich sehr gut graphisch darstelle: a a a a a a a 6 7 a = a a = a a = a a = a 7 a = a a = a / a = a 6 Folglich ka ma a auch direkt aus a bereche: a = a Oder a 6 aus a : a6 = a Oder a 7 aus a : a7 = a7 7 Oder a aus a : a = a m Oder a aus a m (>m): a = am Oder a aus a : a = a Oder a aus a : a = a usw. a Oder i umgekehrter Richtug: a aus a : a = a7 Oder a aus a 7 : a = Bei userer Beispielfolge gilt somit =. a a = a / 7

4 00 Geometrische Folge Beispiel : Gegebe ist die Folge { ; ; ;;;;...} 8 Zeige, daß es sich um eie arithmetische Folge hadel ka. Stelle eie Berechugsformel für a auf. Lösug: a 8 a = = = ; a a = = = ; 8 a a = = ; a a6 = = ; = =. a a Da alle mögliche Quotiete aufeiader folgeder Zahle gleich groß, ämlich = sid, liegt eie geometrische Folge vor. Berechug vo a : a = a = 8 Dies läßt sich umforme: a = = Oder: a = = usw. 8 6 Beispiel : Vo eier geometrische Folge ket ma a = ud a6 6 Bereche, a ud a. =. 8 Lösug: a 6 = = = = 8 = 8 =. 6 8 a Also wird a = a = = = 6 6 Ud schließlich: a = a = 6 Mit de Regel der Potezrechug ka ma diese Term veräder: = a = = = z.b. für a 9 = = = Beispiel : Vo eier geometrische Folge ket ma a = 9 ud a7 Bereche, a ud a. =. 7 7 a a 7 9 = = = = = a 9 ergibt a = = = 9 = 7. 8 a = a = 7 = 7 : = 8 = 8 = = 8

5 00 Geometrische Folge Beispiel : Vo eier geometrische Folge ket ma a = ud a6 = 8. Bereche a 9 ud a. 6 a 8 = = = = = a = = = = 9 6 a a 8 6 Die Formel für a ka ma vo a aus bestimme, also so a = a Aber dazu muß ma zuerst a kee. Gut, wer will, ka dies bereche: a a = = =. Da erhält ma + a = a = = = = Ma ka aber geauso vo a aus reche, das geht da so: + + a = a = = = = + + Daraus folgt da ( a = = ) = ( ) Beispiel 6: Vo eier geometrische Folge ket ma a = ud a8 = 7 Bereche alle Glieder vo a bis a 7 ud a. 8 a 7 = = = 9 = ± 9 = ± a + ACHTUNG: Es gibt zwei passede geometrische Folge, Mit a a = = = ud mit = a = = a* a = a =± ± =+ (eideutig!) Daraus folgt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a = a = ± = ± a = a = ± ± = (eideutig!) a = a = ± = ± a = a = ± ± = 9 (eideutig!) 6 a = a = 9 ± = ± 9 7 6

6 00 Geometrische Folge ud ( ) ( ) ± ( ) a = a =± ± =± = ± ± Diese beide Folge ka ma so darstelle: Ma beobachtet, daß hier zwei Folge verküpft sid. Sie treffe sich immer bei jedem überächste Glied, weil bei ebe bei der Vorzeicheuterschied weg fällt. Die utere Folge ist wege egativem alteriered (d.h. sie wechselt städig das Vorzeiche. Aufgabe () Utersuche, ob eie geometrische Folge vorliegt. We ja, erstelle de Fuktiosterm für a. (a) a = ; a = 7 ; a8 = (b) a = 8; a = ; a = (c) a = 6; a = 8; a7 = 8 (d) a = 7; a = ; a = () Gegebe ist eie geometrische Folge durch Glieder. Bereche die agegebee Glieder der Folge sowie de Fuktiosterm für a. (a) a = ; a = ; a =? ; a =? (b) a = ;a 6 = ;a 8 0 =?;a =? (c) a = ; a = ; a =? ; a =? (d) 7 6 (e) 6 ; a a = ;a = ;a =?;a =? a = ; a = 8 ; a =? =? (f) a = ; a8 = 7 ; a =? ; a 6 =?

7 00 Geometrische Folge 6. Expoetialfolge sid Geometrische Folge I all usere Beispiele ethielt der Term für a die Variable im Expoete. Es lag also stets eie Expoetialfuktio vor. Dies zeigt ja scho die hergeleitete Formel a = a Wir wolle u eiige solche Expoetialfolge utersuche. Beispiel 7: Gegebe ist die Folge a durch a =. Zeige, daß eie geometrische Folge vorliegt. Beweis: Beispiel 8: + + a+ a = = = = ist kostat. Gegebe ist die Folge a durch a =. + 7 Zeige, daß eie geometrische Folge vorliegt. Lösug auf CD Beispiel 9: Gegebe ist die Folge a durch a ( ) =. Zeige, daß eie geometrische Folge vorliegt. Lösug auf CD Beispiel 0: Gegebe ist die Folge a durch a =. Zeige, daß eie geometrische Folge vorliegt. Lösug auf CD Beispiel : Lösug auf CD Liegt bei SATZ: a = eie geometrische Folge vor? Jede Folge der Bauart a = a b oder a r s = b + ist eie geometrische Folge. Beweis: auf CD

8 00 Geometrische Folge 7 Aufgabe () Bereche die erste Glieder dieser Folge: (a) (d) (g) a = (b) a = + (c) a = (e) ( ) a 0 a a = + = (f) a = ( ) = (h) a = (i) a = 8 + () Schalte zwische die beide gegebee Zahle die passede Zahle, so daß eie geometrische Folge etsteht. (a) a = 8 ; a = 6 (b) a = ; a = 6 () Schalte zwische diese Zahle so weig wie möglich eue, so daß eie geometrische Folge etsteht. (a) a = ; b = ; c = 8 (b) b = ; a = ;c = 8 (c) b = ; c = ; a = 8 7

9 00 Geometrische Folge 8. Logarithme für Geometrische Folge Grudaufgabe: (G) Gegebe ist die Folge a =. Ist b = 07 ei Glied dieser Folge? Lösug: Es muß also gelte: a = = 07 = 07 () Die Ubekate steht im Expoete. Es gibt ur eie Möglichkeit, diese vo dort heruter zu hole, das ist die Awedug des. Logarithmegesetzes. Dieses heißt: log a b = log a b Demach gilt auch logb logb =. Ma immt u eie solche Basis, dere Logarithme im Tascherecher eigearbeitet sid. Beispielsweise die Zeherlogarithme, also die Logarithme zur Basis 0. Diese schreibt ma etweder so: log0 oder ach alter Traditio kurz lg. Auf de Tascherecher trägt die Taste dafür de Aufdruck log. Die Taste l x ist ei adere Logarithmusfuktio, ämlich zur Basis e =,788..., das ist die Eulersche Zahl. Ma köte sie auch verwede. Wir logarithmiere also die Gleichug (), d.h. wir ehme vo beide Seite de Logarithmus: lg = lg07 Nu wede wir auf die like Seite das. Logarithmegesetz a: ud dividiere durch lg : lg = lg07 lg07 = = 7 lg Ergebis: 7 = 07, also ist b = a 7. Viel mehr auf CD

10 00 Geometrische Folge 9 AUFGABE 6 (a) (b) (c) Ist z = ei Glied der Folge a 7 Ist z = ei Glied der Folge a = Ist z = ei Glied der Folge =? =? a AUFGABE 7 (a) Ab welcher Nummer sid die Glieder der Folge b größer als die der Folge a? Dabei ist gegebe: a = 78 ud b = 6. (b) Ab welcher Nummer sid die Glieder der Folge b kleier als die der Folge a? Dabei ist gegebe: a =, ud b = 890. (c) Ab welcher Nummer sid die Glieder der Folge b größer als die der Folge a? Dabei ist gegebe: a = ud b =. AUFGABE 8 (a) Die Folge a = besteht aus lauter positive Glieder ud fällt. Wird die Folge kleier als 0 -? Ud we ja, ab welcher Nummer? (b) Ab welchem ist a = kleier als 0 0? (c) Ab welchem ist ( ) a = kleier als 0 0? 0 (d) Ab welchem ist a = kleier als 0? AUFGABE 9 (a) (b) Ab welcher Nummer ist Ab welcher Nummer ist a 8 = größer als 0 Milliarde? = größer als 0? a (c) (d) Zeige, daß jede och so große Zahl M ab eier bestimmte Nummer überschritte wird: ( ) a =. Zeige, daß jede och so große Zahl M ab eier bestimmte Nummer + überschritte wird: a =.

11 00 Geometrische Folge 0. Geometrische Folge aus der Geometrie AUFGABE 0 A a a A A a A Nebestehede Streckeschecke etsteht, idem ma vo Gerade ausgeht, die miteiader jeweils o bilde. Da begit ma mit eiem Pukt A, der vom Mittelpukt M die Etferug (z.b. z = 8) hat. Vo A aus fällt ma das Lot im Uhrzeigersi auf die ächste Gerade bis A. Vo dort aus fällt ma wieder das Lot bis A usw. So etsteht eie Folge vo Strecke a, a,... Bereche a bis a sowie a. Zeige, daß eie geometrische Folge vorliegt. Bereche a 0. Was läßt sich vermute? AUFGABE Z b c a P P P' P P' P P' Nebestehede Abbildug erzeugt eie geometrische Puktfolge P, P, P,... I ihr etsteht so die Streckefolge P P, P P, P P, usw. Bereche die zugehörige Streckeläge ud stelle eie Fuktiosterm für das allgemeie Glied der Folge auf. Wähle z. B: a = cm, b = 6 cm ud c = cm. AUFGABE A k B h Die Gerade g bildet mit h eie o Wikel, g ud k dagege 60 o. Wir wähle eie beliebige Pukt A auf k ud kostruiere der Reihe ach die Pukte B, A, B, A, B usw. A A B B Es sei a = AB, a = AB. Stelle eie Berechugsformel für a auf, we a beliebige groß sei ka. Z g Zeige, daß eie geometrische Folge vorliegt.

12 00 Geometrische Folge AUFGABE D D A a'' A a B α B A α A C D D D C C C C I ei Quadrat werde fortgesetzt weitere Quadrate eigezeichet, dere Ecke auf de Seite des vorgehede Quadrats liege, ud dere Seite mit de vorgehede Seite jeweils eie Wikel vo 0 O bilde. So etsteht eie Folge vo Quadrate mit de Seiteläge a, a,..., a,.... Zeige, daß die Folge der Seite ud der Quadratihalte geometrisch ist. Bereche zu a = 8 cm a bis a. Es sei AB = a ud AB = a ' B A a' o α= 0 a B a'' B AUFGABE a a a I ei gleichseitiges Dreieck der Seiteläge a = a wird auf die dargestellte Art eie Folge vo gleichseitige Dreiecke eibeschriebe. Bereche die Folge der Dreiecksseite a, a,... a,.. ud der Flächeihalte F, F,..., F. AUFGABE I ei Quadrat der Seite a wird ei Kreis eibeschriebe. I diese wiederum ei Quadrat, das parallel zum äußere Quadrat liegt usw. Bereche die Folge der Flächeihalte der Quadrate Q, Q,..., Q,... ud der Kreise: F, F,..., F,... a = a

13 00 Geometrische Folge.6 Arithmetische Wachstumsfolge Beispiel Eie Maschie produziert pro Miute Klikersteie. Zur Zeit t = 0 sid (0) = 0 Kliker im Lager. Wie viele sid dort ach Miute, Miute, 0 Miute, Stude ud Miute? Lösug auf CD Beispiel : t () sei die Azahl vo Objekte irgedeier Art. Ihre Azahl geüge der Gleichug ( t) = 0 8 t Beschreibe die Situatio. Lösug auf CD

14 00 Geometrische Folge.7 Geometrische Wachstumsfolge Musterbeispiel : Ei Bakteriestamm vermehrt sich so, daß pro Miute % eue Bakterie etstehe, Die Startmege sei z(0) = 0 Lösug auf CD Musterbeispiel : Vo zwei Bakteriestämme sid ihre Wachstumsgesetze bekat. t () sei die Azahl der Bakterie des Stammes zur Zeit t (i Miute) m() t sei die Azahl der Bakterie des Stammes zur Zeit t (i Miute). t t 88 Es gelte: t () = 0,0 ud mt ( ) =,0 +. a) () Beschreibe das Wachstumsverhalte des erste Bakteriestammes. () Wie viele Bakterie sid ach 0 Miute vorhade? () Nach welcher Zeit sid 00 Bakterie vorhade? () I welcher Zeitspae t hat sich die Startmege verdoppelt? () Zeige daß sich i dieser Zeitspae t jede Mege (t) verdoppelt. b) () Beschreibe das Wachstumsverhalte des zweite Bakteriestammes. () Nach welcher Zeit sid 00 Bakterie vorhade? () I welcher Zeitspae t hat sich die Startmege verdreifacht? () Zeige daß sich i dieser Zeitspae t jede Mege m(t) verdreifacht. c) Zu welchem Zeitpukt t sid vo beide Stämme gleich viele Idividue vorhade? Lösug auf CD

15 00 Geometrische Folge Allgemeie Utersuchuge zu Wachstumsfolge CD Der Zuahmefaktor ist vo Zeitpukt uabhägig! CD Als ächstes wolle wir kläre, daß dieses expoetielle Wachstum ei prozetuales Wachstum ist: Lösug auf CD I welcher Zeitspae gehe diese Fuktioswerte auf die Hälfte zurück? Lösug auf CD

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