Konvexität und Ungleichungen

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1 Koveität ud Ugleichuge Tag der Mathematik 2003 Holger Stepha Weierstraß Istitut für Agewadte Aalysis ud Stochastik = Für mathematisch iteressierte Schüler = Folie TdM2003 1

2 Fudametale Ugleichuge Ugleichug für Fuktioe eier reelle Variable p p + p 1 0, p 1 oder p 0 0, = für = 1 p p + p 1 0, 0 p 1 0, = für = 1 e 1 + R, = für = 0 l 1 l > 0, = für = 1 si 0, = für = 0 Ugleichuge zwische Mittel, i 0, Gleichheit für i = j. Ma QM AM GM HM Mi ma 1, 2 ) mi + 1 1, 2 ) 1 2 ma i) 1 i ma 1 i i) Cauchy-Schwarzsche Ugleichug, i, y i 0, Gleichheit für i y i ) ) ) y y 2 1 y y Höldersche Ugleichug, i, y i 0, 1 p + 1 q = 1, Gleichheit für i y i. ) p 1 ) p p y q yq q 1 y y Mikowskische Ugleichug, i, y i 0, p > 1 Gleichheit für i y i. ) p p p + ) y p yp p 1 + y 1 ) p y ) p ) 1 p 2

3 Koveität ebeer Figure Tagete liege auße Krümmug ach auße Sehe liege ie 3

4 Koveität vo Fuktioe Defiitio: f) heißt kove auf [a, b], we die Mege {, y) R 2 y f), [a, b] } kove ist. 4 3 f) = f) = si kove für < < kove für π 0 kokav für 0 π kokav = kove Tagete liege auße = Tagete liege uter Fuktio Krümmug ach auße = 2. Ableitug positiv Sehe liege ie = Sehe liege über Fuktio 4

5 Tagete liege uter Fuktioe f) 0 g) f 0 ) f) g) f) f 0 ) + f 0 ) 0 ) Gleichheit falls = 0 oder f) ist liear. 2. Ableitug positiv f) = f 0 ) + f 0 ) 0 ) ) 2 f ) = f ) 0 f ) mooto steiged = f ) 0 Sehe liege über Fuktio f 1 ) f 2 ) α 1 + α 2 = 1 α α 2 2 = α 1 f 1 ) + α 2 f 2 ) f) α 1 f 1 ) + α 2 f 2 ) fα α 2 2 ) 1 2 α 2 f) 0 1 α 1 kokav: aus wird Gleichheit falls 1 = 2 oder f) ist liear. 5

6 Beispiele koveer Fuktioe Krümmug: f ) 0 oder f ) ist mooto steiged Tagete: f) f 0 ) + f 0 ) 0 ) Sehe: α 1 f 1 ) + α 2 f 2 ) fα α 2 2 ) mit α 1 + α 2 = 1 f) = p, f ) = p p 1, f ) = pp 1) p 2 = p ist kove für p 1 oder p 0 p ist kokav für 0 p 1. f) = e, f ) = e, f ) = e, kove f) = l, f ) = 1, f ) = 1 2, kokav für > 0 f) = l, f ) = l + 1, f ) = 1 kove für > 0 f) = si, f ) = cos, f ) = si, Siusfuktio ist dort kove, wo sie egativ ist. Tagete liegt uterhalb: f) f 0 ) + f 0 ) 0 ) p p 0 + pp ), 0 = 1 = p 1 + p p l l ), 0 = 1 = l 1 l 0 l 0 + l 0 + 1) 0 ), 0 = 1 = l 1 l 1 l 0 1 l 1 l 6

7 Die Jesesche Ugleichug f) ist kove, geau da, we für α 1 + α 2 = 1 ud α 1, α 2 0 gilt α 1 f 1 ) + α 2 f 2 ) fα α 2 2 ) Es sei 2 = β 2 y 2 + β 3 y 3 mit β 1 + β 2 = 1 ud β 1, β 2 0 da gilt ) α 1 f 1 ) + α 2 fβ 2 y 2 + β 3 y 3 ) f α α 2 β 2 y 2 + β 3 y 3 ) Wege β 2 fy 2 ) + β 3 fy 3 ) fβ 2 y 2 + β 3 y 3 ) folgt ) α 1 f 1 ) + α 2 β 2 fy 2 ) + α 2 β 3 fy 3 ) f α α 2 β 2 y 2 + α 2 β 3 y 3 Es gilt α 1, α 2 β 2, α 2 β 3 0 ud α 1 + α 2 β 2 + α 2 β 3 = 1. Es sei f) kove, α i 0 ud α α = 1. da gilt α 1 f 1 ) α f ) fα α ) 7

8 Zwei Beispielaufgabe Beweise folgede Ugleichug über die drei Wikel im Dreieck: si α + si β + si γ Wa gilt Gleichheit? α 1 f 1 ) + α 2 f 2 ) + α 3 f 3 ) f α α α 3 3 ) 1 3 si α si β + 1 α + β + γ si γ si 3 3 = si 60 = Gleichheit gilt ur im gleichseitige Dreieck α = β = γ). Es sei s > 0 ud f) = s f) ist für [0, s] kove. Also gilt für a i [0, s] 1 i=1 a i s a 1 = 1 fa 1) fa ) f = s s s = f) = s ) a a s = f = ) s 8

9 Beweis der Mittelugleichuge Zu beweise ist für i > 0 ma i) 1 i ma 1 i i) f) = p ist für p 1 ud 0 kove, also gilt mit α α = 1 ) α 1 f 1 ) α f p ) f α α f) = p ) p α 1 p α p α α i = yi k p α 1 y pk α y pk α 1 y1 k α y) k p = m k ), m k m α 1 y1 m α y m α 1 y1 k α y k k...) m, 1 m > 0 ) 1 ) 1 α 1 y1 m α y m m α 1 y1 k α y k k M k α, y) = ) 1 α 1 y1 k α y k k M α, y) = miy 1,..., y ) M 0 α, y) = y α 1 1 yα M α, y) = may 1,..., y ) M m α, y) M k α, y), m k α 1 =... = α = 1 Ma QM AM GM HM Mi M M 2 M 1 M 0 M 1 M 9

10 Die Yougsche Ugleichug y ϕ) mooto wachsed ϕ0) = 0 ϕ 1 y) y = ϕ) = ϕ 1 y) ϕ 1 y) mooto wachsed ϕ 1 0) = 0 0 ϕ) y F ) = ϕ )d, F y) = ϕ 1 y )dy, sid kove 0 0 y a b F a) + F b) y = ϕ) Gleichheit für b = ϕa) b F b) Beispiel: ϕ) = p 1, p > 1 F a) a b ap p + bq q, für 1 p + 1 q = 1 0 a 10

11 Wie hole ich am schellste Wasser? Aufgabe: Wie komme ich am schellste vo A ach B, we ich och eie kleie) Eimer Wasser aus dem Fluß ach B brige soll? Welche Pukt am Ufer muß ich vo A aus asteuer? a A 0 c Fluß B b s) = 2 + a 2 + c ) 2 + b 2 9 s) s ) = 2 + a 2 c c )2 + b 2 = a = 1 b = 2 c = 4 0 = ac a + b, 1 = ac a b s) s 0 ) = ) 2 ac + a a + b 2 + c ac ) 2 + b a + b 2 = c 2 + a + b) 2 zu beweise: 2 + a 2 + c ) 2 + b 2 c 2 + a + b) 2 11

12 Beweis der Ugleichug a + b) ac ) 2 0 a + b) 2 2 2aca + b) + a 2 c a 2 ) c ) 2 + b 2) ab + c 2 ) a 2 c ) 2 + b 2 ab + c c a 2 c ) 2 + b 2 2ab + a 2 + b 2 + c a 2 + c ) 2 + b 2 ) 2 c 2 + a + b) a 2 + c ) 2 + b 2 c 2 + a + b) 2 12

13 Geometrische Lösug a 0 a C α α 0 A A Fluß c s) = AC + C B = A C + C B A B C 0 liegt auf A B, wege Dreiecksugleichug im A BC B b a Strahlesatz: 0 c = a a + b = 0 = ac a + b Gleiche Wikel: AC 0 = C 0 B Dreiecksugleichug? Defiitio: L XY ) sei die Läge des Vektors XY. L XY ) sei kove ud homoge, d.h. Lc XY ) = c L XY ) da gilt Jesesche Ugleichug) 1 2 L A C ) L C 1 B) L A 2 C + 1 ) C 2 B = 1 2 L A C + C B) = 1 2 L A B) = L A C ) + L C B) L A B) Dreiecksugleichug! 13

14 Das Fermatsche Prizip I eiem Medium durchläuft ei Lichtstrahl zwische zwei Pukte eie solche Weg, daß die dazu ötige Zeit ei Miimum ist im Vergleich zu alle adere die Pukte verbidede Wege. Refleiosgesetz mi T ) Brechugsgesetz mi T ), mi T, y),... allgemeie Lichtbrechug Variatiosrechug) mi T f) ) Allgemei: Ei physikalisches System verhält sich so, daß eie bestimmte Größe miimal wird: W ) W 0 ) Miimumproblem = Gleichuge, Differetialgleich. Ursprug aller Naturgesetze ist Ugleichheit. 14