Skript Mathematik. Inhaltsverzeichnis

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1 Skript Mathematik Ihaltsverzeichis Folge ud Reihe.... Arithmetische Folge ud Reihe.... Geometrische Folge ud Reihe.... Aufgabe... Zis- ud Ziseszisrechug...4. Eifache Verzisug...4. Ziseszisrechug...5. Gemischte Verzisug Uterjährige ud stetige Verzisug Aufgabe...7 Reterechug...8. Vorschüssige kostate Zeitrete...8. Nachschüssige kostate Zeitrete...9. Rete mit uterjährige Retezahluge....4 Aufgabe... 4 Tilgugsrechug Ratetilgug Auitätetilgug Aufgabe Ivestitiosrechug Kapitalwertmethode Methode des itere Zisfußes Aufgabe Utersuchug vo Fuktioe mit eier uabhägige Variable Das Differetial eier Fuktio Etremwertbestimmug Krümmug ud Wedepukte Utersuchug eiiger ökoomischer Fuktioe Die Preis-Absatz-Fuktio ud die Erlösfuktio Kostefuktioe Gewifuktioe Aufgabe Utersuchug vo Fuktioe mit mehrere uabhägige Variable partielle Differetatio Etremwertbestimmug Etremwerte uter Berücksichtigug vo Nebebediguge Lösug vo Etremwertaufgabe durch Variablesubstitutio Multiplikatorregel vo LaGrage Aufgabe...9

2 FOLGEN UND REIHEN Eie Zahlefolge ist eie Abbildug, die jeder atürliche Zahl Є N eie reelle Zahl a Є R zuordet. Die eizele Glieder eier Zahlefolge lasse sich also durchummeriere, ud die Zahl stellt de laufede Zähler (Zählide) dar, d.h. sie beschreibt, um das wievielte Glied der Folge es sich hadelt ( = : erstes Glied a ; = : zweites Glied a ;...). Vo besoderem Iteresse für fiazmathematische Problemstelluge sid spezielle Zahlefolge, bei dee gewisse charakteristische Eigeschafte (kostate Differeze bzw. Quotiete aufeiaderfolgeder Glieder) zwische de Folgeglieder besteht. Wir uterscheide dabei Hauptgruppe Folge, bei dee das Folgeglied aus seiem Vorgäger durch Additio bzw. Subtraktio eier kostate Größe etsteht. => Arithmetische Folge Folge, bei dee das Folgeglied aus seiem Vorgäger durch Multiplikatio bzw. Divisio eier kostate Größe etsteht. => Geometrische Folge. Arithmetische Folge ud Reihe Eie Zahlefolge wird arithmetisch geat, we die Differez aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist: a = a + d =,,,... + Die Bildugsformel für das -te Glied: Die Summe aller Glieder dieser Folge ist die arithmetische Reihe a + a + a +... = a = Bildet ma die Summe aus de jeweils erste Glieder eier Folge erhält ma die Teil- oder Partialsumme. s = a + a + a a = i= a i Die Bildugsformel für die -te Teilsumme: (Die Partialsumme ergebe wieder eie eue Folge s, s, s,...) Grezwertutersuchug für arithmetische Folge: a = ; d = 5 a = ; d = - Der Grezwert hägt ab vo

3 Übug: Gegebe sei die Folge,,,,,... 5 Beschreibe Sie die Folge. Wie viele Glieder hat die Folge, we die Summe 94,5 beträgt?. Geometrische Folge ud Reihe Eie Zahlefolge wird geometrisch geat, we der Quotiet aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist: a = q a =,,,. + Die Bildugsformel für das -te Glied: Die Bildugsformel für die -te Teilsumme: Grezwertutersuchug für geometrische Folge: Die Berechug des Grezwertes eier allg. Zahlefolge ka sehr kompliziert werde, weswege wir us mit eiige Sachverhalte Begüge: Beispiele: Folge Grezwert a = ; q = a = - ; q = a = ; q = 4/5 a = ; q = -4/5 a = ; q = - Übug: Gegebe sei die Folge 8, 4,,... Beschreibe Sie die Folge. Wie viele Glieder hat die Folge, we die Summe 58,75 beträgt?

4 . Aufgabe. Bestimme Sie die Werte des jeweils 5. Gliedes der folgede edliche arithmetische Reihe sowie dere Summe: a) a 5 b) a 5. Wie groß ist die Summe der atürliche Zahle vo bis?. Bereche Sie für die geometrische Folge 7, 4, 8,... das elfte Glied ud die Summe der erste elf Glieder. 4. Bereche Sie de Wert der eugliedrige Reihe a Wie viele dreistellige Zahle gibt es, die durch sechs teilbar sid? 6. Bestimme Sie für die Reihe a die zugehörige Azahl vo Glieder, we der Wert dieser Reihe 7.96 beträgt. 7. Stelle Sie eie uedliche geometrische Reihe mit dem Afagswert 7 ud dem Quotiete,5 auf ud bestimme Sie de Grezwert für. 8. Nach eier eimalige Eizahlug vo 7. Euro zeigt ei Sparbuch i de ächste vier Jahre folgede Etwicklug: ei Jahr ach Eizahlug: 7.85, zwei Jahre ach Eizahlug: 7.79,7 drei Jahre ach Eizahlug: 8.9,68 vier Jahre ach Eizahlug: 8.67,76 Welche Folge liegt vor ud wie groß sid die charakteristische Werte dieser Folge 9. Bestimme Sie das allgemeie Folgeglied a ud gebe Sie a, ob es sich evtl. um eie arithmetische oder geometrische Folge hadelt. a ),, 6, 4, 48,... b ),,, 4, 6,... c ) d ),,,,, ,4,6,8,,... e ) f ),,, 4 8 6,,...,7,7,,49,7,.... Gegebe ist eie geometrische Reihe, mit dem letzte Glied a = ,5. Das Vorletzte Glied ist a - = 8.55,5. Die Summe der Reihe beträgt ,55. Bestimme Sie das erste Glied dieser Reihe.

5 4 ZINS- UND ZINSESZINSRECHNUNG Abkürzuge: K = Kapital t = Azahl der Zistage Z t = Zise für die Zeit t K t = Kapital zum Zeitpukt t p = Zissatz i = Zisrate = p/. Eifache Verzisug Zise sid die Vergütug für das Überlasse eies Kapitals i eier bestimmte Zeit (Zisperiode). I der Regel beträgt die Zisperiode ei Jahr (dies wird usere geerelle Aahme sei), üblich sid aber durchaus auch adere Periode der Verzisug wie ½ Jahr, ¼ Jahr, Moat usw. Nach der deutsche Methode wird das Jahr mit 6 Tage, jeder Moat mit Tage berechet. z.b.: vom 8.8. bis 5.. => Tage + 7 Tage = 97 Tage Zisformel: K p t z = 6 Sparrate Beispiel: Im Verlauf eies Jahres solle regelmäßig zu Moatsbegi r = gespart werde. Der Zissatz beträgt 6%. Welcher Betrag R ist ach Jahr verfügbar?

6 5 Wäre die Sparrate jeweils zu Moatsede eigezahlt worde, ergäbe sich folgede Rechug: Sparrate köe auch zu adere Periode vereibart werde, wie z.b. jedes ½ Jahr oder ¼ Jahr. Mit de folgede Formel köe bei jährlich erfolgede m Zahluge (im Abstad vo /m Jahr) der Höhe r das Kapital zum Jahresede berechet werde. vorschüssige Eizahlug: achschüssige Eizahlug: m + R vor = r m + i m R ach = r m + i. Ziseszisrechug Abkürzuge Azahl der Zisperiode K K Afagskapital - Edkapital q = + i - Aufzisugsfaktor Im Gegesatz zur eifache Verzisug, bei der die Zise ach eier Periode ausgeschüttet werde, wird der Zisgewi bei der Ziseszisrechug dem Kapital zugerechet ud i de kommede Periode mitverzist. Beispiel: Am Afag des Jahres werde. zu eiem Zissatz vo 8% für Jahre agelegt. Allgemei : Ei Uterehme beabsichtigt, alässlich seies Jubiläums i 5 Jahre eiem gemeiützige Verei 4. zur Verfügug zu stelle. Welcher Betrag hat es heute bei eier Bak azulege, we diese eie Verzisug vo 6,5% bietet. Ei Studet kauft abgeziste Sparkassebriefe mit eier Laufzeit vo 5 Jahre im Newert vo., wofür er 745 bezahle muss. Zu welchem Zissatz erfolgt die Verzisug? Eie Perso spart für ei Auto, das seier Vorstellug ach. koste soll. Er verfügt über., die er zu 5,75% alege ka. Wie lage muss er spare?

7 . Gemischte Verzisug 6 Auf welche Betrag wächst ei Kapital vo a, das bei 6%iger Verzisug vom.. bis agelegt wird? Allgemei:.4 Uterjährige ud stetige Verzisug Ziszahluge köe icht ur jährlich, soder auch i kürzere Zeitabschitte (halbjährlich, vierteljährlich, moatlich) vereibart werde. Ist m die Azahl uterjähriger Zisperiode der Läge /m Jahre, so etspreche diesem kürzere Zeitraum ateilige Zise i Höhe vo i z = K m Kapital ach Jahr: Kapital ach Jahre: K K, m, m = K + = K + i m i m m m Beispiel: Ei Kapital vo. wird über Jahre bei 6% Verzisug (omial) p.a. agelegt: jährliche Verzisug (m = ): halbjährliche Verzisug (m = ): vierteljährliche Verzisug (m = 4): moatliche Verzisug (m = ): effektiver Zissatz Der Jahreszissatz, der bei eimaliger jährlicher Verzisug de gleiche Edkapitalbetrag ergibt wie die m-malige uterjährige Verzisug mit dem relative Zissatz p/m, et ma de effektive Zissatz p eff m i peff + = + => m Für das Beispiel betrage die effektive Zissätze: stetige Verzisug lim + m i m m = e i K = K e i

8 .5 Aufgabe 7. Bereche Sie de Zisbetrag bei eifacher Verzisug für eie Kapitalbetrag vo 8.45,, der vom. April bis 5. September desselbe Jahres bei eier jährliche Verzisug vo 5,75 % erreicht wird.. Welches Edkapital ergibt sich für ei mit jährlich 6,5 % verzistes Afagskapital i Höhe vo 7.67, ach Ablauf vo vier Jahre? a) bei eifacher Verzisug b) bei Wiederalage vo Zise. Eie Spareri legt am Jahresbegi bei eier Bak 8. zu 6, % Zise a. Auf welche Summe ist der eigezahlte Betrag Jahre agewachse? 4. Eiem Kid wird bei seier Geburt vo eiem Pate ei Geldbetrag vo.5 Euro geschekt. Der Betrag darf vom Sparkoto erst bei Volledug des 8. Lebesjahres abgehobe werde. Auf welche Betrag ist das Geschek bei eier Verzisug vo 6,5 % agewachse? 5. Ei Kapital vo.8 Euro wird 4 Jahre lag mit 5 %, daach 5 Jahre lag mit 6 % ud aschließed och 6 Jahre mit 7 % verzist. Auf welche Betrag wird es isgesamt awachse? 6. Auf welche Summe wachse 4.5 Euro zu 7 % Zise i 8 Jahre a bei a) jährlicher, b) vierteljährlicher, c) moatlicher Ziszahlug? 7. Bestimme Sie de Zeitraum, i welchem 6.5 Euro bei 6,5 % iger Verzisug auf de doppelte Betrag awachse. 8. Bestimme Sie de Zissatz, zu dem ei Kapitalbetrag vo 8. Euro auszuleihe ist, damit er sich i Jahre verdreifacht. 9. Welches Kapital ergibt sich, we ei Betrag vo 7.5 Euro bei 6,5 % iger Verzisug vom.6.99 bis agelegt wird?. Ei Zerobods ist ei festverzisliches Wertpapier, das ach Jahre zum Nomialbetrag zurückgezahlt wird. Währed der gesamte Laufzeit werde keie Zise gezahlt. Bestimme Sie de Ausgabepreis eies Zerobods bei eier Laufzeit vo Jahre ud eiem Jahreszissatz vo 7 % bei eiem Rückzahlugsbetrag vo 4. Euro.. Elter wolle für spätere Ausbildugszwecke ihres Kides eie Betrag vo 5. Euro zur Verfügug habe. Welches Kapital müsse sie zu Begi des 5. Lebesjahres dieses Kides bei eier Bak alege, we diese 8 % Zise eiräumt ud der vorgesehee Betrag mit Volledug des 8. Lebesjahres bereitstehe soll?. Eie reiselustige Perso plat eie größere Reise i vier Jahre. Welche Betrag muss sie jetzt spare, we die Reisekoste mit 6. Euro veraschlagt werde ud der jetzt bereitzustellede Betrag eie Verzisug vo a) 5,75 % Zise b) 7,5 % Zise c) 9,5 % Zise erbrigt?. Welcher Uterschied im Edkapital ergibt sich bei eier zehjährige Kapitalalage i Höhe vo K (z.b.. Euro), we astelle eier jährliche Verzisug vo 6,5 % eie moatliche Verzisug trete würde? 4. Bestimme Sie de effektive Jahreszissatz, we der Jahreszissatz 8 % beträgt ud eie viermalige Verzisug pro Jahr stattfidet. 5. Welcher Edwert ergibt sich, we ei Afagskapital vo 5. Euro bei stetiger Verzisug mit eier Zisitesität vo 9 % zwölf Jahre lag agelegt wird?

9 8 RENTENRECHNUNG Die Reterechug befasst sich mit der Fragestellug, mehrere regelmäßige Zahluge zu eiem Wert zusammefasse bzw. mit dem umgekehrte Problem, eie gegebee Wert uter Beachtug afalleder Zise i eie bestimmte Azahl vo (Rete-) Zahluge aufzuteile.. Vorschüssige kostate Zeitrete Beispiel: Eie jährige Perso hat eie Lebesversicherug abgeschlosse. Es ist vorschüssige Prämiezahlug vereibart. Welchem Edwert ud welchem Barwert etspreche diese Versicherugsleistuge (uter Zugrudelegug vo 5,5% Zise), we die Versicherug auf das Edalter 6 Jahre abgeschlosse worde ist ud die jährliche Versicherugsprämie.4 beträgt? Berechug des Reteedwertes Der Reteedwert ist die Summe aller aufgeziste Retebeträge. Berechug des Barwerts Der Retebarwert etspricht eiem auf Ziseszis agelegte Kapitalbetrag, der eie -malige vorschüssige Retezahlug R bis zur Aufzehrug des Kapitals ermöglicht. Berechug des Kotostades zum Zeitpukt m Nach m (mit m < ) Retezahluge beläuft sich das och icht aufgezehrte Kapital auf:

10 . Nachschüssige kostate Zeitrete 9 Hierbei erfolge die Zahluge jeweils am Jahresede: Berechug des Reteedwertes Berechug des Barwerts Berechug des Kotostades zum Zeitpukt m,

11 . Rete mit uterjährige Retezahluge Etspreche die Reteperiode icht eiem Jahr, so müsse die Formel modifiziert werde. Dies ist i der Prais vo großer Bedeutug, de häufig ist jährliche Verzisug (mit eiem Zissatz p) bei moatliche, viertel- oder halbjährliche Reteperiode vereibart. Aus de uterjährige Zahluge muss ei jährlicher Retebetrag berechet werde. Dies geschieht mittels der Sparrateformel. A. Ermittlug des Edwertes (Asparphase) Beispiel: Eie moatliche Rete beträgt.. Die jährliche Verzisug liegt bei 6%, ud die Retedauer Jahre. Wie hoch ist der Reteedwert? Ermittlug der Jahresrete ud daraus de Edwert B. Aufzehrug des Barwertes Beispiel: Welche moatliche Reteleistug ka ei Afagskapital vo. sicherstelle, we eie Verzisug vo 6 % ud eie Aspruchsdauer vo Jahre vorliege? Ermittlug der Jahresrete ud daraus de koforme Retebetrag:

12 .4 Aufgabe 6. Vergleiche Sie die Formel zur Berechug des Barwertes der vorschüssige ud der achschüssige Rete. Wori besteht der Uterschied ud wie ist er zu erkläre? 7. Auf welche Betrag wachse jährliche Eizahluge i Höhe vo.5 Euro i 4 Jahre a, we eie Verzisug vo 7 % zugrude gelegt wird? 8. Eie Rete aus eier Ufallversicherug wird 5 Jahre lag i Höhe vo 4.8 Euro am Jahresede gezahlt. Mit welchem Betrag köte sich der Berechtigte bei eier Verzisug vo 6,5 % sofort abfide lasse? 9. Jemad möchte i 4 Jahre über 8. Euro verfüge. Welche Betrag muss diese Perso jährlich zurücklege, um bei eier Verzisug vo 6 % über diese Betrag zu verfüge?. Ei Studium wird mit eier Dauer vo 5 Jahre veraschlagt. Über welche Betrag ka ei Studet jährlich verfüge, we ihm ei Kapitalbetrag i Höhe vo 8. Euro zu Studiebegi überlasse wird, der mit 7,5 % Zise agelegt werde ka (bei vorschüssiger Verfügbarkeit)?. Eie achschüssige Rete i Höhe vo 8. Euro ist zwölfmal zu zahle. Welcher Barwert ist dafür erforderlich ud welcher Kotostad ergibt sich ach 5 Jahre bei eier Verzisug zu 9 %? Welche Resultate erhält ma bei vorschüssiger Zahlugsweise?. Welche Betrag müsse Sie Jahre lag vorschüssig spare, um über eie jährliche Summe vo 5. Euro für die Dauer vo Jahre (vorschüssig) zu verfüge? Der Zissatz i der Sparphase beträgt 6 %; i der aschließede Retephase beträgt er 5,5 %.. I eie Kapitallebesversicherug werde moatlich vorschüssig, eibezahlt. Wie hoch ist die Auszahlug ach Jahre bei eier Verzisug vo 7% jährlich? 4. Eie Uterstützugskasse verfügt über ei Kapital i Höhe vo.. Euro. Wie lage ka die Kasse jährliche Asprüche i Höhe vo. Euro zahle, we eie Verzisug vo 6,5 % gewährleistet ist? Über welches Kapital verfügt die Uterstützugskasse ach siebe Jahre? 5. Ei Grudstück wird zu eiem Preis vo 5. Euro erworbe. Die Bezahlug erfolgt durch kostate Ratezahlug (Retezahlug) i Jahre. Wie groß ist der jährliche Ratebetrag bei achschüssiger Ratezahlug, we ei Zissatz vo 8 % zugrude gelegt wird? 6. Für die Sicherstellug eies jährliche Aspruchs i Höhe vo 5. Euro wird ei Kapitalbetrag vo. Euro verzislich agelegt. Wie groß ist der och icht aufgezehrte Kapitalbetrag bei eier jährliche Verzisug vo 7 % ach 8 Jahre? 7. Ei Bausparer schließt eie Bausparvertrag über. Euro ab. Welcher Betrag ist jährlich vorschüssig eizuzahle, damit das Bausparguthabe i Jahre auf 4 % der Bausparsumme bei eiem jährliche Guthabezis vo % awächst? 8. Welche Reteleistug ka ei Afagskapital vo 5. Euro sicherstelle, we eie jährliche Verzisug vo 7 % ud eie Aspruchsdauer vo 5 Jahre vorliege? a) Wie groß ist das Kapital ach 5 Jahre bei jährlich vorschüssiger Leistug b) Wie groß ist das Kapital ach 5 Jahre bei jährlich achschüssiger Leistug c) Wie hoch ist die moatliche vorschüssige Rete d) Wie hoch ist die moatliche achschüssige Rete 9. Bestimme Sie für die moatliche achschüssige Rete vo.5 Euro de Retebar- ud Reteedwert mit Hilfe des koforme Retebetrages, we die Retedauer Jahre beträgt ud eie jährliche Verzisug vo 7 % vorliegt. 4. Welche Verzisug muss bei eiem vorhadee Kapitalbetrag vo 5. Euro erreicht werde, damit eie Jahresrete vo 9.75 Euro davo fiaziert werde ka?

13 4 TILGUNGSRECHNUNG Bei der Tilgugsrechug (oder auch Aleiherechug) geht es um die Bestimmug der Rückzahlugsrate für Zise ud Tilgug eies aufgeommee Kapitalbetrages (Darlehe, Hypothek, Kredit). Es köe aber auch adere Bestimmugsgröße wie Laufzeit oder Effektivverzisug gesucht sei. Grudbegriffe: o Auität = Gesamtzahlugsbetrag, bestehed aus Tilgugs- ud Zisrate o Tilgugspla = Tabellarische Darstellug der Auitäte im zeitliche Verlauf Aahme: o die Auitätezahlug erfolgt am Periodeede Abkürzuge: S S k T k Z k - Kreditbetrag, Afagsschuld - Restschuld am Ede der k-te Periode - Tilgug i der k-te Periode - Zise i der k-te Periode A k - Auität i der k-te Periode (A k = T k + Z k ) 4. Ratetilgug Beispiel: Für de Bau eier Lagerhalle wird ei Darlehe i Höhe vo T aufgeomme. Der Zissatz für das Darlehe beträgt 6%, die Laufzeit 5 Jahre. Das Darlehe soll i gleichbleibede Tilgugsrate zurückbezahlt werde. Die (jährliche) Auität wird jeweils zum Ede des Jahres fällig. Bei dieser Form sid die jährliche Tilgugsrate kostat: S T k = = cost. Die Auitäte sid icht kostat: A = T + Z k k k Die Restschuld S k ach k Periode stellt eie arithmetische Folge mit dem Afagsglied S ud der Differez d S k S k = S = dar. Die Zise, die für die jeweilige Restschuld S k- zu bezahle sid, betrage Z k = k S p = S k p

14 4. Auitätetilgug Im Gegesatz zur Ratetilgug, bei der die jährliche Auitäte falle, sid die jährliche Auitäte bei der dieser Tilgugsart kostat. Die Leistug des Gläubigers besteht i der Bereitstellug des Kreditbetrages S zum Zeitpukt, die demzufolge mit ihrem Barwert übereistimmt. Der Barwert aller Zahluge des Schulders ist gleich dem Barwert eier achschüssige Rete mit gleichbleibede Rate r i Höhe der gesuchte Auität A, daher folgede Beziehug: S q = A q ( q ) A = S q q ( q ) Weitere Formel: Tilgug: T k = T q k mit T = A S p Restschulde: S k = S T k q = S q q k k q A q = S p T Ziszahluge: ( q ) q Z k k = A T k Laufzeit: l A l( A ( q ) S ) l A l( A i S ) = = l q l q Uterjährige Vereibaruge bei vorgegebee Jahreszissatz Beispiel: Eie Schuld vo 5. soll bei 9% Verzisug pro Jahr ierhalb vo 6 Jahre mit kostate moatl. Rate zurückgezahlt werde. Wie groß ist die moatl. Rate a zu wähle? jährliche Auität: Ud daraus die moatliche Auität:

15 4 4. Aufgabe 4. Bereche Sie de Tilgugsbetrag bei Ratetilgug, we sich der Kreditbetrag auf 7. Euro beläuft ud die Tilgug ach Jahre beedet sei soll. 4. Wie groß ist bei Ratetilgug eies Kredites vo 84. Euro der Kreditbetrag ach sechs Jahre, we eie Kreditdauer vo 8 Jahre vereibart ist? 4. Bestimme Sie die bei Ratetilgug eies zu 7,5 % zu verzisede Kredites vo 4. Euro die bei jährlicher Tilgug vo 4. a) im siebte Jahr, b) isgesamt afallede Zise. 44. Stelle Sie eie Tilgugspla für eie Auitätetilgug eies Kredites vo. Euro mit eier Laufzeit vo sechs Jahre ud eier Verzisug vo 7,5 % auf. 45. Bestimme Sie de Betrag der Auität bei Auitätetilgug, we der Kreditbetrag 5. Euro, die Tilgugsdauer Jahre ud der Zissatz 7 % betrage. 46. Ei Uterehme ist i der Lage, eie jährliche achschüssige Auität vo 9. Euro für ei Darlehe über 75. Euro aufzubrige. Bestimme Sie äherugsweise die Tilgugsdauer bei eier Darlehesverzisug vo 9 %. 47. Ei Uterehme hat eie Kredit i Höhe vo.8. Euro aufgeomme. Wie groß ist die Restschuld ach sechs Jahre, we Auitätetilgug bei eier Verzisug vo 8,5 % mit eier Laufzeit vo 5 Jahre vereibart worde ist? 48. Stelle Sie eie Tilgugspla für die erste 5 Jahre bei Vorliege folgeder Darlehesvereibaruge auf: Kreditbetrag: 8.,, Zissatz: 8,5 %, Laufzeit: 8 Jahre, Auität: kostat 49. Ei Kredit i Höhe vo. Euro wird für eie Dauer vo 8 Jahre gewährt, woach er vollstädig zurückgezahlt sei soll. Welche jährlich kostate (achschüssige) Leistug für Zis ud Tilgug ist aufzuwede, we ei fester Zissatz vo 7 % für die gesamte Dauer vereibart ist? Bestimme Sie de Zisbetrag für das 8. Jahr, die Tilgug für das. Jahr ud de Restkreditbetrag ach Jahre. Stelle Sie eie Tilgugspla für die erste drei Jahre auf. 5. Ermittel Sie äherugsweise die Laufzeit eies Darlehes, für welches bei eiem Zissatz vo 9, %, eie Auität vo, % zu zahle ist. 5. Ei Bauspardarlehe i Höhe vo 6. Euro mit eiem Jahreszissatz vo 5 % wird i jährlich achschüssige Auitäte i Höhe vo 7. Euro getilgt. Bestimme Sie äherugsweise de Zeitraum, i dem das Bauspardarlehe vollstädig zurückgezahlt sei wird. 5. Eie Perso beötigt zum Kauf eies Eifamiliehauses eie Kredit, de sie bis i Jahre i gleichmäßige moatliche Rate getilgt habe möchte. Der Bakzissatz beträgt 5%. a) Wie hoch ist die moatliche Belastug bei eier Kreditsumme vo 5.? b) Die Perso ka moatlich maimal aufbrige. Wie hoch ka die Kreditsumme höchstes sei?

16 5 5 INVESTITIONSRECHNUNG Die Ivestitiosrechug stellt Modelle, Methode ud Verfahre zur Beurteilug der Wirtschaftlichkeit vo Ivestitioe bereit. 5. Kapitalwertmethode Bei dieser Methode werde alle mit eier Ivestitio verbudee zuküftige Eiahme ud Ausgabe eiader gegeübergestellt. Da zu uterschiedliche Zeitpukte fällige Zahluge ur da vergleichbar sid, we ma sie auf eie feste Zeitpukt bezieht, geht ma hierbei so vor, dass alle Eiahme ud Ausgabe mittels eies festgelegte Kalkulatioszissatzes auf de Zeitpukt Null abgezist werde. => Berechug der Barwerte. Abkürzuge: E k (zu erwartede) Eiahme zum Zeitpukt k, k =,,,..., A k (zu erwartede) Ausgabe zum Zeitpukt k, k =,,,..., C k Barwerte der Eiahmeüberschüsse Bedeutug der Ergebisse: k = k = k = C > die Ivestitio ist vorteilhafter als die Alage zum Kalkulatioszissatz p k C = die Ivestitio erbrigt eie Verzisug i Höhe vo p k C < die Verzisug vo p wird vo der Ivestitio icht erreicht k Bsp.: Eiahme- ud Ausgabepla für eie Ivestitio, Kalkulatioszissatz 8% Jahr Eiahme Ausgabe Eiahme überschüsse k E k A k E k - A k Barwerte der Eiahmeüberschüsse C k Kapitalwert der Ivestitio = C k k

17 5. Methode des itere Zisfußes 6 Bei dieser Methode wird ermittelt, mit welchem Zissatz sich die ursprügliche Aschaffugsausgabe währed der Nutzugsdauer eier Ivestitio verzise. Dieser als itere Zisfuß p bezeichete Wert ist bei eiem Kapitalwert der Ivestitio vo Null gegebe, d.h. k = C k = Beispiel: Jahr Eiahme Ausgabe Eiahme überschüsse k E k A k E k - A k

18 7 5. Aufgabe 5. Eie Uterehmug steht vor der Etscheidug, eie Erweiterugsivestitio durchzuführe oder zu uterlasse. Zur Fudierug ihrer Etscheidug hat sie eie Plaug der zu erwartede Mehreiahme ud Mehrausgabe durch diese Ivestitio vorgeomme. Welche Etscheidug ist bei eier Midestverzisug vo 9 % zu treffe, we die Plaug der Ivestitioseiahme ud ausgabe zu folgede Werte geführt hat: Zeitpukt Eiahme Ausgabe Drei Ivestitiosobjekte führe zu folgeder Eiahmereihe ud zu folgede Ausgabereihe: Zeitpukt 4 Eiahme Ausgabe jeweils Alterative Alterative Alterative Welche Ivestitio erweist sich bei Zugrudelegug eies Kalkulatioszisfußes vo 9,5 % als vorteilhafter? 55. Gegebe sei eie Ivestitio mit folgede zu erwartede Eiahme ud Ausgabe: Zeitpukt Eiahme Ausgabe a) Ermittel Sie de Kapitalwert der Ivestitio bei eiem Kalkulatioszisfuß vo 8,5 %. b) Bestimme Sie de Kapitalwert bei eiem Kalkulatioszissatz vo p = ud p =. Welcher itere Zissatz ergibt sich uter Berücksichtigug dieser Werte äherugsweise

19 8 6 UNTERSUCHUNG VON FUNKTIONEN MIT EINER UNABHÄNGIGEN VARIABLEN 6. Das Differetial eier Fuktio Die Sekate durch die Pukte (, f( )) ud ( +, f( + )) besitzt de Astieg, der durch de Tages des Wikels α S defiiert ist f f y S + = = ) ( ) ( ta α (Differezquotiet) Um die Steigug im Pukt zu ermittel, wird immer weiter verkleiert, d.h. wird ageähert: Daraus ergibt sich: f f y + = ) ( ) ( lim lim (Differetialquotiet) Der Differetialquotiet wird auch erste Ableitug der Fuktio f() im Pukt bezeichet. Ableitugsregel -> siehe Formelsammlug Beispiele: ) ( ) ( ) ( 7 4 ) ( ) ( + = + = + + = = f f f f

20 6. Etremwertbestimmug 9 Schema zur Bestimmug vo Etremwerte eier -mal differezierbare Fuktio y=f() a) Bestimmug vo f () b) Lösug der Gleichug f ()= a. Hat die Gleichug keie Lösug, so eistiert kei Etremwert. b. Eistiere die Lösuge i, so ist Schritt c) durchzuführe. c) Bestimmug vo f () d) Prüfug des Vorzeiches der zweite Ableitug a de Stelle i a. Falls f ( i )< liegt ei Maimum a dieser Stelle b. Falls f ( i )> liegt ei Miimum a dieser Stelle c. Falls f ( i )= ist Schritt e) durchzuführe e) Sukzessive Bestimmug vo höhere Ableituge ud Prüfug dieser Ableituge a de Stelle i solage, bis f () ( i ) a. Ist gerade ud f () ( i )>, so liegt bei i ei Miimum b. Ist gerade ud f () ( i )<, so liegt bei i ei Maimum c. Ist ugerade, so eistiert kei Etremwert. Es liegt ei (Wede-) Sattelpukt vor. d. Gibt es keie Ableitug, für die f () ( i ) ist, so ist eie eideutige Aussage icht möglich. f = f f Beispiele: ( ) ( ) = ( ) =, + Radmaima ud miima Fuktioe i de Wirtschaftswisseschafte habe durchweg eie begrezte Defiitiosbereich. Wirtschaftsfuktioe werde meist durch die Produktiosmege ud Kapazitätsgreze beschräkt Beispiel: K() = ³-²+7+7, die Kapazitätsgreze liegt bei = Bei eiem begrezte Defiitiosbereich ka es vorkomme, dass Etremwerte eier Fuktio am Rade des Defiitiosbereichs liege, obwohl die erste Ableitug dort icht verschwidet. Diese Etremwerte bezeichet ma als Radmaima bzw. Radmiima.

21 6. Krümmug ud Wedepukte Vo besoderem Iteresse sid die Greze zwische kokave ud kovee Bereiche eier Fuktio. => Wedepukte. Im Wedepukt ädert sich die Krümmug der Kurve. Die Fuktio f() sei a der Stelle dreimal differezierbar. Ist f ( ) = ud f ( ), so hat die Fuktio bei eie Wedepukt ,5 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5,5,5,5 4,5-4 Überträgt ma die Etremwertbediguge auf die erste Ableitug eier Fuktio, so hat ma demach die Bediguge für Wedepukte. We für eie -mal differezierbare Fuktio f() a der Stelle für ugerades gilt f ( ) = f ( ) =... = f (-) ( ) = ud f ( ) so besitzt f() a der Stelle eie Wedepukt. Bei geradem Etremstelle. Ist darüber hiaus auch f ( ) =, so besitzt die Fuktio bei eie Wedepukt mit horizotaler Tagete, der als Sattelpukt bezeichet wird. Beispiel: f = ( ) = + 8 f ( ) =, + f ( ) = f ( ) Ekurs: Nullstellebestimmug Es gibt mehrere Verfahre zur äherugsweise Bestimmug vo Nullstelle, z.b. Polyomdivisio oder Itervallschachtelug. Ei vo Newto etwickeltes Verfahre beutzt zur Nullstellebestimmug die erste Ableitug eier Fuktio. Gegebe sei eie differezierbare Fuktio f(). Ferer sei eie Geauigkeitsschrake c gegebe. a) Setze i = b) Bestimme = f ( ) i i+ i. Gehe zu c). f '( i ) c) Bereche f( i+ ). Falls f( i+ ) = gehe zu f). Falls f( i+ ) gehe zu d). d) Falls I f( i+ ) I < c ist die Näherug ausreiched, gehe zu f), aderfalls gehe zu e). e) Setze i = i+ ud gehe zu b). f) Ede Beispiel: f() = ³-,75²+-,5

22 6.4 Utersuchug eiiger ökoomischer Fuktioe 6.4. Die Preis-Absatz-Fuktio ud die Erlösfuktio a) Betrachtug eies Moopoliste Wird ei Produkt auf eiem Markt ur vo eiem Abieter agebote, da liegt ei Agebotsmoopol vor. Der Preis p, de der Moopolist setzt, bestimmt die abgesetzte Mege (bzw. die vo ihm auf dem Markt agebotee Mege de Preis). Die Preisabsatzfuktio des Moopoliste, die die Beziehug zwische Preise ud Mege ausdrückt, hat da i der Regel eie fallede Tedez. Beispiel: p = -+ Die Fragestellug lautet, mittels welcher wirtschaftliche Aktivität (d.h. bei welchem Wert der uabhägige Variable) der größtmögliche Erlös erzielt werde ka. Grezerlös E Der maimale Erlös wird erreicht we gilt E = ud E < b) Betrachtug bei vollstädiger Kokurrez Bei vollstädiger Kokurrez geht ma davo aus, dass auf dem Markt eies Gutes der eizele Abieter de Preis icht beeifluße ka. Es wird also p = cost. uterstellt. Zu diesem Preis ka der Abieter praktisch jede beliebige Mege Absetze. Beispiel: p = costat Bei dieser Betrachtugsweise wird deutlich, dass der Erlös theoretisch ubegrezt mit der abgesetzte Mege steigt. Die Differetatio macht hier zur Bestimmug des maimale Erlöses keie Si, da E = p. De maimale Erlös ka der Abieter a der Kapazitätsgreze realisiere, d.h. es hadelt sich um ei Radmaimum.

23 6.4. Kostefuktioe Bei folgede Überleguge wird ei s-förmiger Kurveverlauf uterstellt. Geht ma vo eiem lieare Kosteverlauf aus, köe mit der Differetialrechug keie Etremwerte berechet werde. Beispiel: K = ³-²+7+7 Gesamtkoste ( K ) Koste Mege Natürlich iteressiere bei der Betrachtug der Koste die Miimalstelle. Dabei macht es weig Si, die Gesamtkoste auf Etremstelle zu utersuche, da die Koste üblicherweise mit der produzierte Mege steige. D.h. die Miimalkoste liege bei der Produktiosmege ud die Maimalkoste bei der Kapazitätsgreze. Iteressate Pukte sid uter Aderem der gerigste Kosteastieg, die gerigste Stückkoste, das Betriebsoptimum ud das Betriebsmiimum. K f Fikoste. Koste, die uabhägig vo der produzierte Mege etstehe. k f - Fie Stückkoste. Fikoste verteilt auf die produzierte Mege. k v - Variable Stückkoste. Koste, die direkt eier produzierte Eiheit zugerechet werde köe. K V - Variable Koste. Die variable Stückkoste multipliziert mit der produzierte Mege. K Gesamtkoste. Die Summe aus Fikoste ud variable Koste. k - Stückkoste (Durchschittskoste). Die Gesamtkoste verteilt auf die produzierte Mege K - Grezkoste (Differetialkoste). Zusätzliche Koste pro Megeeiheit oder mometaer Kosteastieg. We K = ud K > da liegt bei dieser Mege der gerigste Kosteastieg. (Dies ist der Wedepukt vo K!) k - Ableitug der Stückkoste. We k = ud k > da liegt bei dieser Mege der gerigste Astieg der Stückkoste. Diese Mege wird als Betriebsoptimum bezeichet. k v - Ableitug der variable Stückkoste. We k v = ud k v > da liegt bei dieser Mege der gerigste Astieg der variable Stückkoste. Diese Mege wird als Betriebsmiimum bezeichet. We der Produktpreis diese Koste uterschreitet, ka kei Deckugsbeitrag mehr erzielt werde, die Produktio müsste eigestellt werde. Der zum Betriebsmiimum gehörige variable Stückpreis wird als "kurzfristige Preisutergreze" bezeichet. So ka ei Betrieb bei schwakede Marktpreise für die hergestellte Güter de Preis vorübergehed bis zu dieser Preisgreze hiuterschraube, um vo der Kokurrez icht vom Markt verdrägt zu werde. Auf eie Deckug der fie Koste wird dabei verzichtet.

24 6.4. Gewifuktioe a) Gewimaimum eies Moopoliste Der Moopolist wird de Preis setze, bei dem er de größtmögliche Gewi realisiert (bzw. die etsprechede Mege abiete). Notwedige Bedigug für ei Gewimaimum ist G = E K = bzw. E = K Notwedige Bedigug für die Eistez eies Gewimaimums ist also die Übereistimmug vo Grezerlös ud Grezkoste. Hireichede Bedigug für ei Gewimaimum ist G = E K < bzw. E < K Erlös ( E ) Gesamtkoste ( K ) Grezerlös (E') Preisabsatzfuktio Grezkoste ( K' ) Die Schittpukte vo E ud K sid die Nutzeschwelle bzw. die Nutzegreze, zwische diese Greze liegt die Gewizoe. Die Produktiosmege, bei der der maimale Gewi realisiert werde ka, liegt beim Schittpukt vo E ud K. Der zu dem Gewimaimum gehörede Preis p ka über die Preisabsatzfuktio ermittelt werde. Beispiel: p = -+ K = ³-²+7+7 b) Gewimaimum bei vollstädiger Kokurrez 5, 45, 4, 5,, 5,, 5, Erlös ( E ) Gesamtkoste ( K ) Preis Grezkoste ( K' ), 5,, Wird p = cost. uterstellt, da ist E = p ud E = p, d.h. der Grezerlös ist gleich dem Preis. Astelle vo E = K ergibt sich p = K, ud astatt E < K muss K > gelte. Bei vollstädiger Kokurrez ist also für die Erreichug eies Gewimaimums die Übereistimmug vo Preis ud Grezkoste otwedige Bedigug. Beispiel: p = 4 K = ³-²+7+7

25 6.5 Aufgabe Bestimme Sie die erste, zweite ud dritte Ableitug folgeder Fuktioe: a) y + = b) d) y = a + a + a + a e) + = y c) y = e f) y = 4 y = l 57. Bestimme Sie die Nullstelle für folgede Fuktioe. Verwede Sie dazu das Newto- Verfahre, Polyomdivisio ud die Mitterachtsformel (evtl. mit Substitutio). y 5 = 4 b) = 7, a) + y c) 4 d) y = mit der doppelte Nullstelle / = 6 4 y = Utersuche Sie y = auf Etremwerte ud Wedepukte, ud bestimme Sie die Bereiche, i dee die Fuktio kokav bzw. kove ist. 59. Bestimme Sie für y = die Nullstelle, Etremwerte ud Wedepukte Bestimme Sie für die Umsatzfuktio U() = -,² + 4 das Umsatzmaimum ud de dazu gehörede Verkaufspreis. Ermittel Sie daraus die Fuktio des Stückumsatzes ud überprüfe Sie diese auf Etremwerte. 6. Es gelte die Preis-Absatz-Fuktio p = -, +. Bestimme Sie die zugehörige Umsatzfuktio, die umsatzmaimale Absatzmege ud de größtmögliche Umsatzbetrag. 6. Eie quadratische Kostefuktio mit K =,5² + 6 ist gegebe. Bestimme Sie die Ausbrigugsmege, bei welcher die Stückkoste ei Miimum erreiche. Wie groß ist der zugehörige Stückkostebetrag? 6. Es gelte die Kostefuktio K = ³ ² Bestimme Sie die Fuktio der Stückkoste, der variable Stückkoste ud der Grezkoste. 64. Welche Maßahme hat ei Uterehme für die Erzielug eies Gewimaimums zu ergreife, we die Preis-Absatz-Fuktio p = -, + ud die Kostefuktio K = + 5 gelte? 65. Ermittel Sie für die Gewifuktio G ( ) = de Stückgewi. Utersuche Sie die gebildete Fuktio auf mögliche Etrempukte. Stelle Sie die Stückgewifuktio ud die Grezgewifuktio grafisch dar. 66. Für die Produktio eies Gutes, das zu eiem kostate Preis vo p = 5 abgesetzt wird, eistiert die Kostefuktio K = ² Bestimme Sie a) die Erlösfuktio, b) die Grezerlösfuktio, c) die Grezkostefuktio, d) die Durchschittskostefuktio, e) die Gewifuktio, f) die gewimaimale Ausbrigugsmege, g) die Ausbrigugsmege mit maimalem Stückgewi, h) die Nutzeschwelle ud die Nutzegreze, i) Stelle Sie E ud K grafisch dar. 67. Für eie Eiproduktuterehmug lautet die Kostefuktio K = ud die Preisabsatzfuktio p =. Bestimme Sie a) die Grezkostefuktio, b) die Durchschittskostefuktio, c) die Erlösfuktio, d) die Grezerlösfuktio, e) de Bereich positiver Gewie, f) die gewimaimale Ausbrigugsmege, g) Stelle Sie E, G ud K grafisch dar. 68. Die Gesamtkoste eies Betriebes häge vo der Ausbrigugsmege ab ud werde durch eie gazratioale Fuktio dritte Grades beschriebe. Der Verkaufspreis je ME (Megeeiheit) beträgt GE (Geldeiheite). Die Fikoste betrage 8 GE. Kostedeckug wird bei eier Ausbrigugsmege vo 7 ME erzielt. Bei 4 ME betrage die

26 Stückkoste 65,5 GE ud bei 5 ME die variable Koste 5 GE. Bestimme Sie die Gleichug der Gesamtkostefuktio. 69. Die Gesamtkostefuktio ist gegebe durch K ( ) = ³ ² Der Verkaufspreis je ME beträgt GE. Erstelle Sie eie Wertetabelle für 8 ud zeiche Sie das Schaubild der Kostefuktio, der Umsatzgerade ud der Gewikurve. Bereche Sie de maimale Gewi. Bereche Sie die Nutzeschwelle, we die Nutzegreze bei eier Ausbrigugsmege vo 7 ME liegt. Bestimme Sie das Betriebsmiimum. Aus Wettbewerbsgrüde muss der Betrieb de Verkaufspreis seke. Die Nutzeschwelle liegt jetzt bei eier Ausbrigugsmege vo 5 ME. Bereche Sie de eue Verkaufspreis. 7. Ei Betrieb erzielt für sei Produkt eie Verkaufserlös vo GE je ME. Die Gesamtkoste sid durch eie gazratioale Fuktio dritte Grades bestimmt. Die fie Koste betrage GE. Bei eier Ausbrigugsmege vo ME etstehe Koste vo 44 GE, bei eier Ausbrigug vo ME tritt ei Verlust vo 5 GE auf. Bei 4 ME betrage die Stückkoste GE. Bestimme Sie de Fuktiosterm der Gesamtkostefuktio. 7. Die Gesamtkostefuktio ist gegebe durch: K ( ) = ³ 8² Der Verkaufserlös beträgt Ge je ME. Bereche Sie die Nutzegreze, we die Nutzeschwelle bei eier Ausbrigug vo ME liegt. Bereche Sie de maimale Gewi. Bereche Sie das Betriebsoptimum mit eiem Näherugsverfahre. Welcher Erlös p muss pro ME erzielt werde, we bei eier Ausbrigug vo 5 ME ei Gewi vo 6 GE erzielt werde soll? 5 5 5

27 6 7 UNTERSUCHUNG VON FUNKTIONEN MIT MEHREREN UNABHÄNGIGEN VARIABLEN 7. partielle Differetatio I der aschauliche Iterpretatio etspricht die Bestimmug der erste Ableitug eier Fuktio mit eier uabhägige Variable y = f() der Bestimmug der Steigug der Kurve. Da diese Steigug davo abhägt, welche Wert aimmt, ist auch die erste Ableitug wieder eie Fuktio vo, d.h. y = f (). Bei eier Fuktio mit zwei uabhägige Variable z = f(,y) ist die Bestimmug eier Steigug icht mehr eideutig möglich: z = f(,y) etspricht i eiem -y-z Koordiatesystem eier Fläche im Raum. Die Steigug auf eier solche Fläche hägt u icht ur vo ud y ab, soder auch vo der Richtug, i der ma sich bewegt. Um deoch Aussage über die Steigug der Fuktiosfläche i Abhägigkeit vo Ort ud Richtug zu erhalte, ka ma folgedermaße vorgehe: I der Fuktio z = f(,y) wird die Variable y durch eie Kostate y ersetzt. Die dadurch etstehede Fuktio z = f(,y ) = z a () hägt ur och vo der Variable ab. Wird die Variable durch eie Kostate ersetzt, so hägt die Fuktio z = f(,y) = z b (y) ur och vo y ab. Die Fuktioe z a () ud z b (y) köe, da sie ur Fuktioe eier Variable sid, ach bzw. y differeziert werde. Gegebe sei die Fuktio z = f(,y). Eistiere für alle (,y) Є D(f) die Grezwerte: f ( +, y) f (, y) lim = f ' (, y) = z' ud f (, y + y) lim y y so heißt die Fuktio partiell differezierbar ach ud ach y. f (, y) = f ' y (, y) = z' Eie Fuktio mit zwei uabhägige Variable z = f(,y) besitzt somit zwei partielle Ableituge erster Ordug. y Höhere Ableituge Die partielle Ableituge erster Ordug köe u wiederum partiell ach de uabhägige Variable differeziert werde. Das ergibt die partielle Ableituge zweiter Ordug der Fuktio. Da jede der partielle Ableituge erster Ordug wieder ach jeder der Variable differeziert werde ka, gibt es isgesamt ² partielle Ableituge zweiter Ordug. Beispiel: f(,y) = ³ y³ f(,y) = ³+²y+y²+y³

28 7. Etremwertbestimmug 7 Schema zur Utersuchug eier Fuktio z = f(,y) auf Etremwerte a) Bestimmug vo f ud f y b) Lösug des Gleichugssystems f = ud f y = für ud y. a. Hat das Gleichugssystem keie Lösug, so eistiert kei Etremwert. b. Eistiere die Lösuge ( i, y i ) so ist Schritt c) durchzuführe. c) Bestimmug vo f, f yy, f y d) Vergleich vo f, f yy ud (f y )² a. Falls f * f yy > (f y )², so liegt a der Stelle ( i,y i ) ei Etremwert, weiter mit Schritt e) b. Falls f * f yy < (f y )², so liegt a der Stelle ( i,y i ) kei Etremwert, soder ei Sattelpukt. c. Falls f * f yy = (f y )², so ist keie verbidliche Aussage über die Stelle ( i,y i ) möglich. e) Für f < folgt ei Maimum a der Stelle ( i,y i ). Für f > folgt ei Miimum a der Stelle ( i,y i ). Beispiel: f(,y) = ³+²y-y²-+y³-y Etremwerte bei Fuktioe mit mehr als zwei uabhägige Variable Für Fuktioe mit mehr als zwei uabhägige Variable sid Maimum ud Miimum ählich defiiert wie bei zwei uabhägige Variable. Notwedige Bedigug für die Eistez eies Etremwertes eier stetig partiell differezierbare Fuktio ist das verschwide aller partielle Ableituge erster Ordug ach alle uabhägige Variable. Auf die hireichede Bedigug wird hier verzichtet. Es sei auf die Literatur verwiese. Beispiel: z = ²+y²+v²+4-y-v+7 7. Etremwerte uter Berücksichtigug vo Nebebediguge Bei zahlreiche Wirtschaftswisseschaftliche Aweduge sid Etremwerte eier Fuktio mit mehrere uabhägige Variable uter Berücksichtigug vo Nebebediguge zu bestimme. Für die Lösug derartiger Probleme, bei der die Nebebediguge i Gleichugsform gegebe sid, biete sich zwei Möglichkeite a: Die Variablesubstitutio ud die Multiplikatorregel ach LaGrage. 7.. Lösug vo Etremwertaufgabe durch Variablesubstitutio Für die Lösug eier Etremwertaufgabe uter Beachtug eier Nebebedigug durch Variablesubstitutio löst ma die Nebebedigug ach eier Variable auf ud ersetzt diese Variable da i der auf Etremwerte zu utersuchede Fuktio etspreched. Dadurch erhält ma eie Fuktio mit eier uabhägige Variable. Beispiel: Ei Kraftwerk erzeugt Strom aus der Verbreug vo Kohle (r ) ME ud Erdgas (r ) ME. Der Preis je ME Kohle beträgt q = 4 GE ud für Erdgas q = GE. Die Produktiosfuktio für die erzeugte Strommege (Output) lautet: f(r,r ) = r,5 r,75. Die beötigte Strommege liegt derzeit bei 8 EE. Wie lautet die Miimalkostekombiatio für die Produktiosfaktore? (Wie ädert sich die Situatio bei eiem Strombedarf vo EE?)

29 Sid die Produktiosfaktore substituierbar, da wird ma eie vorgegebee Produktiosmege mit der Faktorkombiatio herstelle, die die gerigste Koste verursacht. Sid q ud q die Preise der beide Produktiosfaktore, da ergibt sich für die Koste die zu miimierede Fuktio (=Zielfuktio) K = q r + q r. Für user Beispiel K = 4r + r. Zu beachte ist, dass die Bedigug des beötigte Strombedarfs eigehalte wird = f(r,r ). Für user Beispiel 8 = r,5 r,75. Kurz: Miimiere K = 4r + r uter Eihaltug der Nebebedigug 8 = r,5 r,75. Wird r i der Nebebedigug i Abhägigkeit vo r ausgedrückt, r = f(r ), erhält ma die Isoquate. Isoquate sid Kurve, auf der alle Faktorkombiatioe liege, die zu der selbe Produktiosmege (Output) führe. 8 8 r = = 56,75 r r 4 Die so isolierte Variable wird u i der Zielfuktio substituiert, ma erhält K = q f(r )+ q r. K = 4 56 r + r Für user Beispiel: => Miimum bei r = 4 ud r = 4 ud K = 64 Alle Faktorkombiatioe, die zu eiem bestimmte Kostebetrag führe, q r + q r = c, liege auf eier Gerade (Isokostegerade) q c =. Für use Beispiel r = r + 6 q r r + q 9 8 r = 56 r r = r + 6,,4,6,8 4 4, 4,4 4,6 4,8 Im Isoquatediagramm ist eie Miimalkostekombiatio als Tagetialpukt vo Isoquate ud Isokostegerade zu erkee. Beispiel : Für ei Uterehme solle Koservedose aus Blech i Form eies Kreiszyliders hergestellt werde. Die Dose solle eie Füllmege vo ml beihalte ud uter dem Gesichtspukt des miimale Materialverbrauchs hergestellt werde. Der m² Weißblech kostet,78. Wie viel kostet das Material für eie Dose?

30 7.. Multiplikatorregel vo LaGrage 9 Bei Awedug der Multiplikatorregel werde die Nebebediguge mit eiem Faktor λ (LaGragescher Multiplikator) multipliziert ud da zu der auf Etremwerte zu utersuchede Fuktio addiert. Die daraus etstadee erweiterte Fuktio wird auf Etremwerte utersucht. Auch die LaGragesche Multiplikatore stelle dabei uabhägige Variable dar. Vorgehesweise a) Bestimmug der Zielfuktio ud der Nebebediguge (Achtug NB = ) b) Erstelle der Lagrage Fuktio z = f (, y) + λ g(, y) z ' λ, f ', f ' c) Bildug der Ableituge y. Die Ableituge werde gleich Null gesetzt, es etsteht ei LGS, das eideutig gelöst werde ka. Beispiel: Es soll z = f(,y) = -² - y² + 9 uter Berücksichtigug der Nebebedigug g(,y) = + y = miimiert werde. 8 AUFGABEN 7. Bilde Sie für folgede Fuktioe die partielle Ableituge erster Ordug. a) z + = y b) z = a b y c c) z = a + by 7. Utersuche Sie die folgede Fuktioe auf Etremwerte = b) z = y + y + y + y + y 4y a) z + y + y Für ei Uterehme, das zwei Güter i de Mege ud herstellt, gilt die Gewifuktio G (, ) = Bestimme Sie de Produktiospla mit dem größte Gewi. 75. Es wird ei Produktiosprozeß betrachtet, bei dem ei Gut mit zwei Produktiosfaktore r ud r hergestellt wird. Die Produktiosfuktio lautet =5r r. Die Koste werde gegebe durch K=6r +r. Bestimme Sie die Miimalkostekombiatio für die Produktio vo 8 Eiheite eies Gutes. 76. Für ei Uterehme solle Plastikbecher i Form eies Kreiszyliders, der obe geöffet ist, hergestellt werde. Die Becher solle eie Füllmege vo 5 ml beihalte ud uter dem Gesichtspukt des miimale Materialverbrauchs hergestellt werde. Welche Maße habe der Radius ud die Höhe des Bechers? 77. Utersuche Sie die Fuktio z = ² + y uter der Nebebedigug y = -,5 + 6 auf Etremwerte a) mittels des Asatzes vo LaGrage ud B) durch Substitutio. 78. Utersuche Sie die Fuktio Etremwerte. z = 4 + y y + uter der Nebebedigug y y + = auf 79. Es soll f(,y,z) = ²+y²+z uter Berücksichtigug der Nebebedigug g(,y,z) = +y-z = miimiert werde. 8. Utersuche Sie die folgede Fuktio auf Etremwerte. z = ( y) + y