Michael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren

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1 Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied. Mit a = h( defiiert h die Fuktiosvorschrift der Folge. {a } heißt koverget, d.h. besitzt eie Grezwert (Limes g, we (für jedes ε> i jeder och so kleie (ε- Umgebug um g (dem offee Itervall (g-ε, g+ε ab eiem gewisse (= (ε alle Folgeglieder liege; da gilt: g = lim a. Nicht kovergete Folge heiße diverget. > Mit a = h( liegt eie eplizite Folgevorschrift vor, mit a = h(a -k,, a -1 eie rekursive Folge mit vorgegebeem a 1, a, a k (rekursive Folge k-ter Ordug. Das Bereche der Folgeglieder a rekursiver Folge heißt Iteratio. Das aschließed dargestellte Newtoverfahre ist eie rekursive Folge 1. Ordug a = h(a -1 mit vorgegebeem a 1. Newtoverfahre: Zu eier differezierbare Fuktio f: D f -> R bestimmt ma umerisch eie N mit f( N =, idem ma das Newtoverfahre awedet, das für eie vorgegebee (Afags- Wert die Fuktio f( durch eie Tagete aähert, die der Tagete bestimmt ud dieses Verfahre wiederholt (Iteratio. Es etsteht dadurch eie Folge vo reelle -Werte (Afagswert, 1,, vermöge der Iteratiosgleichug (für =, 1,, : + 1 = f ( (f (. Die Folge 1,, kovergiert da bei geeigetem Afagswert im Allgemeie gege die gesuchte N der Fuktio f(, also -> N (- >. Der Afagswert ergibt sich dabei z.b. als Wert i eiem Itervall [a;b] mit Vorzeichewechsel der Fuktio, also mit f(a f(b < (d.h.: f(a>, f(b< oder f(a<, f(b>. Stelle mit f ( = (waagerechte Tagete bei der Fuktio f( beeiflusse die Iteratio des Newtoverfahres egativ, das Newtoverfahre ka diverget werde. f '( Begrüdet werde ka das Newtoverfahre wie folgt: Zu eiem Pukt ka die Tagete im Pukt P( f( eier differezierbare Fuktio f( als eie Näherug zur Fuktio betrachtet werde. Es gilt dabei die Tageteformel: t: y = f ( ( + f ( ' Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 1

2 Bei hireiched geeigetem ka die der Tagete als Näherug der der Fuktio f( gelte. Die der Tagete bestimmt sich aber mit: so dass das Auflöse der vorstehede Gleichug ach ergibt: = f '( ( + f ( = f '( f '( = f '( ( + f (, + f ( f '( f ( = f '( = f '( f '( f ( = f (. f '( Die Stelle 1 = liegt da im Allgemeie äher a der der Fuktio. Wiederholt ma mit 1 die Bestimmug der Tageteullstelle, erhält ma die Näherug usw. Es gilt damit die obe agegebee Iteratio des Newtoverfahres. Beispiel 1: Zu f( = 3 8 ergibt sich wie bekat die N = bzw. N(. Es wird u diese mit dem Newtoverfahre bestimmt, wobei hier ausführlich die etsprechede Tagetegleichuge ud die Glieder der rekursive Folge als Tageteullstelle tabellarisch dargestellt werde: Newtoverfahre: f( = 3-8, f'( = 3, = 1 Iteratio = -1 = f( -1 = f'( -1 = Tagete y = f'( -1( f( - 1 = -f( -1/f'( -1 Abweichug - -1 = y = y = y = y = y = y = e y = e-11 f( = Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre

3 Beispiel : Zu der Fuktio f '( f (,5,5 = 3,5e, f ''( 6 +,5e 3,5 = + e ist äherugsweise der Wedepukt ahe zu bestimme. Es gilt für die Ableituge: =. Die. Ableitug ist da zur Bestimmug des Wedepuktes gleich zu setze, jedoch ist die Glei-,5 chug 6 +,5e = algebraisch icht lösbar. Es sei daher die Fuktio im Newtoverfahre:,5 Φ ( = f ''( = 6 +,5e defiiert ud abgeleitet: Φ '( = 6,15e,5, so dass als Iteratiosgleichug gilt: Newtoverfahre: f( = 6+.5e -.5, f'( = 6-.15e -.5, =,5 + 1 =, 5 Φ'( 6,15e Φ( 6 +,5e =. Damit ergibt sich die Iteratiostabelle: Iteratio = -1 = f( -1 = f'( -1 = Tagete y = f'( -1( f( -1 = -f( -1/f'( -1 Abweichug - -1 = y = y = e y = e-13 f( = Beispiel 3: Zur Bestimmug vo Schittstelle vo zwei Fuktioe f( ud g( ist das Newtoverfahre über die Differezfuktio d( = f( g( zu ehme; Schittpukte der Fuktioe sid ämlich der Differezfuktio. Es seie gegebe: f ( = 4 si, g( = e. Die Differezfuktio lautet: d ( = f ( g( = 4 si e, dere Ableitug heißt: d' ( = 4 cos + e + = = bestimmt wer- 1 d' ( 4 cos + e Fuktioe, es solle daher die erste Schittstelle mit positivem -Wert gemäß der Iteratio de:. Es gibt uedlich viele Schittstelle der beide d( 4 si e Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 3

4 = Newtoverfahre: f( = 4si(-e -, f'( = 4cos(+ e - = 3 = 6 Iteratio = = -f( -1/f'( f( = Iteratio = = -f( -1/f'( f( = Iteratio = = -f( -1/f'( f( = Beispiel 4: Besodere Werte wie z.b. l bestimmt ma, idem das Problem i eie etsprechede Gleichug eikleidet, hier: e =. Der Gleichug etspricht die der Fuktio f ( = e. Die Iteratio im Newtoverfahre lautet: Newtoverfahre: f( = e -, f'( = e, = Iteratio = = -f( -1/f'( f( = Also ist: l = Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 4

5 Beispiel 5: Es ist ei Näherugswert für die reelle Zahl zu bestimme. Um das Newtoverfahre azuwede, defiiert ma die Parabelfuktio f ( =, die offesichtlich bei N = eie hat. Wege f '( = ergibt sich die Iteratiosfolge: ud weiter die Iteratiostabelle: Newtoverfahre: f( = -, f'( =, = 1 f ( (* 1 = = = + = + f '( Iteratio = = -f( -1/f'( f( = Es ist damit: = Allgemei gilt ählich (* für die Bestimmug vo Quadratwurzel a, a>, das scho aus der meschliche Atike bekate Hero-Verfahre: 1 = + a +, = a (** Ei verallgemeiertes Hero-Verfahre zur Bestimmug vo allgemeie Wurzel r a, a>, r atürliche Zahl, ergibt sich mit f ( = r a, f '( = r ud der Iteratiosfolge: f ( a a ( r 1 a ( r 1 a als: + 1 = +, = a (*** r r r + 1 = = = + = + f '( r r r r r So lässt sich vermöge (*** die Wurzel 7 54 = bestimme mit: Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 5

6 Iteratio zur Bestimmug vo 7 54: +1 = 6 /7 + 54/7/ 6, = 1 = Näherug zu 7 54 = = Näherug zu 7 54 = = Näherug zu 7 54 = = Näherug zu 7 54 = Michael Buhlma, Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre 6

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