Beobachtung über Reihen, deren Terme nach den Sinus oder Kosinus vielfacher Winkel fortschreiten

Transkript

1 Beobachtug über Reihe, dere Terme ach de Sius oder Kosius vielfacher Wikel fortschreite arxiv:0.000v [math.ho] 3 Ja 0 Leohard Euler We also die Summatio dieser Reihe A+ Bx+Cxx+Dx 3 + etc bekat war, sodass, welcher Wert auch immer dem Buchstabe x zugeteilt wird, ihre Summe agegebe werde ka, da wird auch immer so die Summe dieser Reihe wie dieser A+ B cos ϕ+c cos ϕ+d cos 3ϕ+etc B si ϕ+c si ϕ+ D si 3ϕ+E si 4ϕ+ etc beschafft werde köe. Weil ämlich die Summe der erste Reihe durch eie gewisse Fuktio vo x ausgedrückt wird, die wir mit dem Charakter : x bezeiche wolle, sodass ist, wird, we wir astelle vo x : x = A+ Bx+Cxx+Dx 3 + etc cos ϕ+ si ϕ Origialtitel: Observatioes geerales circa series, quarum termii secudum sius vel cosius agulorum multiplorum progrediutur, erstmals publiziert i Nova Acta Academiae Scietarum Imperialis Petropolitiae 7, 793, pp , Nachdruck i Opera Omia: Series, Volume 6, pp , Eeström-Nummer E655, übersetzt vo: Alexader Aycock, Textsatz: Artur Dieer, im Rahme des Projektes Eulerkreis Maiz

2 sowie cos ϕ si ϕ schreibe, die Summe der daher etstehede Reihe A+B cos ϕ+c cos ϕ+ D cos 3ϕ+E cos 4ϕ+ etc sei, dere Summe also ( : cos ϕ+ ) si ϕ + : ( cos ϕ ) si ϕ sei wird; we wir aber letztere vo der erste abziehe, wird diese Reihe hervorgehe: B si ϕ+c si ϕ+d si 3ϕ+E si 4ϕ+ etc hervorgehe, dere Summe also ( : cos ϕ+ ) si ϕ : sei wird. ( cos ϕ ) si ϕ Damit wir diese Ausdrücke vereifache, wolle wir der Kürze wege cos ϕ+ si ϕ = p ud cos ϕ si ϕ = q setze ud es wird, wie im Allgemeie bekat ist, sei ud daher da wird aber pq = q = p ; cos ϕ = p+q, cos ϕ = pp+qq, cos 3ϕ = p3 + q 3, cos 4ϕ = p4 + q 4, etc sei. Außerdem aber wird ma für die Sius habe si ϕ = p q pp qq, si ϕ =, si 3ϕ = p3 q 3, si 4ϕ = p4 q 4, etc, ach Festsetze wovo wir diese Summatioe erreiche: A cos 0ϕ+ B cos ϕ+c cos ϕ+ D cos 3ϕ+etc = : p+ : q ud A si 0ϕ+ B si ϕ+c si ϕ+ D si 3ϕ+ etc = : p : q.

3 3 Wir wolle u für die afägliche Reihe eie beliebige etwickelte Potez des Bioms ehme, welche (+ x) = + ist, sodass i diesem Fall x+ ( : x = (+x) xx+ ( ( ) x 3 + etc 3 ist, da aber, damit wir diese Ausdruck zusammefasse, wolle wir die eizele Koeffiziete, wie ich es scho des öftere gemacht habe, mit diese Charaktere bezeiche:,,,,, etc, ) 3) 4) sodass = ( = ( = ) ( ( ) = 3) 3 etc ist, wo es förderlich sei wird, bemerkt zu habe, dass im Allgemeie ( ( ) = i ist ud daher = =. ) Außerdem ist i der Tat klar, dass, sooft i etweder eie egative Zahl war oder eie positive größer als, dass da immer i ) = 0 ist, we atürlich eie gaze Zahl war. Nachdem diese Dige also bemerkt worde sid, werde wir diese afägliche Summatio habe: (+ x) = + x+ x ) + x 3) 3 + x 4) 4 + etc, 3

4 woher also durch die gerade agegebee Festleguge diese beide Summatioe bereche werde: cos 0ϕ+ cos ϕ+ cos ϕ+ cos 3ϕ+etc = ) 3) (+ p) +(+q) ud si 0ϕ+ si ϕ+ si ϕ+ si 3ϕ+etc = ) 3) (+ p) (+q). I diesem Fall aber werde sich, obwohl die für p ud q ageommee Formel imagiär sid, deoch die Formel auf reelle Werte zurückführe lasse, so wie wir i de folgede Probleme zeige werde. PROBLEM Nachdem diese Reihe der Kosius vorgelegt wurde + cos ϕ+ cos ϕ+ sodass durch die festgesetzte Charaktere cos 0ϕ+ cos ϕ+ s = ist ihre Summe reell auszudrücke. 3 ) cos ϕ+ cos 3ϕ+etc = s, 3) cos 3ϕ+etc, LÖSUNG 4 Weil also, wie wir gerade gesehe habe ist, währed s = (+ p) +(+q) p = cos ϕ+ si ϕ ud q = cos ϕ si ϕ wird, geht die gaze Aufgabe darauf zurück, dass dieser für s beschaffte Ausdruck vom Imagiäre befreit wird; es ist ämlich klar, we die Formel (+ p) ud (+q) etwickelt werde, dass sich da die imagiäre Ateile vo selbst aufhebe werde, weil ja die zu summierede Reihe selbst etsteht; deshalb werde wir eie adere Auflösug suche, dass ohe agewadte Etwicklug die imagiäre Ateile aufgehobe werde; das wird auf die folgede Weise gemacht werde köe. 4

5 5 Weil pq = ist, wird die Formel + p so ausgedrückt werde köe, dass + p = ( p+ q) p ist; ud auf ähliche Weise wird +q = ( p+ q) q sei; ach der Eiführug dieser Werte wird usere Summe als s = ( p+ q) ( p + q ) hervorgehe. Weil scho im Allgemeie ist, wird p α + q α = cos αϕ p + q = cos ϕ ud p + q = cos ϕ sei, ach Eisetze welcher Werte die gesuchte scho reell auf die folgede Weise ausgedrückt werde wird: s = cos ϕ cos ϕ. 6 Nach dieser Übereikuft also habe wir eie besoders bemerkeswerte Summatio erhalte, die sich so verhält, dass immer + cos ϕ+ = cos ϕ cos ϕ, cos ϕ+ 3 cos 3ϕ+ etc die immer mit der Wahrheit verträglich ist, welche Zahle auch immer für eigesetzt werde, ob gaze oder gebrochee oder sogar egative. Es wird also der Mühe Wert sei, aus jeder Art eifachere Fälle vor Auge zu führe. ENTWICKLUNG DER FÄLLE, IN DENEN DER EXPONENT EINE GANZE POSITIVE ZAHL IST 7 Wir wolle die folgede Fälle betrachte: 5

6 . Es sei = 0 ud die Reihe selbst wird zur Eiheit verschmelze, die Summe wird aber gleich sei.. Es sei = ud eie Reihe wird i +cos ϕ übergehe; die gefudee Summe aber liefert es ist aber bekat, dass ist. 3. Es sei = ud die Reihe wird i cos ϕ, cos ϕ = +cos ϕ + cos ϕ+cos ϕ übergehe, es etsteht aber die Summe 4 cos ϕ cos ϕ. Gerade aber habe wir gesehe, dass cos ϕ = +cos ϕ ist, welche Form mit cos ϕ multipliziert ergibt. cos ϕ cos ϕ = + cos ϕ+cos ϕ 4. Es sei u = 3 ud es etsteht diese Reihe dere Summe gleich +3 cos ϕ+3 cos ϕ+cos 3ϕ, 8 cos 3 ϕ cos 3 ϕ ist, welche Formel durch hireiched bekate Reduktio die Reihe selbst ergibt. 5. Es sei u = 4 ud die Reihe geht über i +4 cos ϕ+6 cos ϕ+ 4 cos 3ϕ+cos 4ϕ, dere Summe also 4 cos 4 ϕ cos ϕ sei wird, dere Gültigkeit ma auch icht schwer zeigt. Ud so wird sich die Gültigkeit immer durch bekate Reduktioe zeige lasse. 6

7 ENTWICKLUNG DER FÄLLE, IN DENEN FÜR EINE GANZE NEGATIVE ZAHL ANGENOMMEN WIRD 8 Wir wolle zuerst = setze ud es wird die folgede uedliche Reihe etstehe: cos ϕ+cos ϕ cos 3ϕ+cos 4ϕ cos 5ϕ+ etc is Uedlich, dere Summe also durch usere allgemeie Reihe cos ϕ cos ϕ = sei wird, was freilich scho lägst vo de Mathematiker beobachtet worde ist. We daher ämlich diese Reihe, dere Summe solage gleich s gesetzt wird, mit cos ϕ multipliziert wird, wird ma durch allbekate Reduktioe { } s cos ϕ = cos ϕ cos 3 ϕ+cos 5 ϕ cos 7 ϕ+cos 9 ϕ cos ϕ+cos 3 ϕ cos 5 ϕ+cos 7 ϕ cos 9 ϕ etc fide, was atürlich auf s cos ϕ = cos ϕ hiausläuft ud daher s =. 9 Wir wolle u = setze ud es wird die folgede Reihe etstehe cos ϕ+3 cos ϕ 4 cos 3ϕ+ 5 cos 4ϕ 6 cos 5ϕ+ etc, dere Summe also gleich cos ϕ 4 cos ϕ sei wird, dere Gültigkeit darüber hiaus auf die folgede Weise gezeigt werde ka. Nachdem die Summe der Reihe gleich s gesetzt wurde, wird s cos ϕ = { cos ϕ cos 3 ϕ+3 cos 5 ϕ 4 cos 7 ϕ cos ϕ+3 cos 3 ϕ 4 cos 5 ϕ+5 cos 7 ϕ sei, welcher Wert zur folgede Reihe verschmilzt s cos ϕ = cos 3 ϕ cos 5 ϕ+ cos 7 ϕ cos 9 ϕ+etc. } etc 7

8 Ma multipliziere ereut mit cos ϕ ud es wird 4s cos ϕ = { cos ϕ+cos ϕ cos 3ϕ+cos 4ϕ cos 5ϕ cos ϕ+cos 3ϕ cos 4ϕ+cos 5ϕ } etc = cos ϕ hervorgehe ud daher s = cos ϕ 4 cos ϕ, wie wir gefude habe, oder es wird auch sei. s = cos ϕ (+cos ϕ) 0 Es sei u = 3 ud es wird diese uedliche Reihe etstehe 3 cos ϕ+6 cos ϕ 0 cos 3ϕ+5 cos 4ϕ cos 5ϕ+ etc, dere Summe also gleich cos 3 ϕ 8 cos 3 ϕ sei wird. Dieser Ausdruck wird aber weiter auf diese zurückgeführt s = 3 8 cos ϕ = 3 4(+cos ϕ), sodass auch ist. s = + cos ϕ 4(+cos ϕ) 8

9 Auf ähliche Weise werde wir auch die folgede Summatioe erhalte: cos ϕ 4 cos ϕ+0 cos ϕ 0 cos 3ϕ+35 cos 4ϕ etc = 6 cos 4 ϕ 5 cos ϕ+5 cos ϕ 35 cos 3ϕ+70 cos 4ϕ etc = cos 5 ϕ 3 cos 5 6 cos ϕ+ cos ϕ 56 cos 3ϕ+ 6 cos 4ϕ etc = ϕ cos 3ϕ 64 cos 6 ϕ 7 cos ϕ+8 cos ϕ 84 cos 3ϕ+ 0 cos 4ϕ etc = cos 7 ϕ 8 cos 7 ϕ etc. ENTWICKLUNG DES FALLES, IN DEM = IST Es wird daher also die folgede uedliche Reihe gebildet werde cos ϕ cos ϕ+ cos 3ϕ cos 4ϕ+ etc, dere Summe also gleich cos 4 ϕ cos ϕ sei wird, dere Gültigkeit icht leicht sei wird aderswoher zu prüfe; i adere Fälle aber sprigt sie atürlich is Auge. We z. B. ϕ = 0 war, wird ma etc = habe; die Reihe etsteht atürlich aus der Etwicklug (+ =. Wir wolle u ϕ = 80 setze, dass ϕ = 90 ist, ud die Reihe wird etc = 0 sei, was auch daher klar ist, weil diese Reihe aus der Form ( etsteht. Es sei auch ϕ = 90 ud die daher etstehede Reihe wird etc = cos

10 sei. Es ist aber woher ma die Summe cos 30 = +cos 45 + = +, folgert ud so hat ma diese höchst bemerkeswerte Summatio etc = +. Wir wolle auch ϕ = 60 ehme ud es wird diese Reihe etstehe etc, die Summe welcher Reihe also cos sei wird. Weil also +cos 30 cos = = 4 ist, wird die Summe der Reihe sei ENTWICKLUNG DES FALLES, IN DEM = IST 3 Daher wird also die folgede uedliche Reihe gebildet werde cos ϕ+ cos ϕ cos 3ϕ+ cos 4ϕ etc, dere Summe also gleich cos 4 ϕ cos ϕ 0

11 sei wird. Daher etsteht, we ϕ = 0 war, diese Summatio etc =. Diese Reihe etsteht ämlich aus der Form (+. Es sei u ϕ = 80 ud die resultierede Reihe wird etc = sei. Diese Reihe etsteht ämlich aus der Etwicklug(. Wir wolle auch ϕ = 90 ehme ud die Reihe wird etc = cos 30 4 sei. Vorher aber habe wir gesehe, dass cos 30 + = ist, woher die Summe gleich sei wird. + 4 Im Allgemeie wird es auch für beliebige Expoete der Mühe Wert sei, dem Wikel ϕ bestimmte Werte zuzuteile; ud achdem freilich zuerst ϕ = 0 geomme wurde, werde wir + + ) + 3) + 4) + etc = habe; diese Reihe selbst ist atürlich die etwickelte Formel (+. Wir wolle u ϕ = 80 ehme ud es wird diese Reihe etstehe + + etc = 0, ) 3) 4) diese Reihe ist atürlich ( ; Es sei auch ϕ = 90 ud die daher etstehede Reihe wird etc ) 4) 6) 8)

12 sei, dere Summe also sei wird. (cos 45 ) cos 45 = cos 45 5 Diese letzte Reihe scheit umso größerer Aufmerksamkeit würdig, weil dere Gültigkeit icht gerade weig mysteriös ist; daher wird es icht upassed sei, dass eiige Spezialfälle betrachtet werde ud zwar für gaze positive Zahle: etc.. We = 0 ist, wird = sei.. We = ist, wird = cos 45 sei. 3. We = ist, wird = cos 90 = 0 sei. 4. We = 3 ist, wird 3 = 3 cos 3 45 = sei. 5. We = 4 ist, wird 6+ = cos 4 45 = 4 sei. 6. We = 5 ist, wird 0+5 = 5 cos 5 45 = 4 sei. 7. We = 6 ist, wird 5+5 = 3 cos 6 45 = 0 sei. 8. We = 7 ist, wird = 7 cos 7 45 = 3 sei. 9. We = 8 ist, wird = 4 cos 8 45 = 4 sei. 6 Größere Aufmerksamkeit verdiee die Fälle, i dee für eie egative Zahl ageomme wird, i dee ja uedliche Reihe hervorgehe:. We = ist, wird etc = cos 45 = sei.. We = ist, wird sei etc = cos 45 = 0

13 3. We = 3 ist, wird etc = cos = 4 sei. 4. We = 4 ist, wird sei etc = cos = 4 5. We = 5 ist, wird sei etc = cos = 8 6. We = 6 ist, wird etc = sei, etc. Im Allgemeie wird aber für diese Fälle cos = 0 λ(λ+ + λ(λ+(λ+)(λ+3) 3 4 λ(λ+ (λ+7) + 8 λ(λ+ (λ+9) 0 sei, die Summe welcher Reihe also gleich λ(λ+(λ+ )(λ+ 3)(λ+ 4)(λ+ 5) etc sei wird. cos λ 45 λ 3

14 PROBLEM Nachdem diese Reihe der Sius vorgelegt wurde: si ϕ+ si ϕ+ si 3ϕ+etc = s, 3 sodass durch die obe verwedete Charaktere s = si 0ϕ+ si ϕ+ ) si ϕ+ ist, ist der Wert dieser Summe s reell auszudrücke. 3) si 3ϕ+etc LÖSUNG 7 We wir also hier wiederum die Buchstabe p = cos ϕ+ si ϕ ud q = cos ϕ si ϕ eiführe, teile ma, weil ja p q = si ϕ ist, die vorgelegte Reihe i die folgede auf s { ( + ) ( p+ ) ( pp+ ) 3 p 3 + ( ) 4 p 4 = ( ( q ( ) qq ) 3 q 3 ( ) 4 q 4 woher atürlich sei wird. s = (+ p) (+q) } etc, 8 Hier wird es wiederum gleich förderlich sei bemerkt zu habe, dass + p = ( p+ q) p ud +q = ( p+ q) q 4

15 ist, ach Verwedug welcher Werte sei wird. Weil daher ist ud s = ( p+ q) (p q ) p q = si ϕ p+ q = cos ϕ, wird daher, idem ma durch teilt, die gesuchte Summe reell ausgedrückt hervorgehe: s = cos ϕ si ϕ. 5