mit einem rationalen Kosinus-Wert: < q 1 !, ggt p 1 , p ,q 1 Dann hat auch jedes ganzzahlige Vielfache dieses Winkels einen rationalen Kosinus- Wert:
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- Calvin Burgstaller
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1 Has Walser, [019010] Ratioaler Kosius 1 Wikel ud Vielfache Wir arbeite mit eiem Wikel α 1 mit eiem ratioale Kosius-Wert: cos( α 1 ) = p 1, p <, p 1,!, ggt p 1, 1 = 1 (1) Da hat auch jedes gazzahlige Vielfache dieses Wikels eie ratioale Kosius- Wert: cos( α 1 ) = p,!, p, " () Beweis Für de Beweis beötige wir die Formel vo de Moivre, die wir kurz herleite. Aus der Formel vo Euler folgt durch Expadiere: e iϕ = ( e iϕ ) cos( ϕ ) + isi( ϕ ) = cos( ϕ) + isi( ϕ) (3) cos( ϕ ) + isi( ϕ ) = k k=0 cos k ϕ i k si k ϕ Treug i Real- ud Imagiärteil liefert die Formel vo de Moivre: (4) = ( 1) j j cos ϕ si ϕ j=0 1 = ( 1) j j+1 cos j ϕ cos j=0 si j ϕ ( j+1) ( ϕ )si j+1 ( ϕ) (5) Weiter ist
2 Has Walser: Ratioaler Kosius / 7 si ( α 1 ) = 1 p 1 (6) ratioal. Die Siuswerte selber sid i der Regel icht ratioal (ausgeomme im Kotext mit pythagoreische Dreiecke). I der Formel (5) für cos ϕ vor. Daher ist cos α 1 komme die Siuswerte ur mit gerade Expoete ratioal. ratioal ist (Existezbeweis), Wir habe jetzt allerdigs ur bewiese, dass cos α 1 köe diese ratioale Zahl aber icht mit Zähler ud Neer darstelle. Dazu diee die weitere Überleguge. 3 Bezeichuge Wir verwede folgede Bezeichuge: α = α 1 cos( α ) = p (7) 4 Beispiel Es sei p 1 = 8 ud = 9 (Abb. 1) Abb. 1: Beispiel Damit ist: α 1 = arccos( 8 9) (8) I der Tabelle 1 ist i der letzte Spalte der Kosius der Vielfache des Wikels α 1 agegebe. I der zweite ud dritte Spalte sid gaze Zahle agegebe, dere Quo-
3 Has Walser: Ratioaler Kosius 3 / 7 tiet (vierte Spalte) mit dem Kosiuswert des Vielfache des Wikels α 1 (umerisch) übereistimmt. Abweichuge ergebe sich erst i de hitere Dezimalstelle ud dürfte rudugsbedigt sei. p p q cos α Tab. 1: Beispiel I der dritte Spalte ist offesichtlich: = (9) Die Zahle i der zweite Spalte geüge der Rekursio: p = 16 p 1 81p (10) Dies ist icht offesichtlich ud muss begrüdet werde. 5 Kostruktiver Beweis Wir gehe aus vo der Situatio ud de Bezeichuge der Formel (1) (Abb. ). Gegebe sid also p 1 ud.
4 Has Walser: Ratioaler Kosius 4 / 7 α 1 p 1 p1 Abb. : Allgemeie Startsituatio Es ist: Weiter sei: cos( α 1 ) = p 1, si α 1 = p 1 (11) = (1) Die Werte p seie defiiert durch die Startwerte p 0 = 1 ud das gegebee p 1 sowie durch die Rekursio: p = p 1 p 1 p (13) Wir wolle zeige: cos( α 1 ) = p (14) Dazu erarbeite wir die verallgemeierte Formel vo Biet für die durch (13) mit de zugehörige Startwerte gegebee Folge. Diese Formel vo Biet hat die allgemeie Form: p = rγ 1 + sγ (15) Dabei sid γ 1 ud γ die Lösuge der sich aus (13) ergebede quadratische Gleichug γ p 1 γ + = 0 (16)
5 Has Walser: Ratioaler Kosius 5 / 7 währed sich die Koeffiziete r ud s aus de Startwerte ergebe. Die Gleichug (16) hat die beide Lösuge: γ 1, = p 1 ± 4 p 1 4 = p 1 ± p 1 q1 (17) Wege p 1 < ist der Radikad i (17) egativ ud wir habe die beide kojugiert komplexe Lösuge: γ 1, = p 1 ± i p1 (18) We wir i (15) r = s = 1 setze, köe wir mit (18) verifiziere, dass die Startwerte der Folge erfüllt sid. Wege (11) köe wir die Lösuge (18) der quadratische Gleichug (16) schreibe i der Form: γ 1, = cos α 1 ( ± isi( α 1 )) = e ±iα 1 (19) Somit erhalte wir aus (1), (15) ud (19) für die Formel vo Biet: p = 1 eiα e iα 1 = 1 eiα 1 + e iα 1 Daraus ergibt sich (14). Dies war zu zeige. 6 Gleichscheklige Dreiecke!## "## $ =cos α 1 = cos( α 1 ) (0) Wir köe das Dreieck der Abbildug 1 zu eiem gleichscheklige Dreieck mit dem ratioale Seiteverhältis 9:9:16 ergäze (Abb. 3).
6 Has Walser: Ratioaler Kosius 6 / Abb. 3: Gleichschekliges Dreieck mit ratioalem Seiteverhältis We wir u die Basiswikel verdoppel, erhalte wir ei gleichschekliges Dreieck mit dem ebefalls ratioale Seiteverhältis 81:81:94 (Tab. 1, Abb. 4) Abb. 4: Doppelte Basiswikel Wie sieht die Situatio bei eier Verdreifachug, Vervierfachug,... der Basiswikel aus? Webliks Has Walser: Ratioale Seiteverhältisse
7 Has Walser: Ratioaler Kosius 7 / 7
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10 Aussagen mit Quantoren und
0 Aussage mit Quatore ud 0.6. Eisatz vo (bereits bekater) Eistezaussage Bisher hatte wir Eistezbeweise geführt, idem wir ei passedes Objekt agegebe habe ( Setze... ). Stattdesse ka ma auch auf bereits
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4. Vektorräume mit Skalarprodukt
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Aufgaben zu Kapitel 9
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Höhere Analysis. Lösungen zu Aufgabenblatt 6. Die Funktion f sei auf ( π, π] definiert durch f(x) = x und wird 2π-periodisch fortgesetzt.
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Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
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Tutorium Mathematik I, M Lösungen
Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)
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