Komplexe Zahlen Ac '16
|
|
- Rudolph Boer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht us lle Zhle der Form z = + i Î i = - heißt Relteil vo z ud Imgiärteil vo z, Re(z) zw. Im(z). i heißt Imgiäre Eiheit. Die Zhl z = - i heißt kojugiert komplex zu z = + i. I dieser eue Mege ht die Gleichug z² = -1 die eide komplexe Lösuge z = i ud z = -i. Für Additio ud Multipliktio gelte die Gesetze: Kommuttivges., Distriutivges., Assozitivges.. Jede komplexe Zhl läßt sich grfisch ls Pukt (;) i der Gußsche Zhleeee" verschuliche. z = 4 + 3i = (4 ; 3) mit, ud 1 z heißt Betrg vo z ud git die Etferug vom Ursprug (0;0) zu z. Es gilt: z = + hier: z =5 heißt Argumet zw. Phse vo z. Es gilt: Im( z) t( j) = = Þ j = rct s.(*) Re( z) hier: t( ) = 0,75 ; 36,87. Außerdem gelte och: = z cos( ) sowie = z si( ) z = z cos( ) + i z si( ), lso z = z (cos( j) + i si( j)) Polrform vo z Eie weitere Drstellug ist die Eulersche Formel: z = z e i = z [cos( ) + i si( ) ] Diese Formel setzt i, e ud π (z.b. e i π = 1 ) zueider i Beziehug! (*) Präzisierug: Berechug des Wikels mittels rct(/) (s.oe): Aus der Beziehug t( ) = / folgt zwr = rct ( / ), jedoch lsse sich uf diese Weise icht lle mögliche Wikel zwische 0 ud 360 ( Bogemß: 0 ud π ) ereche. Die Grfik zeigt, dss die Wikel mit gleichem Tgeswert sich um je 180 ( π ) uterscheide, je chdem, o > 0 oder < 0 gilt! Hier ist = + π wege < 0 ud < 0. Für > 0 ud < 0 gilt: = π - Für < 0 ud > 0 gilt: = π - Außerdem sid och die Soderfälle für = 0 zw. = 0 zu uterscheide. Z.B. gilt ei = 0 etweder = 90 (π/) oder = 70 (3π/ ).
2 Es ergee sich folgede Fälle zur Berechug des Argumetes im Bereich [ 0 ; π ] : ìicht defiiert, flls = 0 Ù = 0 0, flls = 0 Ù > 0 p, flls = 0Ù < 0 p, flls = 0 Ù > 0 3 p, flls = 0 Ù < 0 j = í rct, flls > 0 Ù > 0 p + rct, flls < 0 Ù < 0 p + rct, flls > 0 Ù < 0 p + rct, flls < 0 Ù > 0 î vereifcht Þ ìicht defiiert, flls = 0 Ù = 0 p, flls = 0 Ù > 0 3 p, flls = 0 Ù < 0 j = í rct, flls > 0 Ù > 0 p + rct, flls > 0Ù < 0 p + rct, flls < 0 î Beispiele: 1) z = 0 ergit ist "icht defiiert" ) z = i ergit = π/ 3) z = -i ergit = -π/ 4) z = 1 + i ergit = rct(1) = π/4 5) z = 1 - i ergit = π + rct(-1) = π - π/4 = 7π/4 6) z = -1 + i ergit = π + rct(-1) = π - π/4 = 3π/4 7) z = -1 - i ergit = π + rct(1) = π + π/4 = 5π/4
3 Grudrecherte ud Potezierug: Additio (Sutrktio etspreched): z1 + z = 1 + i i = i (1 + ) z1 = 3+ 4i z= - 1+ i Þ z1+ z= + 5i Multipliktio: z1 z = (1 + i 1) ( + i ) = 1 + i 1 + i 1 1 = i (1 + 1 ) z1 = 4 + 3i z= - 1+ i Þ z1 z= 4 (-1) i (3 (- 1) + 4 1) = i Divisio: z1 / z = (1 + i 1) / ( + i ) = (1 + i 1) ( - i ) / [( + i ) ( - i )] = (1 + i 1 - i ) / ( ² + ² ) = [ i (1-1 )] / ( ² + ² ) z i z i z z i i 1 = = - 1+ Þ 1/ = [4 (- 1) (3 (-1) - 4 1)] / (1 + 1 ) = (-1-7 ) / Spezilfll Kehrwert vo z: 1 / z = ( - i ) / (² + ²) = Potezierug: Uter Verwedug des Biomische Lehrstzes: z / z æ ö -k k æ ö! z = ( + i ) = å ç ( i ) ; ; 0! 1 ; k = 0 k ç k = = Î è ø è ø k! ( - k )! Für Poteze vo i gilt : i 1 i i i 1 i i ; = = = - = - Î 3 3 3! 3-k k (4 + 3 i) = å 4 (3 i) = 4 (3 i) (3 i) (3 i) + 4 (3 i) = k! 3! k = 0 ( - k ) i i = i Die Ergeisse sid d üriges immer exkt, jedoch ist der Recheufwd meist hoch! Uter Verwedug des De Moivresche Stzes (Arhm de Moivre) ud der Polrform: [cos( ) + i si( ) ] = [cos( ) + i si( ) ] ; IN* z = z [cos( ) + i si( ) ] Polrform Stz vo De Moivre D gilt die De Moivre - Formel : z = z [ cos( j) + i si( j) ]; j = rct ; Î Amerkug: Diese Formel gilt uch für rtiole Expoete, d.h. k ei Bruch sei! Sie liefert im Allgemeie wege der trigoometrische Berechuge ugeue Ergeisse. (4+3i)³ = 4+3i ³ [cos(3 rct(0,75)) + i si(3 rct(0,75)) ] = (16+9)³ ( -0,35 + 0,936i ) = 15 ( -0,35 + 0,936i ) = i
4 Weitere Beispiele: 1) (4+3i)² = i = 7 + 4i (Biomische Formel). Mit der De Moivre - Formel: = rct(3/4) : (4+3i)² = 4+3i ² [cos( rct(3/4) + i si( rct(3/4)] = 5 ( 0,8 + 0,96i ) = 7 + 4i ) (4+3i) - ³ = 1 / (4+3i)³ = 1 / [(4+3i)(7+4i)] = 1 / (8 + 1i + 96i - 7) = 1 / ( i ) = ( i) / (Biomische Formel) Mit der De Moivre - Formel: (4+3i) - ³ = 4+3i - ³ [cos(-3 rct(3/4) + i si(-3 rct(3/4)] = (16+9) - ³ ( -0,35-0,936i ) = 1/15 ( -0,35-0,936i ) = 15/15² ( -0,35-0,936i ) = ( i) / ) (4+3i) -1,5 = 1 / (4+3i) 3/ = 1 / (4+3i) 3 = 1 / ( i) Für de Neer des Bruches muss ei exktes Ergeis + i gefude werde! Astz: ( i) = + i, d.h i = ( + i)² ² - ² +i = i Durch Vergleich der Terme folgt: ² - ² = -44 ud = 117 Wir setze = 58,5 / i ² - ² = -44 ei ud erhlte: ² - (58,5 / )² = -44, lso ² - 34,5/² + 44 = 0 zw. 4-34,5 + 44² = 0 Diese iqudrtische Gleichug ht Lösuge. Die erste ist = (40,5). Eie Lösug des Gleichugssystems ist dher : = (40,5) ud = 58,5 / (40,5) Der Lösugsweg ist d wie folgt: - 1,5 1 40,5 40,5 (40,5-58,5 i) (4 + 3 i) = = = 58,5 40,5 + i 40,5 + 58,5 i (40,5 + 58,5 i) (40,5-58,5 i) 40,5 9 / = (40,5-58,5 i) = (40,5-58,5 i) = (9-13 i) 506, » 0, , i Wie m sieht, k m hier uf rei lgerischem Wege ei exktes (Wurzel-)Ergeis ermittel! Mit der De Moivre - Formel: (4+3i) -1,5 = 4+3i -1,5 [cos(-1,5 rct(3/4) + i si(-1,5 rct(3/4)] (16+9) -0,75 ( 0, , i ) 0, , i
5 Die Lösuge der Gleichug z = c : Wie wir oe i Beispiel 3 gesehe he, k m us dem komplexe Astz (c) = z = + i Lösuge herusfilter, wovo oe ur eie hergeleitet wurde. (c) = z k m umforme zu c = z². Gesucht sid die eide Lösuge dieser Gleichug Verllgemeierug: * Im( c) Gegee: c = c (cos( j) + i si( j)); c Î, Î ; t( j)=. Gesucht: z = c ; z Î Re( c) Lösuge vo z = c : j + k p j + k p z k = c [cos( ) + i si( )] ; k = 0,1,, z 5 = 4+ 3i. Mit c = 4+3i = 5 ud t( ) = ¾ zw. = rct(0,75) folgt: 5 rct(0, 75) + k p rct(0,75) + k p zk = 5 [cos( ) + i si( )] ; k = 0,1,,3,4 5 5 Näherugslösuge: Phi (vo z0) = 7,374 Rdius z = 1,38 z0 1, i 0, z1 0, i 1, z -1, i 0, z3-1, i 0, z4 0, i 1, Die Lösuge liege lle (i gleichem Astd) uf eiem Kreis mit Rdius r = 5 5» 1,3797 Weitere Berechuge ( jeweils für z = 4+3i ): 1) 1/z = 1/(4+3i) = (4-3i)/(4-3i)/(4+3i) = (4-3i)/(4²+3²) = (4-3i)/5. ) 1/z² = 1/(4+3i)² = (4-3i)²/(4-3i)²/(4+3i)² = (4-3i)²/(4²+3²)² = (16-9-4i)/5² = (7-4i)/65. Dies sollte uch ei Verwedug der Moivresche Formel heruskomme: 1/z² = 1/(5 [cos(rct(0,75))+i si(rct(0,75))]) = 1/(5 [ 0,8 + i 0,96]) = 1/(7+i 4) = (7-4i)/(7²+4²) = (7-4i)/65.
Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
Mehr8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
MehrPotenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
R. Brik http://rik-du.de Seite 9.0.00 Poteze, Wurzel ud ihre Rechegesetze Der Potezegriff Defiitio: Eie Potez ist eie Multipliktio gleicher Fktore (Bsis), ei der der Epoet die Azhl der Fktore git. : =...
MehrALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
MehrZahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
MehrDie Logarithmusfunktion
Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis...1 Die Logrithusfuktio...2 Eiführug...2 Eiige Beispiele...2 Spezielle Logrithe...3 Die Ukehrfuktio der Epoetilfuktio...3 Die Eigeschfte der Logrithusfuktio...4 Defiitiosereich
Mehr5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
Mehr7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
MehrStudienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest
Studiekolleg ei de Uiversitäte des Freisttes Byer Üugsufge zur Vorereitug uf de Mthemtiktest . Polyomdivisio:. Dividiere Sie! ) ( 6 8 ):( ) Lös.: ) ( 9 7 0 8 9):(6 ) Lös.: 7 9 c) ( - ):() Lös.: d) (8 9
Mehrvon Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer
vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
Mehr1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
MehrÜbungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,
MehrSTUDIUM. Mathematische Grundlagen für Betriebswirte
STUDIUM Mthetische Grudlge für Betrieswirte Mit de folgede Aufge köe Sie i eie Selsttest üerprüfe, o Sie och eiigerße die Grudlge der Alger eherrsche. Diese hdwerkliche Fertigkeite sid wesetlich, we es
MehrInhalt 1. Zahlenbereiche / Zahlenmengen 2. Terme
Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG Ihlt. Zhlebereiche / Zhlemege. Terme.. Grudbegriffe.. Summe ud Differeze.. Produkte.. Auflöse vo Klmmer.. Ausklmmer ud Ausmultipliziere... Ausklmmer... Ausmultipliziere...
MehrÜbungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12
Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls
MehrAnalysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
Mehr2.1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
.. Poteze mit türliche Expoete Eie Potez (gelese: hoch ) ist eie bgekürzte Schreibweise für ds Produkt us gleiche Fktore : = wobei > eie türliche Zhl ist heisst Bsis, Expoet der Potez. Beispiele: 5 = =
MehrMusterlösung zur Musterprüfung 1 in Mathematik
Musterlösug zur Musterprüfug i Mthemtik Diese Musterlösug ethält usführliche Lösuge zu lle Aufgbe der Musterprüfug i Mthemtik sowie Hiweise zum Selbstlere. Literturhiweise ) Bosch: Brückekurs Mthemtik,
MehrMATRIZENRECHNUNG A = Matrix: m Zeilen, n Spalten. Allgemein: A = heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix) aij:
MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri) ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder
MehrMusterlösung zu Übungsblatt 2
Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.
Mehr( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade
Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3
MehrAllgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable
Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex
Mehr5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
MehrProf. U. Stephan Studiengang BAU 1. Fachsemester Formelsammlung, V. 1 TFH Berlin, FB II LV Mathematik Seite 1 von 6
Prof. U. Steph Studiegg BAU 1. Fchsemester Formelsmmlug, V. 1 TFH Berli, FB II LV Mthemtik Seite 1 vo 6 Formelsmmlug ur LV Mthemtik im Studiegg Buigeieurwese Umgg mit dem Tscherecher: Formel: Nottio: Die
MehrKlasse 10 Graphen von ganzrationalen Funktionen skizzieren
Klsse 0 Grphe vo grtiole Fuktioe skiiere Nr.3-4.4.06 Ausggslge Vorwisse Die SuS kee Grudfuktioe ud ihre Grphe: f() = ²; ³; ⁴ f() = ; f() = Die SuS kee bei Grudfuktioe folgede Veräderuge: g() = f() Der
MehrFachbereich Mathematik
OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Oberstufezetrum Krftfhrzeugtechik Berufsschule, Berufsfchschule, Fchoberschule ud Berufsoberschule Berli, Bezirk Chrlotteburg-Wilmersdorf Fchbereich Mthemtik Arbeits-
Mehr2 Vollständige Induktion
8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes
MehrMathematische Grundlagen 1. Zahlenrechnen
Mthemtische Grudlge. Zhlereche Ihltsverzeichis:. Zhlereche..... Die Grudrecherte..... Reche i der Mege der türliche Zhle..... Reche i der Mege der gze Zhle... 5.. Reche i der Mege der rtiole Zhle... 7...
MehrMathe Basics für's Studium
Mthe Bsics für's Studiu Grudlge zur Mthetikvorlesug eies etrieswirtschftliche Studius vo Stef Schidt Versio: J. Ihltsverzeichis Vorll... Ws ietet dieses Skript?... Für we ist dieses Skript?... TEIL Bsic
MehrFormelsammlung. 2 c 3. Wenn die Ebene durch die Gerade g und den Punkt g gehen soll, gilt: 3 und h : 2
Formelsmmlug Gere urh zwei Pukte A( 3 ) u B( 3 ) g AB : 3 Eee urh rei Pukte A( 3 ), B( 3 ) u C( 3 ) [Eee i Prmeterform] E ABC : 3 s 3 Eee urh Gere u Pukt. Sei P( p p p 3 ) u g : We ie Eee urh ie Gere g
MehrGeometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische
MehrMarek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
MehrIntegralrechnung kurzgefasst
Itegrlrehug kurzgefsst. Flähe uter eiem Grphe Die Eistiegsfrge lutet: Wie k m de Fläheihlt A eies Flähestüks erehe, ds egrezt wird - vom Grphe G f eier (stetige) Fuktio - vo der -Ahse - vo zwei Prllele
Mehr4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
Mehr4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
MehrLambacher-Schweizer Baden-Württemberg Klasse 10. I Potenzen 6 Rationale Hochzahlen
Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze Rtiole Hochzhle Seite Nr. Die folgede Wurzel öe m Beste vereifcht werde, we m zuerst eiml die Zhl uter der Wurzel ls Potez schreit, d die gze Wurzel ls
MehrDie Berechnung des Flächeninhalts krummlinig begrenzter Flächen
Die Berechug des Flächeihlts krummliig egrezter Fläche Eiführug i die Itegrlrechug Teil : Die Fläche zwische der Normlprel y = x ud der x-achse im Bereich 0 x Die Fläche sieht us wie ei Dreieck, ei dem
MehrFormelsammlung WS 2005/06
Forelslug WS 005/06 FH Düsseldorf Fhereih Mshieu ud Verfhrestehik Mthetik für Igeieure Prof. Dr. W. Sheideler Ausreitug: Sevd Mer Ihltsverzeihis. Zeihe für esodere Zhleege 3. Poteze 3 Reheregel für Poteze
Mehr1 Analysis T1 Übungsblatt 1
Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.
Mehr4 Deckungsrückstellung
eckugsrückstellug 33 4 eckugsrückstellug iel: erfhre zur Erittlug des Wertes eies ersicherugsvertrgs ud der zur eckug der Risike ötige Rückstelluge des ersicherugsuterehes. Proble: Präie werde kostt gezhlt,
MehrMathematik Vorkurs. Fachhochschule Konstanz Fachbereich Elektrotechnik & Informationstechnik Prof. Birkhölzer
Mthemtik Vorkurs Fchhochschule Kostz Fchbereich Versio 5.8 Copright 0 Versio 5.8 Copright 0 Mthemtik Wozu, Wie, Ws?.... Mthemtik Wozu?..... Hitergrud: Aspekte der Mthemtik..... Mthemtische Aspekte im Alltg
MehrVORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA
VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Motag: Zahle, Variable, Algebraische Maipulatio Zahlemege. Die atürliche Zahle hat der liebe Gott gemacht. Alles adere ist
MehrFlächenberechnung. Flächenberechnung
Itegrlrechug Gegee sei eie Fuktio. 1 Itegrlrechug Gesucht ist die Fläche zwische der Kurve vo 0 is 1 ud der -Achse. 0 1 2 197 Wegeer Mth/5_Itegrl_k Mittwoch 04.04.2007 18:38:48 Itegrlrechug Wir eee 1 um
MehrRegressionsverfahren haben viele praktische Anwendungen. Die meisten Anwendungen fallen in eine der folgenden beiden Kategorien:
Regressoslse De Regressoslse st ee Slug vo sttstshe Alseverfhre. Zel e de häufgste egesetzte Alseverfhre st es Bezehuge zwshe eer hägge ud eer oder ehrere uhägge rle festzustelle. Se wrd sesodere verwedet
MehrDifferenziation 5 Ableitung der elementaren Funktionen 6 Differenziationsregeln 6 Ableitung der Umkehrfunktion
Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche FH Augsurg Formelsmmlug Igeieurmthemtik Ihlt (. Semester) Seite Grudegriffe 3 Trigoometrische Fuktioe 3 Additiostheoreme 3 Hl- Doppelwikelformel 3 Verschieuge ud Dehuge 4
MehrJeder Käufer der Zeitschrift darf auszugsweise Kopien für den eigenen Unterricht anfertigen.
Mthemtikiformtio Vom Potezreche zum Logrithmus Nr. Zweite korrigierte Auflge. Jur 00 ISSN -9 Mthemtikiformtio ist eie Zeitschrift vo Begbteförderug Mthemtik e.v. Herusgbe ud Redktio: Professor Dr. Hrld
MehrZahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen
KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:
MehrLernhilfe in Form eines ebooks
Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite
Mehrx mit Hilfe eines linearen, zeitinvarianten
Übug &Prktiku zu Digitle Sigle ud Systee The: Fltug Diskrete Fltug Wird ei zeitdiskretes Sigl ( T ) x it Hile eies liere, zeitivrite Siglverrbeitugssystes verrbeitet, so lässt sich ds Verhlte des verrbeitede
Mehr7.5. Aufgaben zu Skalarprodukt und Vektorprodukt
7.. Aufgbe zu Sklrprodukt ud Vektorprodukt Aufgbe : Sklrprodukt Bereche die folgede Produkte: ) Aufgbe : Läge eies Vektors Bestimme die Läge ud de etsprechede Eiheitsvektor der folgede Vektore. =, b =,
MehrAT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von
Teilverhältisse Aus der Geometrie der Dreiecke ket ma die Aussage, dass der Schwerpukt T eies Dreiecks die Seitehalbierede im Verhältis : teilt. Für die Strecke AT ud TM gilt gemäß der Abbildug AT : TM
MehrNachklausur - Analysis 1 - Lösungen
Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:
Mehr2. Diophantische Gleichungen
2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze
MehrKorrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222
Korrekturrichtliie zur Studieleistug Wirtschaftsmathematik am..007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S-07 Für die Bewertug ud Abgabe der Studieleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme
Mehr... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn
Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
MehrMittelwerte. Sarah Kirchner & Thea Göllner
Mittelwerte Srh Kirher The Göller Mittelwerte sid vershiedee mthemtish defiierte Kegröße. Uter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zhle versteht m meistes de Durhshitt, owohl viele dere Mittelilduge vorkomme.
MehrFinanzierung: Übungsserie IV Aussenfinanzierung
Them Dokumetrt Fizierug: Übugsserie IV Aussefizierug Lösuge Theorie im Buch "Itegrle Betriebswirtschftslehre" Teil: pitel: D Fizmgemet 2.4 Aussefizierug Fizierug: Übugsserie IV Aussefizierug Aufgbe Eie
Mehr- Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums? Vorwort... 2
Ihltsverzeichis Kpitel Seite Vorwort.... Mthemtische Grudlge des Goldee Schittes... Ws ist der Goldee Schitt?..... Nähere Betrchtug des Teilugsverhältisses Herleitug der Zhle τ ud ρ..3. Die Zhle τ ud ρ...3..
MehrVorlesung Wirtschaftsmathematik. Studiengang Business Administration und Wirtschaftspsychologie
Hochschule Fchbereich Wirtschft Rheibch Bo-Rhei-Sieg Dipl.th.A.Füllebch Uiversity of Applied Scieces Vorlesug Wirtschftsmthemtik Studiegg Busiess Admiistrtio ud Wirtschftspsychologie . Alysis.. Fuktioe
MehrKlasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f
Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25
MehrAbschlussprüfung 2013 an den Realschulen in Bayern
Prüfugsdauer: 50 Miute Abschlussprüfug 03 a de Realschule i Bayer Mathematik II Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabe A Haupttermi A 0 Die ebestehede kizze zeigt de Axialschitt eier massive
MehrTransformator. n Windungen
echische iversität Dresde stitut für Ker- ud eilchephysik R. Schwierz V/5/29 Grudpraktikum Physik Versuch R rasformator rasformatore werde i viele ereiche der Elektrotechik ud Elektroik eigesetzt. Für
MehrRepetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthetik Repetitiosufgbe Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Vorbeerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufgbe Poteze it Musterlösuge F) Aufgbe Potezgleichuge it Musterlösuge
MehrTermin vereinbaren. Patient abrufen. Befund erstellen. Befund lesen
Grphische Repräsettio vo Iterktiosusdrücke Christi Heilei, Abt. DBIS Jui 1997 1. Eileitug Dieser Bericht stellt eie eifche grphische Nottio für Iterktiosusdrücke vor, wie sie i de Berichte Grudlge vo Iterktiosusdrücke
MehrKapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle
Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle
MehrErgebnis: Abhängigkeit y(x) in der impliziten Form G(y) = F(x) + C. y =
Lösugsmethode Differetilgleihuge erster Ordug Für gewisse Tpe vo Differetilgleihuge läßt sih ei Weg gee, uf dem m, die Lösug der Differetilgleihug uf Qudrture d.h. uf ds Ausrehe vo Itegrle, urükführe k..
Mehr1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
Mehrv P Vektorrechnung k 1
Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische
Mehr1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6
65 Eric Müller Vollstädige Iduktio Nach GIUSEPPE PEANO (858-93) ka ma die Mege N der atürliche Zahle durch folgede Axiome defiiere []:. ist eie atürliche Zahl.. Zu jeder atürliche Zahl gibt es geau eie
MehrLösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I
Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik
MehrLerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung
Lereiheit 2: Grudlage der Ivestitio ud Fiazierug 1 Abgrezug zu de statische Verfahre Durchschittsbetrachtug wird aufgegebe Zeitpukt der Zahlugsmittelbewegug explizit berücksichtigt exakte Erfassug der
MehrChapter 1 : þÿ K o n t a k t b e t a t h o m e L i v e - C h a t c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ K o n t a k t b e t a t h o m e L i v e - C h a t c h a p t e r þÿ n i m m t e i n i g e Z e i t i n A n s p r u c h, d e s h a l b e r h i e l t B e t a t H o m e d i e s e L i z e n z
MehrBerechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
MehrBrückenkurs Mathematik Dr. Karl TH Nürnberg
Brükekurs Mthemtik Dr. Krl TH Nürerg Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge Copyright : Huert Krl Alle Rehte vorehlte. Diese Puliktio drf ohe die usdrüklihe shriftlihe Geehmigug des Autors weder gz oh uszugsweise
MehrVersuchsprotokoll zum Versuch Nr. 4
I diesem Versuch geht es drum, die Temperturbhäigkeit vo Widerstäde zu bestimme. Dies erfolgt mit folgeder Aordug: Folgede Geräte wurde dbei verwedet Gerät Bezeichug/Hersteller Ivetrummer Schleifdrhtbrücke
MehrWirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07.
Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Wirtschaftsigeieurwese Wirtschaftsmathematik Prüfugsleistug WI-WMT-P 040703 Datum 03.07.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich:
MehrGegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt
Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de
MehrFür den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -
Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..
MehrChapter 1 : þÿ b e t a t h o m e L i v e - e r g e b n i s s e c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e L i v e - e r g e b n i s s e c h a p t e r þÿ R u f e n S i e B e t - a t - H o m e ü b e r d e n B r o w s e r I h r e s S m a r t p h o n e s o d e r I h r e s T a b
MehrFormelsammlung MATHEMATIK Oberstufe
Formelsmmlug MATHEMATIK Oerstufe Diese Formelsmmlug erhet keie Aspruch uf Vollstädigkeit ud Richtigkeit. Sie wird ei Bedrf durch weitere Kpitel ergäzt..poteze Fktorezerleguge, R r,s R k Z m, N r s r+ s
MehrÜbungsblatt 1 zum Propädeutikum
Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen
MehrAufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I
Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur
MehrChapter 1 : þÿ b e t a t h o m e C h a n c e n b e r e c h n e r c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e C h a n c e n b e r e c h n e r c h a p t e r þÿ E i n z a h l u n g E M 2 0 1 6 a n. D e r W e t t a n b i e t e r a u s D e u t s c h l a n d s c h e n k t & n b s p
MehrChapter 1 : þÿ b e t a t h o m e. i t c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e. i t c h a p t e r þÿ D e s s e r t A t h o m e j u i c i n g s k i n j o j o b a d o e s g r a p e f r u i t o r e v e n v a l u e, b u y i n g y o u r. h b o e l l e
MehrMATHEMATIK F 1 MEG Sek II > Formeln. Formelsammlung. Mathematik. Sekundarstufe II. --- Grundlagen & Analysis ---
MATHEMATIK F 1 MEG Sek II > Formel Formelsmmlug Mthemtik Sekudrstufe II --- Grudlge & Alysis --- MATHEMATIK F 2 MEG Sek II > Formel Ihltsverzeichis Zhlereiche & Itervlle...3 Termumformuge...3 Bruchrechug...3
MehrInnerbetriebliche Leistungsverrechnung
Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der
MehrInvestitionsentscheidungsrechnung Annuitäten Methode
Mit Hilfe der köe folgede Ivestitioe beurteilt werde: eizele Ivestitioe alterative Ivestitiosobjekte optimale Ersatzzeitpukte Seite 1 Folgeder Zusammehag besteht zwische der Kapitalbarwertmethode ud der
MehrMathematischer Vorkurs zum Studium der Physik
Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)
MehrPhysikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme
ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische
MehrSkript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)
Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder
MehrTestumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen
Testumfag für die Ermittlug ud Agabe vo Fehlerrate i biometrische Systeme Peter Uruh SRC Security Research & Cosultig GmbH peter.uruh@src-gmbh.de Eileitug Biometrische Systeme werde durch zwei wichtige
MehrArbeitsplätze in SAP R/3 Modul PP
Arbeitsplätze i SAP R/3 Modul PP Was ist ei Arbeitsplatz? Der Stadort eier Aktioseiheit, sowie dere kokrete räumliche Gestaltug Was ist eie Aktioseiheit? kleiste produktive Eiheit i eiem Produktiosprozess,
MehrWirtschaftsmathematik
Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede
MehrBetriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110
Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das
MehrUmwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
MehrChapter 1 : þÿ b e t a t h o m e 5 B o n u s c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e 5 B o n u s c h a p t e r þÿ a l w a y s u p h o l d i n g m y p i l l a r s b y a c t i n g i n t h e b e s t m a n n e r p o s s i b l e.. B o m b c a s t T h e W o l
MehrMittelwerte und Zahlenfolgen Beat Jaggi, beat.jaggi@phbern.ch
vsmp sspmp ssimf Mittelwete ud Zhlefolge Bet Jggi, bet.jggi@phbe.ch Eileitug Ds Bilde vo Mittelwete ist ei zetles Kozept i de Mthemtik: Lgemsse i de Sttistik (Mittelwet, Medi, Modus); Mitte, Mittelliie
Mehr15.4 Diskrete Zufallsvariablen
.4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet
MehrKapitel 4: Stationäre Prozesse
Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud
Mehr