Mittelwerte. Sarah Kirchner & Thea Göllner

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1 Mittelwerte Srh Kirher The Göller Mittelwerte sid vershiedee mthemtish defiierte Kegröße. Uter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zhle versteht m meistes de Durhshitt, owohl viele dere Mittelilduge vorkomme. Wir werde us mit dem rithmetishe Mittel (AM), dem geometrishe Mittel (GM), dem hrmoishe Mittel (HM) ud dem qudrtishe Mittel (QM) eshäftige. Diese vier Mittelwerte ergee sih us der verllgemeierte Formel für Mittelwerte. Verllgemeierter Mittelwert 3... ist ds. Mittel i 0 Es gilt:. Mittel q. Mittel für lle q AM: HM: - QM: GM: 0 Lässt m i der verllgemeierte Formel gege 0 lufe, lso lim! , erhält m ds Geometrishe Mittel.

2 Arithmetishes Mittel Ds rithmetishe Mittel (uh Durhshitt) ist ds m häufigste verwedete Mittel. Will m ds rithmetishe Mittel vo zwei zw. Zhle ilde, ddiert m diese ud teilt sie durh zwei zw. durh Awedugseisiel: müdlihe Note: 0 Pukte shriftlihe Note: Pukte 0 Edote: 8 Pukte Geometrishes Mittel 3... Kostruktio für zwei Zhle: Fide ei Qudrt mit dem gleihe Fläheihlt wie ds Rehtek mit de Seiteläge ud. Nh dem Höhestz ist dies ds Qudrt mit der Seiteläge h, de im rehtwiklige Dreiek gilt h. Also ist ds geometrishe Mittel vo ud hier h. Ds Geometrishe Mittel wird i der Zisrehug eutzt. We ei Kitl ei Jhr lg mit 3, im ähste Jhr mit 7 verzist wird. Wie hoh ist d die durhshittlihe Verzisug?

3 Es gilt: h dem erste Jhr 03 vom Afgskitl, h dem zweite Jhr 07 vom Kitl des Vorjhres, lso K K,03, Die durhshittlihe Verzisug eträgt x mit x,03, 07.,03,07,098. Die durhshittlihe Verzisug eträgt,98. Hrmoishes Mittel 3... Eie Durhshittsgeshwidigkeit k m mit dem hrmoishe Mittel usrehe: Ei Autofhrer legt eie Streke mit 80km/h zurük ud shließed eie Streke gleiher Läge mit 0km/h zurük. Ist s Die Läge der erste ud zweite Streke i km ud v die Mittlere Geshwidigkeit üer die gesmte Streke (s) so gilt: s s s 80km / h 0km / h v v 80 s km s / h 0 s km / h 80 0 km / h 9km / h Qudrtishes Mittel 3... Auh hier ei Awedugseisiel: Will m ei Trez mit eier Prllele zur Grudseite g i zwei gleihgroße Flähe teile, geht m folgedermße vor:

4 M ezeihet die Fläheihlte der Dreieke mit der Sitze S ud de Grudseite g, x ud d mit A g, A x ud A d. Mit dem Strhlestz folgt: A g : A x : A d g: x: d D A g # A x A x # A d A x A d A g d g d g x x Die Läge der gesuhte Streke ist lso ds Qudrtishe Mittel us g ud d. Zwishe diese Mittel gilt folgede Ugleihugskette: HM GM AM QM Wir eweise dies u für je Zhle, > 0 i 3 Shritte. Auf der like Seite stehe die Rehuge zu de 3 eizele Ugleihuge. Eie Beweis muss m er i die dere Rihtug führe, de m muss vo etws Bektem uf ds zu Beweisede shließe. I userem Fll ist ds Bekte ( # ) 0 Beweise i rihtiger Rihtug.. Deshl stehe rehts dee die dzugehörige HM GM Fehler! Es ist iht möglih, durh die Bereitug vo Feldfuktioe Ojekte zu erstelle. 0 ( # ) 0 # () :

5 # () # 0 # : 0 ( # ) GM AM 0 ( # ) () 0 # ( ) ( ) # ( ) ( ) () 0 # : 0 ( # ) Die Ugleihug zwishe dem Arithmetishe ud dem Geometrishe Mittel k m uh mit Hilfe eies rehtwiklige Dreieks drstelle:

6 GM(Höhe des Dreieks) AM(Kreisrdius) AM QM () 0 ( # ) ( ) 0 # ( ) ( ) # ( ) ( ) : # 0 # ( ) () 0 ( # ) Beweise vo dere Ugleihuge Mit Hilfe der Mittelwertugleihuge k m vershiedee dere Ugleihuge eweise. Hier drei Beisiele: für,, 0 gilt. Aufge: Zeige, dss ( )( )( ) 8 Lösug: ( )( )( ) 8 ( )( )( ) 8 Aus der AM-GM Ugleihug folgt AM GM. Somit ist gezeigt, dss die Ugleihug gilt.

7 Aufge : Zeige, dss gilt. Lösug: Beutze die QM-GM Ugleihug. GM QM 3... Beutze dies für die Lösug der Ugleihug. ( ) ( ) Auh diese Ugleihug ist hiermit ewiese. Aufge 3: Zeige, dss ( ) ( ) ( ) gilt. Lösug: ( ) ( ) ( ) Wir he Summde. Teilt m diese durh erhält m ihr Arithmetishes Mittel. AM Summde Aus der AM-GM Ugleihug folgt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). GM AM Lektüre für Iteressierte: kleier Dude Mthemtik, Dudeverlg,. Auflge htt://memers.hello.t/gut.jutt.gerhrd/mittel.htm htt://de.wikiedi.org/wiki/mittelwert