Innere und äußere (transversale) Orientierungen

Transkript

1 Iere ud äußere (trasversale) Orietieruge Ei geometrishes Objekt P (ei Weg, eie Flähe) liege i eie höherdimesioalem geometrishe Objekt K K ka ei affier Raum sei Eie iere Orietieruge legt liks, rehts obe, ute usw i P selbst fest Eie äußere oder trasversale Orietierug vo P gibt a, wie P i K liegt Beispiele: 1) Ei Weg P oder Stekezug wird i eie Rihtug durhlaufe Damit wird eie iere Orietierug festgelegt Hier gibt es zwei Möglihkeite, vorwärts (positiv) oder rükwärts (egativ) a) Der Weg verläuft i K = R 2 Da zerteilt der Weg die Ebee i zwei Teile Die Festlegug, welhe der Seite positiv sei soll, ist willkürlih Wir lege die trasversale Orietierug wie folgt fest: Eie positive iere Orietierug wird rehts der Durhlaufrihtug positiv trasversal orietiert Folglih gibt es zwei trasversale Orietieruge, die vo der iere Orietierug uabhägig sid b) Der Weg P verläuft im K = R 3 Hier wird eie positive trasversale Orietierug durh eie Rehtsdrehug agegebe Wird der Weg i positiver Rihtug (iere Orietierug) durhlaufe, so soll der umgebede Raum durh eie Rehtsdrehug positiv orietiert sei (trasversale Orietierug) Es gibt folglih zwei Möglihkeite der trasversale Orietierug Diese ist vo der iere Orietierug uabhägig 2) Eie Flähe P liegt i eie dreidimesioalem Raum K = R 3 I der Flähe wird durh eie iere Orietierug festgelegt, wie ma sih i der Flähe bewege soll Dies ka dadurh geshehe, idem ma ei Koordiatesystem eiführt Auf welher äußere Seite der Flähe ma sih befidet, wird durh die trasversale Orietierug festgelegt Wieder gibt es zwei, vo der iere Orietierug uabhägig, trasversale Orietieruge PD Dr rer at habil Gert Hillebradt 1

2 Eie Ebee K äußere Orietierug P iere Orietierug Oder eie Flähe Z = 12*COS((X^2Y^2)/4)/(3X^2Y^2) z 4 K 3 P Die betrahtete Beispiele sid siher eileuhted Wie köe aber iere ud trasversale Orietieruge mathematish beshriebe werde Eier positive Orietierug ka die Zahl 1, eier egative Orietierug die Zahl 1 zugeordet werde Wie aber stets mit de Orietieruge? Begie wir mit der iere Orietierug 1 Die Eiheitsstreke Die Eiheitsstreke wird durh das Itervall [ 0;1] mit Afag 0 ud Ede 1 beshriebe Wir lege eie positive Orietierug durh die Radpukte fest Bezeihe wir mit die Radzuordug (Radabbildug), kurz Rad Wir lege fest: [ 0;1]: = {1} {0}, wobei { 1} der obere ud { 0} der utere Pukt des Itervalls bedeute Die Streke ist u vo 0 ah 1 positiv orietiert Die Differezshreibweise hat de Vorteil, dass u die egative Orietierug durh [ 0;1]: = ({1} {0}) = {0} {1 } gegebe ist Sie utersheide sih folglih durh ei zeihe 2 Das Eiheitsquadrat Das Eiheitsquadrat wird durh {( ; [0;1] y [0;1] } beshriebe Hierfür shreibe wir [ 0;1] [0;1] Der Rad wird wie folgt positiv defiiert: ([0;1] [ 0;1]) =[ 0;1] [ 0;1] [ 0;1] [ 0;1] = {1} [0;1] {0} [0;1] ([0;1] {1} [ 0;1] {0} PD Dr rer at habil Gert Hillebradt 2

3 Es wird hier liks ud rehts sowie obe ud ute festgelegt Dies ist die positive Orietierug Die egative Orietierug ist da ([0;1] [0;1]) = (([0;1] {0}) ([0;1] {1}) ({1} [ 0;1]) ({0} [ 0;1])) = ([0;1] {1}) ([0;1] {0}) ({0} [0;1]) ({1} [ 0;1]) Wieder utersheide sih die Orietieruge durh ei zeihe 3 Der Eiheitswürfel Der Eiheitswürfel ist durh die Mege aller Pukte ( ; y; z) [ 0;1] [ 0;1] [ 0;1] beshreibbar Wir beshreibe die positive Orietierug des Rades ([0;1] [0;1] [0;1]) : = ( [ 0;1] [ 0;1] [ 0;1]) ([0;1] [ 0;1] [ 0;1]) ([0;1] [ 0;1] [0;1]) = ({1} [ 0;1] [ 0;1]) ({0} [ 0;1] [ 0;1]) ([0;1] {1} [ 0;1]) ([0;1] {0} [0;1]) ([0;1] [ 0;1] {1}) ([ 0;1] [ 0;1] {0}) Auh hier utersheide sih die Orietieruge durh ei zeihe Beim Eiheitswürfel wird zu liks ud rehts sowie obe ud ute auh hite ud vore festgelegt 4 Der Eiheitspukt Der Eiheitspukt ist durh { 0} festgelegt Da ei Pukt keie Rad hat, sage wir: Der Rad eies Puktes ist leer Wir shreibe dafür { 0} ={1} = 0 5 Der Rad des Rades Ei zugeordeter Rad ist geshlosse Deshalb ist der Rad des Rades leer oder jeder Pukt des Rades ist Afag ud Ede zugleih Nu folgt formal: [ 0;1]: =({1} {0}) ={1} {0} = 0 ([0;1] [ 0;1]) =({1} [0;1] {0} [ 0;1] ([0;1] {1} [0;1] {0}) = {1} [ 0;1] {0} [ 0;1] [ 0;1] {1} [ 0;1] {0} = {1} {1} {1} {0} {0} {1} {0} {0} {1} {1} {0} {1} {1} {0} {0} {0} = 0 ([0;1] [0;1] [0;1]) =({1} [0;1] [0;1]) ({0} [0;1] [0;1]) ([0;1] {1} [0;1]) ([0;1] {0} [0;1]) ([0;1] [0;1] {1}) ([0;1] [0;1] {0}) = ({1} {1} [0;1]) ({1} {0} [0;1]) ({1} [0;1] {1}) ({1} [0;1] {0}) ({0} {1} [0;1]) ({0} {0} [0;1]) ({0} [0;1] {1}) ({0} [0;1] {0}) ({1} {1} [0;1]) ({0} {1} [0;1]) ([0;1] {1} {1}) ([0;1] {1} {0}) ({1} {0} [0;1]) ({0} {0} [0;1]) ([0;1] {0} {1}) ([0;1] {0} {0}) ({1} [0;1] {1}) ({0} [0;1] {1}) ([0;1] {1} {1}) ([0;1] {0} {1}) ({1} [0;1] {0}) ({0} [0;1] {0}) ([0;1] {1} {0}) ([0;1] {0} {0}) = 0 Die Radabbildug ist ohe große Erklärug eigeführt worde, da sie sih selbst erklärt Die Eizelbestadteile des Rades ka als Erzeugedesystems eies Vektorraumes über de gaze Zahle aufgefasst werde Natürlih ka auh ei Dreiek statt eies Quadrates ud ei Tetraeder statt eies Würfels betrahtet werde Die ahfolgede Gedakegäge werde aber komplizierter i der Shreibweise PD Dr rer at habil Gert Hillebradt 3

4 Präzisiere wir usere Überleguge Defiitio 1: 1 Es sei W : = [0;1] der -Eiheitswürfel im I ( ) = für i= 1 W I heißt -Würfel R Es sei W 0 : = {0} Es sei := id W, R I 2 I ; 0 ; ) ( 1 i-te Stelle Würfels W 3 Durh I heißt (i,0) -te Seite ud I ( 1 ; 1 ; ) heißt (i,1) -te Seite des i-te Stelle 1 W : ( ; werde zwei -Würfel eigebettet, α ) ( 1; α ; 1) 1 1 i-te Stelle I i,0) I( i,1) W {0;1} (, (die Seite des -Würfels) i de -Würfel 4 Es sei C ( ) der Vektorraum über Z (freier Z-Modul geat), der vo I erzeugt W wird ) sei der freie Z-Modul, der zusätzlih alle C 1 ( W C( W : I ) C 1 ( W I ) : = i= 1 α {0;1} I i,0) I( i,1) (, ethält Wir defiiere als de Rad des -Würfels I Etsprehed defiiere wir C m( W ) als de freie Z- Modul aller Eibettuge aller m-würfel i de -Würfel Satz 1: Es sei I der -Würfel Da gilt 1 ( I )) = 0 Beweis: Halte wir ei ud Folglih ist ud damit = = 1 )) = i= 1 α {0;1} i α i= 1α {0;1} 1 β {0;1} J j = i ( I i< j fest, so ist i= 1 α { 0;1} j= 1 β {0;1} j i ( i α 1 i j α β ( I ( I j β ( I ) i α I ( i, ( I α ) ( 1; 2) = ( 1; : α ; β ; 2) i testelle j testelle ( I ( 2 i testelle ( j 1) testelle α ) i; ( 1; 2) = ( 1; : α ; β ; ) ( α β = α β ( I i; ) 1; 2) ( I( j 1; ) i; 1; 2) i j α β i j 1 α β ( 1) ( I ) ) ( I( j 1; ) i; ) = 0 α β α β ) PD Dr rer at habil Gert Hillebradt 4

5 Verifiziere Sie die bisher gegebee Defiitio ud de Satz für de 1-, 2- ud 3-Würfel ud vergleihe Sie die Ergebisse mit de Eigags gegebee geometrishe Überleguge Defiitio 1 (Fortsetzug): 5 Ei sigulärer -Würfel ist eie ist eie stetig differezierbare Abbildug W M : ( ), m wobei M R, m ud ( W W ) ijektiv ist Es bezeihe C m (M ) de Z-Modul aller siguläre -Würfel Ei Cm(M ) heißt m- Kette Es sei ( i, : I( i, = ud i α : = ( 1) ( i, i= 1 α {0;1} m Dies folgt umittelbar aus m 1 ( mi )) = 0 Für jede m-kette m m gilt m 1 ( m( ) = 0 Beispiel 1: 3 3 Es sei : W R defiiert durh ( s; t; u) : = ( ssi( tπ)os(2πu); ssi( tπ)si(2πu); s os( tπ)) ist 3 3 folglih ei sigulärer 3-Würfel im R ( W ) ist die abgeshlossee Kugel mit Radius s Ferer sid I ( ; = (0; ; ), I ( ; = (1; ; ), I ( ; = ( ;0; ), ( 1;0) y ( 1;1) y ( 2;0) y I ( ; = ( ;1; ), I ( ; = ( ; ;0), I ( ; = ( ; ;1) ( 2;1) y ( 3;0) y ( 3;1) y Hieraus erhalte wir die siguläre Seite ; I ( ; ) 0; ; (0;0;0), ( 1;0) ( (1;0 ) = ; I ( ; ) 1; ; ) = (si( π) os(2π;si( π)si(2π;os( π)) ( 1;1) ( (1;1 ) y Der Rad ist folglih ; I ( ; ) ;0; ) = ( 0;0; ), ( 2;0) ( (2;0) y ; I ( ; ) ;1; = (0;0; ), ( 2;1) ( (2;1) ; I ( ; ) ; ;0) = ( si( yπ);0; os( yπ)), ( 3;0) ( (3;0) y ; I ( ; ) ; ;1) = ( si( yπ);0; os( yπ)) ( 3;1) ( (3;1) y ( 3 ; 1;1) ( ; 2(2;0) ( ; = (si( π )os(2π;si( π)si(2π;os( π)) 2(0;0; ) = (si( π )os(2π;si( π)si(2π;os( π) 2) Wir gebe oh eie geometrishe Iterpretatio der Vorgäge Der siguläre -Würfel verklebt die Seite des -Würfels rihtig zu de Seite des siguläre -Würfels zusamme Zusätzlih trete weitere Klebestelle auf, da wir die Abbildug iht vom Zetrum des -Würfels defiiert ist deformiert gaze Seite des -Würfels auf eie Streke bzw auf eie Pukt Die Seite des siguläre -Würfels stimme bis auf eier Mege mit dem Maß ull überei Beispiel 2: 2 4 Es sei : W R defiiert durh ( s; t) : = ( t si( sπ ); t os( sπ); st; s t) ist folglih ei 4 2 sigulärer 2-Würfel im R Das Bild ( W ) ist eie parametrisierte Flähe Die Seite des 2-Würfels sid I ( ) = (0; ), I ( ) = (1; ), I ( ) = ( ;0), I ( ) = ( ;1) Hieraus erhalte wir ( 1;0) ( 1;1) ( 2;0) ( 2;1) PD Dr rer at habil Gert Hillebradt 5

6 ( ) = (0; ;0; ), ( ) = (0; ; ;1 ), ( ) = (0;0;0; ), ( 1;0) ( 1;1) ) = (si( π );os( π); ; 1) ( 2;1) ( ( 2;0) Folglih ist ( 2 ) = (0; 2; ;1 ) (si( π);os( π); ; 1) = ( si( π); 2 os( π);0;2) Beispiel 3: (-fah getwistetes Bad) 2 3 Es sei : W R defiiert durh ( ; : = ( ;( 0,5) si( π);( 0,5) os( π)) Da sid ( ) 0; ) = (0;0; 0,5), ) ;0) = ( ; 0,5si( π); 0,5os( π )), ( 1;0) ( 2;0 ) 1; ) = (1;0;( 0,5) os( )), ( ) ;1) = ( ;0,5si( π);0,5os( π )) ( 1;1 π ( 2;1) Die Radfuktio lautet ( ) = (1; si( π);( 0,5os( π) 1) os( π)) Beispiel 4: (Das Möbius-Bad) 2 3 Es sei : W R defiiert durh ( ; : = ( ;( 0,5) si( π);( 0,5) os( π)) Da sid ( ) 0; ) = (0;0; 0,5), ) ;0) = ( ; 0,5si( π); 0,5os( π )), ( 1;0) ( 2;0 ) 1; ) = (1;0;( 0,5) os( )), ( ) ;1) = ( ;0,5si( π);0,5os( π )) ( 1;1 π Die Radfuktio lautet ( ) = (1; si( π);( 0,5os( π) 1) os( π)) ( 2;1) Der siguläre -Würfel verklebt die Seite des -Würfels rihtig zu de Seite des siguläre -Würfels zusamme Zusätzlih trete weitere Klebestelle auf, da wir die Abbildug iht vom Zetrum des -Würfels defiiert ist deformiert gaze Seite des -Würfels auf eie Streke bzw auf eie Pukt Die Seite des siguläre -Würfels stimme bis auf eier Mege mit dem Maß ull überei PD Dr rer at habil Gert Hillebradt 6