10 Aussagen mit Quantoren und

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1 0 Aussage mit Quatore ud 0.6. Eisatz vo (bereits bekater) Eistezaussage Bisher hatte wir Eistezbeweise geführt, idem wir ei passedes Objekt agegebe habe ( Setze... ). Stattdesse ka ma auch auf bereits bekate Eistezaussage zurückgreife: Wird durch eie solche Aussage die Eistez vo Objekte mit eier bestimmte Eigeschaft garatiert, so ka ma ei solches Objekt wähle ud es da im weitere Verlauf des Beweises beutze ud auf seie Eigeschaft zurückgreife (obwohl ma es icht ket). Beispiel: ˆ bereits bekate Aussage ( ): a R + b R + mit b 2 a Behauptug: a R + b R + mit b 4 a Beweis: Sei a R +. Wähle c R + mit c 2 a. Dies geht ach ( ). Hiweis: Die -Aussage ( ) wird agewedet auf a. Ma erhält eie -Aussage, die garatiert, dass es ei Elemet c wie behauptet gibt. Ma ka daher ei Elemet c wähle ud damit weiterarbeite. Ma weiß allerdigs ur, dass c R + ist ud dass c 2 a ist ud ket icht de Wert vo c. Wähle b R + mit b 2 c. Dies geht ach ( ). Hiweis: Die -Aussage ( ) wird ochmals agewedet, diesmal auf c. Ma erhält eie - Aussage, die garatiert, dass es ei Elemet b wie behauptet gibt. Daher ka ma solch ei Elemet wähle ud damit weiterarbeite. Nu folgt: a c 2 (b 2 ) 2 b 4 ˆ bereits bekate Aussage ( ): R N > Behauptug: R + N Beweis: Sei R. Wedet ma ( ) auf (statt a), so folgt: N > Wir wähle solch ei N. Hiweis: Das heißt, wir wisse jetzt, dass N ist ud dass > ist, auch we wir icht geau kee. Das wähle eies solche ist ur möglich, weil wir wisse, dass (midestes) so ei eistiert. Nu folgt: / (Hierbei wurde beutzt: a, b R + mit a > b gilt: ) a b ˆ bereits bekate Aussage ( ): a, b N u, v Z mit u a + v b ggt(a, b) Behauptug: u, v Z mit 7a + 55b 4 Beweis: Wähle a 7 ud b 55. ũ, ṽ Z mit 7ũ + 55ṽ ggt(7, 55). Dies geht ach ( ) agewedet auf Hiweis: Damit ma diese Elemete wähle ka, muss garatiert sei, dass solche Elemete überhaupt eistiere. Dies ist aber wege ( ) gesichert. Nu ka ma auf Zahle ã, b zurückgreife, die ma zwar icht ket, vo dee ma aber weiß, dass 7ã + 55 b ist. Ma verwedet hier icht direkt die Bezeichuge a, b, da dies (och) icht die Zahle sid, die ma gemäs Behauptug fide muss. Setze a 4ã ud b 4 b. Nu folgt: 7a + 55b 7 4ã b 4 (7ã + 55 b) 4 4 Hiweis: Hierbei ist wähle (als fiiere zu verstehe). Ma darf daher für ei Elemet, dass ma gewählt hat, icht eifach ei aderes Objekt eisetze (wie ma das bei der Verwedug eier -Aussage tu ka). 34

2 Aufgabe 0.7. Setze Sie die folgede Teile zu eiem Beweis der jeweils agegebee Aussage zusamme oder etwickel Sie eie eigee Beweis dazu (Jeder Schritt des Beweises muss achvollziehbar sei.) ACHTUNG: Sie beötige icht alle Beweisteile. (a) bereits bekate Aussage: R + N ( ) Behauptug: R + N Beweisteile: Sei R +. Sei N. Wähle R + mit >. Wähle N mit. Wähle N mit. Wähle N mit 2. Wähle N mit. (dass solch ei eistiert, folgt, we ma ( ) awedet) (dass solch ei eistiert, folgt, we ma ( ) auf statt awedet) (dass solch ei eistiert, folgt, we ma ( ) auf 2 statt awedet) (dass solch ei eistiert, folgt, we ma ( ) auf statt awedet) 2 2 (Recheregel für ) (Recheregel für ) (Recheregel für ud Wahl vo ) (Recheregel für ud Wahl vo ) (Recheregel für ) (Recheregel für ud Wahl vo ) (Recheregel für ud Wahl vo ) (b) bereits bekate Aussage: y R + R 2 y ( ) Behauptug: a R + {} b R + R a b Beweisteile: Seie a R + {} ud b R +. Setze: v u Setze: v Wähle R + mit a b. u Wähle u R mit 2 u a. Wähle u R mit 2 a u. Wähle v R mit 2 v b. Wähle v R mit 2 b v. (beachte: wege a / ist u / 0)) (dass solch ei u eistiert, folgt, we ma ( ) auf y a awedet) (dass solch ei u eistiert, folgt, we ma ( ) auf a awedet) (dass solch ei v eistiert, folgt, we ma ( ) auf y b awedet) (dass solch ei v eistiert, folgt, we ma ( ) auf b awedet) (dass solch ei eistiert, folgt, we ma ( ) auf a 2 ud b y awedet) a b y a 2 u 2 v (2 a ) u (2 u ) (2 ) b a ( v u ) a v u (2 u ) v u (2 u ) v u (Potezgesetz) (ach Wahl vo u) (ach Wahl vo v) (ach Wahl vo ) (ach Def. vo ) 35

3 Implikatioe ud Äquivaleze Implikatioe ud Äquivaleze Beweis vo Implikatioe bzw. Äquivaleze.. Beweis vo Implikatioe Um eie aussage zu zeige, verwedet ma meist eie der folgede Möglichkeite: Behauptug: Beweis: A B A B ˆ Eie Implikatioskette begit mit der eie Aussage (liks vom Pfeil) ud edet mit der adere (rechts vom Pfeil). Dari komme ur Implikatioe der Form oder Äquivaleze vor, die alle (ggf. mit Hilfe eier geeigete Amerkug) offesichtlich richtig sid. Am Ede ka ma da folger, dass die behauptete Implikatio zwische de beide Aussage (die u gaz liks ud gaz rechts i der Kette stehe) gilt. ˆ Ma zeigt die Aussage, die rechts vom Pfeil steht. Dabei darf ma die Aussage, die liks vom Pfeil steht, jederzeit ach Beliebe beutze (als wäre es eie bereits gezeigte Aussage). Meist schreibt ma sie (der Übersichtlichkeit halber) zu Begi des Beweises der Implikatio als Voraussetzug auf ud setzt eie kleie Hiweis, we ma sie beutzt. Beispiel: Behauptug: A B Beweis: Vorausgesetzt sei: A. ˆ Behauptug: a, b R + (a 2 b 2 a b) (Beweis vo B uter Verwedug vo A) Beweis : Seie a, b R +. Da gilt: a 2 b 2 a 2 b 2 ( ) a b (zu ( ): Wege a, b R + ist a 2 a ud b 2 b.) Beweis 2: Seie a, b R +. Da gilt: a 2 b 2 a 2 b 2 0 ( ) (a + b) (a b) 0 ( ) a b 0 a b (zu ( ): dritte biomische Formel, zu ( ): wege a, b R + ist a + b / 0) Hiweis: Für die beide Beweise hätte statt de Äquivalezzeiche auch Implikatioe geügt. Umgekehrt köte ma sich überlege, ob ma die Implikatioe durch Äquivalezzeiche ersetze darf. Es ist aber (im Rahme des geforderte Beweises) icht otwedig, dies zu tu. Beweis 3: Seie a, b R +. Vorausgesetzt sei, dass a 2 b 2 gilt. Nu folgt: a ( ) a 2 Vor. b 2 ( ) b (zu ( ): Wege a, b R + ist a 2 a ud b 2 b.) 36

4 Beispiel: ˆ Behauptug: a R ( R si() + 3 cos() a 2 a 2) Beweis: Sei a R. Vorausgesetzt sei, dass R si() + 3 cos() a 2 gilt. (z.z. a 2) Hiweis: z.z. bedeutet: zu zeige (es wurde hier eigefügt, um die Beweisstruktur klarer zu mache) Wähle ei R mit si() + 3 cos() a 2 (geht ach Vor.). Hiweis: Die Amerkug: geht ach Vor. stellt sicher, dass ei solches eistiert ud dass daher das wähle möglich ist. Nu folgt: a a 2 si() + 3 cos() Hiweis: Jeder Schritt i dieser Kette vo Gleichheite ud Abschätzuge muss/ka ggf. och äher erläutert werde. ˆ Behauptug: a N (2 a 4 a) Hiweis: Bevor wir mit dem Beweis begie, müsse Sie sich a die Defiitio vo erier. Beweis: Sei a N. Setze voraus: 2 a. (z.z. 4 a) Wir wolle zeige: N a 4 Nach Voraussetzug y N a y 2 (Wir wähle solch ei y.) Hiweis: Grudsätzlich spielt es atürlich keie Rolle, ob ma hier oder y verwedet. Allerdigs ist die Bezeichug bereits vergebe. Setze 3y. Es folgt: a y 2 y Also ist gezeigt: N a 4 Nach Defiitio der Teilbarkeitsrelatio folgt u: 4 a.2. Beweis vo Äquivaleze Um eie aussage zu zeige, hat ma (uter aderem) folgede Möglichkeite: ˆ Eie Implikatioskette begit mit der eie Aussage ud edet mit der adere. Dari komme ur Äquivaleze vor, die alle (ggf. mit Hilfe eier geeigete Amerkug) offesichtlich richtig sid. Am Ede ka ma da folger, dass die behaupteteäquivalez zwische de beide Aussage (die u gaz liks ud gaz rechts i der Kette stehe) gilt. Behauptug: Beweis: A B A B ˆ Ma teilt de Beweis i 2 Teile: ud. Beide Implikatioe zeigt ma da separat, beispielsweise mit eier der Methode aus (i). Behauptug: A B Beweis: Vorausgesetzt sei: A. (Beweis vo B uter Verwedug vo A) Vorausgesetzt sei: B. (Beweis vo A uter Verwedug vo B) 37

5 Implikatioe ud Äquivaleze Beispiel: ˆ Behauptug: R ( ) Beweis : Sei R. Da gilt: (ma beachte, dass es sich (bekatlich) um allgemeigültige Äquivaleze hadelt, we ma bei eier Gleichug auf beide Seite 4 bzw. 8 rechet) Beweis 2: Sei R. Vorausgesetzt ist: (z.z ) Vor Vorausgesetzt ist: (z.z. 8 ) ˆ Behauptug: a, b N a b a 2 b 2 Beweis: Seie a, b R. Vorausgesetzt ist: a b. N a b (wähle solch ei ) Wir zeige: y N b 2 y a 2 ( ) Vor. 8 (5 4) 8 8 [dazu: Setze y 2. Da ist y N ud es gilt: b 2 ( a) 2 a 2 y a 2 ] Also folgt (ach Defiiti vo ): a 2 b 2 Vorausgesetzt ist: a 2 b 2 N a 2 b 2 (wähle solch ei ) Wir zeige: y N b y a [hier komme wir icht weiter, da bei der Wahl y icht garatiert ist, dass y N ist] BEWEIS NICHT VOLLSTÄNDIG ˆ Behauptug: R [( y R e y ) ( z R > z 2 )] Beweis: Sei R. Vorausgesetzt ist: y R e y (Wir wähle solch ei y.) (z.z. z R > z 2 ) Sei z R. Da gilt: e y > 0 z 2 Vorausgesetzt ist: z R > z 2 ( ) (z.z. y R e y ) Wedet ma die Voraussetzug auf z 0 a, so folgt: > Setze u y l() (beachte: Wege > 0 ist l() defiiert.) Da gilt: e y e l() 38

6 Aufgabe.3. Setze Sie die folgede Teile zu eiem Beweis der jeweils agegebee Aussage zusamme oder etwickel Sie eie eigee Beweis dazu (Jeder Schritt des Beweises muss achvollziehbar sei.) (a) Behauptug:, y R ( 4 + 5y 3y > 3y) Beweisteile für Beweis : Seie, y R y 3y > 3y 4 > 2y 5y ( 4) Beweisteile für Beweis 2: Seie, y R. Setze voraus: 4 + 5y 3y (z.z y 3y) Setze voraus: > 3y (z.z. > 3y) 4 + 5y 3y 3y 4 (3y) + 5y (5y 3y) 4 2y + 5y y (5y ( 4 + 5y)) 4 Vor. Vor. (b) Behauptug: a, b N (a b a (4a + b)) Beweisteile: Seie a, b N. Nach Defiitio vo folgt: Nach Defiitio vo folgt: Nach Defiitio vo folgt aus der Voraussetzug: Nach Defiitio vo folgt aus der Voraussetzug: Setze voraus: a b (z.z. a b) Setze voraus: a (4a + b) (z.z. a (4a + b)) (wähle solch ei ) (wähle solch ei ) Setze u y 4 +. Setze u y 4. N a b N a 4a + b a b a (4a + b) Damit ist gezeigt: y N y a b Damit ist gezeigt: y N y a 4a + b (Def. vo y) (Def. vo y) (Wahl vo ) (Wahl vo ) b ya ya 4a + b 4a + a a 4a 4a + b 4a (4 )a (4 + )a 39