Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f
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- Friedrich Jesko Acker
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1 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25 4) liege auf dem Graphe der Fuktio f. Die Pukte A, dere Abszissewert stets um kleier als der Abszissewert der Pukte C ist, liege auf der x-achse. Zusamme mit de Pukte B bilde sie gleichscheklige Dreiecke A B C mit de Eigeschafte: AC BC ud AB 2cm. Zeiche Sie für x 0,5 ud x 2 die beide Dreiecke A B C ud A 2 B 2 C 2 i die Zeichug zu.0 ei. Bereche Sie soda diejeige Beleguge vo x, für die es Dreiecke A B C gibt. P.2 Uter alle Dreiecke A B C gibt es das rechtwiklige Dreieck A 3 B 3 C 3. Bereche Sie de zugehörige x-wert.
2 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 2 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 2.0 P 2. P 2.2 Ei Afagskapital vo wird mit eiem Jahreszis vo 2,8% agelegt. Nach wie viele Jahre hat sich das Kapital um 59% erhöht, we die Zise stets weiter mit verzist werde? Begrüde Sie, ach wie viele Jahre sich ei halb so großes Kapital bei gleichem Zissatz ebefalls um 59% erhöht hat.
3 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 3 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 3 Herr Huber stellt sich auf eie Persoewaage. Diese zeigt 93 kg a. Durch Erährugsumstellug möchte Herr Huber eie Masse vo 72 kg erreiche. Nach wie viele Woche hat er sei Ziel erreicht, we seie Masse durch die Erährugsumstellug pro Woche durchschittlich um 0,8% reduziert wird?
4 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 4 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 4.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug y 6 x mit GI IR IR (siehe Zeichug). Die Pukte C(x 6x ) liege auf dem Graphe zu f. Sie bilde zusamme mit de Pukte A(0 2) ud B(2 2) Dreiecke ABC. Im Koordiatesystem sid für x {;0} die zugehörige Dreiecke ABC ud ABC 2 eigezeichet. y C A O x C 2 B P 4. P 4.2 Uter alle Dreiecke ABC gibt es Dreiecke ABC 3 bzw. ABC 4, sodass der Wikel C 3 BA bzw. C 4 BA das Maß 28 besitzt. Zeiche Sie die beide Dreiecke i das Koordiatesystem zu 4.0 ei ud bereche Sie soda die zugehörige x-koordiate der Pukte C 3 ud C 4. Utersuche Sie, ob es uter alle Dreiecke ABC ei rechtwikliges Dreieck gibt, sodass eie der Seite [BC ] die Hypoteuse ist.
5 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 5 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 5.0 Gegebe ist eie Abbildug x' 0,8 0,6 x mit G IRIR y' 0,6 0,8 y I. P 5. Utersuche Sie, ob die Abbildug Fixpukte besitzt ud ermittel Sie gegebeefalls dere Koordiate. P 5.2 Überprüfe Sie, ob die Gerade g mit der Gleichug y 2x 3 Fixgerade der Abbildug ist.
6 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 6 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 6.0 I der Zeichug ist ei Quadrat ABCD mit der Seiteläge a abgebildet. Trägt ma i dem Quadrat ABCD a [AB], [BC], [CD] ud [DA] gleichgroße Wikel so a, dass gilt: BAE CBF DCG ADH, da etstehe Quadrate I K L M (siehe Zeichug). D F C L M G E K I A H B P 6. P 6.2 Bestätige Sie durch Rechug, dass für de Flächeihalt der Quadrate I K L M i Abhägigkeit vo gilt: 2 2 A( ) a (cossi ) Gebe Sie ei sivolles Itervall für a. Ermittel Sie soda de Wert vo, für de der Flächeihalt des Quadrates ABCD dreimal so groß ist wie der Flächeihalt des Quadrats I K L M.
7 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 7 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 7.0 Gegebe sid der Pukt M(0 4) ud die Pukte P( 4si 44cos ) ud Q(3si 33cos ) mit [0 ; 360 [. Im Koordiatesystem sid für {60 ;40 ; 270 } die zugehörige Dreiecke OP Q, OP 2 Q 2 ud OQ 3 P 3 eigezeichet. P 2 y M P 3 P O x Q 2 Q 3 Q P 7. Begrüde Sie durch Rechug, dass die Pukte P( 4si 44cos ) auf eiem Kreis um M(0 4) mit dem Radius MP ( ) liege ud gebe Sie soda de Radius MP ( ) a. P 7.2 Die Pukte P( 4si 44cos ) bilde zusamme mit de Pukte Q(3si 33cos ) ud dem Pukt O(0 0) Dreiecke OP Q bzw. OQ P für [0 ; 360 [ \{80 }. Aus der Zeichug lässt sich vermute, dass die Dreiecke OP Q bzw. OQ P eie besodere Form besitze. Gebe Sie diese a ud weise Sie die Form aschließed recherisch ach.
8 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 8 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 8.0 P 8. Gegebe ist ei Würfel ABCDEFGH (der Eckpukt E liegt über dem Eckpukt A). Seie Kateläge beträgt 8 cm. Die Grudfläche ABCD des Würfels ist auch die Grudfläche vo Pyramide ABCDS, dere Spitze S auf der Raumdiagoale [BH] des Würfels liege. Zeiche Sie ei Schrägbild des Würfels wobei [AB] auf der Schrägbildachse liege soll. Zeiche Sie soda die Pyramide ABCDS ei, wobei gilt: die Pyramidehöhe [R S ] mit dem Höhefußpukt R auf [BD] soll 5 cm lag sei. Für die Zeichug: q ; 45 2 P 8.2 Die Wikel BAS zwische der Grudkate [AB] ud de Seitekate [AS ] der Pyramide ABCDS habe das Maß. Bereche Sie die Läge der Strecke [BS 2 ] für 40.
9 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 9 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 9.0 Für die Dreiecke A B C gilt: AC(x) (5 2x)cm, BC(x) (8 x)cmmit x IR ud CBA 60. Diese Dreiecke rotiere um die Achse A B. 60 B C A P 9. P 9.2 Utersuche Sie, ob es für x = 0,5 eie Rotatioskörper gibt. Uter alle Rotatioskörper gibt es eie, desse Axialschitt eie Raute darstellt. Bereche Sie das Volume dieses Körpers.
10 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 0 Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P 0.0 Ei Würfel hat die Kateläge a = 7,6 cm (siehe Zeichug). Auf der Kate [AB] liegt der Pukt P, auf der Kate [EF] der Pukt Q. Pukte R wader auf der Kate [GH], wobei gilt: AP FQ 0, 25a ud RQE. H R G E Q F D C A P B P 0. P 0.2 Ermittel Sie das Itervall für das Maß der Wikel R QE. Bereche Sie, für welche Maße vo die Summe der Streckeläge PQ ud QR 6,3 cm lag ist.
11 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P. y Graph zu f C 2 C B A 2 A O B 2 x x 8, G I IR x,79 IL {, 79} x {x x,79} P.2 Die Dreieckshöhe muss halb so lag sei, wie die Hypoteuse [A 3 B 3 ]. x 8, 25 4 G I IR x 0,79 IL { 0, 79}
12 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 2 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 2. Fuktiosgleichug für x Jahre Alagedauer ud y Kapitalzuwachs. x f : y 7500 ( 0,028) GI IR0 IR0 x, , 028 GI IR 0 x log,59,028 x 6,8 IL {6, 8} Nach 7 Jahre hat sich das Afagskapital um 59% erhöht. P 2.2 Das Kapital hat sich ebefalls ach 7 Jahre um 59% erhöht, da die Verzisug uabhägig vom Afagskapital durchgeführt wird.
13 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 3 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 3 Fuktiosgleichug für die Zeit i x Woche ud der Masse i y kg. x f : y 93 ( 0,008) GI IR0 IR0 x ( 0, 008) GI IR 0 72 x log0, x 3,86 IL {3, 86} Nach 32 Woche hat er sei Idealgewicht erreicht.
14 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 4 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 4. y C C 3 C 4 C 2 A O x B 6x 2 ta 28 ID IR \{2} 2 x 6 2x 0,53 2 2x x 2 0,53x 4,36x 6 0 x,75 x 6,48 IL {, 75; 6, 48} P 4.2 Das etsprechede Dreieck müsste bei A rechtwiklig sei. Das bedeutet, dass eier der Pukte C auf der y-achse liege müsste, die aber Asymptote ist. Daher gibt es kei solches Dreieck.
15 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 5 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 5. z. B. Fixpuktbedigug: x 0,8x0,6y y0,6x0,8y y x 3 y x 3 x' x y' y GI IR IR IL {(x y) y x} 3 P 5.2 algebraische Lösug, z. B.: x' 0,8 0,6 x y' 0,6 0,8 2x3 G I IR IR ; x IR x' 2x,8 y' x2,4 x 0,5x' 0,9 y ' (0,5x ' 0,9) 2, 4 g': y0,5x,5 Wege g g ' hadelt es sich bei g icht um eie Fixgerade. geometrische Lösug, z. B.: Bei der Abbildug hadelt es sich um eie Achsespiegelug mit der Spiegelachse s: y x ( GI IRIR). 3 Die Steigug der Gerade g ist weder och 3. Damit ka g keie Fixgerade 3 sei.
16 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 6 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 6. 2 A IK IK AK KB AK cos AB AK a cos KB si AB KB a si IK a cos a si 2 2 Aa (cossi ) P 6.2 [0 ; 45 [ A ABCD 3A IKLM a 3a (cossi ) (cossi ) [0 ; 45 [ 20,9 IL {20, 9 }
17 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 7 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 7. 4si MP ( ) [0 ; 360 [ 44cos4 2 2 MP ( ) 6si 6 cos LE MP 4 LE P 7.2 Die Dreiecke OP Q bzw. OQ P sid rechtwiklig, da gilt: OP OQ 0 3si 4si OQ ( ) OP ( ) 33cos 44cos ( 3si ) ( 4si ) ( 33cos ) (44cos ) si 2 2 cos 2 cos2 cos (w) [0 ; 360 [ \{80 }
18 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 8 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 8. H G E F S D C R A B P cm ta SBA 8cm BS ( ) 8 cm si si[80 ( 54,74 )] 8si BS ( ) cm si( 54,74 ) 8si40 BS2 cm si(4054,74 ) SBA54,74 BS2 SBA ]0;90[ ]0 ; 90 ] 5,6 cm
19 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 9 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 9. Damit es Rotatioskörper gibt, muss es Dreiecke C F B mit F als Lotfußpukt des Lotes vom Pukt C auf die Rotatiosachse A B gebe. Damit gilt: AC>CF CF(x) si 60 (8 x) cm x {x x8} CF(x) 0,5 3(8 x)cm CF(x) (4 30,5 3x)cm 52x>4 30,5 3x x(20,5 3)>4 3 5 x>0,67 Es gibt keie Rotatioskörper für x = 0,5. oder: (5 20,5) cm (8 0,5) cm si 60 si B A C... P 9.2 Das etsprechede rotierede Dreieck muss gleichseitig sei: 8x 52x x {x x8} x IL {} Die Seiteläge dieses Dreiecks beträgt 7 cm ud ist damit auch die Höhe des Rotatioskörpers. Der Radius des Rotatioskörpers ist die Höhe des gleichseitige Dreiecks: 3,5 3 cm V (3,5 3) 7cm V 269,39 cm 3
20 Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P 0 Lösugsmuster ud Bewertug Hiweis: Bei eiige Teilaufgabe sid auch adere Lösugswege möglich. Für richtige adere Lösuge gelte die jeweils agegebee Pukte etspreched; die Azahl der Pukte bei de eizele Teilaufgabe darf jedoch icht verädert werde. Isbesodere sid Lösugswege, bei dee der grafikfähige Tascherecher verwedet wird, etspreched ihrer Dokumetatio bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepukte. P 0. a ta mi mi 53,3 mi ]0 ;80 [ 0,75a * ta ta 75,96 0,25a max 8075,96 max 04,04 [53,3 ;65,96 ] * a P PQ 7,6 3,8 cm PQ 8,5 cm 7,6 cm si [53,3 ;65,96 ] 6,3 cm 8,5 cm IL {77 ;03 }
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