3. Tilgungsrechnung Tilgungsarten

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1 ) Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie Schuld verzist ud sie wie vereibart zurückzahlt. Wird eie Schuld icht auf eimal im Gesamtbetrag, soder i Teilbeträge zurückgezahlt, so spricht ma vo eier Tilgugs- oder Amortisatiosschuld. Für sie pflegt ma besodere Tilgugspläe aufzustelle, aus dee der Tilgugsvorgag ud die laufede Verzisug der Schuldreste für jedes Jahr ersichtlich sid. Es wird vorausgesetzt, daß eie Schuld eischließlich der afallede Zise ach eier festgelegte Azahl vo Zisperiode vollstädig getilgt sei muß. Im allgemeie werde i gleiche Zeitabstäde Rückzahlugsleistuge erbracht. Die Zahlugsperiode köe dabei mit de Zisperiode übereistimme, eie Zisperiode ka aber auch i mehrere gleich lage Tilgugsperiode uterteilt werde. Rückzahluge köe zu de Verzisugszeitpukte, zwische ud zu de Verzisugszeitpukte, vorschüssig oder achschüssig vorgeomme werde. Die Zise köe i jeder Zisperiode vorschüssig oder achschüssig erhobe werde. Alle mögliche Kombiatioe der eizele Fälle würde zu eier sehr große Azahl vo Tilgugspläe führe. Aus diesem Grud erfolgt eie Beschräkug auf die gebräuchlichste Rückzahlugspläe mit achschüssiger Tilgug ud achschüssiger Ziszahlug Tilgugsarte Defiitio 3.1 Es liege eie Gesamtschuld K 0 vor. Der Betrag T j, der am Ede der j-te Zahlugsperiode zum Abtrage der Schuld etrichtet wird, heißt Tilgugsrate. Die am Ede der Periode verbleibede Restschuld wird mit K j bezeichet. Defiitio 3.2 Die Summe A j aus Ziszahluge Z j ud Tilgug T j der Periode j heißt Auität.

2 Die Zise Z j solle achschüssig am Ede eier Periode zu de Zistermie gezahlt werde. Sie beziehe sich dabei stets auf die Restschuld K j 1. Als Periodedauer sei ei Jahr vereibart. Bei Kredite mit kurzer Laufzeit ud moatlicher Zahlug werde die Zise oft ur auf die Gesamtschuld bezoge. Da stimmt der vorgegebee omielle Zissatz i icht mehr mit dem zugehörige Effektivzissatz überei. Defiitio 3.3 Sid alle Tilgugsrate T j kostat, so spricht ma vo Ratetilgug. Sid alle Auitäte A j kostat, so liegt Auitätetilgug vor. Defiitio 3.4 Zwei Zahlugsfolge heiße äquivalet, we die Barwerte beider Zahlugsfolge, bezoge auf de gleiche Zeitpukt, übereistimme Ratetilgug Satz 3.1 Wird eie Schuld K 0 achschüssig Jahre lag durch Ratetilgug bei eiem Zissatz i abgetrage, so gilt 3.1) T = K 0 3.2) K j = K 0 1 j ), j=1,..., 3.3) Z j = K 0 i 1 j 1 ), j=1,..., 3.4) A j = K j + 1) i), j=1,..., Für die Summe der Ziszahluge gilt Z G = + 1 K 0 i. 2 Für die Summe aller Auitäte gilt A G = K ) i. 2

3 Beispiel 3.1 Ei Grudstück im Wert vo e soll verkauft werde. Der Käufer zahlt e ud will de Restbetrag i 5 Jahre jeweils zum Jahresede tilge. Es ist ei Tilgugspla für die Ratetilgug mit eier Verzisug vo 8 % zu erstelle! K 0 = i = 0, 08 = 5 T = Tilgugspla: = j K j 1 Z j T j A j , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0, , , ,00 Satz 3.2 Für die Barwerte T 0 aller Tilgugsrate ud Z 0 aller Ziszahluge bei -jähriger Ratetilgug eier Schuld K 0 gilt 3.5) T 0 = K 0 a 3.6) Z 0 = K 0 1 a ) Für de Barwert aller Auitäte gilt A 0 = T 0 + Z 0 = T a ) + K 0 T a ) = K 0, womit das Äquivalezprizip bei Ratetilgug eigehalte wird. Nimmt ma eie Kredit i Höhe K 0 auf, der i Ratetilgug abzutrage ist, da spiegelt das Verhältis Z 0 als Barwert aller Ziszahluge zu K 0 die Koste des Kredites wieder. Empfehlug Uterjährige Tilgug eier Rateschuld [Bo] S

4 3.3. Auitätetilgug Satz 3.3 Wird eie Schuld K 0 achschüssig Jahre lag durch Auitätetilgug bei eiem Zissatz i ud damit Aufzisugsfaktor q = 1 + i abgetrage, so gilt 3.7) T 1 = K 0 q 1 q 1 3.8) T j = T 1 q j 1, j=2,..., 3.9) Z j = K 0 i T 1 q j 1 1), j=1,..., ) 3.10) K j = K 0 1 qj 1, j=1,..., q ) A = K 0 q q 1 q 1 Da jährlich kostate Auitäte gezahlt werde, ka die Schuld K 0 als Barwert eier achschüssige Rete i Höhe der Auität agesehe werde: K 0 = A q q 1 q 1 = Aa Damit ist auch für die Auitätetilgug das Äquivalezprizip gültig. Die Größe w = 1 = q q 1 heißt Auitäte- oder Kapitalwiedergewiugsfaktor. a q 1 Er gibt die jährliche Rate der Wiedergewiug eier Geldeiheit a. Berechet ma zuerst die Auität A = K 0 w, so ka ma die adere Größe i Abhägigkeit vo A wie folgt bereche: T j = A v +1 j, Z j = A 1 v +1 j ), K j = A a j, j=1,..., j=1,..., j=1,..., Isbesodere gilt auch A = T 1 q, was im Vergleich mit 3.8) die Eigeschaft T +1 = A, Z +1 = 0 liefert ud K 0 = T 1 s.

5 Für die Summe aller Zahluge bei Auitätetilgug gilt: A G = A = K 0 q q 1 q 1 Für die Summe der Ziszahluge gilt: Z G = A G K 0 = K 0 q q 1 ) q 1 1 Die Tilgugsrate bei Auitätetilgug bilde eie geometrisch wachsede Folge. Gegeüber der Ratetilgug sid sie deshalb zuerst kleier ud später größer. Damit sid die Restschulde bei Auitätetilgug stets größer als bei der Ratetilgug. Folglich falle die Ziszahluge höher aus. Beispiel 3.1 Fortsetzug) Erstelle eie Tilgugspla für die Auitätetilgug! A = , 08 5 Tilgugspla: 0, 08 1, = , 47 j K j 1 Z j T j A j , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,47-0, , , ,35 Die Ziszahlug erhöht sich gegeüber der Ratetilgug um 1.842,34 e. Satz 3.4 Für die Barwerte T 0 aller Tilgugsrate ud Z 0 aller Ziszahluge bei -jähriger Auitätetilgug eier Schuld K 0 gilt 3.12) T 0 = s q K ) Z 0 = K 0 1 ). s q

6 Wird für die Tilgugsdauer eie gaze Zahl vo Jahre festgelegt, so etsteht i der Regel eie krumme Auität. Verlagt ma umgekehrt für die Jahresleistug eie glatte Betrag, so ka eie gebrochee Tilgugsdauer etstehe. Die Berechug dieser Tilgugsdauer geschieht dabei aalog zu Satz 2.7 aus Abschitt 2.4.: 3.14) t = log A log T 1 log q Defiitio 3.5 Wird die erste Tilgugsrate durch eie Hudertsatz der Gesamtschuld ausgedrückt, so spricht ma vo Prozetauität. Der Hudertsatz heißt Tilgugsfuß oder Tilgugsquote. Satz 3.5 Ist K 0 die Gesamtschuld, i der vorgegebee Zissatz, Q die Tilgugsquote ud i T = Q, 100 so gilt für die gebrochee) Laufzeit dieser Auitätetilgug 3.15) t = log ) 1 + i i T log1 + i). Beispiel 3.2 Eie Hypothek über e wird mit 7 % verzist. Es soll pro Jahr 1 % plus ersparter Zise achschüssig getilgt werde. Wa ist die Schuld abgetrage? K 0 = i = 0, 07 i T = 0, 01 t = log1 + 0,07 0,01 ) log 1, 07 = 30, 73 Die Hypothek wird erst ach 31 Jahre getilgt sei. Die Auität für die erste 30 Jahre beträgt A = , , 01) = Das 31. Jahr ist gesodert abzureche. Empfehlug Tilgug ud Stückelug [Ka,Lo] S [Kö] S [Kos] S Uterjährige Auitätetilgug [Kö] S [Bo] S

7 3.4. Tilgug mit Aufgeld Defiitio 3.6 Ei zur Überahme eier Schuld aregeder Aufschlag wird Aufgeld oder Agio geat. Das Aufgeld wird als fester Satz a bezoge auf 100 DM Tilgug ausgedrückt. Es ist mit zu tilge, darf aber icht verzist werde, da der Gläubiger ur auf de Nomialbetrag der Schuld Zise erhält. Satz 3.6 Wird eie Schuld K 0 achschüssig Jahre lag durch Ratetilgug mit Aufgeld abgetrage, so gilt für die Auität 3.16) A j = K a j + 1) i ), j=1,...,. Bei Ratetilgug mit Aufgeld ist dem bisherige Tilgugspla ur eie Spalte für das Aufgeld hizuzufüge. Die Auität erhöht sich dabei um das Aufgeld. Bei der Auitätetilgug mit Aufgeld führt ei aaloges Zufüge des Aufgeldes auch zu ichtkostate Auitäte, da die Tilgugsrate T j ud damit auch die Aufgelder G aj geometrisch wachse. Die Veräderug der Auität etspricht aber icht dem Si der Auitätetilgug. Deshalb wird eie zusätzliche Variate betrachtet, bei der das Aufgeld i eier kostate Auität ethalte sei soll. Ma spricht vom eigeschlossee Aufgeld. Satz 3.7 Wird eie Schuld K 0 achschüssig Jahre lag durch Auitätetilgug mit Aufgeld abgetrage, so gilt für die Auität bei ichteigeschlosseeem Aufgeld 3.17) A j = K i) + a ) i 1 + i)j i) 1, j=1,..., ud bei eigeschlosseem Aufgeld 3.18) A = K a 1 + i a ) i a 1 + i a ) 1 mit K a = K a ) 100 ud i a = i 1 + a 100.

8 Beispiel 3.3 Eie Schuld vo e soll i 4 Jahre bei eier Verzisug vo 8 % durch Auitätetilgug abgezahlt werde. Dabei sei ei Agio vo 10 % vereibart. Es sid Tilgugspläe für ichteigeschlossees ud eigeschlossees Agio aufzustelle! ichteigeschlossees Aufgeld: Z 1 = , 08 = T 1 = A = , 04 Tilgugspla: 0, 08 1, = , 04 j K j 1 Z j T j G aj A j , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,82 0, , , , ,15 eigeschlossees Aufgeld: 0, 08 a = 10 K a = , 1 = i a = = 0, , 1 A = , , = , 63 1, , T a1 = , = , 63 Z 1 = Tilgugspla: j K a,j 1 K j 1 Z aj T aj T j G aj , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,55 0,02 0, , , , ,00 Empfehlug Kredite mit Auszahlugsgebühre [Bo] S

9 3.5. Ratekreditgeschäft Bei de übliche Ratekreditgeschäfte beziehe sich die Rückzahlugsrate d.h. Zis- ud Tilgugsrate) i der Regel auf de Bruttoafagskredit eischließlich Gebühre. Da die Zise icht auf die Restschuld bezoge werde, ist somit der vorgebeee omielle Zissatz für eie Vergleich wertlos. Die Leistug des Gläubigers besteht i der Auszahlug des Nettokredits zum Zeitpukt Null. Die Leistuge des Schulders bestehe dari, daß moatlich Rate zurückgezahlt werde. Der uter Verwedug des Effektivzissatz zu ermittelde Barwert dieser Ratezahluge muß da dem Nettokredit etspreche, um dem Äquivalezprizip zu geüge. Das Europäische Parlamet hat 1997 i zweiter Lesug eiem Vorschlag des Europäische Rates zur Äderug der II. Verbraucherkreditrichtlie VKRL) zugestimmt. Damit habe alle EU-Mitgliedsstaate ach eier Übergagsfrist de Effektivzis ach der ISMA-Methode zu bereche, d.h. im uterjährige Bereich wird auch vo der expoetielle Verzisug ausgegage. Geplat war die eiheitliche Verwedug der actual/365-tagemethode. I Deutschlad wird weiterhi mit gleiche Moatsläge aber auf Basis vo 365 Tage gearbeitet. Damit ist für das Ratekreditgeschäft die 30,42/365-Tagemethode azuwede. I Deutschlad wurde seit 1981 der effektive Jahreszis eies Ratekredites ach der Preisagabeverordug der Preisaufsichtsbehörde der Läder ermittelt. Dabei wurde die 30/360 Tage-Methode verwedet ud die Zissollstelluge ergab sich ach jeweils 360 Zistage bzw. zum Stichtag der letzte Moatsrate. Vor dem Ikrafttrete dieser Preisagabeverordug wurde der Effektivzissatz ach der sogeate Uiformmethode ermittelt. Dabei werde die gesamte Kreditkoste zu de durchschittlich währed der Laufzeit gebudee Darlehesbetrag i Verhältis gesetzt ud dieser Wert auf ei Jahr bezoge. Bezeichuge: K 0 Kredithöhe M = 12 + m R Laufzeit des Kredites i Moate; dabei ist die Zahl der Jahre ud m R die Restlaufzeit i Moate i omieller Jahreszissatz i m = i relativer moatlicher Zissatz 12 g Beabeitugsgebühr i % bezoge auf K r moatlich kostate Rückzahlugsrate zu bestimmede effektive Jahreszissatz i eff

10 Satz 3.8 Bei eier Laufzeit vo M Moate, eiem moatliche Zissatz i m ud eier Gebühr vo g % für eie Ratekredit der Höhe K 0 gilt für die kostate Rückzahlugsrate 3.19) r = K g ) M Mi m. Satz 3.9 EU-VKRL) Der effektive Zissatz i eff ach ISMA ist bei vorgegebeer Laufzeit vo M Moate eie Lösug der Gleichug 3.20) 1 + i eff ) M i eff ) M i eff ) ) = L mit der Kostate 3.21) L = K 0 r = M 1 + g + Mi 100 m wobei 0 < L < M vorauszusetze ist., Folgerug Uter Verwedug vo x = 1 + i eff ) 1 12 erhält ma aus 3.20) die Bestimmugsgleichuge 3.22) L x M+1 L + 1) x M + 1 = 0. Beispiel 3.4 Prüfe Sie die folgede Agabe der Sparkasse Freiberg! Allzweckdarlehe Koditioe vom ) Moatszis: 0,44 % Bearbeitugsgebühr: 2 % Laufzeit 36 Moate: Kreditkoste 178,40 DM je 1.000,00 DM Effektivzis 11,56 % Laufzeit 60 Moate: Effektivzis 10,81 % Beispiel Koditioe vom Auszug) : Bei 3 Moatsbeiträge beträgt der Zisaufschlag pro Moat 0,76 %. Dies etspricht eiem effektive Jahreszis ohe Zahlpause) vo 14,51 %. Prüfe Sie diese Agabe!

11 Satz 3.10 PAgV alt) Der effektive Zissatz i eff ach der PAgV alt ist bei vorgegebeer Laufzeit vo Jahre ud m R Moate eie Lösug der Gleichug ) ) , 5 i eff 3.23) 1 + i eff ) 1 + i eff) mr 1 ieff mr 24 + ) i eff 1 + m R 12 i eff 1 + ieff ) = L mit der Kostate 3.21) L = K 0 r = M 1 + g + Mi 100 m wobei mi{ M 1 ; 5, 5} < L < M vorauszusetze ist. 2 Folgerug, Beträgt die Laufzeit eies Kredites geau Jahre, so erhält ma uter Verwedug vo x = 1 + i eff die Bestimmugsgleichuge 3.24) L 5, 5) x +1 L + 6, 5) x + 5, 5x + 6, 5 = 0 Folgerug Beträgt die Laufzeit eies Kredites maximal 12 Moate, so erhält ma de effektive Zissatz Mi m + g ) i eff = 24 M + 1 M 1) Mi m + g ). 100 Vor dem Ikrafttrete der PAgV wurde der Effektivzissatz ach der sogeate Uiformmethode ermittelt. Dabei werde die gesamte Kreditkoste zu de durchschittlich währed der Laufzeit gebudee Darlehesbetrag i Verhältis gesetzt ud dieser Wert auf ei Jahr bezoge. Damit erhält ma 3.26) i u eff = 24 Mi m + g 100. M + 1 Empfehlug H. Bieg: Die Effektivverzisug vo Ratekredite WiSt, ), S Wimmer/Stöckl-Pukall: Neuregelug der Effektivisberechug Die Bak, 1/98, S Ratekreditgeschäft Uiformmethode) [Kö] S