Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re

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1 atheatik der Lebesersicherug r. Karste Kroll GeeralCologe Re atheatik der Lebesersicherug

2 atheatische Grudasätze iskotiuierliche ethode: Sätliche Leistuge erfolge zu bestite Zeitpukte ie Zeititeralle dazwische sid uiteressat I eutschlad üblich Kotiuierliche ethode: ie Kapitalfuktio ist i jede Zeitpukt stetig (ud wächst icht sprughaft zu bestite Zeitpukte) I agelsächsische Läder erbreitet 2 atheatik der Lebesersicherug

3 atheatische Grudasätze ischfor der beide o.a. ethode ie Kapitalfuktio ist stetig, wird aber durch Ei- ud Auszahluge zu bestite Terie überlagert 3 atheatik der Lebesersicherug

4 Fiazatheatik Zis ud Ziseszis Zeitrete Tilgug eier Rateschuld ( arlehe ) Sparpläe 4 atheatik der Lebesersicherug

5 Vorgehe bei der Präieberechug a erfolgt eie Versichertebestad, der sich abbaut (keie euzugäge) Für die eizele (Geschäfts-) Jahre werde die (Koste für) Versicherugsfälle bestit ud abdiskotiert Barwerte der Leistuge ud der Präie werde bestit ettopräie reie Koste des Risikos (iklusi Sicherheitszuschläge bei desse Berechug) 5 atheatik der Lebesersicherug

6 Vorgehe bei der Präieberechug Bruttopräie ettopräie plus Koste Abschlusskoste Verwaltugskoste I.allg. laufede Präiezahlug it kostate Präie Zu Begi ist die ettopräie höher als die Risikopräie, später iedriger: Es saelt sich zuächst eie Resere (eckugsrückstellug) a, die da wieder aufgelöst wird 6 atheatik der Lebesersicherug

7 Ausscheidewahrscheilichkeite Bei ersicherugsatheatische Rechuge geht a i.allg. o eie Afagskollekti aus, dass sich da durch Ausscheide o itglieder abbaut. ögliche Ausscheidegrüde: Tod Storo Ialidität (Ialiditätsersicherug) as/die ersicherte() Ereigisse ist/sid stets uter de Ausscheidegrüde 7 atheatik der Lebesersicherug

8 Ausscheidewahrscheilichkeite Beschräkug auf de Fall Todes-/Erlebesfallersicherug ur die Ausscheidegrüde Tod ud Storo Leistugszahlug erfolgt bei Tod (Risikolebesersicherug) oder bei Tod oder i Erlebesfall (Überlebe bis zu eie a priori festgesetzte Alter; Kapitallebesersicherug) 8 atheatik der Lebesersicherug

9 Herleitug eier Sterbetafel Verschiedee Sterbetafel für Todesfall- ud Reteersicheruge ötig: Sterbetafel üsse stets orsichtig sei, u die dauerde Erfüllbarkeit der Versicherugserträge garatiere zu köe.h.die tatsächliche Azahl der Leistugsfälle darf icht größer als die ach der zugehörige Sterbetafel ageoee Azahl sei Todesfallersicherug zahlt i Todesfall, also: Laut Tafel uss die Sterblichkeit idestes so hoch wie real sei Reteersicherug zahlt Rete bis zu Tod, also: Laut Tafel darf die Sterblichkeit höchstes so hoch wie real sei 9 atheatik der Lebesersicherug

10 Herleitug eier Sterbetafel Beschräkug auf Todesfallersicherug Erittlug o rohe Sterbewahrscheilichkeite aus eier Grudgesatheit: Azahl Tote durch Azahl Lebeder für eie Altersklasse Ausgleichug der rohe Sterbewahrscheilichkeite durch Ausgleichsethode 0 atheatik der Lebesersicherug

11 Ausgleichsethode Graphische Ausgleichug Aalytische Ausgleichug Polyoe, ethode der kleiste Quadrate, oeteethode Sterbegesetze Aahe: ie Sterblichkeit folgt eier bestite Gesetzäßigkeit, die durch eie Forel beschriebe wird Ausgleichug der rohe Sterbewahrscheilichkeite ittels eier solche Fuktio atheatik der Lebesersicherug

12 Ausgleichsethode echaische Ausgleichserfahre Für eie Wert wird ei gewichtetes ittel aus de Wert ud beachbarte Werte gebildet 2 atheatik der Lebesersicherug

13 Beölkerugs- ud Versichertetafel Versicherte habe i.allg. eie bessere Sterblichkeit als die Beölkerug: Eiige Beölkerugsschichte it (hoher Sterblichkeit) köe sich keie Versicherug leiste I.allg. habe sozial Bessergestellte eie bessere Sterblichkeit; sie habe i urchschitt Police it höhere Versicherugssue Atragsprüfug bei Vertragsabschluss erursacht eie positie Selektio Für Versicherte wird ei Prozetsatz eier Beölkerugstafel geoe oder eie eigee Tafel etwickelt 3 atheatik der Lebesersicherug

14 Äquialezprizip i der Lebesersicherug Barwert der Leistuge Barwert der Präie Barwert: Afagswert eies Kapitals U Aufweduge ud Erträge iteiader ergleiche zu köe, üsse beide auf deselbe Zeitpukt bezoge werde azu üsse sie abdiskotiert werde: i Zis i iskotierugsfaktor 4 atheatik der Lebesersicherug

15 Rechugszis i ist i folgede Rechugszis er Zis, der de Versicherugseher garatiert wird (für die gesate Vertragslaufzeit!) Augeblicklich 3,25% We der Versicherer ehr Erträge erwirtschaftet als de Rechugszis, so werde diese (größteteils) de Versicherte gutgeschriebe (als Teil der Überschussbeteiligug) 5 atheatik der Lebesersicherug

16 Allgeeies Prizipiell ist Lebesersicherugsatheatik icht schwer Oft arstellug it sog. Koutatioszahle iese stae aus der Zeit, als es och keie Coputer gab Vereifachte die Rechuge für Versicherugsatheatiker, ide feste Tabelle für die erschiedee Koutatioszahle geoe wurde 6 atheatik der Lebesersicherug

17 I folgede betrachtete Versicheruge Todesfallersicherug gege fortlaufede Präie Risikolebesersicherug Kapitallebesersicherug ur klassische Produkte, icht fodsgebudee etc. 7 atheatik der Lebesersicherug

18 Koutatioszahle l l p l Azahl Lebeder des Alters Wahrscheilichkeit eies -Jährige, das Alter zu erreiche E l l Leistugsbarwert für eie Auszahlug o Betrag für eie -Jährige ach Jahre l iskotierte Zahl der Lebede ω i 0 i Sue der diskotierte Zahle der Lebede 8 atheatik der Lebesersicherug

19 Vorschüssig lebeslag zahlbare Leibrete ä ω i S i E oppelt aufsuierte diskotierte Zahle der Lebede eue arstellug für de Leistugsbarwert Leibrete: Bis zu Tod der ersicherte Perso zu zahlede Rete ä ä ω ν ν 0 p ν oder ω 9 atheatik der Lebesersicherug

20 20 atheatik der Lebesersicherug Adere Leibrete achschüssig zahlbare lebeslage Leibrete Sofort begiede, für Jahre orschüssig zu zahlede Leibrete o Betrag I Jahre begiede, für Jahre orschüssig zu zahlede Leibrete o Betrag ä ä p ä ω ν ν ν 0, ä a p ä 0, ν ν ν

21 Leistugsbarwerte für Todesfallersicheruge A p q Leistugsbarwert für eie i Jahr Sterbede C d iskotierte Azahl der Tote des Alters ω i 0 C ω i 0 R i i Sue der diskotierte Azahle der Tote des Alters oppelt aufsuierte Azahl der Tote des Alters 2 atheatik der Lebesersicherug

22 22 atheatik der Lebesersicherug Leistugsbarwerte für Todesfallersicheruge Leistugsbarwert für Sue Leistugsbarwert für de Tod eier ersicherte Perso Leistugsbarwert für die u Jahre aufgeschobee Todesfallersicherug q p A ω 0 V C A q p A ω ω ω C A

23 23 atheatik der Lebesersicherug Leistugsbarwerte für Todesfallersicheruge Leistugsbarwert für die u Jahre aufgeschobee Risikolebesersicherug Leistugsbarwert für die Kapitallebesersicherug 0 q p A p q p A 0, 0 q p A

24 ettopräie A P ä ettopräie für eie Versicherug it -jähriger Präiezahlugsdauer ettopräie für lebeslage Todesfallersicherug it -jähriger Präiezahlugsdauer P, A ä, 24 atheatik der Lebesersicherug

25 25 atheatik der Lebesersicherug ettopräie Lebeslage Todesfallersicherug it lebeslager Präiezahlugsdauer -jährige Risikolebesersicherug ä A P ä A P,,

26 26 atheatik der Lebesersicherug ettopräie Kapitallebesersicherug it -jähriger Präiezahlugsdauer ä A P,,,

27 Bruttopräie Additio o Koste zu de ettopräie Abschlusskoste I Proille der Beitragssue, wird i.allg. gezillert I Proille der Versicherugssue Allgeeie Verwaltugskoste Ateilig ach Versicherugssue, Beitrag ud/oder Stückkoste 27 atheatik der Lebesersicherug

28 28 atheatik der Lebesersicherug eckugsrückstellug (Prospektie) eckugsrückstellug i Jahr des Versicherugsertrages Leistugsbarwert für die erbleibede Vertragsdauer - Barwert der Beiträge der erbleibede Vertragsdauer Leistug ach Jahre, falls V i Jahr stirbt ettobeitrag zu Begi des -te Jahres (falls och lebed) ( ) 0 0 pro B p T q p E p V T i B i