Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Beispiele, Graken, Beweise. c Uwe Jensen

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1 Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Beispiele, Grake, Beweise c Uwe Jese 8. Oktober 2007

2 Ihaltsverzeichis 4 Folge, Reihe, Grezwerte, Stetigkeit Folge ud Reihe Grezwerte bei Folge ud Reihe Grezwert vo Fuktioe Stetigkeit ii

3 Kapitel 4 Folge, Reihe, Grezwerte, Stetigkeit 4. Folge ud Reihe Deitio 4. Bemerkug 4. Beispiel 4. f : IN IR, f() = oder ( ) IN = (, 2, 3, 4 ),... 47

4 Abbildug 4. a Beispiel (( ) ) IN = (,,,,...) Abbildug 4.2 a

5 Beispiel 4.3 Edliche Folge: (BNE(02.), BNE(02.02),..., BNE(06.4)) Abbildug 4.3 BNE i Mrd. EUR I II III IV I II III IV I II III IV 2004 I II III IV 2005 I II III IV 2006 Quartal Jahr Quelle: Statistisches Budesamt, Stad: Beispiel 4.4 Kostate Folge: (c, c, c, c,...) 49

6 Abbildug 4.4 a c Deitio Bemerkug 4.2 Beispiel 4.5 PC zum Preis vo a 0 = 2000 e, jährliche lieare Abschreibug k = 2000 : 5 = 400 e mit Nutzugsdauer t = 5 Buchwerte a i : a 0 = 2000 e, a = 600 e,..., a 5 = 0 e 50

7 Abbildug 4.5 a t Beispiel t Afagskapital K 0 = 9000 e, jährlicher Zisatz i = 0.05 ( = 5%), Edkapital Kt ach t = 6 Jahre, achschüssige Zise am Periodeede K = K 0 + K 0 i = K 0 ( + i) K 2 = K + K i = K ( + i) = K 0 ( + i) 2 (Ziseszise) K t = K 0 ( + i) t = K 0 k t mit Zisfaktor k t = ( + i) t K 6 = = = 206 e 5

8 Abbildug 4.6 K t K 6 = K 0 = 9000 Beispiel Abzisug, Diskotierug: Schuld K 5 = 0000 e i t = 5 Jahre fällig. Heute zurückzuzahle bei i = 0.08 ( = 8%) Barwert K 0 = K t ( + i) = 0000 t.08 = = 6806 e t 52

9 Abbildug 4.7 K t K 5 = K 0 = 6806 Deitio t Bemerkug 4.3 Satz 4. Beweis 4.. Durch vollstädige Iduktio 2. Durch vollstädige Iduktio 3. s = a + a a = a + (a + k) (a + ( )k) = a + a + k ( ) 2 53 i k = i=

10 4. s = a + a a = a + a k a k = a Beispiel 4.8 i=0 k i = a k k. Reterechug: Ratesparvertrag: Für t = 6 Jahre jeweils zum Jahresede achschüssige (Rete-)Rate vo r = 800 e, Edwert bei i = 0.04 ( = 4%)( k = + i =.04) t R t = r ( + i) t +r ( + i) t r = r k t +r k t r = r k j = r kt k = = 5306 e 2. Tilgugsrechug: Schuld K 0 = e i t = 7 Jahre bei Zissatz i = 0.09 (k =.09) ud achschüssiger Verzisug der Restwerte i jährliche kostate Tilgugsrate (Auitäte) A tilge. A = r = R t k k = K 0k t k.09 = t.097 kt.09 = 9935 e 7 Beispiel 4.9 Kapitalmarkttheorie: Gegewartsmodell: P = ρ t Dt E mit dem Preis eier Geldalage P, dem Diskotfaktor 0 < ρ t = ud de erwartete Dividedezahluge Dt E i t. 4.2 Grezwerte bei Folge ud Reihe Beispiel 4.0. Folgeglieder äher sich geau eier Zahl (Grezwert): ( ) IN = (, 2, ) 3,..., 000, Folgeglieder äher sich mehrere Zahle (keie Grezwerte): ( ) ( ) + IN = t=o j=0 ( ) t < + i ( 2, 3 2, 4 3, 5 4, 6 5, 7 6,..., , 00 ) 000, Folgeglieder äher sich Uedlich (kei Grezwert): () IN = (, 2, 3, 4,...) 54

11 Deitio 4.4 Bemerkug 4.4 { x a : x a < ε x < a + ε x a < ε x < a : (x a) < ε x a > ε x > a ε x (a ε, a + ε) Abbildug 4.8 } ( a ε a ) a + ε x Deitio 4.5 Beispiel 4. So klei ma auch ε > 0 wählt, es existiert immer ei U ε(0) für alle mit > lim = 0 (abhägig vo ε) mit 55

12 Abbildug 4.9 U ε (0){ 0 + ε a = 0 0 ε * 5 0 Bemerkug 4.5 Deitio 4.6 Bemerkug 4.6 Beispiel 4.2 ( ) ( ) + IN ist diverget. 56

13 Abbildug 4.0 a { U ε () HP = 4 8 HP = Satz 4.2 Beweis 4.2 Beispiel 4.3 Idee: Zurückführe auf, ( ), c, o.ä. lim = lim = = 2 lim 2 + lim lim 6 + lim 8 3 = 57

14 Abbildug 4. a Beispiel 4.4 lim = lim Abbildug = lim 2 + lim lim 8 3 = = 0 a

15 Deitio 4.7 Satz 4.3 Beweis i= i= a i = lim a i = lim Abbildug 4.3 i= i= { k a i = lim a k = a lim k = a für k < k k diverget für k ( a i = lim a + ) ( ) k < ur für a = 0 ud k = < k < s a k a Satz 4.4 Beweis

16 Abbildug 4.4 k > a a 0 < k < a a 60

17 Bemerkug 4.7 Beispiel 4.5 Harmoische Reihe = = Beispiel 4.6 = ( 3 + ) 4 } {{ } > 2 mit lim ( + = 0, aber: ) } {{ } > 2 ( ) +... = 6 } {{ } > 2 Barwert bei i = 0.04 vo lebeslager Rete vo r = 2000 e jährlich: r + r r + i i ( ) + i Oder: r + i i + r ( ) = + i = = e r = r + i i i = r i r t= ( + i 4.3 Grezwert vo Fuktioe Deitio 4.8 ) t = r +i = r +i +i = Satz 4.5 Beweis 4.5 Beispiel 4.7 lim x 0x x + 4 = lim x 0 + 4/x = 0 6

18 Abbildug 4.5 f(x) 0 + ε y 0 =0 0 ε 5 Bemerkug x* 30 x Deitio 4.9 Bemerkug 4.9 Deitio 4.0 Bemerkug 4.0 Beispiel 4.8 Bestad B abhägig vo Zeit t 62

19 S B(t) = + exp ( t a b S B(a) = + exp(0) = S 2 lim B(t) = S t lim B(t) = t ( + lim exp t S ( + lim exp t ), S, b > 0, a IR, S Sättigugsiveau ( t a b )) = ( t a )) = b S + lim e t = t S + lim = t e t Hitergrud: Dieretialgleichug B t = cb t (S B t ) d Abbildug 4.6 S + 0 = S S + = 0 B(t) S S 2 t Deitio 4. a Deitio 4.2 Beispiel 4.9 lim x 0 sig : IR IR, sig(x) = x 0 sig(x) = lim für x > 0 0 für x = 0 für x < 0 sig(x) = sowie sig(0) = i x 0 = 0 :

20 Abbildug 4.7 sig (x) x Beispiel 4.20 f : IR IR, f(x) = x 2 i x 0 = 2: lim x2 = lim x2 = 4 lim x 2 = 4 x 2 x 2 + x 2 ud f(2) = 4 Abbildug 4.8 f(x) x 64

21 Beispiel 4.2 (siehe Beispiel 3.7) ( f : IR \ { 2, 4} IR, f(x) = x2 + x 2 4 x2 + 2x 2 ) f : IR \ {4} IR a) i x 0 = 2: lim x 2 f(x) = 3.25 lim f(x) x 2 + aber f( 2) existiert icht b) i x = 4: lim x 4 x 4 f(4) existiert auch icht f(x) ud lim Abbildug f(x) existiere icht = 4x 4 x 4 = f (x), lim f(x) = 3.25 = f ( 2), x 2 f(x) x 8 Satz 4.6 Beweis 4.6 Bemerkug 4. 65

22 4.4 Stetigkeit Deitio 4.3 Bemerkug 4.2 Beispiel 4.9 (Fortsetzug) sig : IR IR, sig(x) = a) 0 D sig für x > 0 0 für x = 0 für x < 0 b) lim sig(x) = = lim sig(x) x 0 x 0 + sig(x) ist i x 0 = 0 icht stetig ud icht stetig ergäzbar x 0 Ustetigkeitsstelle (Sprugstelle) sig(x) ist aber stetig für alle x 0 Abbildug 4.20 sig (x) x Beispiel 4.22 f : IR IR, f(x) = { x 2 für x 2 für x = 66

23 a) D f b) lim x x x f(x) = = lim f(x) = lim + c) lim x f(x) = 2 = f() f(x) (lim existiert) f(x) i x 0 = icht stetig, aber stetig ergäzbar durch f() = lim x (f(x)) = Asoste ist f(x) stetig für alle x Abbildug 4.2 f(x) 2 x Beispiel 4.2 (Fortsetzug) f : IR \ { 2, 4} IR, f(x) = x2 + x 2 4 x2 + 2x 2 2 behebbare Deitioslücke, 4 Polstelle f(x) stetig für alle x D f 2 D f, 4 D f f(x) i 2, 4 icht stetig lim x 2 f(x) = 3.25 = lim f(x) = x 2 + lim f(x) x 2 f(x) i 2 stetig ergäzbar durch f( 2) = lim x 4 x 4 f(x) ud lim lim f(x) = 3.25 x 2 + f(x) existiere icht f(x) i 4 icht stetig ergäzbar 67

24 Abbildug 4.22 f(x) x 8 Beispiel 4.20 (Fortsetzug) f : IR IR, f(x) = x 2 zum Beispiel i x 0 = 2: a) 2 D f b) lim f(x) = 4 = lim f(x) = lim x 2 x 2 + x 2 c) f(2) = 4 = lim f(x) x 2 f(x) (existiert) Also: f(x) ist stetig i x 0 = 2, geauso für alle x IR 68

25 Abbildug 4.23 f(x) x Satz 4.7 Beweis 4.7 Deitio 4.4 Bemerkug 4.3 Satz 4.8 Beweis 4.8 Satz 4.9 Beweis

26 Bemerkug 4.4 Beispiel 4.23 { x für x < 0 h : IR IR, h(x) = x + für x 0 Nicht stetig auf z.b. [a, b] = [ 2, 2], da x 0 = 0 Sprugstelle. Es gibt kei x [ 2, 2] mit f(x) = 0 [ 3, 3] = [f(a), f(b)], d.h. keie Nullstelle. 70