Eine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.

Transkript

1 . Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f : N Q mit f ( x) x = verstde werde. Die Glieder der Folge sid die eizele Elemete, us dee die Folge besteht. Beispiel: Die erste vier Glieder der Folge : = sid: ; ; ; 3 4 Jedes Glied eier Folge ht eie sogete Husummer, die die Positio des Gliedes i der Folge kezeichet. Diese Husummer wird i der Mthemtik ls Idex bezeichet. Beispiel: Ds Glied 4 der Folge : = ist 4 Die Bildug eier Folge obliegt lso drei us bekte Gesetze, die wir i der Vorlesug behdelt hbe:

2 . Durchummeriere durch Husummer, de so gete Idizes. Folge ls Drstellug durch eie Fuktio mit de türliche Zhle ls Defiitiosbereich 3. rekursive Drstellug eier Folge... Rekursive Drstellug eier Folge eie Folge k uch durch die Agbe eiiger Strtwerte ( ) ud eier sog. Rekursive Bildugsvorschrift berechet werde: Beispiel: =, = ud für 3 = + Somit sid die erste Glieder der Folge:,,,3,5,8,3, Diese besodere rekursiv defiierte Folge et sich uch Fibocci - Folge.. Grezwert eier Folge Defiitio: Eie Folge reeller (oder komplexer) Zhle kovergiert gege die Zhl, flls ε > 0 ε ε < ε Die Zhl heisst Grezwert der Folge, ud m schreibt

3 = lim Folge, die eie Grezwert hbe, heiße koverget, derflls diverget. Bemerkug. Der Grezwert eier Folge ist eideutig bestimmt, flls er existiert. Kovergez eier Folge bedeutet, dss lle bis uf edlich viele Glieder der Folge mit wchsedem i eier beliebig kleie ε - Umgebug vo dem Grezwert der Folge liege.... Grphische Drstellug des Kovergezverhltes der Nullfolge : = 3

4 Die Folgeglieder liege i der gewählte ε -Umgebug (ε = 0,) so dicht beieider, dss sie i der obere Grphik icht mehr drstellbr sid. Nch der Defiitio des Grezwerts eier Folge ist i diesem Beispiel lso ε = 0 Ds heißt, dss lle Folgeglieder die kleier gleich sid, ierhlb der hier 0 gewählte ε -Umgebug liege. Beispiel: ) (Aufgbe 30) + lim sei + ; b = b och zu betrchte sei lso 4

5 + + = = , lso wird u ur och ds Kovergezverhlte vo + + betrchtet, ud dss ist ch der Vorlesug e e = e ) (Aufgbe 9 i) x = = d gilt lim = (Vorlesug!!) ist u och der Term uf Kovergez zu prüfe. = < < d gilt geschlosse werde < k u uf lim lim = d lim = ud = gilt u: lim = lim lim 5

6 = =... Kovergez besoderer Folge ) Die lterierede Folge ( ) = immt bei gerde de Wert ud bei ugerde de Wert -. Es liege dher uedlich viele Folgeglieder sowohl bei (Teilfolge Als uch bei - (Teilfolge * = ( ) ) ** = ( ) ) somit besitzt die Folge zwei Häufugspukte, die jeweils Grezwert eier Teilfolge sid, divergiert jedoch. Häufugspukte: Defiitio. Eie Zhl heißt Häufugspukt eier Folge ( kleie Umgebug vo uedlich viele Folgeglieder ethält. ), we jede och so ) Kostte Folge kovergiere gege sich selbst Bsp. : = 3 lim = 3 3) Cuchy-Folge: Defiitio. Eie Folge ( ) heisst Cuchyfolge, we ε > 0 ε m, m < ε ε Aschulich besgt dies, dss sich die Werte der Zhlefolge ur och i eiem kleie Spielrum bewege köe, der beliebig klei wird, we der Idex geüged gross gewählt ist. 6

7 Stz. (Cuchy-Kriterium) Eie Folge ( eie Cuchyfolge ist. ) ist geu d koverget, we sie Beispielufgbe zu Cuchy-Folge..3. Beschräkte Folge Defiitio. Eie Folge ( ) heißt beschräkt, flls es eie Schrke M gibt, so dss M für lle gilt. Aderflls heißt die Folge ubeschräkt. Bemerkug. Kovergete Folge sid beschräkt. Jedoch sid icht lle beschräkte Folge koverget, Bsp.: = ( ) mit ist beschräkt, jedoch icht koverget..4. Grezwertsätze Stz. Seie ( ) ud ( b ) kovergete Folge mit de Grezwerte bzw. b. D gilt:. ( b ) + ist koverget mit Grezwert + b.. ( b ) 3. ( ist koverget mit Grezwert b. b ) ist koverget mit Grezwert /b, flls b 0 Beispiele: 7

8 . Sei = + d k diese Folge ufgrud des erste Grezwertstzes drgestellt werde, ls = b + c wege lim = 0 ud lim = Gilt: lim + =. Sei ( ) =, d köe die Grezwertsätze icht gewedet werde, d weder eie Zerlegug i b = och i c = b c zulässig ist, d ( ) divergiert. ) ud ( b ) kovergete, reelle Zhlefolge mit de Grezwerte Stz. Seie ( bzw. b. Gilt b für lle bis uf edlich viele, d folgt b. Beweis: (Aufgbe 3 ) Ahme: es gilt = lim( ) > lim( b ) = b Zu ε := ( b) / gibt es 0; N 0 mit Für jedes > 0 ud Für m: = mx {, } 0 <ε b b < ε für jedes gilt b 0 ud b = ( m ) + ( bm b) ( bm m) ( ) + ( b b) m m m ( ) + ( b b) < ε + ε = b m ud ds ist icht whr. q.e.d. m m 8

9 . Stetigkeit Defiitio: Beim Zeiche vo Grphe fällt uf, dss es Fuktioe gibt, die sich ohe Absetze zeiche lsse. Solche Fuktioe heiße stetig. Adere Fuktioe besitze udefiierte Stelle ud m muss beim Zeiche de Bleistift bsetze. Solche,,Sprugstelle heiße Ustetigkeitsstelle der Fuktio. A lle dere Pukte ist die Fuktio jedoch stetig. Forml lässt sich ds so usdrücke: Eie reellwertige Fuktio f heißt i eiem Pukt x 0 ihres Defiitiosbereichs D stetig, we für lle Folge x us D mit x x0 stets gilt. lim f ( x ) = f ( x ) 0 ε δ Defiitio vo Stetigkeit: Eie reellwertige Fuktio f ist geu d stetig i eiem Pukt ihres Defiitiosbereichs, we Folgedes gilt Zu jedem ε > 0 gibt es ei δ > 0, sodss für lle x D x x0 < δ stets f ( x) f ( x ) < ε 0 gilt. 9

10 .. Sätze über Stetigkeit ) Sid f : X Y stetig (im Pukt x 0 ) ud g : Y so ist uch die zusmmegesetzte Fuktio g Z stetig (im Pukt y0 : = f ( x0 ) ) f stetig (im Pukt x 0 ). ) Polyomfuktioe sid stetig 3) rtiole Fuktioe sid stetig Die rtiole Fuktioe sid defiiert ls Quotiet zweier Polyomfuktioe p ud q, wobei q icht die Nullfuktio sei drf: r( x) : = p( x) q( x) Die Fuktio r ist überll defiiert, ußer bei de Nullstelle x vo q, chrkterisiert durch q(x) = 0. 4) seie f, g: X Y Fuktioe, die (im Pukt x) stetig sid, so gilt: 0

11 dss uch f + g, f g, f, f, λ f, f (g 0) (im Pukt x) stetig sid g... Awedugsufgbe ) Die Fuktio 3 x f ( x) = x 3 ist ls Polyom stetig 4 ) Die Fuktio f ( x) 4 für x = x für x > ist uf Stetigkeit im Pukt x 0 = zu utersuche

12 wege lim f ( x) = = f () ist die Fuktio der Stelle stetig. x 4 3) (Aufgbe 38) ε δ Defiitio der Stetigkeit Gegebe sei die Fuktio x f ( x) : = x + uf dem Itervll [, ]. (i) Fide Sie eie Kostte L > 0, so dss f(x) f(y) L x y für lle x, y [, ] gilt. (ii) Folger Sie us (i) mit Hilfe der ε dss f uf gz [, ] stetig ist. δ Defiitio der Stetigkeit, Zu i) x + y + f ( x) f ( y) = x y

13 = ( x + )( y ) ( y + )( x ) ( x )( y ) 3( x + y) = ( x y) ( x )( y ) = uf [-,] gilt u x y + lso 3( x + y) 6 Des Weitere gilt, dss x ( y ) ( ). Dmit ist L= 6 geeigete Kostte. Zu ii) Sei x0 [, ] ud ε > 0, wähle ε δ =. 6 D gilt f ( x ) f ( y ) 6 6 x y ε ε 6 ws die Stetigkeit bei x 0 δ 4) (Aufgbe 39) Setze g x x x h x x x 3 3 ( ) : = 3 + ; ( ) : =

14 Zu jedem y R ud N \{ 0} gibt es im Itervll ls uch irrtiole Zhle (siehe Skript). y, y + sowohl rtiole Sei eie beliebige rtiole Folge irrtioler Zhle mit y für Ud b eie beliebige Folge irrtioler Zhle mit b y D g(x) ud h(x) ls Polyome stetig sid, gilt lim f ( ) = lim g( ) = g( y) lim f ( b ) = lim h( b ) = h( y) Nch dem Folgekriterium für Stetigkeit im Fll der Stetigkeit g(y)=h(y) Es gilt g(x)=h(x) geu d, we y y y y 0 = = ( + )( + ) Also ist f höchstes stetig bei y=- ud y= - Wege lim f ( ) = lim g( ) = h( ) = 4 lim f ( b ) = lim g( ) = h( ) = 0 Für beliebige reelle Folge, b ud b ist f bei y=- ud y=- stetig 4

15 5